X/ENS Physique PSI 2018

Thème de l'épreuve Problèmes liés à la distribution filaire de l'énergie électrique
Principaux outils utilisés électrocinétique, ondes, conversion de puissance
Mots clefs ligne électrique, facteur de puissance, facteur de forme, pertes en lignes, corde vibrante, rendement énergétique, équation des télégraphistes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CX8613 Banque commune École Polytechnique - InterENS PSI Session 2018 Épreuve de Physique Durée: 4 heures Aucun document n'est autorisé. L'usage de calculatrices est interdit. N.B. : L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation tiendra compte du soin, de la clarté et de la rigueur de la rédaction et de la présentation. Les résultats non justifiés n'apporteront pas de points. Les candidats sont priés d'accorder une importance particulière aux applications numériques. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. La longueur du sujet ne doit pas décourager les candidats. L'indépendance des différentes parties, la progressivité de chacune d'entre elles, la diversité des thèmes abordés permettront à chaque candidat de révéler sa compréhension de la physique dans des domaines variés. Les candidats doivent être conscients qu'un traitement superficiel de quelques questions dans chaque partie sera peu valorisé. 1/8 !"#$%&'()*%+,)*-*%.*/+)0"+$10+#2*3+%.+"(*/(*%4,2("5+(*,%(60"+71(. !"# $%&'(%)*'%+,# $-# ./0,-(1%-# 0.-2'(%3*-# 4"(# *,# (0&-"*# $-# .%1,-&# 5"%'# 4"('%-# $*# 4"6&"1-# 3*+tidien depuis de nombreuses années en Europe et dans le Monde entier ! Ce problème va étudier quelques aspects de ce transport : - Le rendement énergétique du réseau qui est un enjeu majeur à l'heure des économies d'énergies. - Les incidents sur les lignes qu'il faut à tout prix éviter afin de protéger les installations en aval et en amont du réseau. L'objectif est de sécuriser la distribution d'énergie électrique. Les deux parties sont largement indépendantes. Un certain nombre de questions portent sur l-&# 2+,$%'%+,&# $/0'").%&&-7-,'# $/*,# 7+$8.-# 496&%3*-# $-&# $%&4+&%'%5&:#;..-&#"*(+,'#"*'",'#$/%74+('",2-#$",&#./0<".*"'%+,#3*-#.-*-&'%+,+('",'#&*(#."#(0&+.*'%+,#-'# ./-=4.+%'"'%+,# $-# 2-# 7+$8.-: Il est, bien sûr, quand même possible de résoudre le modèle s",&# ./"<+%(# correctement justifié. On considérera dans tout le problème des grandeurs physiques dépendant du temps x ! t " . Si elles dépendent du temps de manière périodique (période T ), on leur associera une valeur moyenne x ! t " # Xm et on notera nmax # f maxT 8*%(*".25*/(*%49."'#2+71(*%(*:%1)*,%(;,< Il correspond au rang -*:."0+"*/171(%*#2*:(10*2,5%+5("*%4+23%1(26(*/()*9."'#2+71()< On pourra utiliser la décomposition de Fourie"* ).2)* =.'.+)* 69("69("* -* 6.%61%("* %4.':%+01/(* Xn ou la phase $n des différentes n # nmax & 2% ' Xn 2 cos ) n t ( $n * . + T , n#1 On pourra associer à toute grandeur dépendant du temps de manière sinusoïdale x ! t " # X0 2 cos !.t ( $0 " une représentation complexe de valeur efficace X # X0 e j$0 . Bien composantes et on notera x ! t " # Xm ( - évidemment, dans ce cas, x ! t " # Xm # 0 . On posera dans tout le problème j 2 # /1 A Rendement énergétique du réseau >(*"(2/('(20*,2("5,0+71(*/412*",)(.1*/(*/+)0"+$10+#2*/(*%4,2("5+(*,%(60"+71(*()0*:"+26+:.%('(20*%+,* -* %.* :("0(* /4,2("5+(* /.2)* %()* %+52()* /(* 0".2):#"0<* ?(00(* :("0(* /,:(2/* %."5('(20* /(* %4+20(2)+0,* /1* courant les parcourant. Or cette intensité dépen/* /(* %4+2)0.%%.0+#2* "(6(;.20* %4,2("5+( et éventuellement de la ligne électrique. On considèrera que cette ligne est constituée de deux fils conducteurs de longueur d . 1 étant la La source sera considérée comme sinusoïdale avec uS ! t " # U0 2 cos ! 2% f t " , f # T fréquence. iD ! t " iS ! t " source uS ! t " ligne 2/8 uD ! t " installation A I) Puissance perdue dans la ligne 1) Expliquer à quelle condition on peut considérer que iS ( t ) » iD ( t ) . Cette condition sera supposée réalisée dans toute la partie A. On notera i ( t ) = iS ( t ) = iD ( t ) . 2) Expliquer à quelle condition on peut considérer que uS ( t ) » uD ( t ) . Cette condition sera supposée réalisée dans toute la partie A. On prendra uD ( t ) = uS ( t ) . 2 La puissance perdue dans la ligne peut s'écrire sous la forme pL ( t ) = K × d × i ( t ) , d étant la longueur de la ligne et K une constante. La puissance moyenne est notée pL ( t ) = PL = K × d × I 2 3) Quelles sont les causes physiques de cette perte ? 4) Que représente I ? 5) Quels sont les différents facteurs pouvant modifier la valeur de K . Appuyez votre réponse sur des exemples simples (conducteur ohmique cylindrique). La puissance moyenne consommée par l'installation est notée P . On appellera rendement P énergétique de la ligne h = . P + PL A II) Le facteur de puissance 6) Quelle propriété de l'installation permettrait d'assurer une intensité i ( t ) sinusoïdale de la forme i ( t ) = I0 2 cos ( 2p f t + j ) ? Donner les valeurs de la tension efficace et de la fréquence pour le réseau européen. Discuter numériquement la condition imposée dans la question (1). On adoptera cette propriété pour toute la partie AII). avec 0 ³ j > - p 2 . 7) Exprimer le rendement h en fonction des données de l'énoncé : la puissance moyenne consommée par l'installation P ainsi que K , d , U0 , j . 8) Sur quels facteurs, autres que j et K , peut-on jouer pour augmenter ce rendement ? Évitez une simple énumération dans la réponse. Détaillez plus particulièrement le facteur, en pratique, le plus important en proposant des solutions technologiques au problème. On tente d'améliorer le rendement en ajoutant un dispositif de compensation « à côté » et en parallèle avec l'installation. On notera iC ( t ) = IC 2 cos ( 2p f t + jC ) . La puissance moyenne consommée par le dispositif de compensation est notée PC . iD ( t ) iS ( t ) source 9) uS ( t ) ligne uD ( t ) iC ( t ) installation compensation Quelle propriété doit vérifier iC ( t ) pour que PC = 0 ? 10) Déterminer, lorsque PC = 0 , iC ( t ) pour que h soit maximum toutes choses égales par ailleurs. 3/8 11) Proposer un dispositif, autre que celui étudié dans la suite, permettant d'obtenir le résultat escompté. Préciser le ou les paramètres du dispositif en fonction de P , f , U0 , j . Pour réaliser le dispositif de compensation on utilise un moteur synchrone. Ce moteur tourne à vide et on négligera les pertes mécaniques et électriques du moteur dans un premier temps. Ce moteur est électriquement équivalent à un dipôle d'impédance purement imaginaire jX avec X > 0 en série avec un générateur sinusoïdal de même fréquence f que le réseau. On notera E la tension efficace de ce générateur dont on iC ( t ) Dipôle uD ( t ) e (t ) Moteur à vide compensation peut régler le module E = E . 12) Pourquoi X > 0 ? Comment peut-on régler E ? Pourquoi la fréquence est-elle la même que celle du réseau ? Répondez de manière qualitative, mais précise, à ces trois questions. 13) Calculer, en fonction de P , X , U0 , j , la valeur de E permettant d'optimiser la distribution de l'énergie. Les pertes énergétiques du moteur ne sont plus négligées et elles sont prises constantes de puissance égale à PC . Cette puissance est fournie intégralement par le réseau d'alimentation. Pour calculer la nouvelle valeur du module de E jm permettant d'optimiser les pertes en ligne on utilise E jXI C jm une construction dans le plan de Fresnel. UD = U0 14) Quelle est la signification de jm ? Réaliser la construction dans le cas PC = 0 . 15) Déterminer ( avec PC > 0 ) la valeur de E permettant d'optimiser la distribution de l'énergie en fonction de U0 , P , PC , X , j . A III) Le facteur de forme L'installation est maintenant un redresseur suivi d'une charge correspondant à une inductance L en série avec une résistance R et un générateur de ( ) tension E0 ( t ) U0 2 > E0 ( t ) ³ 0 . Ces deux derniers i (t ) 1 uD ( t ) u1 3 iA (t ) i1 L R 2 uL ( t ) E0 ( t ) 4 éléments modélisant un accumulateur en recharge. On se place en régime périodique. Les interrupteurs sont idéaux (ils ne consomment aucune puissance) et ils sont repérés par les numéros 1, 2, 3, 4. Les interrupteurs sont tels que l'intensité du courant iA ( t ) ³ 0 . 4/8 16) Pourquoi la tension E0 ( t ) dépend-elle du temps ? Pourquoi pourra-t-on considérer dans la pratique qu'elle n'en dépend pas ? On la notera, pour simplifier, E0 . 17) Ce convertisseur de puissance obéit-il aux règles d'association ? 18) Comment choisir la valeur de l'inductance L pour que l'on ait iA ( t ) > 0 (conduction continue). On supposera cette condition vérifiée pour la suite et on considérera , de plus, que iA ( t ) = I Am ? DI A ³ i A ( t ) - I Am , DI A étant l'ondulation de courant. 19) Quels sont les interrupteurs dont le fonctionnement est complémentaire (quand l'un est ouvert, l'autre est nécessairement fermé) 20) Expliquer pourquoi exactement deux interrupteurs doivent être fermés en même temps. Les interrupteurs 3 et 4 sont de simples diodes que l'on considèrera comme idéales. On donne une courbe, issue d'une simulation, représentant différentes grandeurs en fonction du temps. Pour l'intensité i ( t ) , on a choisi de tracer Ri ( t ) par souci d'homogénéité. uD ( t ) E0 t2 Ri ( t ) t t1 21) Disposer les diodes 3 et 4 dans le circuit. 22) Tracer le chronogramme sur une période de l'interrupteur 1 ( u1 ( t ) et Ri1 ( t ) ) . 23) Tracer , dans le plan ( u1 , i1 ) , la courbe décrite par le point de fonctionnement de l'interrupteur 1. Pourquoi faut-il utiliser un transistor ? 24) Tracer uL ( t ) . La simulation vous paraît-elle pertinente ? Si non, expliquer succinctement comment modifier iA ( t ) = I Am , toutes choses égales par ailleurs, pour l'améliorer. 25) Expliquer pourquoi, en vous aidant de la forme du spectre de l'intensité i ( t ) , la présence de ce genre de convertisseur en charge d'une ligne de distribution diminue le rendement énergétique de la ligne. 5/8 A IV) L'élévation de la tension On considère le circuit suivant, composé d'inductances Le , Ls , de condensateurs C , Cs , d'une résistance, représentant la ligne électrique et l'installation, RS et de deux interrupteurs idéaux complémentaires K1 , K2 . Les interrupteurs ont un cycle de fonctionnement périodique de période TH . Pendant la durée a TH , K 1 est fermé et K 2 est ouvert. Pendant la fin du cycle, sur la durée ( 1 - a )TH , K 2 est fermé et K1 est ouvert. 0  0 et k < 0. 39) Exprimer la vitesse de phase et la vitesse de groupe. Les interpréter ! 40) La corde est maintenant fixée en x = 0 . Une onde incidente sinusoïdale se propage dans la partie x < 0 et se réfléchit. On note y = Y i e j (wt - kx ) l'onde incidente. Écrire l'onde réfléchie supposée i d'amplitude Y r . Comment justifier simplement qu'elle soit de même pulsation. Yr le coefficient de réflexion en x = 0 . Trouver sa valeur. En déduire Yi l'expression de l'onde totale pour x < 0 . Quelle est sa nature ? 41) On note r = B I B) Analyse énergétique 2 42) On note ec = 1 æ ¶y ö l'énergie cinétique linéique de la corde. Appliquer le théorème de la m 2 çè ¶t ÷ø puissance cinétique à une tranche [ x , x + dx[ de corde en mouvement. On notera d Pi = pi dx la puissance des efforts intérieurs (nécessaire compte tenue de la déformabilité de la corde). pi est la ¶y ¶ 2 y puissance linéique intérieure. Montrer que : pi = -T0 . × ¶x ¶x¶t 2 43) 1 æ ¶y ö En déduire qu'il existe une énergie potentielle linéique intérieure : ep = T0 ç ÷ . 2 è ¶x ø 7/8 44) que : On appelle P ( x , t ) = Ty ( x , t ) ( ¶ ec + ep ¶y ( x , t ) la puissance transférée par l'onde en x à t . Vérifier ¶t ) = - ¶P . Par analogie avec l'électromagnétisme comment pourrait-on appeler P et ¶t ¶x cette équation ? Que nous dit-elle concernant les termes de "pertes" ? Est-ce en accord avec le modèle ? 45) Pour l'onde de la question 41), après retour réel calculer P ( x , t ) . En déduire sa valeur moyenne. Montrer que les points où P ( x , t ) est nulle à tout instant sont équidistants de l / 4 . B II) Section de la ligne Pour étudier la propagation d'une onde électrocinétique dans la ligne de longueur d , on utilise l'analogie avec la corde vibrante. On la modélise par une suite de filtres linéaires faisant intervenir une inductance par unité de longueur L et une capacité par unité de longueur G . On a toujours la tension d'entrée uS ( t ) = U0 2 cos ( 2p f t ) . On pose : c = 46) 1 LG , k= w c et ZC = iS ( t ) source uS ( t ) i (t , x ) iD ( t ) u (t , x ) ligne dL = Ldx u (t , x ) uD ( t ) installation x i ( t , x + dx ) dC = Gdx u ( t , x + dx ) L . G Déterminer la dimension des différentes grandeurs ZC , c . 47) Dresser un tableau des analogies entre le problème de la corde et celui de la ligne . Faites ¶y ¶y correspondre les grandeurs de la corde , , T0 , m , ec , ep , P avec celles de la ligne. ¶t ¶x L'impédance de l'installation vaut Z D . La tension dans la ligne s'écrit : u ( x , t ) = (U i exp ( - jkx ) + U r exp ( jkx ) ) exp ( jwt ) = U ( x ) exp ( jwt ) . On calcule U r exp ( jkx ) U i exp ( - jkx ) = ZD - ZC exp ( 2 jk ( x - d ) ) . ZD + ZC En posant i(x , t ) = I ( x ) exp( jwt ) et après calcul on obtient U (x) I (x) = ZC ZD + jZC tan ( k ( d - x ) ) ZC + jZD tan ( k ( d - x ) ) 48) Déterminer la relation entre ZC et Z D pour que l'onde de tension dans la ligne soit progressive. Un incident se produit sur la ligne électrique. Le câble électrique se rompt et reste suspendu en l'air à l'abscisse x = a . 49) Déterminer l'intensité I ( 0 ) et la tension U ( a ) . 50) Que se passe-t-il si a = l 4 . Commenter. Fin du problème 8/8

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 X/ENS Physique PSI 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Dumont (professeur en CPGE) ; il a été relu par Tom Morel (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE). Le sujet porte sur le transport de l'énergie électrique par voie filaire, ainsi que sur des problématiques qui s'y rattachent. · Dans une première partie, c'est le rendement énergétique du réseau qui est étudié. On s'attache d'abord à évaluer la puissance perdue en ligne et quelques paramètres de performance qui lui sont associés, principalement le rendement. C'est ce dernier que l'on cherche à optimiser au fil des questions. À cette fin, le sujet propose des mécanismes de compensation de pertes à travers des systèmes utilisant des composants passifs ou des interrupteurs commandés. Les domaines du cours abordés sont précis et tournent tous autour de la conversion de puissance et du transfert d'énergie. · La seconde partie s'intéresse aux défauts dans les lignes, en développant une analogie avec la corde vibrante. Les questions abordent quasi exclusivement le cours, que ce soit l'établissement de l'équation de propagation ou les calculs de l'impédance caractéristique. Le problème est assez long et propose des thématiques variées, autour de l'électrocinétique et de la physique des ondes. Ce sujet constitue une très bonne synthèse sur ces chapitres et l'occasion d'un entraînement approfondi. Indications 10 Écrire la loi des noeuds pour l'intensité i(t) traversant l'installation et utiliser la notation complexe. 11 Un condensateur en parallèle de l'installation est une bonne solution, mais il faut déterminer sa capacité en utilisant les complexes une fois encore. 15 Question très difficile : démontrer d'abord que la relation I0 sin() + IC sin(M ) = 0 permet d'optimiser le rendement. Utiliser alors la géométrie pour conclure à partir du dessin de l'énoncé. 18 La qualité du lissage dépend des ordres de grandeur respectifs des impédances de la bobine et de la résistance. 22 Question difficile : il faut étudier tous les couples d'interrupteurs pouvant être fermés simultanément et regarder ce que cela entraîne pour la tension u1 (t) et l'intensité i(t). 24 On est censé trouver une allure de tension lissée : est-ce le cas ? 26 Deux composants particuliers permettent d'étudier les grandeurs demandées. 33 Cette question nécessite d'utiliser les relations des questions précédentes. 35 Le sujet comporte une coquille évidente, prendre les définitions des puissances du début de l'énoncé. 38 Utiliser, une nouvelle fois, la notation complexe. 41 Traduire la fixation de la corde en zéro pour la somme des ondes incidente et réfléchie. 42 Écrire le théorème de la puissance cinétique puis dériver les différents termes, dont certains vont se simplifier grâce à l'équation de d'Alembert. 44 Il y a une erreur d'énoncé sur le signe de l'expression demandée. 48 L'onde est progressive s'il n'y a pas d'onde réfléchie. Cette situation conduit à une condition faisant intervenir ZC et ZD . 49 Évaluer les grandeurs demandées grâce aux formules fournies aux différents points d'intérêt et combiner les relations obtenues. Problèmes liés à la distribution filaire de l'énergie électrique 1 La situation pour laquelle l'intensité est la même en tout point de la ligne et à tout instant correspond au fait que l'on néglige la propagation dans le fil. C'est donc dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ou quasi permanents) que cette condition est vérifiée. Ici, il faut que le temps de propagation le long de la ligne soit négligeable devant le temps typique de variation des phénomènes électriques. Autrement dit, que la longueur typique D parcourue par les courants soit faible devant la longueur d'onde = c/f ; ce qui se formule finalement en D c f La question 6 permet de quantifier cette relation. 2 La différence entre les deux tensions proposées correspond à la chute de tension dans la ligne, plus précisément RiS (t), où R est la résistance de la ligne. On peut donc considérer que les tensions sont égales dès lors que RiS 2 uS . 3 La perte en ligne est précisément due à la résistance de ligne, qui dissipe la puissance sous forme de chaleur à travers l'effet Joule, et, de façon beaucoup plus marginale, à des pertes par rayonnement. 4 L'intensité utilisée dans la formule proposée est l'intensité efficace du courant parcourant la ligne. Toutes les questions précédentes sont des questions de début de sujet et auraient pu être réunies en une seule et même question. 5 Dans le cas d'un conducteur ohmique cylindrique de longueur d, de section S et de résistivité , la résistance vaut R = d/S et conduit à une puissance Joule dissipée PJ = d/SI2 . Par rapport à la forme proposée, le coefficient K s'identifie alors au rapport /S, ainsi les pertes sont favorisées par l'utilisation d'un conducteur à grande résistivité (c'est logique) et des fils de petites sections. C'est d'ailleurs pour cela que les fils de câbles à hautes tensions sont souvent épais. 6 L'intensité est sinusoïdale à la condition que l'installation soit linéaire et que celle-ci soit bien entendu alimentée par un réseau de fréquence f correspondant à la fréquence désirée. En Europe, le réseau est alimenté en 50 Hz pour une tension efficace de 230 V (soitenviron 320 V en tension maximale, c'est-à-dire la tension efficace multipliée par 2). La valeur de la tension efficace traditionnellement apprise est plutôt 220 V et elle a sans doute été comptée comme correcte, mais elle a en réalité été abrogée en 1986 ! Le réseau est passé progressivement de 220 à 230 V depuis. On peut désormais exprimer quantitativement la condition de la question 1, si l'on prend comme ordre de grandeur de la vitesse de propagation celle de la lumière, D c f soit numériquement D 6 · 103 km C'est une valeur acceptable entre des relais haute tension éloignés de quelques dizaines de kilomètres, mais plus discutable pour des lignes très hautes tensions de plusieurs centaines de kilomètres. 7 L'énoncé donne la définition du rendement et de la puissance perdue dans la ligne = P P + PL et P L = K d I0 2 Par conséquent, il reste à calculer la puissance consommée par l'installation, soit P = huD (t)iD (t)i = U0 I0 cos() Finalement, = 1 KdP 1+ U0 2 cos2 () 8 Le seul autre facteur sur lequel on peut jouer pour augmenter le rendement est la tension U0 , qu'il faut avoir la plus grande possible. Pour cela, on réalise en pratique une élévation de tension grâce à un transformateur avant « le départ en ligne », ce qui conduit à des lignes dites lignes à hautes tensions, puis l'on utilise un second transformateur abaisseur afin de revenir à des tensions de l'ordre de 230 V. Sur le réseau français, ces lignes sont de l'ordre de 400 kV pour le réseau THT (Très Hautes Tensions) et 220 kV pour le réseau HT (Hautes Tensions). 9 La puissance consommée par le dispositif de compensation vaut PC = huD (t)iC (t)i = U0 IC cos(C ) Celle-ci est donc nulle lorsque l'intensité et la tension sont en quadrature de phase. La puissance moyenne PC est nulle pour C = + - . 2 10 La puissance nulle impose la valeur de C au signe près. Si l'on regarde l'expression du rendement établie à la question 7, le seul paramètre permettant de régler ce dernier est la valeur de l'intensité efficace, qu'il faut tenter de minimiser. Or, une fois le branchement effectué, l'installation est alimentée par un courant de la forme de i(t) et le dispositif de compensation par iC (t), soit un courant de ligne total iD (t) = i(t) + iC (t) = I0 2 cos(2f t + ) + IC 2 cos 2f t + - 2 En notation complexe et avec les valeurs efficaces, on a q 2 2 (I0 cos()) + (I0 sin() + iD = I0 e j + j I soit I = - C - IC ) D L'énoncé précise que est négatif mais plus grand que -/2, par conséquent le sinus est négatif. Ainsi, pour maximiser le rendement et puisque cos( + /2) = - sin() et cos( - /2) = + sin(), il faut choisir IC = -I0 sin() soit iC (t) = + - I0 2 sin() sin(2f t) 11 Pour réaliser la condition précédente, on peut envisager d'utiliser un condensateur de capacité C comme système de compensation. En effet, on aurait C duD (t) = iC (t) dt Avec P = U0 I0 cos(), C=- jCU0 = -I0 sin() I0 sin() P tan() =- >0 2f U0 2f U0 2