Mines Physique 2 PSI 2025

A2025 ­ PHYSIQUE II PSI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2025
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique II, année 2025 -- filière PSI

Oscillations mécaniques et électriques
Il est souvent plus simple lorsque l'on veut étudier expérimentalement, au 
laboratoire, le comportement d'un oscillateur mécanique en fonction de ses 
paramètres, d'en réaliser une version
électronique plutôt qu'une version mécanique. Les réglages sont plus fins car 
plus nombreux
et la possibilité d'acquisition directe des signaux en divers points du circuit 
électrique permet
la mise au point et l'adaptation de ce dernier à la richesse des oscillations 
mécaniques. Après
avoir étudié un oscillateur mécanique et entrepris sa modélisation numérique 
dans la première
partie, nous construirons progressivement dans la seconde son équivalent 
électronique. Dans
tout le problème un point surmontant une fonction désigne sa dérivée temporelle 
: x(t) = dx
dt

I

Oscillateur mécanique

On considère un ressort d'extrémités N et
M , de raideur k, de longueur à vide l0 et
de longueur l(t) = N M à un instant t quelconque. Ce ressort est suspendu 
verticalement par son extrémité N à un point O fixe
d'un support immobile dans le référentiel galiléen d'étude R. À son extrémité M 
est accroché un point matériel P de masse m. L'extrémité N (resp. M ) du 
ressort se confond
Figure 1 ­ Ressort et oscillateur vertical
avec le point O (resp. P ) (cf. figure 1).
On suppose que le mouvement du point matériel P reste vertical : en se repérant 
dans
le système de coordonnées cartésiennes (O,~ux ,~uy ,~uz ) d'origine O, le point 
P appartient à la
droite (O, ~uz ).
Dans tout le problème, le ressort reste dans son domaine élastique de 
fonctionnement associé à
une force de rappel proportionnelle à son allongement. Le champ de pesanteur ~g 
est uniforme
égal à ~g = g~uz avec g > 0. On néglige toute forme de frottement.
On suppose tout d'abord que le ressort a une masse mr nulle.
o ­ 1. Établir l'expression de l'énergie potentielle élastique Ep,k du ressort 
dont on prendra l'origine lorsque la longueur du ressort est égale à sa 
longueur à vide. On exprimera Ep,k en
fonction de k, l0 et l.
o ­ 2. Établir, en fonction de m, g et l, l'expression de l'énergie potentielle 
de pesanteur Ep,p du
point matériel P dont on prendra l'origine en O.
o ­ 3. En déduire l'expression de l'énergie mécanique Em du point matériel P de 
masse m dans
le référentiel galiléen R en fonction notamment de l(t).
o ­ 4. Établir l'équation différentielle du mouvement du point matériel P 
vérifiée par l(t) dans
le référentiel galiléen R.

o ­ 5. Résoudre l'équation différentielle obtenue à la question précédente en 
supposant qu'à
t = 0, le point matériel P est lâché sans vitesse initiale de la position l(t = 
0) = L > 0.
On fera apparaître une pulsation !0 .
Quelle condition doit-on imposer à L pour que le point matériel P ne heurte pas 
le support
fixe où est suspendu le ressort ? On exprimera cette condition en fonction de 
k, l0 , m et g.
Qualifier le mouvement observé : tracer l'allure de l(t) en fonction de t.
Donner l'expression de la période T0 du mouvement du point matériel P et 
calculer sa
valeur numérique pour k = 0,300   2  2,96 N · m 1 et m = 300 g.
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Physique II, année 2025 -- filière PSI

Dans les 6 questions suivantes, on tient compte de la masse mr non nulle du 
ressort. On
suppose que l'expression de l'énergie potentielle élastique Ep,k du ressort 
établie à la question
1 n'est pas modifiée. Par contre, son énergie potentielle de pesanteur Ep,p est 
affectée par cette
modification. Pour la déterminer, on suppose que, quelque soit sa longueur l, 
la masse mr du
ressort est uniformément répartie sur toute sa longueur l et que, pour tout z 
compris entre 0
et l, la tranche élémentaire de ressort comprise entre z et z + dz possède, 
dans le référentiel
R, une vitesse proportionnelle à z. On conserve les mêmes origines que 
précédemment pour les
énergies potentielles.
o ­ 6. Établir l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur Ep,p associée 
au ressort en fonction
de mr , g et l.
o ­ 7. Établir l'expression de l'énergie cinétique Ec du ressort en fonction de 
mr et l.
o ­ 8. En déduire l'expression de l'énergie mécanique Em du système constitué 
par le point
matériel P de masse m et le ressort de masse mr dans le référentiel galiléen R 
en fonction
de m, mr , k, g, l0 et l.
o ­ 9. Établir l'équation différentielle du mouvement du point matériel P 
vérifiée par l(t) dans
le référentiel galiléen R. Commenter.
o ­ 10. Résoudre l'équation différentielle obtenue à la question précédente en 
supposant qu'à
t = 0, le point matériel P est lâché sans vitesse initiale de la position l(t = 
0) = L. On
fera apparaître une pulsation !1 .
Qualifier le mouvement observé en supposant que le point matériel P ne heurte 
pas le
support fixe.
Déterminer l'expression de la période T1 du mouvement du point matériel en 
fonction
de T0 , m et mr puis calculer sa valeur numérique pour k = 0,300   2  2,96 N · 
m 1 ,
m = 300 g et mr = 36,0 g (on pourra utiliser l'approximation (1 + x)  1 + x).
o ­ 11. Quelle condition doit satisfaire mr pour que l'écart relatif entre T0 
et T1 ne dépasse pas
1 % ? On fera l'application numérique dans les conditions de la question 
précédente.
Le point matériel P de masse m est maintenant astreint à se déplacer, sans 
frottement, horizontalement sur une glissière parfaite qui se confond avec la 
droite (O0 ,~ux ) (cf figure 2). Le ressort
précédent, dont on suppose la masse mr nulle dans toute la suite du problème, 
est toujours
accroché par son extrémité N au point O fixe dans le référentiel galiléen 
d'étude R et par son
extrémité M au point matériel P :

Figure 2 ­ Oscillateur horizontal

On se place maintenant dans le système de coordonnées cartésiennes (O0 ,~ux 
,~uy ,~uz ) d'origine O0
telle que la droite (O,~uz ) soit perpendiculaire à la droite (O0 ,~ux ) : le 
point matériel P est ainsi
repéré par son abscisse x sur la droite (O0 ,~ux ). On note lc la distance OO0 .
o ­ 12. Établir l'expression de l'énergie potentielle Ep,P du point matériel P 
en fonction de k, l0 ,
lc et x en prenant l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur en O0 et 
celle de l'énergie
potentielle élastique du ressort pour l = l0 .
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Physique II, année 2025 -- filière PSI

o ­ 13. En fonction du paramètre lc , discuter des positions d'équilibre du 
point P et de leur
stabilité respective : on exprimera les abscisses d'équilibre xe associées en 
fonction des
données et on donnera les allures correspondantes de Ep,P en fonction de x en 
précisant
les valeurs remarquables.
o ­ 14. Dans quel cas peut-on parler de barrière de potentiel ? Préciser sa 
hauteur Ub en fonction
des données.
o ­ 15. Établir l'équation différentielle du mouvement du point matériel P 
vérifiée par x(t) dans
le référentiel galiléen R.
dEp,P
Que représente physiquement dx
(x) en termes de force ?
o ­ 16. Transformer l'équation différentielle du mouvement en 2 équations 
différentielles d'ordre 1
en variables u0 (t) = x(t) et u1 (t) = x(t).
En introduisant les estimations u0,n de u0 (t) et u1,n de u1 (t) aux instants 
tn = n4t pour
n 2 N où 4t désigne le pas de discrétisation temporelle, former les 2 relations 
exprimant
u0,n+1 et u1,n+1 en fonction de u0,n et u1,n déduites de la méthode d'Euler 
explicite.
Quelles valeurs doit-on donner pour n = 0 à u0,n et u1,n ?
Pour k = 0,300   2  2,96 N · m 1 , m = 300 g, l0 = 1,00 m et lc = 0,200 m, on 
effectue la
résolution numérique de l'équation différentielle du mouvement pour déterminer 
x(t) et x(t) en
fonction de t pour 2 conditions initiales A et B différentes. Les résultats 
sont présentés sur la
figure 3.

Figure 3 ­ Solutions numériques pour deux conditions initiales distinctes

o ­ 17. Comparer le plus précisément possible la nature du mouvement dans les 2 
cas.
o ­ 18. Dans le cas B, établir une expression approchée de la valeur moyenne 
hx(t)i des oscillations
(en fonction de lc et l0 ) et de leur période T2 en fonction de T0 , lc et l0 .
Effectuer les applications numériques et comparer les résultats aux valeurs 
lues sur la
figure 3. Conclure sur les approximations effectuées.
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Physique II, année 2025 -- filière PSI

o ­ 19. Les 2 cas A et B correspondent à deux types de mouvements différents du 
point P . Dans
le cas où les conditions initiales sont du type x(t = 0) = X0 > 0 et x(t = 0) = 
0, établir
la condition que doit vérifier X0 pour que l'on soit dans le cas A.
En conservant les valeurs k = 0,300   2  2,96 N · m 1 et l0 = 1,00 m, on a 
représenté sur la
dEp,P
figure 4 l'allure de dx
(x) en fonction de x dans les cas lc < lo (à gauche) et lc > lo (à droite).

Figure 4 ­ Représentation graphique de la dérivée de l'énergie potentielle de 
pesanteur de P
dE

p,P
On suppose pouvoir modéliser la fonction dx
(x) par un polynôme de degré 3 de la variable x
de la forme :
dEp,P
(x) ' m x + m x3
dx
o ­ 20. Commenter cette affirmation et préciser en fonction de la valeur de lc 
les signes des
constantes m et m .
Réécrire alors l'équation différentielle du mouvement du point matériel P 
vérifiée par x(t).

Cette équation est connue sous le nom d'équation de Duffing non amortie.

II

Oscillateur électrique

Dans la suite du problème, nous allons étudier le circuit électronique présenté 
sur la figure 5
visant à simuler l'oscillateur mécanique décrit dans la partie précédente.
Les trois amplificateurs linéaires intégrés (ALI) nommés (A1), (A2) et (A3) 
sont supposés
idéaux, de gain infini et fonctionnant en régime linéaire. On notera +Vsat et 
Vsat leurs tensions
de saturation haute et basse.

o ­ 21. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension x(t) définie 
sur le circuit de la
figure 5.
À quelle situation mécanique ce circuit correspond-il ?

o ­ 22. On suppose, uniquement dans cette question, que l'on place dans le 
circuit de la figure 5
une résistance R0 en parallèle sur le condensateur de capacité C1 .
Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension x(t).
À quelle situation mécanique ce circuit correspond-il ?
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Physique II, année 2025 -- filière PSI

Figure 5 ­ Oscillateur électronique

On considère la diode D représentée sur la partie gauche de la figure 6. Elle 
est orientée en
convention récepteur que l'on modélise la manière suivante : lorsque id > 0, 
alors ud = VD :
la diode est passante et lorsque ud < VD , alors id = 0 : la diode est bloquée ; la tension VD , caractéristique de la diode considérée et appelée tension seuil de la diode, est une tension supposée positive et constante. On réalise avec une diode D1 de tension seuil VD1 > 0 et une diode D2 de 
tension seuil VD2 > 0
le dipôle, dit tête-bêche, représenté sur la partie droite de la figure 6.

Figure 6 ­ Description d'une diode (à gauche) et d'un montage à diode en 
tête-bèche (à droite)

o ­ 23. Tracer la caractéristique courant-tension id = f (ud ) de la diode D.
Établir la caractéristique courant-tension i = g(u) du dipôle tête-bèche puis 
tracer cette
caractéristique. On précisera l'état des deux diodes (passante ou bloquée) sur 
les différentes zones apparaissant dans cette caractéristique.
On considère le montage de la figure 7 réalisé avec un amplificateur linéaire 
intégré nommé
(A4) supposé idéal, de gain infini et fonctionnant en régime linéaire. On 
suppose que les deux
diodes D1 et D2 implantées dans ce montage sont parfaitement identiques et de 
même tension
seuil VD > 0.
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Physique II, année 2025 -- filière PSI

Figure 7 ­ Circuit à diodes

o ­ 24. Établir la caractéristique s = h(e) du montage de la figure 7. Cette 
caractéristique fait
apparaitre 3 zones différentes : dans chacune d'entre elles, on précisera 
l'expression de
s = h(e) et la condition que doit vérifier e pour être dans la zone considérée 
en fonction
des résistances R3 , R4 , R5 , R6 et de la tension seuil VD .
o ­ 25. Pour R5 = 500 , R3 = R4 = R6 = 1,00 k, tracer la caractéristique s = 
h(e) : on
précisera la valeur numérique des pentes des droites apparaissant sur le tracé 
ainsi que
l'expression des coordonnées des points remarquables en fonction de VD : 
extrema, intersections avec l'axe des abscisses.
Grâce à un montage en laboratoire, on a pu relever le tracé de la 
caractéristique s = hexp (e)
correspondant au circuit de la figure 7. Cette caractéristique est reproduite 
sur la figure 8.

Figure 8 ­ Relevé expérimental de la caractéristique s = hexp (e) du montage de 
la figure 7

o ­ 26. Comparer précisément le tracé s = h(e) de la question 25 avec le relevé 
expérimental
s = hexp (e) et proposer une interprétation pour les écarts entre les tracés.
Estimer la valeur numérique de la tension seuil VD en supposant que les valeurs 
numériques
des abscisses des points d'intersection du relevé expérimental s = hexp (e) 
avec l'axe des
abscisses s'identifient aux expressions établies dans la question 25.
On suppose pouvoir modéliser la fonction hexp (e) par un polynôme de degré 3 de 
la variable e
de la forme :
hexp (e) ' e e + e e3
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Physique II, année 2025 -- filière PSI

o ­ 27. Déterminer les valeurs numériques de e et
figure 8.

e

fixées par le relevé expérimental de la

On insère maintenant le circuit à diodes de la figure 7, d'entrée e(t) et de 
sortie s(t), dans le
circuit de la figure 5 comme indiqué sur la figure 9 ci-dessous :

Figure 9 ­ Circuit complet

o ­ 28. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension x(t) du 
circuit de la figure 9 en
fonction de R1 , R2 , C1 , C2 , e et e . Commenter.
Si R3 = R4 = R6 = 1 k , quelle condition doit vérifier R5 pour se trouver dans 
une
situation semblable à celle de la question 20 avec lc > l0 ? On expliquera le 
raisonnement.
On souhaite relever expérimentalement sur le montage de la figure 9 des courbes 
analogues à
celles de l'oscillateur mécanique données sur la figure 3.

o ­ 29. Comment avoir accès expérimentalement à une tension proportionnelle à 
x(t) ?
Comment imposer expérimentalement des conditions initiales x(0) et x(0) non 
identiquement nulles dans le montage de la figure 9 ?
Lorsque l'on réalise le montage de la figure 9, les allures des tensions x(t) 
et x(t) relevées
expérimentalement ne sont pas semblables à celles des oscillations mécaniques 
de la figure 3.
On se propose d'interpréter ce fait expérimental en considérant que les 
amplificateurs linéaires
intégrés utilisés ne sont pas idéaux car ils présentent des courants d'entrée 
d'intensités Ip+ et
Ip faibles (de l'ordre du nanoampère) mais non nulles.
Il faut alors reprendre l'analyse du montage de la figure 9 en changeant la 
modélisation des
ALI. Pour ce faire, on peut par exemple introduire deux générateurs de courant 
comme dans le
schéma de la figure 10 où la modélisation de l'ALI réel (A1) apparait entourée 
par des pointillés.

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Figure 10 ­ Circuit avec la modélisation d'un ALI réel

o ­ 30. En supposant les intensités Ip+ et Ip constantes dans le temps, établir 
l'équation différentielle reliant les tensions z(t) et s(t).
Résoudre cette équation en z(t) pour s(t) = S0 sin (!t) en supposant le 
condensateur de
capacité C1 initialement déchargé.
En déduire pourquoi les allures observées des tensions x(t) et x(t) ne sont pas 
celles
attendues ; préciser le phénomène observé.
On place dorénavant une résistance R7 en parallèle avec le condensateur de 
capacité C1 .
o ­ 31. Établir l'équation différentielle reliant les tensions z(t) et s(t) et 
donner la forme générale
(sans préciser toutes les constantes) de z(t) en régime établi pour s(t) = S0 
sin (!t).
En déduire l'intérêt de placer une résistance R7 en parallèle sur le 
condensateur C1 et une
résistance R8 en parallèle sur le condensateur C2 du circuit de la figure 9.
Après avoir placé les deux résistances identiques R7 = R8 = RA , en parallèle 
sur les condensateurs C1 et C2 du circuit de la figure 9 réalisé avec R1 = R2 = 
100 k et C1 = C2 = 10,0 µF,
on obtient les relevés expérimentaux présentés sur la figure 11.

Figure 11 ­ Relevés expérimentaux pour deux conditions initiales différentes 
lorsque une
résistance RA est placée en parallèle sur C1 et C2

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o ­ 32. Commenter et interpréter précisément les allures des tensions x(t) et 
x(t) dans les 2 cas
C et D en faisant le lien avec les questions précédentes.
Quelle propriété possède le circuit vis-à-vis de ses conditions initiales ?
On souhaite que le comportement du circuit de la figure 9 réalisé avec des ALI 
réels soit
le plus proche possible de celui décrit par l'équation différentielle établie à 
la question 28
sur une durée T de l'ordre de la centaine de secondes. En choisissant R1 = R2 = 
100 k,
R3 = R4 = R6 = 1 k, R5 = 500 , C1 = C2 = 10,0 µF et deux résistances R7 = R8 = 
RB , de
valeur identique on obtient finalement les résultats expérimentaux présentés 
sur la figure 12.

Figure 12 ­ Relevés expérimentaux pour trois conditions initiales différentes 
lorsque les paramètres du circuit de la figure 9 sont correctement réglés avec 
une résistance RB placée en
parallèle sur C1 et C2

o ­ 33. En appuyant votre raisonnement sur une équation différentielle que l'on 
essaiera de rapprocher le plus possible de celle de Duffing obtenue à la 
question 28, comparer qualitativement les valeurs de RA (cas C et D de la 
figure 11) et de RB (cas E, F et G de la figure
12).
Apparait-il d'autres conditions que les composants du circuit de la figure 9 
devraient
vérifier pour lui assurer le comportement souhaité ? Les préciser.
FIN DE L'ÉPREUVE

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