X/ENS Physique PSI 2009

Thème de l'épreuve Réalisation de milieux continus à l'aide de composants discrets: application dans le domaine de l'électromagnétisme et de la thermodynamique
Principaux outils utilisés électrocinétique, thermodynamique, électromagnétisme, ondes
Mots clefs cable coaxial, milieu paradoxal, résistance thermique, machine frigorifique

Corrigé

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CX9613 Banque commune École Polytechnique ­ ENS de Cachan PSI Session 2009 __________ Épreuve de Physique __________ Durée : 4 heures __________ Aucun document n'est autorisé L'usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire n°99018 du 1er février 1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats. N.B : L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation tiendra compte du soin, de la clarté et de la rigueur de la rédaction. Le candidat est prié d'accorder une importance particulière aux applications numériques. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. __________ 1/9 ! " # $ % = & - = µ - µ = - ' ! "# $ & $ % ' ( ( *=* ) " + *=* . . $ ,) 0 . $ ,) 0 . $ ( - () ) & += & // / & / * $ ( - () ) - (= $ -3 . * & ) * $ " $ 0 1 & 1 ,2 ,2 + * ) " , $ & $ ( - () ) 3 )- 3 )) + , " , " & , " 3 )- = * $ ( - () ) - & = , µ 3 )- 4 " 0 ) 5 6 6 . & $ - , ) ) " ) 5 3 )- 3 ) + )- = ) 3 )- = ) 3) + )- ) ! & , 7 & - " 8 * = & && . . 5 & -µ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µ = - µ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 X/ENS Physique PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Chapot (Professeur agrégé) ; il a été relu par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Rémy Hervé (Professeur agrégé en école d'ingénieur). Ce sujet traite de la description de milieux continus à l'aide de composants discrets dans les domaines de l'électromagnétisme et de la thermodynamique. · La première partie est consacrée à l'étude des ondes électromagnétiques dans un câble coaxial puis à la représentation de ce dernier par une ligne à constantes réparties ou par des composants discrets. On s'intéresse dans un premier temps au cas où les pertes sont négligeables, puis au cas des ondes atténuées ou amplifiées et, enfin, aux « milieux paradoxaux » dans lesquels l'énergie des ondes électromagnétiques se propage dans le sens opposé de celui des ondes qui la transportent. · Dans la deuxième partie, on s'intéresse à une modélisation électrique de la diffusion thermique dans un milieu unidimensionnel. Dans le domaine des hautes fréquences, on assiste à un effet thermique particulier : le flux thermique peut s'effectuer des zones de basse température vers celles de température plus élevée, ce qui est en apparence contraire au second principe de la thermodynamique. · La dernière partie reprend le cas d'un transfert thermique « du froid vers le chaud » avec l'exemple d'une machine frigorifique. Elle s'achève par l'analyse des propriétés d'une ligne continue de micromachines frigorifiques, qui permet de réaliser des matériaux aux propriétés particulières. Ce sujet fait appel au programme d'électrocinétique et de thermodynamique des machines thermiques et exige de maîtriser les bilans sur les systèmes fermés ainsi que le calcul différentiel. Il comporte de nombreuses questions dont les réponses nécessitent une bonne culture scientifique et une réflexion hors des sentiers battus. L'énoncé annonce la plupart des réponses attendues mais recèle des ambiguïtés et des imprécisions qui rendent le cheminement difficile. Indications Partie I 2 Penser à exploiter les relations de passage pour le champ électromagnétique à travers la surface du conducteur interne. 3 L'intensité i(z, t) se détermine à partir du théorème d'Ampère appliqué sur un périmètre du conducteur intérieur. 4 Appliquer la loi des mailles et la loi des noeuds au circuit puis effectuer un développement limité à l'ordre 1 en dz. 5 Le flux d'énergie est dans la direction du vecteur de Poynting moyen de l'onde. 6 La densité linéique de la ligne se détermine à partir des expressions usuelles des énergies stockées par une inductance et un condensateur. 7 Établir l'équation de dispersion du milieu. Montrer qu'elle n'est équivalente à celle de la ligne à constantes réparties que si k a 1. 9 Écrire le vecteur d'onde k donné par la relation de dispersion sous la forme k = k + j k et faire le lien entre le signe de k et une éventuelle atténuation. 14 Le montage à AOIPL sert à inverser le sens du courant entre les bornes et (cf. question 10) ; toutes les impédances sont donc remplacées par leur opposée. Partie II 19 Effectuer un bilan thermique sur une tranche de conducteur comprise entre z et z + dz. 21 Considérer que la température doit évoluer sur une distance grande devant a. 22 Introduire l'inductance linéique thermique th grâce à la relation Lth = a th /, qu'il faut justifier. 24 Montrer que j th et T(z)/z peuvent être de même signe en régime sinusoïdal. Partie III 26 Les transferts thermiques à travers les deux résistances thermiques R0 ne sont possibles que si TC > TC et TF 6 TF , ce qui conduit à une inégalité sur T0 . 27 L'efficacité d'une machine thermique est le rapport de la grandeur utile et de la grandeur qui a un coût. 28 Travailler à puissance constante. Lorsque la taille de la machine diminue, comment évoluent les échanges thermiques ? 29 Appliquer la condition de réversibilité de la machine ditherme interne. Attention : les résultats annoncés par l'énoncé contiennent deux erreurs de signe dues à celles commises sur les expressions de R0 dans la figure de la question 25 : R0 = TC - TC TF - TF = PthC PthF 34 Remarquer que la micromachine étudiée est identique à celle de la question 21. 38 Utiliser les résultats des questions 33 et 35 pour établir une équation différentielle linéaire du premier ordre en T(z). L'intégrer en appliquant la méthode de la variation de la constante. I. Propagation des ondes électromagnétiques A. Propagation dans un câble coaxial sans pertes 1 Dans le vide, les densités volumiques de charge et de courant sont nulles en tout point M et à chaque instant t ; par conséquent, les équations de Maxwell s'écrivent - div E (M, t) = 0 Maxwell-Gauss - B (M, t) - - rot E (M, t) = - Maxwell-Faraday t - div B (M, t) = 0 Maxwell-flux - E (M, t) - - rot B (M, t) = 0 µ0 Maxwell-Ampère t Pour alléger l'écriture, on ne précise plus les variables M et t. En formant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday, on obtient : - - - - - B rot (rot E ) = - rot t En notant que les dérivées partielles par rapport aux variables spatiales et temporelle - - commutent et en remplaçant rot B grâce à l'équation de Maxwell-Ampère, il vient - 2 E - - - rot (rot E ) = -0 µ0 t2 Compte tenu des identités -- - - 1 - - - 0 µ0 = 2 et rot (rot A ) = grad (div A ) - A c - pour tout champ de vecteurs A , on obtient - -- - - 1 2 E grad (div E ) - E = - 2 c t2 - Comme div E = 0 d'après l'équation de Maxwell-Gauss, on aboutit à l'équation de propagation du champ électrique : - - 1 2 E E = 2 c t2 De même, le rotationnel de l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit - - 1 rot E - - - rot (rot B ) = 2 c t D'après l'équation de Maxwell-Faraday, on obtient - 1 2 B - - - rot (rot B ) = - 2 c t2 - et, comme précédemment, en notant que div B = 0 d'après l'équation de Maxwellflux, on arrive à l'équation de propagation du champ magnétique : - - 1 2 B (M, t) B (M, t) = 2 c t2 On recherche désormais des solutions particulières aux équations de propagation sous la forme d'ondes planes monochromatiques homogènes progressives de pulsa - (k > 0) : tion et de vecteur d'onde k = k - u z - - - - E = E0 e j (t-kz) et B = B0 e j (t-kz) - - où E0 et B0 sont constants et uniformes. On a alors - 2 E - - E = = (-jk)2 E 2 z Par conséquent, - - 2 E = (j)2 E 2 t - - 1 (-jk)2 E0 e j (t-kz) = 2 (j)2 E0 e j (t-kz) c Après simplification, il vient c'est-à-dire et k2 = 2 c2 k= c On choisit k > 0 car la valeur négative correspond à des ondes qui se . propagent dans le sens -- u z Cette relation, que l'on peut également obtenir à partir de l'équation de propagation du champ magnétique, correspond à un cas où il n'y a pas dispersion (la vitesse de phase v = /k = c ne dépend pas de ). 2 Dans les conducteurs intérieur et extérieur supposés parfaits, les champs électrique et magnétique sont nuls. Lors de la traversée des conducteurs, la composante tangentielle du champ électrique et la composante normale du champ magnétique sont continues, donc nulles ici, ce qui se traduit par - - - - =- =0 E u 0 et B ·u r r Ces deux conditions sont effectivement vérifiées par les champs proposés. Si les conducteurs ne sont pas parfaits ­ c'est-à-dire s'ils ont une conductivité finie ­ il se produit le phénomène d'effet de peau. Le champ électro magnétique pénètre dans les conducteurs sur une épaisseur = 1/ µ0 dans laquelle de l'énergie est dissipée par effet Joule. Dans la suite, l'énoncé demande de vérifier que chacun des deux - - champs E et B obéit au théorème de Gauss et à celui d'Ampère ; en fait, il faut seulement s'assurer que les champs électrique et magnétique obéissent respectivement à ces deux théorèmes.