X/ENS Physique PSI 2004

Thème de l'épreuve Machines frigorifiques
Principaux outils utilisés thermodynamique, acoustique
Mots clefs congélateur, propagation du son, thermo-acoustique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SCIENCES PHYSIQUES DURÉE: 4 HEURES Aucun document n 'est autorisé. Pour les épreuves d 'admissibilité, l'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une seule à la fois étant admise sur la table ou le poste de travail, et aucun n 'e'change n 'est autorisé entre les candidats. Dans ce problème, on s'intéresse à deux méthodes pour refroidir, l'une classique et l'autre, plus originale utilise des ondes sonores. . La première partie étudie un congélateur usuel. . La deuxième partie traite des ondes sonores dans un fluide parfait puis dans un fluide diffusif de Fourier. . La troisième partie rend compte du refroidissement dans un réfrigérateur thermo acoustique. Remarque : les trois parties sont largement indépendantes. 1) Etude d'un congélateur Le but de cette partie est d'étudier un congélateur. Sur la fiche technique (accessible sur les sites Internet des constructeurs) on peut relever les données suivantes pour un modèle standard : Volume utile : 230 EUR HXLXP : 130x60x60(encm) Consommation électrique : 0,70 kWh par jour A) Evaluation simple de l'efficacité 1°) On suppose le congélateur parallélépipédique, l'épaisseur des parois notée e est supposée uniforme. A l'aide des données, évaluer e. Pour simplifier, on pourra supposer e petit devant H, L ou P. En régime permanent, la machine frigorifique du congélateur maintient une température intérieure 05 = -18 °C pour une température extérieure 0e = 20 °C. On suppose la conduction thermique comme unique responsable des fuites thermiques à travers les parois du congélateur de conductivité X = 0,04 SI. 2°) Donner l'unité de À. Est-ce un bon isolant '? On citera des ordres de grandeur connus de À à titre de comparaison. 3°) Evaluer la puissance thermique de ces fuites. 4°) A l'aide des données, calculer la puissance moyenne électrique consommée par le congélateur. 5°) On suppose que le compresseur convertit l'intégralité de l'énergie électrique en travail mécanique reçu par le fluide. Evaluer l'efficacité de ce congélateur. B) Modélisation du cycle de fonctionnement de la machine frigorifique On modélise notre congélateur par une machine frigorifique contenant un fluide frigorigène tetrafluoroéthane R134a dont le diagramme Pression--Enthalpie massique (P -- h) est joint. Le mélange liquide--vapeur est situé dans la zone centrale sous la courbe de saturation. Sur ce diagramme apparaissent les courbes isothermes et isentr0piques. Cette machine ditherme qui fonctionne en régime permanent échange de la chaleur avec une source chaude à 20°C (atmosphère extérieure) et une source froide à -18°C (intérieur du congélateur). On note T la température absolue et 6 la température Celsius. Le schéma général de fonctionnement avec sens de circulation du fluide est défini ci--après : Echangeur condenseur Compresseur à moteur électrique 1 | Sens Echangeur de évaporateur circulation Le cycle décrit par le fluide présente les caractéristiques suivantes (4 transformations successives) : - la compression de 1 à 2 est adiabatique et réversible, - le passage dans les deux échangeurs (condenseur et évaporateur) est isobare (de 2 à 3 et de4 à1), - la vanne est considérée comme un tuyau indéformable et ne permettant pas les échanges de chaleur. Dans tout le problème, on supposera que l'état du fluide n'est pas modifié dans les tuyauteries de liaison entre 2 éléments consécutifs et on négligera les variations d'énergie cinétique. _ 6°) Pour l'une des transformations du cycle et pour une masse unité de fluide, on pose : w : travail massique total échangé avec l'extérieur, q : chaleur massique échangée avec l'extérieur, h : enthalpie massique. Montrer que le premier principe de la thermodynamique peut s'écrire : Ah = w' +q Donner l'expression de w' en fonction de w et des variables pression P et volume massique u. 7°) La masse unité, choisie comme système thermodynamique, subit l'une des transformations du cycle de P1, u1 à P;, et u2, les indices ] et 2 se rapportant aux conditions d'entrée et de sortie de l'étape. Exprimer la différence w'1z --_ W" en fonction des pressions et volumes massiques. En faisant un bilan d'énergie interne, en régime permanent, en supposant l'écoulement lent, donner la signification physique de w'1_,2 ? : Retrouver la caractéristique d'une détente de Joule Kelvin. 8°) Lorsque la masse unité de fluide décrit un cycle, quelle est la relation entre w'cyc|e et chcle ? 9°) Montrer que la détente est isenthalpique dans la vanne de 3 à 4. 10°) Quelle propriété remarquable lie les isothermes et les isobares dans la zone mélange liquide--vapeur. 11°) On donne les indications suivantes : - La température du fluide lors de l'évaporation dans l'évaporateur est -- 30°C. - La pression de fin de compression en 2 est 8 bars. -- Le point 3 est du liquide saturé. - La quantité de chaleur échangée dans l'évaporateur avec l'intérieur permet une évaporation complète du fluide venant de 4 et conduit la vapeur de façon isobare jusqu'à 1, état saturé. Placer les 4 points du cycle 1, 2, 3, 4 sur le diagramme joint, y représenter le cycle (diagramme à rendre avec la copie) et déterminer, par lecture et interpolation linéaire sur ce même diagramme, les valeurs de P, 6, h, s en ces différents points. Regrouper les résultats dans un tableau. 12°) Si le compresseur était adiabatique mais non réversible, comment se situerait sa température de sortie sous la même pression P2 par rapport à la température 92 ? 13°) Comment peut--on trouver, de deux façons différentes, sur le diagramme la valeur de la chaleur latente massique £ de vaporisation du fluide à une température T donnée ? Application numérique : Pour une pression de 3 bars, quelles sont les valeurs de £, et de 9 ? 14°) Peut--on trouver la valeur de EUR au point critique représenté sur le diagramme ? Quelle est la nature de la transition de phase au point critique ? 15°) Si au lieu d'évaporer toute la masse de fluide on ne fait changer d'état qu'une fraction massique x donnée, comment peut-on trouver géométriquement le point correspondant au mélange liquide vapeur ainsi obtenu et réciproquement ? x s'appelle le titre massique en vapeur. 16°) Calculer le titre x en vapeur aux points 3, 4 et 1. Peut--on définir un titre y en liquide '? 17°) En utilisant le tableau de résultats, calculer les quantités de chaleur massique qc et qf échangées par le fluide avec l'extérieur (qC est échangée de 2 à 3 et qf de 4 à 1). 18°) Calculer de même le travail absorbé lors de la compression de 1 à 2 : w'1_,2 qf ! W l-->2 ?La 19°) Pourquoi définit-on l'efficacité de la machine frigorifique étudiée par 77 : calculer numériquement. 20°) Comparer les efflcacités des parties I.A et LE (relever les défauts des différents modèles utilisés et les erreurs qu'ils peuvent induire). Il Propagation du son A ) Modèle classique 21°) Qu'est ce qu'un fluide parfait ? 22°) Pour caractériser l'onde acoustique on écrit les champs de pression, masse volumique, vitesse et température sous la forme suivante : P(M, t) = PO + p(M, t) p(M, t) = Ho + MM 0 Vitesse : 17 (M , t) Température : T0 + T(M, t) où l'indice "zéro" correspond aux valeurs des champs sans ondes au repos. Qu'entend-t-on par "approximation acoustique" ? 23°) Rappeler brièvement les hypothèses du modèle classique de la propagation d'une onde sonore dans un fluide parfait, dans le cadre de l'approximation acoustique. 24°) Établir l'équation d'onde vérifiée par la surpression p. 25°) Exprimer la célérité es du son dans un gaz parfait en fonction de sa température, de y = cp/cV supposé constant et de sa masse molaire M. 26°) On donne R = 8,31 J.K'lmol'l. Pour de l'air on prend 7 =-- 1,4 et M = 29 g/mol. Justifier brièvement ces deux dernières valeurs. Proposer une application numérique pour la célérité adiabatique d'une onde sonore dans l'air à _ température ambiante. 27°) Expliquer le principe de l'évaluation de la distance entre le lieu (où on est) et un orage. Donner la règle mnémotechnique "populaire" pour l'évaluer numériquement. 28°) Supposons maintenant que la propagation de l'onde est isotherme. Reprendre les questions 24, 25 et 26. 29°) La valeur numérique de c, mesurée expérimentalement, valide--t-elle le modèle adiabatique ou isotherme ? B Son et diffusion thermi ue On se propose de prendre en compte la diffusion thermique lors de la propagation d'une onde sonore. Les ondes considérées seront unidimensionnelles, les grandeurs physiques ne dépendront que de x et de t. Le milieu envisagé est un gaz parfait, de masse molaire M, de capacité thermique massique à volume constant cv, de conductivité thermique 7t. Maintenant, dans un cadre plus général, on envisage la diffusion thermique lors du passage de l'onde sonore. Il s'agit de déterminer les quatre équations liant les quatre variables : p, u, {i et T. 30°) Effectuer un bilan énergétique sur le fluide compris entre x et x + dx. Montrer, dans le cadre de l'approximation acoustique, que : ôT 62T ôv --=1 --P --, % v ôt ôx2 0ôx 31°) On s'intéresse à une onde sinusoïdale. Les équations ayant été linéarisées, on utilisera la notation complexe : à chaque grandeur physique 2_((x, t) correspond le complexe .X : àä(x,t) = X. EUR""""'"'- En écrivant, dans l'espace complexe les différentes équations linéarisées du problème, montrer que la relation de dispersion pour une telle onde, liant a) et k (à priori complexe), se met sous la forme : 2 - 3 À.k'* +k{jw(uocv +?)...%}...{...} :O. 0 32°) Commenter la relation de dispersion obtenue ci--dessus. Comment qualifier le milieu étudié vis-à--vis de la propagation des ondes sonores ? 33°) Comment déterminez--vous la célérité d'une onde et pourquoi ? (calcul non demandé) 34°) Retrouver la célérité pour les deux modèles présentés dans la partie II.A. 35°) Interpréter qualitativement le phénomène d'atténuation de l'onde sonore qui contrairement aux cas des modèles isotherme et isentropique apparaît ici, en analysant, lors des étapes successives de l'évolution du fluide, les différents échanges qui l'expliquent. Il!) Réfrigérateur thermo acoustigue L'utilisation d'un système réfrigérant classique peut, dans certaines conditions, poser des problèmes à cause de la présence de pièces mécaniques en mouvement dans le compresseur. Pour refroidir les composants électroniques et pour conserver les échantillons de sang des astronautes faisant des expériences biomédicales dans la navette spatiale, des réfrigérateurs thermo acoustiques furent mis au point dans les années 1990 par la NASA. A) La cavité résonnante Une cavité parallélépipédique aux parois rigides est fermée à une extrémité et comporte un haut--parleur à l'autre extrémité. On note L = 50 cm la longueur de cette cavité, a = 10 cm sa largeur, et b = 10 cm sa profondeur. Elle est remplie d'un gaz de masse molaire M = 2.10"3 kg/mol à la température To = 300 K et à la pression P0 = 1 bar au repos. On notera y = 1,4 le rapport entre les capacités calorifiques du gaz contenu dans la cavité. La construction de l'ensemble impose une pression P(L, t) = Po constante au niveau du haut parleur. On se placera dans le cas classique pour la propagation de l'onde sonore, cas étudié au II)A) d'un écoulement adiabatique réversible. Haut-parleur 36°) Donner les conditions aux limites et déterminer les modes propres de la cavité. On donnera la relation entre L et X,, longueur d'onde du mode considéré. 37°) Le haut parleur émet un son sinusoïdal dont la fréquence correspond à des modes propres de la cavité. Parmi les modes propres, on choisit définitivement la fréquence correspondant à la plus grande longueur d'onde (X = 4L) et on note pm l'amplitude maximum de la pression acoustique dans la cavité. Donner l'expression de la période t en fonction de M, To, 7, la constante des gaz parfaits R et L. Faire l'application numérique. 38°) Déterminer la pression acoustique p(x, t) et la vitesse v(x, t) du gaz dans la cavité. 39°) Déterminer le déplacement & et la température T du gaz dans la cavité en fonction du temps. On donnera l'expression de v..., &... et T... en fonction de p... et des données du problème. B) Réfrigérateur métal d On place, au milieu de la cavité un système métallique composé de lamelles parallèles. Ce système est de longueur EUR! << L et on supposera qu'il ne modifie pas l'écoulement. On a représenté ci-dessus deux lamelles du dispositif encadrant une lame de gaz de largeur al. Les lamelles métalliques sont d'épaisseur 32 telles que al >> az. Le système de lamelles est relié, par ses extrémités à une source froide de température TF et une source chaude de température Tc. On impose dans le métal une température indépendante du temps de la forme TM(x') = Tc + (TF -- Tc)%, x' étant l'abscisse choisie à partir du commencement des lamelles O' (00' = L/2). On supposera, de plus, que : Tc --TF _ Tc "TF __ <<]. TC+TF 2T0 On modélise le mouvement du gaz selon le cycle suivant : tant que le gaz est en mouvement il subit une transformation adiabatique réversible. Dès qu'il est immobile, l'équilibre thermique avec le métal se produit de manière isoehore. La largeur a1 est choisie de manière à pouvoir considérer la température du gaz dépendant seulement du temps et de la variable spatiale x'. Les transferts thermiques dans le gaz sont négligés dans la direction x'. 40°) Une tranche de gaz d'épaisseur dx', placée entre deux lamelles métalliques, d'abscisse xo' au repos telle que 0 s x0' 5 d est choisie comme système. L'origine des temps est telle que la tranche de gaz soit immobile à t = 0. Montrer qu'en première approximation le déplacement du gaz peut se mettre sous la forme Î;(xd, t) = -&...'cos(oet) En déduire que la température s'écrit alors T(xo', t) = T...'cos(oet) où T...' =a T.... Calculer @. 41°) Calculs des transferts thermiques. a) On appelle ôqF le transfert thermique reçu par le fluide lors de son contact avec le point le plus froid. Quel doit être le signe de ôqF pour que le dispositif fonctionne en machine frigorifique ? b) A t = 0, lorsque l'équilibre thermique est atteint, déterminer la température T1 du fluide en fonction de x0' et Ç...'. L'état du fluide est alors nommé état (1). 0) Lors du transfert adiabatique réversible du fluide à partir de l'état (1), la variation de température est celle associée à l'onde acoustique. Déterminer la température T; à l'instant d'arrivée du fluide au point le plus froid tel que oet = TE. (état (2)) (1) Avant de repartir le fluide passe àla température T3 (état (3)). Déterminer T3 en fonction de XO. et Çn1'. e) Déterminer la température de l'état (4) àla fin de la dernière transformation adiabatique. f) Représenter le cycle effectué par le fluide dans les axes de Clapeyron et calculer ôqF (respectivement ôqc) en fonction de T...', Ç...' et des données du problème. g) Montrer que le système ne fonctionne en réfrigérateur que si la différence Tc --TF reste inférieure à une valeur que l'on exprimera en fonction de (1, To, 7 et L. 42°) Calculer la puissance thermique développée par le réfrigérateur. On réalisera l'application numérique avec d = 10 cm, une amplitude pour la pression acoustique de pm = 1000 Pa et Tc-- Tp= 20°C. 43°) Dans quelle condition faudrait-il se placer pour obtenir une efficacité maximale. Quel serait cette efficacité ? Que peut--on dire de la puissance thermique développée par le système dans ces conditions ? C) Justification des dimensions du système 44°) Les lamelles métalliques ne sont plus placées au milieu de la cavité, mais à une abscisse L1. Déterminer, en utilisant les calculs effectués précédemment la puissance thermique développée par le système. Déterminer la position optimale L1 des lamelles métalliques avec d < 

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 X/ENS Physique PSI 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par Aurélien Fraisse (Université de Princeton) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Ce sujet est axé sur les machines frigorifiques. Il se décompose en trois parties, chacune divisée en deux sous-parties. Les sous-parties A sont beaucoup plus simples que les sous-parties B correspondantes. · La première partie se propose d'étudier un congélateur domestique « usuel ». Elle commence par une estimation phénoménologique simple de l'efficacité, puis elle enchaîne sur une modélisation thermodynamique assez réaliste. L'ensemble est classique mais peut dérouter car les questions guident très peu le candidat. · La deuxième s'intéresse plus particulièrement aux ondes sonores. La première sous-partie est simplement une question de cours sur les ondes sonores, tandis que la suivante, beaucoup plus calculatoire, s'intéresse aux phénomènes diffusifs au cours de la propagation. On y trouve des questions quantitatives, ainsi que des raisonnements qualitatifs typiques de ce concours. · La troisième partie fait le lien entre les deux premières, en présentant les principes d'un réfrigérateur thermo-acoustique. Elle commence par des caractérisations classiques d'ondes sonores stationnaires et enchaîne sur une étude complexe du fonctionnement d'un tel réfrigérateur. C'est la partie la plus délicate car elle comporte des questions à la fois complexes et calculatoires. Bien que relativement peu nombreuses, les applications numériques jouent ici un rôle important ­ un certain nombre de questions en dépendent. Ce sujet est intéressant et formateur, car il permet de réviser la thermodynamique et les ondes sonores, en testant sa compréhension sur des exercices un peu plus ardus. Par ailleurs, on y trouve beaucoup de questions ayant trait à la diffusion thermique. Au final, ce sujet long et difficile est typique de cette épreuve commune de l'École Polytechnique et de l'ENS Cachan. Indications Partie I 2 On rappelle qu'un bon isolant a une conductivité de l'ordre de 10-2 S.I. On peut par ailleurs avoir une idée de la conductivité d'un bon conducteur à la question 45. 6 Appliquer le premier principe à un système fermé. On pourra introduire le débit volumique D et l'énergie interne massique e pour simplifier les étapes intermédiaires. 11 Déterminer la température de l'état 1, puis trouver de proche en proche les autres états. Partie II 24 Utiliser l'équation d'Euler, la conservation de la masse et une relation entre la pression et la masse volumique. Introduire S et linéariser. 30 Utiliser la loi de Fourier pour obtenir la chaleur échangée. Quelle est l'expression de U pour un gaz parfait ? 31 Reprendre la démarche de la question 24 ; l'équation « thermodynamique » à utiliser est maintenant celle du gaz parfait. Faire attention au fait que le déterminant d'une matrice ne s'exprime simplement que dans le cas de matrices 2 × 2 ou 3 × 3. 34 Que signifient « isotherme » et « adiabatique » en termes de ? 35 Considérer pour plus de simplicité une onde stationnaire ; à l'image de la question 40, considérer que tant que le fluide est en mouvement, les compressions sont adiabatiques, et que les transferts thermiques s'effectuent de manière isochore quand le fluide est au repos. Partie III 36 Prendre v de la forme v (x, t) = v m sin (kn x) sin (t). 37 Utiliser les résultats de la question 25. 40 Ne pas tenir compte du « en déduire » : T m se calcule de la même manière que m . Attention, m et T m ne dépendent pas de x 0 . 41.b Il y a une erreur d'énoncé ; il faut bien sûr lire m et non m . 41.e Utiliser les même suppositions qu'à la question 41.c. 42 Faire attention au fait qu'une grande partie des transferts thermiques se compensent. Utiliser les questions 25, 37, 39 et 40 pour exprimer les résultats en fonction des données de l'énoncé. Pour l'application numérique, on prendra a1 = a. 43 Ne pas chercher à calculer l'efficacité. Penser plutôt à des généralités thermodynamiques. 44 Les facteurs m et T m varient maintenant en fonction de L1 . Il est facile de réutiliser le résultat de la question 42 en y substituant la nouvelle valeur de m / m et T m /Tm . 47 En guise d'évaluation, donner simplement une condition du type a1 A. Cette condition traduit l'hypothèse T(M, t) = T(x, t). 48 Remarquer que l'on a implicitement supposé dans la partie B que la capacité calorifique d'une tranche de métal est beaucoup plus grande que celle d'une tranche de gaz. I. A. Étude d'un congélateur Évaluation simple de l'efficacité 1 Dans le cas où l'épaisseur de la paroi du congélateur est constante, le volume utile vaut Vutile = (H - 2e)(P - 2e)(L - 2e) Vutile = HPL - 2e (HP + PL + HL) d'où e= (puisque e H, P, L) HPL - Vutile = 6 cm 2 (HP + PL + HL) La supposition e H, P, L est donc justifiée. De plus, même si la résolution de l'équation du troisième degré qui donne e sans approximation est possible, elle est particulièrement calculatoire. 2 Pour retrouver l'unité de , on peut utiliser la loi de Fourier -- - = - grad T où - est une puissance surfacique, d'unité le W.m-2 . On en déduit que s'exprime en W.m-1 .K-1 . La valeur donnée correspond à un bon isolant ; celle de la laine de verre est comparable. Pour ce qui est des matériaux plus isolants, le polystyrène expansé a une conductivité de l'ordre de 4.10-3 W.m-1 .K-1 . Le verre a une conductivité de l'ordre de 1 W.m-1 .K-1 , l'inox de 14 W.m-1 .K-1 et le cuivre, un des meilleurs conducteurs de chaleur, 390 W.m-1 .K-1 . 3 Pour évaluer la puissance thermique de ces fuites, on se place en régime permanent. L'équation de la chaleur se résume alors à T = 0 Ceci donne, compte tenu de la géométrie (plane), pour chacune des surfaces -- e - i - grad T = u e où - u est dirigé vers l'extérieur du congélateur. On en déduit la puissance surfacique, comptée positivement si elle va de l'extérieur vers le congélateur : e - i P surfacique = -- ·- u = e La puissance des fuites thermiques du congélateur vaut donc P thermique = 2 (HP + PL + HL) e - i = 94 W e 4 Le congélateur consomme 0,7 kWh par jour, ce qui représente une puissance moyenne de l'ordre de P consommée = 0,7 kWh = 29 W 24 h 5 En supposant que le rendement du compresseur vaut 1, l'efficacité du congélateur vaut simplement = B. P thermique = 3,2 P consommée Modélisation du cycle de fonctionnement de la machine frigorifique 6 Appliquons le premier principe au système fermé composé de la masse m de fluide comprise A A entre les points A et B au moment t ; suivons son évolution entre t et t + dt, où le fluide occupe l'espace entre A et B . Le travail et la chaleur échangés valent W = w D dt et Q = q D dt B B où D est le débit massique dans le circuit. Par ailleurs, comme le fluide est supposé être en régime permanent, les grandeurs massiques sont constantes au cours du temps en un point donné ; la variation de l'énergie interne vaut donc dU = U(t + dt) - U(t) = e(B) D dt + Uc - e(A) D dt - Uc où Uc est l'énergie interne de la partie commune aux deux instants, et e est l'énergie interne massique. On peut donc écrire le premier principe sous la forme dU = W + Q c'est-à-dire e(B) D dt - e(A) D dt = w D dt + q D dt La notation logique pour l'énergie interne massique serait u, mais cette notation est réservée par l'énoncé pour le volume massique. En tenant compte du fait que h = e + uP, on peut réécrire la relation précédente sous la forme h = w + (uP) + q Ceci donne bien la relation demandée : h = w + q avec w = w + (uP) 7 On déduit immédiatement de la question précédente w 12 - w12 = u2 P2 - u1 P1 Si l'écoulement est lent, la transformation est quasi-statique. En reprenant le système étudié à la question précédente on peut alors séparer W12 , le travail échangé entre t et t + dt, en deux termes : · le travail fourni par le compresseur Wcomp = wcomp D dt ; · le travail des forces de pression aux points 1 et 2 ; puisque la transformation est quasi-statique, il s'écrit Wpression = P1 V1 - P2 V2