X/ENS Physique PSI 2003

Thème de l'épreuve Les ondes sismiques
Principaux outils utilisés ondes, ondes sonores, optique géométrique, gravitation
Mots clefs onde sismique, théorie des rais

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SCIENCES PHYSIQUES DURÉE: 4 HEURES Pour les épreuves d'admissibilité, l'usage de calculatrices électroniques de poche & alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorise", une seule à la fois étant admise sur la table ou le poste de travail, et aucun n 'e'change n 'est autorisé entre les candidats. SISMOLOGOE ET STRUCTURE INTERNE DE LA TERRE Les secousses sismiques, naturelles ou artificielles, sont à l'origine d'ondes mécaniques se propa- geant au sein ou en surface de la Terre. Le comportement de ces ondes, entre l'hypocentre et le lieu de réception, est déterminé par la structure interne de la Terre. Ce problème aborde les principales méthodes mises en oeuvre en sismologie pour sonder la Terre à différentes échelles de profondeur. Les différentes parties du problème sont, dans une large mesure, indépendantes. Partie I : Les ondes sismiques de volume On établit dans cette partie les équations de propagation des ondes de déformation au sein d'un solide. Le solide est immobile au repos, de masse volumique Po-- On note u(M , t) le déplacement, à un instant quelconque, d'un élément de solide, en M au repos. On restreint l'étude aux ondes planes se _ propageant selon ex , et aux déformations bidimensionnelles : Z(x,t) = u,,(x, t) _e: + u,,(x, [) E; . Les déformations locales du milieu sont à l'origine de contraintes, forces surfaciques, qu'exercent les par-- ticules de solide les unes sur les autres. Avec une onde plane, Z(x,t) , il n'apparaît des contraintes que _...-- sur les surfaces normales à ex . Soit dS une telle surface élémentaire (Figure 1), située en xO au repos, la force élastique exercée par l'élément ], x < x0, sur l'élément 2, x > xo, s'écrit : y ôuy (x0)ex _" ax (xO)ey ) ôux ôx CCÏË1_,2 =71_)2dS avec 71---->2 =--(Â+2y) 2. et ,a sont les coefficients de Lamé, constantes positives, caractéristiques du milieu. Figure 1 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Justifier brièvement le signe négatif dans l'expression de la force. Pourquoi cette forme n'est--elle valable que dans le cadre des faibles déformations ? Donner les unités des coefficients de Lamé. Soit un parallélépipède élémentaire de volume dr, de dimensions dx, dy et dz selon les trois axes cartésiens. La résultante des forces élastiques qu'il subit s'écrit : dÏ : Z dr; déterminer l'ex-- pression de la densité volumique ?; des forces élastiques. Dans le cadre des faibles déformations, les équations seront linéarisées en se limitant aux termes du premier ordre en u et ses dérivées. Effectuer un bilan de matière à l'aide d'une tranche d'épaisseur dx au repos, et montrer que la masse volumique p(x, t) vérifie : _ 1_ôux P Po ôx - Traduire l'approximation effectuée à l'aide d'une condition sur les longueurs d'onde A présentes. En supposant que les particules de solide ne sont soumises qu'aux contraintes élastiques, montrer que les déformations u,;(x, t) et u,(x, t) vérifient chacune une équation de d'Alembert. Exprimer les célérités respectives Cp (onde P) et cs (onde S) de ces ondes. Justifier à l'aide d'un schéma que l'une de ces deux ondes est dite de compression, alors que l'autre est dite de cisaillement. Que dire sur l'existence de telles ondes dans un liquide '? Lors d'un tremblement de Terre, des ondes sont émises dans toutes les directions. La connais-- sance des distances entre la source sismique (hypocenfie) et différentes stations réceptrices permet la localisation de l'hypocentre. Dans un milieu homogène, exprimer la distance D d'une station à la source, en fonction des célérités Cp et Cs, et de la durée At séparant les arrivées des ondes P et S à la station. Applications numériques. Dans la croûte continentale : Cp : 7,0 kms" et cs : 4,5 kms". Calculer la distance à la source sismique si At : 70 s. Avec quelle précision faut--il connaître At pour localiser l'hypocentre à 1 km près ? A votre avis, par quoi est limitée la précision de cette mesure de distance ? Les périodes des ondes sismiques sont comprises entre 1 et 1000 secondes. Commenter l'approxi-- mation effectuée à la question 3 '? Partie II : La théorie des rais Dans un milieu hétérogène, où la célérité n'est pas uniforme, le comportement ondulatoire des ondes sismiques est complexe. On utilise la théorie des rais, analogue de l'optique géométrique pour les ondes lumineuses, qui étudie les trajectoires des pinceaux d'ondes sismiques perpendiculaires aux surfaces d'onde. Les résultats concernant le cas des ondes planes sont utilisables ici. Le modèle sismologique le plus utilisé pour la structure de la Terre (PREM) présente la symétrie sphérique. Il a été obtenu à partir d'informations fournies par les ondes de volume, les ondes de surface et les modes propres de la Terre. Ces différents aspects sont abordés dans les parties qui suivent. On donne les célérités des ondes P et S en fonction de la profondeur (Figure 2). 1) 2) Donner la condition sur la longueur d'onde A permettant d'utiliser une théorie géométrique plutôt qu'ondulatoire. En déduire, en utilisant le modèle PREM, la gamme de fréquences des ondes sismiques vérifiant cette condition. Quels types de phénomènes ne peuvent être décrits par la théorie des rais ? Soient deux milieux homogènes, séparés par un dioptre plan, dans lesquels la célérité des ondes P vaut respectivement cl et c2. Un rai sismique incident dans le milieu ] rencontre l'interface. Donner les analogues des lois de Descartes pour la réflexion et la réfraction des rais sismiques. Effectuer un schéma indiquant les orientations des angles considérés. PREM, Dziewonski et Anderson (1981) 12 10 ' Vitesses des 8 ondes sismiques (km.s") 6 4 | 2 0 2000 4000 6000 Profondeur (km) Figure 2 Détermination de l'épaisseur de la croûte terrestre par réflaction sismique Modélisons la Terre, au voisinage de sa surface, par un milieu à deux couches planes homogènes : la croûte d'épaisseur H située au-dessus du manteau (Figure 3). On ne considère que les ondes P de célérité c. et c;, avec CI < cz. Un tremblement de terre se produit en A, et émet des ondes sismiques dans toutes les directions. Trois ondes de type P peuvent être reçus au point B à la distance D de A. L'onde Pg désigne celle se propageant en ligne droite dans le milieu 1. L'onde PMP désigne celle se réfléchissant sur l'interface, en I. L'onde PIl est due à un retour dans le milieu 1, de la partie de l'onde réfractée dans le milieu 2, qui se propage tangentiellement à l'interface. Figure 3 Figure 4 3) Déterminer l'angle 6 en fonction des célérités cl et cz. Montrer que l'onde PIl ne peut exister qu'à partir d'une distance critique Dc que l'on exprimera. 4) Exprimer, pour chaque onde, le temps de parcours en fonction de la distance D : At(Pg), At(PMP) et MP,). J ustifier en particulier que At(PMP) : At(Pn) pour D : Dc. 5) Représenter, sur un même graphe, les allures des trois courbes représentant At en fonction de D. De telles courbes sont appelées hodochrones. On précisera leur comportement asymptotique à grande distance, ainsi que les valeurs prises en D = 0 et D = Dc. 6) Pour l'étude de la croûte, les sismologues utilisent des sources explosives de forte puissance, et alignent des sismomètres régulièrement sur de grandes distances. Souvent, dans les hodochrones obtenus, ne sont utilisés que les temps de parcours des ondes les plus rapides. La figure 4 donne le temps d'arrivée de l'onde la plus rapide en fonction de la distance D à parcourir. Il s'agit sensi-- blement de deux portions de droite, une rupture de pente est observée pour D,-- = 150 km ; on relève également : At,-- = 23 s et AIO : 5 s. Calculer les célérités cl et 02 des ondes dans la croûte et le manteau. Exprimer l'épaisseur H en fonction de cl et cz, et l'évaluer numériquement. Modèle plus réaliste d'un gradient de célérité ' On envisage maintenant une variation linéaire de la célérité dans la croûte : cl : c...(l ---- kz) où k est une constante positive. Un rai sismique est émis en A(z : 0, x = 0) dans une direction faisant l'angle io avec l'axe Ax. 7) Établir, en utilisant les lois de Descartes entre z et 2 + dz, la relation liant dx et dz le long du rai : (] --kz)cos l'O ,/1--(1 -- kz)2 cos2 io 8) Intégrer cette relation et montrer que la trajectoire du rai est un arc de cercle; préciser les coordonnées de son centre (xo, zo) et son rayon R, en fonction de io et de k. Retrouver le cas du milieu homogène. dx=--dz 9) Tracer sur un même graphe deux rais émis du même point sous les angles i... et i02 avec i... < i02. ...) À la profondeur H commence le manteau. Montrer qu'il existe, contrairement au milieu homo- gène, une distance maximale D,... en surface pour recevoir un rai sismique ne se propageant que dans la première couche (de type Pg). Exprimer cette distance en fonction de H et k. 11) Soit maintenant un modèle à deux couches, présentant les gradients de célérité : cl : c...(l --- klz) et cz : c20(1 -- kzz). On modélise ainsi le manteau, compris entre 2 = 0 et z : --H1, et le noyau externe. L'épaisseur de la croûte est ainsi négligée. Le modèle PREM donne c1(--Hl) > cz(--HI). À l'incidence limite io donnant la distance D ',... pour l'onde Pg dans le manteau, dessiner l'allure du rai P,, réfracté dans le noyau, et justifier qu'il revient en surface à une distance supérieure à D ',,.... On montre alors, en envisageant les incidences supérieures qu'il existe une zone d'ombre à la sur- face de la Terre dans laquelle aucune onde P n'est recueillie. Cette observation a prouvé l'existence d'un noyau dans lequel les ondes sismiques se propagent moins vite que dans le manteau. 12) Par ailleurs, l'étude des ondes S a mis en évidence l'absence de celles--ci dans le noyau externe. Que peut--on en déduire sur la nature du noyau ? Partie III : Les ondes sismiques de surface La réflexion des ondes de volume à la surface libre de la Terre donne naissance à d'autres ondes, dites de surface, dont l'amplitude décroît avec la profondeur et qui se propagent parallèlement à la surface. La réflexion d'ondes S donne ainsi naissance aux ondes de Love étudiées dans cette partie. La croûte, d'épaisseur H, a pour masse volumique pl, coefficient de Lamé ,ul ; on y notera cl la célérité des ondes S, supposée uniforme. En dessous, le manteau a pour masse volumique p2, coefficient de Lamé ,u2; on y notera 02 > 01 la célérité des ondes 8, aussi supposée uniforme (Figure 5). Ces milieux sont isotropes, l'expression de la contrainte donnée dans la première partie a la même forme quelle que soit la direction envisagée. Dans chaque milieu, l'onde S caractérisée par la déformation Z(M,t) vérifie une équation de d'Alembert : .... z 62 u ---- , _ surface 6 ; --ci2Aus =0 ou := 1 ou 2. y [ On envisage une onde de Love se propageant à la vitesse _. c selon x, de déformation selon y: us (M ,t)= u ey . Dans . . C2 chaque m111eu, en complexe : pz "2 manteau . / Figure 5 y(x,z,t)=ff(z)e""" ") où i= 1 ou 2. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Donner les conditions aux limites vérifiées par l'onde de cisaillement 2 et/ou sa dérivée première par rapport à z, à la surface libre 2 = 0, à l'interface z = --H et à grande profondeur. Quelles équations différentielles vérifient f,(z) et f2(z) ? Montrer que la déformation a la forme : où k2 est un réel positif. Donner les expressions de k1 et k2 en fonction de : a), c, cl et 02. On admet que k] est également un réel positif, en déduire la position de c par rapport à cl et c2. #2k2 flrk1 Exprimer les conditions aux limites et montrer que k] et k2 vérifient : tan(k1 H ) = En déduire la relation de dispersion d'une onde de Love, liant k = w / c et c (ne faisant pas intervenir (0). Les solutions c(k) sont données sur la figure 6. Justifier l'existence de plusieurs modes de propa-- gation, caractérisés par la donnée de l'entier n. Déterminer le vecteur d'onde limite k,... ,, pour chaque mode en fonction de H, cl et @. Pour le mode fondamental n = O, interpréter physiquement les deux cas limites correspondant aux grandes et aux petites longueurs d'onde A. Application numérique. H = 20 km ; cl : 3,5 kms"l ; c2 : 4,5 kms". Montrer que pour des ondes sismiques de période T > 10 s, on n'accède qu'au mode fondamental. Figure 8 Exprimer la vitesse de groupe Vg en fonction de la vitesse de phase c(k) et de sa dérivée par rap-- port à k. Sur la figure 7 est représentée une partie d'un sismogramme représentant l'arrivée d'une onde de Rayleigh. Les ondes de Rayleigh sont les ondes de surface se formant lors de la réflexion d'une onde P. L'allure de c(k) pour ces ondes est similaire à celle des ondes de Love. Commenter cet enregistrement. DhioSeis ; 'on: 1. : SeismoView z llllll ' Ç * .Î Î 38m'm SSID " SID IV.--'6553d1 EURñâÎfii'6Zèwliî'r}.ei...:ÎÎËSWIÏË{à.-ïäèc TÜIIEEEESIEIÏ. _ 38.72 --az_9a ] l Figure 7 10) On considèrele mode fondamental d'une onde de Love, aux faibles vecteurs d'onde: k ---> O. Simplifier la relation de dispersion et obtenir une expression de c(k). 11) En déduire, dans cette approximation, que la vitesse de groupe se met sous la forme : ' 2 2 Vg(k)=c2 1----3-k2 HÏ-L{Îâ---- ] 2 #2 012 12) Le traitement des sismogrammes permet l'obtention de la vitesse de groupe Vg des ondes de Love en fonction de la période T. Sur la figure 8 sont représentées les deux courbes Vg(T) obtenues à la surface d'un continent @lein) et sous un océan (pointillés). En supposant que dans les deux cas la composition de la croûte et du manteau est identique, que peut--on déduire de ces données ? Partie IV : Les oscillations libres de la Terre Une corde fixée à ses extrémités ne vibre librement qu'à certaines fréquences propres. De même, la Terre, excitée par un séisme, oscille librement selon certains modes propres. Ces modes correspondent à l'existence d'ondes stationnaires dans la Terre. Pour simplifier l'étude, on néglige les efforts de cisaillement dans cette partie, et on n'envisage qu'une déformation radiale dans une Terre homogène à symétrie sphérique : ; : u(r) E: ; en chaque point, la contrainte est alors caractérisée par la surpres- sion P. Le champ des déformations dérive alors d'un potentiel qi, ; : grad & , qui vérifie une équation de D'Alembert : 15%; 162q5_ ___--__0, " ôr2 02 ôt2 et qui est, pour une onde sinusoïdale, proportionnel àla surpression P. 1) Évaluer, sans calcul, l'ordre de grandeur des fréquences propres de la Terre. 2) On recherche une solution sous forme d'onde stationnaire : ç$(r, t) : R(r)H(t), où R et H sont deux fonctions a priori quelconques. Montrer qu'elles sont solutions d'équations différentielles indépendantes. Les résoudre et montrer que la solution générale est de la forme : A B . çb(r, t) : {----- cos(Kr) + ---sm(Kr)} cos(wt + gp) . r r 3) Quelle relation lie co et K ? Montrer que les conditions aux limites imposent une quantification des pulsations permises. Exprimer ces pulsations propres ca,, en fonction d'un entier n et du rayon a de la Terre. 4) La détermination expérimentale de ces fréquences propres consiste à calculer (par analyse de Fourier) le spectre de la déformation u(t) en un point à la surface de la Terre, à la suite d'un séisme. Justifier, sans calcul, cette méthode. Sur quel ordre de grandeur de durée faut--il acquérir le signal avant d'en calculer le spectre ? 5) Déterminer l'expression de la déformation u,,(r, t) du mode n. Proposer une méthode graphique pour déterminer les positions des noeuds de déformation dans la Terre. Combien y en a--t--il pour le mode n ? 6) En réalité, la symétrie sphérique est une hypothèse correcte, mais la structure radiale de la Terre n'est pas du tout homogène (Figure 1). Expliquer en quoi la mesure de la fréquence propre de chaque mode apporte des renseignements sur la structure de la Terre à différentes échelles de profondeur. Partie V : La correction gravitationnelle Dans la première partie, les équations d'ondes sismiques ont été établies en supposant que les parti-- cules de solide ne subissaient que les contraintes élastiques. On envisage maintenant l'action supplé-- mentaire de la gravitation, en se réstreignant à l'étude d'ondes planes se propageant selon _eî , et aux déformations bidimensionnelles : ; (x, t) : ux(x, t) _eî + uy(x, t) ?; . Soit E le champ de gravitation, on note g1 (x, t) sa faible variation par rapport à sa valeur au repos. Celle--ci a pour origine la faible variation de masse volumique pl(x, !) consécutive à la propagation d'une onde sismique. Les calculs seront effectués au premier ordre, dans le cadre des faibles déformations. ___. _ ]) Justifier que g! (x, t) n'a de composante que selon ex . Effectuer une analogie électrostatique et donner l'équation locale reliant --gÎ(x, t) à p.(x, t). 2) Établir la relation locale liant pl à ôux / ôx. 3) Établir les nouvelles équations d'ondes sismiques, en considérant la correction gravitationnelle. 4) Envisager une solution sous forme d'onde plane, progressive, sinusoïdale, et établir les expres-- sions des vitesses de phase des ondes P et S. Mettre en particulier la vitesse de phase des ondes P sous la forme : c,. = c,... [1--A2 /AGZ], où A est la longueur d'onde, et AG une longueur d'onde caractéristique du phénomène. 5) Application numérique. Évaluer la longueur d'onde caractéristique AG avec pb : 5500 kg.m--3 . On rappelle la valeur de la constante de gravitation : G = 6,7.10"11 m'kg"'s"2. 6) Discuter la pertinence de la correction gravitationnelle dans les trois domaines de la sismologie étudiés précédemment : la théorie des rais, les ondes de surface et les oscillations libres de la Terre. FIN

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 X/ENS Physique PSI 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par Brahim Lamine (Enseignant-chercheur à l'Université) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Ce sujet, long et complet, traite de manière assez exhaustive les ondes sismiques dans la Terre. · On voit dans la première partie comment modéliser une onde sismique se propageant dans un milieu homogène. Cette partie fait intervenir des notions de mécanique, et constitue un complément à la connaissance du cours sur les ondes sonores dans les fluides. · La deuxième se fonde sur la constatation expérimentale que la Terre n'est pas homogène, et introduit le modèle des rais, analogue pour les ondes sismiques de l'optique géométrique. On y redémontre quelques résultats intéressants d'optique géométrique, dont la trajectoire d'un rai dans un milieu soumis à un gradient d'indice. · La troisième s'intéresse aux ondes de surface. Cette partie peut constituer une bonne révision des guides d'ondes. Elle est sensiblement plus calculatoire que les précédentes. · La quatrième est, quant à elle, axée autour des modes propres d'oscillation en compression de la Terre. Une des questions (IV.3) est difficile et nécessite beaucoup d'initiatives, même si on peut la contourner. · La dernière partie discute de la correction gravitationnelle à apporter aux calculs des parties précédentes. Il s'agit d'un sujet long et assez difficile dans l'ensemble. De nombreuses questions des parties III et IV nécessite d'avoir bien compris la première partie. Les questions sont dans l'ensemble beaucoup moins guidées que dans la plupart des sujets des autres concours, et nécessitent de prendre des initiatives. Cela en fait un sujet très formateur, qui juge aussi bien le sens physique que la capacité à mener des calculs proprement. Indications Partie I ux (x) quant à la variation d'épaisseur d'une tranche I.1 Qu'implique le signe de x de matériau située en x ? I.3 Considérer une tranche du matériau, de section S et d'épaisseur dx. Quelle est sa variation de volume si elle est soumise à un champ de déplacements - u (x) ? I.4 Appliquer les lois fondamentales de la dynamique à un parallélépipède de volume d et utiliser les question I.2 et I.3. Partie II créférence II.2 Se souvenir que n = . La loi de la réflexion n'a pas de raisons de cmilieu changer. II.3 Bien voir que l'angle entre AJ et JN vaut lui aussi . II.4 Pour PM P, considérer le triangle rectangle d'hypoténuse AI. II.6 Utiliser simplement les indications de pentes pour trouver c1 et c2 . Ne pas oublier d'éliminer Dc dans la relation pour trouver H. sin (z) II.7 Montrer qu'on peut définir un angle (z) qui vérifie = Cte le long de c1 (z) la trajectoire du rayon. Le relier à dx et dz. u II.8 Remarquer que le terme en z est une dérivée en pour effectuer l'intégration. u II.10 Montrer que la profondeur maximale d'une trajectoire s'exprime simplement en fonction de R et z0 . II.12 Utiliser la question I.5. Partie III III.1 Il faut trouver une condition en z = 0, une en z = - et deux en z = -H. III.2 Utiliser la condition à la limite z = - pour aboutir à la forme demandée pour f 2 . III.4 Utiliser les deux questions précédentes. Ne pas trop chercher à simplifier, la relation n'est pas simple. III.6 Interpréter comme une épaisseur de pénétration. d III.8 Par définition, la vitesse de groupe est Vg = . dk III.9 Interpréter les trois modes comme issus du même paquet d'onde initial. III.10 Chercher une solution sous la forme c(k) = c2 (1 - (k)), et développer au premier ordre en . Partie IV IV.2 Montrer que l'on peut écrire l'équation différentielle sous la forme f (R) = g(H) où f et g font intervenir aussi les dérivées de R et H. En déduire que ces termes sont constants. IV.3 C'est la question la plus difficile du sujet. Redémontrer la forme générale de la force élastique dans le cas de coordonnées sphériques en considérant la variation de volume d'une tranche sphérique et en supposant une réponse linéaire. En déduire la valeur de la force en r = a, et utiliser le fait qu'elle est nulle. Il est aussi acceptable, faute de pouvoir le démontrer rigoureusement, de supposer que (r = a) = 0. IV.4 Le spectre d'un événement brusque contient toutes les fréquences. IV.6 On pourra effectuer une analogie avec les conclusions de la partie III. Partie V V.1 Se souvenir de la correspondance électrostatique-gravitation, et utiliser l'équivalent du théorème de Gauss sous sa forme locale. V.2 Utiliser I.3. V.3 Employer une démarche semblable à celle de la question I.4. V.5 Utiliser les valeurs numériques de la question I.7. I. Les ondes sismiques de volume I.1 Le signe moins sert à s'assurer qu'on a bien une force de rappel. En effet, si ux < 0, le bloc d'épaisseur dx au repos voit sa largeur diminuer. Il est donc normal x que les forces du bloc sur l'extérieur soient orientées vers l'extérieur. uy De même, si > 0, le côté x < x du bloc est plus bas que le côté en x . x À nouveau, la force considérée est une force de rappel. Cette force est une réponse linéaire du matériau à une déformation. Elle s'apparente à la loi de Hooke pour les ressorts. Il s'agit bien sûr d'une approximation, valable seulement dans le cas des faibles déformations. Des forces plus complexes doivent être envisagées dans le cas de déformations plus importantes, comme par exemple dans le cadre de la théorie de la plasticité (le matériau ne revient plus à sa position initiale) ou de la rupture. On peut traduire l'équation de l'élasticité du matériau par une équation aux dimensions : [F] = [S] [µ] dont on déduit que [u] [x] [µ] = [] = [F] [S] -1 µ et sont donc homogènes à des pressions. De façon générale, il est normal que la force élastique ne dépende pas de la valeur de - u , mais seulement de ses dérivées, car ajouter un déplacement - u uniforme revient à effectuer une translation globale du matériau. Ce terme linéaire correspond simplement au premier terme d'un développement en série de la force en fonction des dérivées du déplacement. On retrouve ici l'idée des petites déformations (développement au premier ordre). I.2 Examinons les forces élastiques qui s'appliquent sur le parallélépipède élémentaire. Il n'apparaît, par hypothèse de l'énoncé, que des contraintes sur les surfaces en x et en x + dx. On a donc 1 - dF1 2 x 2 3 - dF3 2 x + dx - - - f v d = d F 12 + d F 32