X/ENS Physique PSI 2018

Thème de l'épreuve Problèmes liés à la distribution filaire de l'énergie électrique
Principaux outils utilisés électrocinétique, ondes, conversion de puissance
Mots clefs ligne électrique, facteur de puissance, facteur de forme, pertes en lignes, corde vibrante, rendement énergétique, équation des télégraphistes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                       

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


CX8613

Banque commune École Polytechnique - InterENS

PSI
Session 2018

Épreuve de Physique

Durée: 4 heures

Aucun document n'est autorisé.
L'usage de calculatrices est interdit.

N.B. : L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation 
tiendra compte
du soin, de la clarté et de la rigueur de la rédaction et de la présentation. 
Les
résultats non justifiés n'apporteront pas de points. Les candidats sont priés
d'accorder une importance particulière aux applications numériques.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé,
il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
La longueur du sujet ne doit pas décourager les candidats. L'indépendance des
différentes parties, la progressivité de chacune d'entre elles, la diversité 
des thèmes
abordés permettront à chaque candidat de révéler sa compréhension de la physique
dans des domaines variés. Les candidats doivent être conscients qu'un traitement
superficiel de quelques questions dans chaque partie sera peu valorisé.

1/8

!"#$%&'()*%+,)*-*%.*/+)0"+$10+#2*3+%.+"(*/(*%4,2("5+(*,%(60"+71(.

!"# $%&'(%)*'%+,# $-# ./0,-(1%-# 0.-2'(%3*-# 4"(# *,# (0&-"*# $-# .%1,-&# 5"%'# 
4"('%-# $*# 4"6&"1-# 3*+tidien depuis de
nombreuses années en Europe et dans le Monde entier !
Ce problème va étudier quelques aspects de ce transport :
- Le rendement énergétique du réseau qui est un enjeu majeur à l'heure des 
économies d'énergies.
- Les incidents sur les lignes qu'il faut à tout prix éviter afin de protéger 
les installations en aval et en amont
du réseau. L'objectif est de sécuriser la distribution d'énergie électrique.
Les deux parties sont largement indépendantes.
Un certain nombre de questions portent sur l-&# 2+,$%'%+,&# $/0'").%&&-7-,'# 
$/*,# 7+$8.-# 496&%3*-# $-&#
$%&4+&%'%5&:#;..-&#"*(+,'#"*'",'#$/%74+('",2-#$",&#./0<".*"'%+,#3*-#.-*-&'%+,+('",'#&*(#."#(0&+.*'%+,#-'#
./-=4.+%'"'%+,# $-# 2-# 7+$8.-: Il est, bien sûr, quand même possible de 
résoudre le modèle s",&# ./"<+%(#
correctement justifié.
On considérera dans tout le problème des grandeurs physiques dépendant du temps 
x ! t " . Si elles
dépendent du temps de manière périodique (période T ), on leur associera une 
valeur moyenne
x ! t " # Xm et on notera nmax # f maxT 
8*%(*".25*/(*%49."'#2+71(*%(*:%1)*,%(;,< Il correspond au rang
-*:."0+"*/171(%*#2*:(10*2,5%+5("*%4+23%1(26(*/()*9."'#2+71()< On pourra 
utiliser la décomposition
de Fourie"* ).2)* =.'.+)* 69("69("* -* 6.%61%("* %4.':%+01/(* Xn ou la phase $n 
des différentes
n # nmax

& 2%
'
Xn 2 cos ) n
t ( $n * .
+ T
,
n#1
On pourra associer à toute grandeur dépendant du temps de manière sinusoïdale
x ! t " # X0 2 cos !.t ( $0 " une représentation complexe de valeur efficace X 
# X0 e j$0 . Bien

composantes et on notera x ! t " # Xm (

-

évidemment, dans ce cas, x ! t " # Xm # 0 .
On posera dans tout le problème j 2 # /1

A Rendement énergétique du réseau
>(*"(2/('(20*,2("5,0+71(*/412*",)(.1*/(*/+)0"+$10+#2*/(*%4,2("5+(*,%(60"+71(*()0*:"+26+:.%('(20*%+,*
-* %.* :("0(* /4,2("5+(* /.2)* %()* %+52()* /(* 0".2):#"0<* ?(00(* :("0(* 
/,:(2/* %."5('(20* /(* %4+20(2)+0,* /1*
courant les parcourant. Or cette intensité dépen/* /(* %4+2)0.%%.0+#2* 
"(6(;.20* %4,2("5+( et
éventuellement de la ligne électrique.
On considèrera que cette ligne est constituée de deux fils conducteurs de 
longueur d .
1
étant la
La source sera considérée comme sinusoïdale avec uS ! t " # U0 2 cos ! 2% f t " 
, f #
T
fréquence.
iD ! t "

iS ! t "
source

uS ! t "

ligne

2/8

uD ! t "

installation

A I) Puissance perdue dans la ligne
1)

Expliquer à quelle condition on peut considérer que iS ( t ) » iD ( t ) . Cette 
condition sera

supposée réalisée dans toute la partie A. On notera i ( t ) = iS ( t ) = iD ( t 
) .
2)

Expliquer à quelle condition on peut considérer que uS ( t ) » uD ( t ) . Cette 
condition sera

supposée réalisée dans toute la partie A. On prendra uD ( t ) = uS ( t ) .
2

La puissance perdue dans la ligne peut s'écrire sous la forme pL ( t ) = K × d 
× i ( t ) , d étant la
longueur de la ligne et K une constante. La puissance moyenne est notée pL ( t 
) = PL = K × d × I 2
3)
Quelles sont les causes physiques de cette perte ?
4)
Que représente I ?
5)
Quels sont les différents facteurs pouvant modifier la valeur de K . Appuyez 
votre réponse
sur des exemples simples (conducteur ohmique cylindrique).
La puissance moyenne consommée par l'installation est notée P . On appellera 
rendement
P
énergétique de la ligne h =
.
P + PL

A II) Le facteur de puissance
6)

Quelle propriété de l'installation permettrait d'assurer une intensité i ( t ) 
sinusoïdale de la

forme i ( t ) = I0 2 cos ( 2p f t + j ) ? Donner les valeurs de la tension 
efficace et de la fréquence pour
le réseau européen. Discuter numériquement la condition imposée dans la 
question (1).
On adoptera cette propriété pour toute la partie AII). avec 0 ³ j > -

p
2

.

7)
Exprimer le rendement h en fonction des données de l'énoncé : la puissance 
moyenne
consommée par l'installation P ainsi que K , d , U0 , j .
8)
Sur quels facteurs, autres que j et K , peut-on jouer pour augmenter ce 
rendement ? Évitez
une simple énumération dans la réponse. Détaillez plus particulièrement le 
facteur, en pratique, le
plus important en proposant des solutions technologiques au problème.
On tente d'améliorer le rendement en ajoutant un dispositif de compensation « à 
côté » et en
parallèle avec l'installation. On notera iC ( t ) = IC 2 cos ( 2p f t + jC ) . 
La puissance moyenne
consommée par le dispositif de compensation est notée PC .
iD ( t )

iS ( t )
source

9)

uS ( t )

ligne

uD ( t )

iC ( t )
installation

compensation

Quelle propriété doit vérifier iC ( t ) pour que PC = 0 ?

10)
Déterminer, lorsque PC = 0 , iC ( t ) pour que h soit maximum toutes choses 
égales par
ailleurs.

3/8

11)
Proposer un dispositif, autre que celui étudié dans la suite, permettant 
d'obtenir le résultat
escompté. Préciser le ou les paramètres du dispositif en fonction de P , f , U0 
, j .

Pour réaliser le dispositif de compensation on utilise un
moteur synchrone.
Ce moteur tourne à vide et on négligera les pertes
mécaniques et électriques du moteur dans un premier temps.
Ce moteur est électriquement équivalent à un dipôle
d'impédance purement imaginaire jX avec X > 0 en série
avec un générateur sinusoïdal de même fréquence f que le
réseau.
On notera E la tension efficace de ce générateur dont on

iC ( t )

Dipôle

uD ( t )

e (t )

Moteur à vide
compensation

peut régler le module E = E .
12)
Pourquoi X > 0 ? Comment peut-on régler E ? Pourquoi la fréquence est-elle la 
même que
celle du réseau ? Répondez de manière qualitative, mais précise, à ces trois 
questions.
13)
Calculer, en fonction de P , X , U0 , j , la valeur de E permettant d'optimiser 
la distribution
de l'énergie.
Les pertes énergétiques du moteur ne sont plus négligées et elles sont prises 
constantes de
puissance égale à PC . Cette puissance est fournie
intégralement par le réseau d'alimentation. Pour
calculer la nouvelle valeur du module de E
jm
permettant d'optimiser les pertes en ligne on utilise
E
jXI C
jm
une construction dans le plan de Fresnel.
UD = U0

14)
Quelle est la signification de jm ? Réaliser la
construction dans le cas PC = 0 .

15)
Déterminer ( avec PC > 0 ) la valeur de E
permettant d'optimiser la distribution de l'énergie en fonction de U0 , P , PC 
, X , j .

A III) Le facteur de forme
L'installation est maintenant un redresseur suivi
d'une charge correspondant à une inductance L en
série avec une résistance R et un générateur de

(

)

tension E0 ( t ) U0 2 > E0 ( t ) ³ 0 . Ces deux derniers

i (t )

1
uD ( t )

u1

3
iA (t )

i1
L

R

2 uL ( t )
E0 ( t ) 4
éléments modélisant un accumulateur en recharge.
On se place en régime périodique.
Les interrupteurs sont idéaux (ils ne consomment
aucune puissance) et ils sont repérés par les numéros 1, 2, 3, 4. Les 
interrupteurs sont tels que
l'intensité du courant iA ( t ) ³ 0 .

4/8

16)

Pourquoi la tension E0 ( t ) dépend-elle du temps ? Pourquoi pourra-t-on 
considérer dans la

pratique qu'elle n'en dépend pas ? On la notera, pour simplifier, E0 .
17)

Ce convertisseur de puissance obéit-il aux règles d'association ?

18)
Comment choisir la valeur de l'inductance L pour que l'on ait iA ( t ) > 0 
(conduction
continue). On supposera cette condition vérifiée pour la suite et on 
considérera , de plus, que
iA ( t ) = I Am ? DI A ³ i A ( t ) - I Am , DI A étant l'ondulation de courant.
19)
Quels sont les interrupteurs dont le fonctionnement est complémentaire (quand 
l'un est
ouvert, l'autre est nécessairement fermé)
20)

Expliquer pourquoi exactement deux interrupteurs doivent être fermés en même 
temps.

Les interrupteurs 3 et 4 sont de simples diodes que l'on considèrera comme 
idéales.
On donne une courbe, issue d'une simulation, représentant différentes grandeurs 
en fonction du
temps. Pour l'intensité i ( t ) , on a choisi de tracer Ri ( t ) par souci 
d'homogénéité.

uD ( t )
E0
t2
Ri ( t )

t

t1

21)

Disposer les diodes 3 et 4 dans le circuit.

22)

Tracer le chronogramme sur une période de l'interrupteur 1 ( u1 ( t ) et Ri1 ( 
t ) ) .

23)
Tracer , dans le plan ( u1 , i1 ) , la courbe décrite par le point de 
fonctionnement de
l'interrupteur 1. Pourquoi faut-il utiliser un transistor ?
24)

Tracer uL ( t ) . La simulation vous paraît-elle pertinente ? Si non, expliquer 
succinctement

comment modifier iA ( t ) = I Am , toutes choses égales par ailleurs, pour 
l'améliorer.
25)
Expliquer pourquoi, en vous aidant de la forme du spectre de l'intensité i ( t 
) , la présence
de ce genre de convertisseur en charge d'une ligne de distribution diminue le 
rendement
énergétique de la ligne.

5/8

A IV) L'élévation de la tension
On considère le circuit suivant, composé
d'inductances Le , Ls , de condensateurs C , Cs ,
d'une résistance, représentant la ligne
électrique et l'installation, RS et de deux
interrupteurs idéaux complémentaires K1 , K2 .
Les
interrupteurs
ont
un
cycle
de
fonctionnement périodique de période TH .
Pendant la durée a TH , K 1 est fermé et K 2 est
ouvert. Pendant la fin du cycle, sur la durée
( 1 - a )TH , K 2 est fermé et K1 est ouvert.
0  0 et

k < 0.

39)

Exprimer la vitesse de phase et la vitesse de groupe. Les interpréter !

40)
La corde est maintenant fixée en x = 0 . Une onde incidente sinusoïdale se 
propage dans la
partie x < 0 et se réfléchit. On note y = Y i e j (wt - kx ) l'onde incidente. 
Écrire l'onde réfléchie supposée
i

d'amplitude Y r . Comment justifier simplement qu'elle soit de même pulsation.
Yr
le coefficient de réflexion en x = 0 . Trouver sa valeur. En déduire
Yi
l'expression de l'onde totale pour x < 0 . Quelle est sa nature ?

41)

On note r =

B I B) Analyse énergétique
2

42)

On note ec =

1 æ ¶y ö
l'énergie cinétique linéique de la corde. Appliquer le théorème de la
m
2 çè ¶t ÷ø

puissance cinétique à une tranche [ x , x + dx[ de corde en mouvement. On 
notera d Pi = pi dx la
puissance des efforts intérieurs (nécessaire compte tenue de la déformabilité 
de la corde). pi est la
¶y ¶ 2 y
puissance linéique intérieure. Montrer que : pi = -T0
.
×
¶x ¶x¶t
2

43)

1 æ ¶y ö
En déduire qu'il existe une énergie potentielle linéique intérieure : ep = T0 ç 
÷ .
2 è ¶x ø

7/8

44)
que :

On appelle P ( x , t ) = Ty ( x , t )

(

¶ ec + ep

¶y
( x , t ) la puissance transférée par l'onde en x à t . Vérifier
¶t

) = - ¶P . Par analogie avec l'électromagnétisme comment pourrait-on appeler P 
et

¶t
¶x
cette équation ? Que nous dit-elle concernant les termes de "pertes" ? Est-ce 
en accord avec le
modèle ?

45)

Pour l'onde de la question 41), après retour réel calculer P ( x , t ) . En 
déduire sa valeur

moyenne. Montrer que les points où P ( x , t ) est nulle à tout instant sont 
équidistants de l / 4 .

B II) Section de la ligne
Pour étudier la propagation d'une onde
électrocinétique dans la ligne de longueur
d , on utilise l'analogie avec la corde
vibrante.
On la modélise par une suite de filtres
linéaires faisant intervenir une inductance
par unité de longueur L et une capacité par
unité de longueur G . On a toujours la
tension d'entrée uS ( t ) = U0 2 cos ( 2p f t ) .
On pose : c =
46)

1
LG

, k=

w
c

et ZC =

iS ( t )
source

uS ( t )

i (t , x )

iD ( t )

u (t , x )
ligne

dL = Ldx

u (t , x )

uD ( t )

installation

x

i ( t , x + dx )
dC = Gdx u ( t , x + dx )

L
.
G

Déterminer la dimension des différentes grandeurs ZC , c .

47)

Dresser un tableau des analogies entre le problème de la corde et celui de la 
ligne . Faites
¶y ¶y
correspondre les grandeurs de la corde
, , T0 , m , ec , ep , P avec celles de la ligne.
¶t ¶x
L'impédance de l'installation vaut Z D .
La tension dans la ligne s'écrit : u ( x , t ) = (U i exp ( - jkx ) + U r exp ( 
jkx ) ) exp ( jwt ) = U ( x ) exp ( jwt ) .
On calcule

U r exp ( jkx )
U i exp ( - jkx )

=

ZD - ZC
exp ( 2 jk ( x - d ) ) .
ZD + ZC

En posant i(x , t ) = I ( x ) exp( jwt ) et après calcul on obtient

U (x)
I (x)

= ZC

ZD + jZC tan ( k ( d - x ) )
ZC + jZD tan ( k ( d - x ) )

48)
Déterminer la relation entre ZC et Z D pour que l'onde de tension dans la ligne 
soit
progressive.
Un incident se produit sur la ligne électrique. Le câble électrique se rompt et 
reste suspendu en
l'air à l'abscisse x = a .
49)
Déterminer l'intensité I ( 0 ) et la tension U ( a ) .
50)

Que se passe-t-il si a =

l
4

. Commenter.

Fin du problème
8/8

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique PSI 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Dumont (professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Tom Morel (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Le sujet porte sur le transport de l'énergie électrique par voie filaire, ainsi 
que sur
des problématiques qui s'y rattachent.
· Dans une première partie, c'est le rendement énergétique du réseau qui est 
étudié. On s'attache d'abord à évaluer la puissance perdue en ligne et quelques
paramètres de performance qui lui sont associés, principalement le rendement.
C'est ce dernier que l'on cherche à optimiser au fil des questions. À cette fin,
le sujet propose des mécanismes de compensation de pertes à travers des 
systèmes utilisant des composants passifs ou des interrupteurs commandés. Les
domaines du cours abordés sont précis et tournent tous autour de la conversion
de puissance et du transfert d'énergie.
· La seconde partie s'intéresse aux défauts dans les lignes, en développant une
analogie avec la corde vibrante. Les questions abordent quasi exclusivement le
cours, que ce soit l'établissement de l'équation de propagation ou les calculs 
de
l'impédance caractéristique.
Le problème est assez long et propose des thématiques variées, autour de 
l'électrocinétique et de la physique des ondes. Ce sujet constitue une très 
bonne synthèse
sur ces chapitres et l'occasion d'un entraînement approfondi.

Indications
10 Écrire la loi des noeuds pour l'intensité i(t) traversant l'installation et 
utiliser la
notation complexe.
11 Un condensateur en parallèle de l'installation est une bonne solution, mais 
il faut
déterminer sa capacité en utilisant les complexes une fois encore.
15 Question très difficile : démontrer d'abord que la relation
I0 sin() + IC sin(M ) = 0
permet d'optimiser le rendement. Utiliser alors la géométrie pour conclure à 
partir
du dessin de l'énoncé.
18 La qualité du lissage dépend des ordres de grandeur respectifs des 
impédances de
la bobine et de la résistance.
22 Question difficile : il faut étudier tous les couples d'interrupteurs 
pouvant être
fermés simultanément et regarder ce que cela entraîne pour la tension u1 (t) et
l'intensité i(t).
24 On est censé trouver une allure de tension lissée : est-ce le cas ?
26 Deux composants particuliers permettent d'étudier les grandeurs demandées.
33 Cette question nécessite d'utiliser les relations des questions précédentes.
35 Le sujet comporte une coquille évidente, prendre les définitions des 
puissances du
début de l'énoncé.
38 Utiliser, une nouvelle fois, la notation complexe.
41 Traduire la fixation de la corde en zéro pour la somme des ondes incidente et
réfléchie.
42 Écrire le théorème de la puissance cinétique puis dériver les différents 
termes,
dont certains vont se simplifier grâce à l'équation de d'Alembert.
44 Il y a une erreur d'énoncé sur le signe de l'expression demandée.
48 L'onde est progressive s'il n'y a pas d'onde réfléchie. Cette situation 
conduit à
une condition faisant intervenir ZC et ZD .
49 Évaluer les grandeurs demandées grâce aux formules fournies aux différents 
points
d'intérêt et combiner les relations obtenues.

Problèmes liés à la distribution filaire de l'énergie
électrique
1 La situation pour laquelle l'intensité est la même en tout point de la ligne 
et à
tout instant correspond au fait que l'on néglige la propagation dans le fil. 
C'est donc
dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ou quasi
permanents) que cette condition est vérifiée. Ici, il faut que le temps de 
propagation le
long de la ligne soit négligeable devant le temps typique de variation des 
phénomènes
électriques. Autrement dit, que la longueur typique D parcourue par les 
courants soit
faible devant la longueur d'onde  = c/f ; ce qui se formule finalement en
D

c
f

La question 6 permet de quantifier cette relation.
2 La différence entre les deux tensions proposées correspond à la chute de 
tension
dans la ligne, plus précisément RiS (t), où R est la résistance de la ligne. On 
peut
donc considérer que les tensions sont égales dès lors que RiS 2  uS .
3 La perte en ligne est précisément due à la résistance de ligne, qui dissipe la
puissance sous forme de chaleur à travers l'effet Joule, et, de façon beaucoup 
plus
marginale, à des pertes par rayonnement.
4 L'intensité utilisée dans la formule proposée est l'intensité efficace du 
courant
parcourant la ligne.
Toutes les questions précédentes sont des questions de début de sujet et
auraient pu être réunies en une seule et même question.
5 Dans le cas d'un conducteur ohmique cylindrique de longueur d, de section S et
de résistivité , la résistance vaut R = d/S et conduit à une puissance Joule 
dissipée
PJ = d/SI2 . Par rapport à la forme proposée, le coefficient K s'identifie 
alors au
rapport /S, ainsi les pertes sont favorisées par l'utilisation d'un conducteur 
à grande
résistivité (c'est logique) et des fils de petites sections. C'est d'ailleurs 
pour cela que
les fils de câbles à hautes tensions sont souvent épais.
6 L'intensité est sinusoïdale à la condition que l'installation soit linéaire et
que celle-ci soit bien entendu alimentée par un réseau de fréquence f 
correspondant
à la fréquence désirée. En Europe, le réseau est alimenté en 50 Hz pour une 
tension
efficace de 230 V (soitenviron 320 V en tension maximale, c'est-à-dire la 
tension
efficace multipliée par 2).
La valeur de la tension efficace traditionnellement apprise est plutôt 220 V
et elle a sans doute été comptée comme correcte, mais elle a en réalité été
abrogée en 1986 ! Le réseau est passé progressivement de 220 à 230 V depuis.
On peut désormais exprimer quantitativement la condition de la question 1, si 
l'on
prend comme ordre de grandeur de la vitesse de propagation celle de la lumière,
D

c
f

soit numériquement

D  6 · 103 km

C'est une valeur acceptable entre des relais haute tension éloignés de quelques 
dizaines
de kilomètres, mais plus discutable pour des lignes très hautes tensions de 
plusieurs
centaines de kilomètres.

7 L'énoncé donne la définition du rendement et de la puissance perdue dans la 
ligne
=

P
P + PL

et

P L = K d I0 2

Par conséquent, il reste à calculer la puissance consommée par l'installation, 
soit
P = huD (t)iD (t)i = U0 I0 cos()
Finalement,

=

1
KdP
1+
U0 2 cos2 ()

8 Le seul autre facteur sur lequel on peut jouer pour augmenter le rendement 
est la
tension U0 , qu'il faut avoir la plus grande possible. Pour cela, on réalise en 
pratique
une élévation de tension grâce à un transformateur avant « le départ en ligne 
», ce
qui conduit à des lignes dites lignes à hautes tensions, puis l'on utilise un 
second
transformateur abaisseur afin de revenir à des tensions de l'ordre de 230 V.
Sur le réseau français, ces lignes sont de l'ordre de 400 kV pour le réseau THT
(Très Hautes Tensions) et 220 kV pour le réseau HT (Hautes Tensions).
9 La puissance consommée par le dispositif de compensation vaut
PC = huD (t)iC (t)i = U0 IC cos(C )

Celle-ci est donc nulle lorsque l'intensité et la tension sont en quadrature de 
phase.
La puissance moyenne PC est nulle pour C = +
-

.
2

10 La puissance nulle impose la valeur de C au signe près. Si l'on regarde 
l'expression du rendement établie à la question 7, le seul paramètre permettant 
de régler
ce dernier est la valeur de l'intensité efficace, qu'il faut tenter de 
minimiser. Or, une
fois le branchement effectué, l'installation est alimentée par un courant de la 
forme
de i(t) et le dispositif de compensation par iC (t), soit un courant de ligne 
total

iD (t) = i(t) + iC (t) = I0 2 cos(2f t + ) + IC 2 cos 2f t +
-
2
En notation complexe et avec les valeurs efficaces, on a
q
2
2
(I0 cos()) + (I0 sin() +
iD = I0 e j +
j
I
soit
I
=
- C
- IC )
D
L'énoncé précise que  est négatif mais plus grand que -/2, par conséquent le 
sinus
est négatif. Ainsi, pour maximiser le rendement et puisque cos( + /2) = - sin()
et cos( - /2) = + sin(), il faut choisir

IC = -I0 sin()
soit
iC (t) = +
- I0 2 sin() sin(2f t)
11 Pour réaliser la condition précédente, on peut envisager d'utiliser un 
condensateur de capacité C comme système de compensation. En effet, on aurait
C

duD (t)
= iC (t)
dt

Avec P = U0 I0 cos(),

C=-

jCU0 = -I0 sin()

I0 sin()
P tan()
=-
>0
2f U0
2f U0 2