X/ENS Physique PSI 2005

Thème de l'épreuve Imagerie radar par satellite
Principaux outils utilisés mécanique du point, gravitation, formule de Fraunhofer, interférences à deux ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SCIENCES PHYSIQUES DURÉE: 4 HEURES Aucun document n 'est autorisé. Pour les épreuves d'admissibilité, l'usage de calculatrices électroniques de poche & alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une seule à la fois étant admise sur la table ou le poste de travail, et aucun n 'échànge n 'est autorisé entre les candidats. IMAGERIE RADAR PAR SATELLITE On se propose d'étudier deux méthodes d'imagerie radar, l'une basée sur la difi'usion des ondes radar et l'autre sur la possibilité d interférences entre les ondes radar. L'antenne qui émet les ondes radar sert aussi de récepteur. Elle est placée soit sur un avion soit sur un satellite. Le problème est donc composé de quatre parties indépendantes : -- partie I : Etude de la trajectoire d'un satellite terrestre, -- partie Il : Etude de la diflusion des ondes radars, - partie Il] : L'imagerie radar : résolution spatiale et distorsion, - partie I V : L 'interférométrie radar. Le texte comporte un certain nombre de questions qualitatives auxquelles on s 'ejÏorcera de répondre avec concision : quelques lignes voire quelques mots suffisent en'général. Partie I : ETUDE DE LA TRAJECTOIRE D'UN SATELLITE TERRESTRE Effectuer plusieurs images d'une même zone à des instants différents nécessite une bonne maîtrise des trajectoires des satellites. On se propose d'étudier certains aspects du mouvement d'un satellite (S) de masse m par rapport au référentiel géocentrique (Ro) considéré comme galiléen. O désigne le centre dela Terre et Oxoyozo est un trièdre lié au référentiel géocentrique, Oxoyo est le plan de l'équateur terrestre et 020 a la direction pôle Sud --- pôle Nord (cf. Figure 1). Données : -- constante de la gravitation G = 6,67.10'11 m3s'2kg'l. - masse de la Terre : M7-- = 5,98.1024 kg. - ,u = GMT= 3,986.1014 m3s'2. - R = rayon terrestre = 6378 km. - 1 jour solaire = 86400 s. - 1 année = 365,24 jours solaires. Relations mathématigues : -- Soit (il,, üa,û',) le repère lié aux coordonnées sphériques : ÊgÎEËÏ(F)=ÊEÜ, +-l--Êîüo + _1 Êf--ü, ôr r 69 rsm9 ô(ô - Quelques dérivées particulières : . 2 3 . sm a . cos a smacosada=d cos%zsmada=d -- 2 3 sin3 (2 cos3 a sin'acosada=d 3 sin'ada=d --cosa+ 3 _1_,_1_ Cas élémentaire : la Terre est supposée sphérique La position du satellite assimilé à un point M est définie par ses coordonnées sphériques r, 9 et çôdans le repère (ü,,üg,üd) (voir Figure 1). 1.1.1 Dans le cas où la Terre est considérée comme sphérique, préciser à quelle condition supplémentaire on peut écrire que la force gravitationnelle qu'elle exerce se met sous la forme : -- m "? f=--# r u,. Les conditions initiales étant convenablement choisies, la trajectoire du satellite par rapport à (Ro) est une ellipse (E) située dans le plan (P) faisant un angle i non nul avec le plan de l'équateur et le coupant suivant la droite NN' appelée ligne des noeuds. La normale au plan (P) est OZ. Les noeuds N et N' sont les intersections de (E) avec le plan de l'équateur; au noeud ascendant N, le satellite passe du Sud au Nord ; au noeud descendant N', il passe du Nord au Sud. La ligne des noeuds N'N a la direction de OX et fait un angle w avec la direction Oxo. Dans le plan (P), M est repéré par les coordonnées polaires r et a dans le repère (ii,, üa ). FIGURE 1 | | | | l | l l l l | \ | | & On rappelle que r = OM est la distance entre le centre de la Terre et le satellite. 1.1.2 Soit L le moment cinétique en O du satellite. a- Que peut-on dire de L ? Dessiner la trajectoire orientée du satellite dans le plan (P) et situer le vecteur L . b- On note L la norme du moment cinétique et C = L/m. Comment nomme-t-on C usuellement ? Quelle est sa signification ? Pendant la durée dt, a varie de da. Exprimer dt en fonction de da, r et C. --. --. c- Exprimer L en fonction de L, i, w et des vecteurs unitaires Îè,jo ,k0 des axes fixes de (R0). 1.1.3 On rappelle que l'équation d'une ellipse en coordonnées polaires (r, a) de paramètre p, d'excentricité e (EUR > O) s'écrit r= p si l'origine des angles est prise au ( 1 + e cos a) périgée. On notera a le demi-grand axe de l'ellipse (E). a- Donner l'expression du vecteur accélération de M en fonction de r, a et de leurs dérivées temporelles. La simplifier en tenant compte de la question 1.1.2. 2 b- On pose u(a)=--l-, u"(a)=îî ; en déduire une nouvelle expression de r a l'accélération en fonction de C, u, u" et il, . En déduire la valeur du paramètre p de l'ellipse en fonction de C et ,u. c-- Le périgée P1 de (E) est tel que (OÎ,OË) : ao où OX est dirigé selon l'axe des noeuds dans le plan de l'équateur. Donner l'expression de r en fonction de p, e, a et ao. Tracer l'allure de l'ellipse en indiquant la position de la ligne des noeuds pour ao = n/4. d- En utilisant les propriétés connues de l'ellipse, donner l'expression de a en fonction de p et e. _1_._2_ Cas plus réaliste : influence des irrégularités de forme et de densité de la Terre Pour tenir compte des irrégularités de forme et de densité de la Terre, le potentiel . . . 1 R2 . . gravüatmnnel V s'écr1t V : --Lu--[l -- -2-J2 ---5--(3 sm2 À -- l)] où l représente la lat1tude c'est-à- r r dire/l =7t/2--6. Le terme J2 a pour valeur numérique .]2 = 1,0827.10'3 ; il rend compte de l'aplatissement de la Terre aux pôles (ou du bourrelet équatorial). On admettra que le terme correctif a un effet quasi nul pendant une durée égale à la période T du mouvement étudié en 1.1. Pendant cette durée, l'orbite du satellite reste donc plane et elliptique avec les propriétés établies en 1.1. L'effet du terme correctif se traduit alors par un lent mouvement du plan de l'orbite. On posera pour alléger les calculs B = 3m,uJ2R2 et on admettra la relation vectorielle : . .. . . . . . . . . 2 ? cosB sm6 u ,, = -(sm15mw sma cosa + sm1 c051 cos w sm a ) 10 + (sini cos 1// sina cosa - sini cosi sim/f sin2a ) lo 1.2.1 Soit f la nouvelle force gravitationnelle subie par le satellite. On pose - f : frür +f9û9 +f,ü, . Exprimer fe et f,, en fonction de B, r et 9. 1.2.2 a- Soit Ü? le moment en O de la force gravitationnelle Î . A l'aide du schéma de la Figure 2, montrer que les contributions au moment global M 0 des forces subies par le satellite sont de même sens lorsque celui--ci se situe soit en A soit en B. Pôle Nord 7 FIGURE 2 b- Exprimer XJ: en fonction de B, r, 9 et en utilisant la base des coordonnées sphériques (ii,, {ie, ii,, ). _ c-- Ecrire Mo sous la forme Mxio + M }, j0 +Mzk0 , les coordonnées Mx, My, Mz étant exprimées en fonction de B, r, i, guet a. 1.2.3 a- Soit (M,) -- 1 J;M,(oe(1))dr la valeur moyenne de M,, pendant la durée T. Montrer "ï 1 27r : E? 0 b- Calculer (M,); montrer que  sont indépendants de ao. En déduire que l'on a : (M,) r'M,(a)da que  --ËÇ£-sinicosisinw. 17 P Ba) c-- Exprimer ---- en fonction de L, J2, R, a), a et e. 2Cp 1.2.4 a- En utilisant l'expression vectorielle de [: obtenue au 1.1.2.c, calculer (%) puis (Ro) -- écrire, en posant <Î/ÏÇ> : (M, >Â, + ÎO + (Mz>k0 , la relation vectorielle £l_L_ =. '" (R.) b- Montrer que i est constant. c- Calculer d ({{/dt en fonction de a), R, a, J2, i et e. d 3 R 2 d- Quand l'orbite est circulaire, on trouve: ---'£I- : ----w(--;) J'2 cosi. Retrouver rapidement l'équivalent de la troisième loi de Kepler dans le cas du mouvement circulaire uniforme. La vitesse angulaire étant exprimée en degrés par jour on a donc: 7 % : ----k(--IË-)2 cosi . Exprimer k en fonction de R, J2 et ,u puis calculer sa valeur a numérique, le résultat devant être donné en degrés par jour. e- A l'aide du schéma de la Figure 2 et de la relation vectorielle (%] : <ÜÇ>, (&) pouvait-on prévoir les résultats obtenus aux questions l.2.4.a et 1.2.4.b, notamment le sens du mouvement de précession de la ligne des noeuds ? là Exemple du satellite héliosvnchrone Dans cette partie, on supposera, pour simplifier, que le plan de l'équateur est confondu avec le plan de l'écliptique ou plan de l'orbite du centre de la terre lors de son mouvement quasi-- circulaire autour du soleil. On fera référence au dessin ci-dessous pour toute cette question 1.3 y ,8 N FIGURE3 orbite terrestre --------> 5 = 22,5° 02 La terre ( . ) tourne autour du soleil dans le sens direct 1.3.1 On considère un satellite dont l'orbite est circulaire de rayon a = R+h avec h = 832 km. On souhaite que la vitesse angulaire de la ligne des noeuds N'N soit égale à la vitesse angulaire du centre de la Terre dans son mouvement autour du soleil. Calculer alors la valeur à donner à l'angle i pour ce satellite dit héliosynchrone. 1.3.2 Calculer, en minutes, la période T du satellite. 1.3.3 En un lieu donné de la Terre, il est midi (heure solaire) quand le demi-plan méridien de ce lieu contient le soleil. Quand le centre de la terre est en 01, la ligne des noeuds N'N fait un angle fi de 22°30' (ou 22,5°) avec la droite joignant le Soleil au centre de la Terre. On rappelle qu'il y a 24 fuseaux horaires sur la Terre. a- Représenter la ligne des noeuds quand le centre de la Terre se trouve en 02 puis 03 : on précisera l'angle de cette ligne avec les droites (Soleil, 02) et (Soleil, O3). b-- Soit N'; le point lié à la Terre survolé par le satellite lors de son passage en N' quand 0 est en 01. Quelle heure (solaire) est-il en N'1 lors du survol de ce point par le satellite '? Répondre aux mêmes questions quand la Terre est en 02 et en 03. c- Le satellite étant destiné à photographier la surface de la Terre, quel est l'intérêt de disposer d'un satellite héliosynchrone ? d- Quelle devrait être la période T' du satellite pour que le survol d'un lieu donné de l'équateur se produise tous les 11 jours '? On choisira pour T' la valeur la plus proche possible de T et légèrement inférieure. Donner les variations d'altitude et d'angle 1" correspondant à cette nouvelle valeur de la période. Commenter. Dans toute la suite du problème, on s'intéresse plutôt à des procédés d'imagerie radar reposant sur le principe suivant: une antenne émet des ondes électromagnétiques de fréquence f et de longueur d'onde /l de l'ordre de quelques centimètres, en direction de la surface de la Terre, qui absorbe l'onde et la réémet dans toutes les directions : on dit qu'il y a diffusion. L'onde diffusée, aussi appelée écho, est ensuite captée par l'antenne émettrice, jouant le rôle de récepteur. L'antenne est embarquée à bord d'un avion ou d'un satellite, ce qui permet de balayer la surface de la Terre. On admettra que les ondes électromagnétiques ont le même comportement que les ondes lumineuses mais, l'atmosphère et les nuages perturbant très peu les ondes radar, on prendra un indice n = 1. Partie II : ETUDE DE LA DIFFUSION DES ONDES RADAR Dans cette partie, on s'intéresse au processus de diffusion de l'onde réémise par le sol. On décrit l'onde incidente sur le sol par une onde plane de direction 17 : sin 9 üy -- cos 9 il, c'est-à-dire qu'on suppose que S est à l'infini dans la direction-- 13? (cf. Figure 4). On admet que chaque élément de surface da centré en un point M courant du sol diffuse en O une onde élémentaire sphérique dont l'amplitude complexe dgd(Q) est proportionnelle à do et à l'amplitude complexe _q,(M) de l'onde incidente au point M : exp(--flnMQ/À) da MQ et que les ondes élémentaires sont cohérentes entre elles. Le coefficient e(M) rend compte de l'efficacité de la diffusion en fonction du matériau. D'autre part, on suppose que Q est situé au voisinage de S et que M reste au voisinage d'un point P du sol , de telle sorte qu'on prend MQ % R % (Q) = e(M)g_.(M) où R = PS est une constante, au dénominateur de dgd(Q) . On suppose enfin que Q est à l'infini dans la direction ü' : ---siri t9' üy + cos 6" ii, . 2.1 2.2 2.3 FIGURE 4 N . A | | i | | : | | En s'appuyant sur une figure, exprimer l'écart de chemin optique (SMQ)-(SPQ) en fonction de 27 , û' et du vecteur Pî\?Ï. Quel est le principe utilisé permettant d'écrire 2 jn(ü'--ü).ëîxi /l l'intégrale porte sur la zone diffusante et où K est une constante complexe ? l'amplitude complexe sous la forme g_d(Q)=Kfle(M)exp( )d0' où Dans la suite de cette partie, on prend P comme origine du repère et on pose PM : xux + yuy . On envisage une portion de sol horizontal, carrée de côtés 17 selon les axes x et y et centrée en P, homogène de telle sorte que e(M) est une constante e. a- Etablir l'expression de l'éclairement diffusé Ed en Q en fonction de EUR, 9', À, b et de sa valeur maximale EM. Tracer l'allure du graphe de Ed en fonction de sin9'. Dans quelle direction 6 ' a-t-on un éclairement maximum '? Interpréter. b- En pratique l'antenne émettrice sert aussi de récepteur et récupère << en bloc» les ondes diffusées par une portion de sol carrée de côté 2) = 100m. Calculer le rapport EC,/EM de l'éclairement diffusé sur l'éclairement maximal pour fl = 3cm et 9 = 45°. Conclure sur l'efficacité de la diffusion par une zone homogène. On envisage dans cette question une portion de sol horizontal, carrée de côtés b selon les axes x et y, inhomogène, décrite par e(M)=a +fl cos(2ny/d) avec !) >> d et b >> X. a-- Montrer que l'onde diffusée est constituée de trois ondes se pr0pageant dans les directions 6'1, 6'2 et 9'g qu'on déterminera en fonction de À et 9. Comparer qualitativement avec le comportement d'un réseau plan par réflexion. b- Parmi les trois ondes évoquées en 2.3.a, laquelle est susceptible d'interpréter l'écho reçu par l'antenne émettrice ? A quelle condition sur d, À et 9 un tel écho peut--il effectivement être récupéré ? On constate une grande différence de luminosité entre un lac et les zones forestières environnantes : proposer une interprétation. c-- On constate qu'une inhomogénéité de la forme e(M)=e(x) dans la direction du mouvement de l'avion est sans effet sur la plus ou moins grande luminosité de l'écho. Interpréter sans calculs. Partie III : IMAGERIE RADAR : RESOLUTION SPATIALE ET DISTORSION On suppose l'antenne embarquée sur un avion se déplaçant à la vitesse i3 = vii, à une altitude H fixe par rapport au plan de référence 2 = O. L'antenne émet vers le sol dans une direction moyenne -- u située dans le plan yOz et faisant avec la verticale --üz un angle 9 (cf. Figure 5). On note R la distance entre l'antenne S et le point d'intersection P du « rayon lumineux » (S, 17) avec le plan de référence 2 = 0. Pour les applications numériques, on prendra (sauf indications contraires) 9 = 45°, Â = 3 cm, L=50cmetR=7km. 3.1 3.2 3.3 :: A t L :\ \ --r--------------- L'antenne peut être assimilée à une fente carrée de centre S et de côté L >> xl située dans un plan perpendiculaire à la direction 17. Par simple analogie avec la théorie de la diffraction, en déduire que l'essentiel de la lumière incidente forme sur le sol une tache rectangulaire de largeurs 2Ax selon 52, et 2Ay selon üy. Exprimer Ax et Ay en fonction de À, R, L et Het faire l'application numérique. On néglige le mouvement de l'antenne pendant la durée qui sépare l'émission de l'onde incidente par l'antenne S de la réception de l'écho correspondant par 8. On repère un point M du sol par PM =xüx + yüy +züz (of. Figure 5). Montrer qu'au prix d'une 2 X approximation qu'on explicitera, on a : SM % R + y sin 9 ---- z cos 9 + îR . En imagerie radar, on désire atteindre des résolutions spatiales de l'ordre de 20 mètres. Pour cela, l'onde émise par l'antenne est constituée d'impulsions régulières: l'onde sinusoïdale de fréquence f est émise pendant une durée r = 1075, puis l'antenne cesse d'émettre pendant une durée r'>> r nécessaire pour que tous les échos de la bande illuminée déterminée en 3.1 aient le temps d'arriver, avant de réémettre pendant une durée 1, etc. .. a-- A quelle condition sur y, c, ? et 9, les points P et Q (0, y, 0) sont--ils «vus >> séparément par l'imageur-radar '? En déduire la valeur numérique de la résolution ôy. Comment faudrait-il choisir 7 pour réduire davantage 5y ? Quelle serait l'influence de ce choix sur l'énergie récupérée par le détecteur ? b-- Evaluer numériquement le décalage temporel entre les échos diffusés par le point Q (Ax, O, 0) situé au bord de la tache illuminée par l'onde incidente (cf. question 3.1) et par le point P. Comparer ce décalage à r et en déduire sans nouveau calcul la valeur littérale et numérique de la résolution 5x dans la direction du mouvement de l'avion. c-- Quelle devrait être la longueur L' de l'antenne pour qu'on ait la même résolution spatiale selon ûx et üy ? Conclure sachant que l'antenne est embarquée sur un avion. d-- Montrer que pour une altitude H donnée, le choix de 9 est imposé par un compromis entre les résolutions cîx et ôy. En pratique, le procédé de synthèse d'ouverture, qui ne sera pas étudié dans ce problème, permet d'atteindre des résolutions âc = ô_'y = 20m en utilisant des signaux modulés en fréquence, même avec des radars embarqués sur satellite (R = 832 km par exemple). Dans la suite de cette partie, on supposera la résolution parfaite âx = @» = 0. 3.4 Le procédé d'imagerie utilisé consiste à affecter au point M de coordonnées (x, y, z) le point M' de l'image de coordonnées (x, y', 0). On constate expérimentalement qu'un tel procédé d'imagerie provoque des distorsions de forme lorsque le sol n'est pas plan. Par exemple en observant deux faces identiques d'une même montagne, on constate une modification entre la face située du côté de l'antenne et la face opposée. En s'inspirant de la Figure 6, construire sans calculs les points A', B', C' de l'image radar plane associés aux points A, B et C de la montagne et interpréter l'observation. FIGURE 6 Partie IV : INTERFEROMETRIE RADAR Dans cette partie, l'antenne est supposée ponctuelle et elle est embarquée sur un satellite. L'interférométrie radar consiste à superposer les amplitudes instantanées des ondes diffusées par un point du sol associées à une image radar prise à un instant tl par une antenne 81 et à une image radar prise à un instant tz par une antenne 82, en recalant dans les deux cas l'origine des temps au moment de l'émission de l'onde radar par l'antenne. Du fait des mouvements du sol, un point du sol bouge de M; à M2 entre les instants tl et tz. On suppose que 8182 << R, M 1M2 << R où R est la valeur de SIM] et 82M2 évaluée à l'ordre zéro (cf. Figure 7). + z FIGURE 7 > :: 'f°""" +! + ..Ü \< 4.1 Montrer que la différence de marche géométrique des échos reçus en S; et 82 s'écrit : 5 : 281M1.M1M2 __ 25.M1.SÎÊÇ _ R R 4.2 Donner sans justification l'expression de l'éclairement E(ô) résultant de la superposition des deux ondes en fonction de leurs éclairements respectifs E 1 et E2, ainsi que de 5 et À. Tracer l'allure du graphe de E(â). Justifier sans calculs que le facteur de contraste des franges d'interférences est très proche de 1 : dans la suite on le prendra égal à 1. 4.3 On s'intéresse tout d'abord à une zone calme, où le sol reste fixe entre les deux images radar. On pose 8,82 : aüy + düz , S,P : H tan9 ü}, --- H 172 et PM1 = xüx + yüy + züz . a-- Exprimer ôen fonction de a, d, y, R, 2 et 9. b-- Quelle est la forme des franges pour un sol plan '? Calculer l'interfrange pour a = 250 m, R = 832 km et 2. = 3 cm. Les franges sont-elles visibles sachant qu'un pixel sur l'image numérique correspond à un carré de côté 20 m ? c-- La Figure 8a donne un interférogramme << brut >>. Indiquer ce qui dans cet interférogramme est probablement dû à la contribution de sol plan et ce qui est dû à la topographie, c'est--à--dire aux variations de la cote z(x, y) du sol par rapport à un niveau de référence 2 = 0. d- Après élimination par le calcul de la contribution de sol plan on obtient l'interférogramme de topographie de la Figure 8b. En utilisant le résultat de la question 4.3.a, décrire qualitativement la topographie du lieu et évaluer un ordre de grandeur de la dénivellation maximale sachant que d = 100 m, Â = 3 cm et R = 832 km. Quel lien existe-t--il entre l'interfrange et la pente du terrain ? Justifier votre réponse. 4.4 Lorsque le sol est susceptible de bouger, il importe de séparer dans l'interférogramme d'une part les contributions de sol plan et de topographie et d'autre part la contribution du mouvement du sol. La méthode consiste à utiliser plusieurs interférogrammes pris ___ avec des bases S.S2 différentes. Par exemple les Figures % et % décrivent une zone donnée avec d = 223 m et d = 130 m ; les Figures lOa et 10b décrivent une autre zone avec d= 54 m et d= 133m. a- On remarque que sur les Figures 9 le nombre de franges n'évolue pas lorsqu'on fait varier d, alors que sur les Figures 10 ce nombre évolue. Dans lequel des deux cas peut--on conclure que les franges sont dues à un mouvement du sol ? b- Après élimination par le calcul de la contribution de sol plan et de la contribution de topographie, l'interférogramme de la Figure 11a & été obtenu lors de l'étude d'un tremblement de terre. Montrer que seuls les déplacements le long de la ligne de visée sont perçus. Evaluer l'ordre de grandeur de l'écart maximum entre les glissements de terrain des différents points de la figure. En quoi l'interférogramme obtenu après traitement se rattache--t--il aux franges d'égale épaisseur ? A titre indicatif, on donne sur la Figure llb l'interférogramme obtenu par le calcul après modélisation du tremblement de terre ; la parfaite coïncidence des Figures lla et 1 lb prouve à la fois l'efficacité de la détection interférométrique du séisme et de sa simulation. FIGURES 83 à 11h a: wm:©OE m: mOEDOEOE noe OEOEDOEOE noe MOEDOEOE .Çé;.....: $$$--... ...x;&....5 ...? ...:...3ZÏZ....Ï .MËÜ4YJ. " . w & ...,vv.uw oe...æ ... W . < a... 4. mm MOEDOE moe MOEDOOE 7Ï: ." _ /. «..--... :. "; .....îï... ...:. .....-- .:.;-- ... .:.æ ,...

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X/ENS Physique PSI 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Ce sujet, consacré à l'imagerie radar, est divisé en quatre parties indépendantes : · la première partie est la plus longue mais aussi la plus facile : on s'intéresse aux paramètres orbitaux d'un satellite terrestre héliosynchrone destiné à l'observation de la surface de la Terre ; · une deuxième partie, proche du cours sur la diffraction, est consacrée à l'étude de la diffusion des ondes radar réémises par le sol ; · la troisième partie s'attache aux limitations de l'imagerie radar : la notion de résolution spatiale et le phénomène de distorsion y sont introduits et étudiés ; · enfin, la quatrième et dernière partie envisage une méthode d'imagerie interférométrique où, après avoir paramétré le problème, on propose l'analyse qualitative et quantitative de clichés interférométriques. Les concepts physiques mis en jeu dans cette épreuve se partagent entre la mécanique du point gravitationnelle pour la première partie et l'optique physique pour les trois dernières. Cela constitue deux sous-problèmes de longueurs comparables. Il est par ailleurs important de signaler que l'énoncé est très directif pour un concours de ce niveau et comporte de nombreuses questions accessibles et susceptibles d'occuper n'importe quel candidat durant quatre heures. La sélection sur une telle épreuve se fait donc surtout sur l'efficacité et la capacité à comprendre et mener rapidement les raisonnements demandés par l'énoncé. Indications Première partie 1.1.2.a Appliquer le théorème du moment cinétique. 1.1.2.b Montrer que l'aire balayée par la trajectoire entre t et t + dt est r2 d/2. 1.1.3.d Évaluer la distance r au périgée et à l'apogée. -- 1.2.1 Le champ de gravitation est - g = - grad V. 0 1.2.2.a La force de gravitation est déviée en direction du bourrelet équatorial. 1.2.4.d Exprimer l'accélération centripète en fonction du rayon a et de la période T. - - 1.2.4.e Donner la direction et le sens de la variation dL du moment L qui, on le rappelle, est normal au plan de la trajectoire. 1.3.3.a Que dire de l'angle au cours de la trajectoire du satellite héliosynchrone ? Deuxième partie 2.1 Utiliser la notion de plan d'onde pour simplifier la différence de marche entre les rayons passant par P et M. 2.2.b Que doit valoir pour que l'écho soit reçu ? 2.3.a Réécrire e(M) sachant que cos = [exp(j) - exp(-j)]/2 afin de réutiliser par analogie le calcul de la question 2.2.a. 2.3.c Dans quelle direction la diffraction se fait-elle ? Troisième partie . 3.1 Projeter la largeur de diffraction en P selon les directions - ux et - u y - - -- 3.2 Utiliser SM = SP + PM. 3.3.a Quel intervalle de temps t sépare les échos venant de P et Q ? À quoi le comparer ? 3.3.d Avec H = R cos , comment évolue x et y quand augmente ? 3.4 Positionner le point B du sol conduisant au même intervalle de temps t. Quatrième partie --- -- --- ---- 4.1 Utiliser S2 M2 = -S1 S2 + S1 M1 + M1 M2 pour calculer S2 M2 en supprimant les termes d'ordre 2. 4.3.d Quelle variation d'altitude z modifie la différence de marche de ? ---- - - 4.4.a Écrire M1 M2 = x - u x +y uy +z uz et supprimer les termes d'ordre 2 dans . Où le paramètre d intervient-il dans ? 4.4.b Évaluer par projection le déplacement u entre M1 et M2 dans la direction de visée puis retrouver ce terme dans la différence de marche . En déduire la variation (u) qui fait évoluer la différence de marche de . I. Étude de la trajectoire d'un satellite terrestre - 1.1.1 L'expression de f montre que le champ de gravitation - g0 est à symétrie sphérique. La répartition de la masse terrestre doit donc être elle aussi à symétrie sphérique. En effet, si la masse volumique µ(M) au sein de la Terre est indépendante , - - - des angles et et ne dépend que du rayon r, alors les plans (M, - u r u ) et (M, ur , u ) sont des plans de symétrie. Le champ de gravitation en M, invariant selon les angles et et appartenant aux plans de symétrie, s'écrit donc - g (M) = g (r) - u 0 0 r Le théorème de Gauss appliqué à la surface fermée sphérique de centre O et de rayon r > R enfermant toute la masse MT de la Terre conduit à ZZ - - g0 · dS = -4GMT soit 4r2 g0 (r) = -4GMT GMT - g0 (M) = - 2 - ur r - et avec µ = GMT , la force gravitationnelle f (M) s'écrit bien sous la forme recherchée Il vient - µm f (M) = m - g0 (M) = - 2 - ur r 1.1.2.a Le moment en O de la force gravitationnelle subie par le satellite est -- -- - - µm - =- 0 M0 = OM f (M) = r - u u r r r2 Le théorème du moment cinétique appliqué au satellite, par rapport au point O fixe dans le référentiel géocentrique galiléen (R0 ), s'écrit donc - - dL - = M0 = 0 dt - Le moment cinétique L est donc constant. - -- Avec L = OM m- v (M) perpendiculaire aux - vecteurs position et vitesse, ce moment cinétique L = L- u Z Y Nord est nécessairement orthogonal au plan (P) = OXY de la trajectoire et porté par la normale OZ. Au noeud N, le satellite passe du Sud au Nord, ce qui permet d'orienter la trajectoire et de fixer le sens du moment cinétique selon les Z croissants. Enfin, le centre O de la Terre correspond à l'un des foyers de la trajectoire. On en déduit l'allure ci-contre. N O N X Sud L'angle i est l'inclinaison de la trajectoire, il est compris entre 0 et . L'angle est appelé ascension droite, elle est comprise entre 0 et 2. Sur le domaine de définition de i, l'axe OY du trièdre direct est donc bien toujours orienté dans le sens Sud-Nord. 1.1.2.b La constante C = L/m correspond à la constante des aires. Entre t et t + dt, le satellite passe de M à M . L'aire dS balayée pendant dt est, à l'ordre 1, la surface du triangle OMM : 1 1 dS = (r + dr) r d = r2 d 2 2 En divisant par dt, il vient dS 1 d = r2 dt 2 dt trajectoire M r + dr d M r O En utilisant les coordonnées polaires (r, ) dans le plan de la trajectoire, on trouve d dr - - + r d - v (M) = (r - ur ) = u u r dt dt dt -- - mr d - 2 d - donc L = OM m- v (M) = r - u u u r = mr Z dt dt L d = r2 et C= m dt La constante des aires divisée par 2 représente donc l'aire balayée par unité de temps. C'est la vitesse aréolaire. On peut enfin déduire du calcul précédent que dt = r2 d C - 1.1.2.c On a montré que L est orienté selon +- u Z. Par ailleurs, ( - - - u Z = sin i u + cos i k0 - u = sin - i - cos - 0 z0 Z i 0 où - u est le projeté de - u Z sur le plan équatorial Ox0 y0 . Il vient donc h i - - L = L sin i sin - i0 - sin i cos - 0 + cos i k0 - u O - 2 x0 y0 X 1.1.3.a Le vecteur accélération s'exprime en coordonnées polaires par 2 2 2 d- v d r d - + 2 dr d + r d - = - r u u r dt dt2 dt dt dt dt2 dr d d2 1 d 2 d 1 dC Or 2 +r 2 = r = =0 dt dt dt r dt dt r dt De plus, d/dt = C/r2 d'après la question 1.1.2.b, on obtient alors en éliminant d/dt de la composante selon - u r 2 d- v d r C2 - = - 3 u r dt dt2 r , le principe fondaLa force gravitationnelle subie par M étant portée par - u r mental de la dynamique impose à l'accélération du point M dans le référentiel galiléen (R0 ) d'être radiale. C'est ce que l'on vérifie à la question 1.1.3.a.