Mines Physique 2 PSI 2020

Thème de l'épreuve La lévitation acoustique
Principaux outils utilisés ondes acoustiques, mécanique, conversion de puissance, électrocinétique
Mots clefs lévitation, approximation acoustique, résonance, force de pression, équilibre, onduleur, filtrage, spectre de Fourier, harmoniques, distorsion

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2020 --- PHYSIQUE II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS. MINES PARISTECH.
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE IT - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés les termes de la 
licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique IT, année 2020 -- filière PST

La lévitation acoustique

La lévitation acoustique consiste à maintenir de la matière en suspension au 
sein d'un milieu
fluide ambiant, l'air par exemple, en opposant au poids de l'objet lévitant la 
force résultant
de la pression de radiation d'ondes sonores intenses. La possibilité de mettre 
en lévitation des
échantillons solides ou liquides, de faible masse, est maintenant bien établie, 
et des avancées
récentes laissent entrevoir des applications concrètes de ce procédé.

En 2013. une équipe de chercheurs suisses ! a mis au point un dispositif de 
lévitation acoustique
permettant un transport contrôlé de petits objets. Ils sont ainsi parvenus à 
mélanger une
sgoutelette d'eau et un granulé de café soluble. Cette expérience a priori 
ludique recèle en réalité
des applications technologiques et industrielles extrêmement précieuses, telle 
que le contrôle de
certains procédés chimiques ou biologiques.

En 2015, c'est une équipe de recherche sud-américaine? qui a mis au point un 
dispositif de
lévitation acoustique permettant de transporter des objets avec une grande 
stabilité donc sans
aucun risque d'en perdre le contrôle mécanique, ce qui intéresse 
particulièrement les secteurs
sensibles du nucléaire et de la chimie, où la dangerosité de la matière 
transportée impose de
prendre en compte les risques inhérents aux chocs ou à la dissémination.

Ce problème aborde le principe de la lévitation acoustique de manière 
simplifiée. II comporte
2 parties largement indépendantes : la première modélise le phénomène de 
lévitation acous-
tique, alors que la seconde présente un dispositif de conversion d'énergie 
pouvant alimenter le
transducteur générant les ondes sonores.

Les vecteurs seront surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires (e) et d'une 
flèche dans le cas
général (à). Ainsi dans l'espace cartésien on notera à = &xex + ayey + a,e,. À 
l'exception de j,
tel que 7° -- --1, les nombres complexes seront soulignés.

Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et 
calculer signifie
donner la valeur numérique avec deux chiffres significatifs.

A Z
>. . À « Membrane
I. -- La lévitation grâce à h du
une onde sonore transducteur
Le dispositif de lévitation acoustique est pré- Objet en &
senté et modélisé sur la figure 1. lévitation Ô
Un transducteur, de surface $ -- 10 cm", est en le.
vibration au voisinage de la hauteur h à la vi-
tesse Um(t) = Un sin(wt)e, avec U, = 10 cm: 0 .
1 Il gén d de fré -- © 5
S génère une onde sonore de fréquence f sn

20 kHz supposée plane, harmonique, et pro-
gressive selon la verticale descendante. Cette
onde est {totalement réfléchie par une paroi fixe
placée en z = (0.

Le milieu de propagation est de l'air, supposé
homogène et compressible. Il est caractérisé au

FIGURE 1 -- À gauche : lévitation acoustique
de particules de polystyrène expansé. À droite :
schéma de principe du dispositif de lévitation
acoustique.

repos (en l'absence d'onde sonore) par une masse volumique 49 = 1,2 kg - m * 
uniforme. Les
champs de température et pression sont eux aussi stationnaires ; la température 
7, étant en
outre uniforme alors que la pression est une fonction de z soit P, = Pi(2).

1. D. Foresti, M. Nabavi, M. Klingauf, À. Ferrari and D. Poulikakos, « 
Acoustophoretic contactless transport
and handling of matter in air >, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A, vol. 110 no. 31, 
Janvier 2013, 12549 - 12554
2. M. A. B. Andrade, N. Pérez, J. C. Adamowski, « Particle manipulation by a 
non-resonant acoustic

levitator >, Appl. Phys. Lett., 106, 014101, Janvier 2015

Page 1/6

Tournez la page S.V.P.
La lévitation acoustique

On suppose que la propagation est unidimensionnelle, de célérité c = 3,4 x 10° 
ms"! dans le
milieu. Dans l'approximation acoustique, les champs de pression, masse 
volumique, et vitesse
sont alors décrits respectivement par :

Pit) = Pfz) + pit)

(2,t) -- Ho + 1 (2,t)
U(zt) -- vi(z;,t) EUR,

Les termes p, et 1 sont perturbatifs : pour toutes les valeurs de t et de z 
concernées on a
donc [p1l & [Pl et [ul & [uol. L'évolution du fluide mis en mouvement par 
l'onde sonore est
supposée adiabatique et réversible. Le coefficient de compressibilité 
isentropique sera noté ys
et assimilé à une constante.

J 1 -- Rappeler les hypothèses de l'approximation acoustique. Sauf mention 
contraire, on
suppose ces hypothèses vérifiées par la suite.

J 2 -- On considère une particule fluide, de volume d7, mise en mouvement par 
le passage

de onde sonore. Montrer que, dans l'approximation acoustique, son accélération 
peut s'écrire
Ü

ot

J 3 -- Écrire, en projection sur EUR,, l'équation aux dérivées partielles 
obtenue en appliquant

la relation fondamentale de la dynamique à une particule de fluide de volume dr 
et de masse

uodr. Que donne cette relation si la particule est au repos ? Compte-tenu de 
cette seconde

relation, déterminer finalement une équation aux dérivées partielles reliant 
les seules grandeurs

Ho; U1 et P1:

à --

4 -- Donner les expressions linéarisées des relations locales traduisant, d'une 
part la conser-
vation de la masse, et d'autre part le caractère isentropique de l'évolution du 
fluide sous l'effet
de l'onde acoustique.

J 5 -- Montrer que le champ des vitesses w1(z,t) vérifie une équation de 
propagation de la
forme

Ov: 1 Ov: _p

02 ce O2

Quel est le nom de cette équation ? Exprimer c en fonction des paramètres 
pertinents.

J 6 -- On note À la longueur d'onde associée au phénomène propagatif décrit à 
la question
précédente. On suppose que les transferts thermiques dans le milieu sont de 
type diffusif. On
note & = 3,0x107? W:m_!l.K-1 la conductivité thermique de l'air et c, = 1,0x10° 
J-K-Lkg" sa
capacité thermique massique à pression constante. Par un raisonnement en ordre 
de grandeur,
montrer que l'hypothèse d'adiabaticité n'est valide que si la fréquence f de 
l'onde est inférieure
à une valeur fmax que l'on exprimera, en fonction de K, Ho, & et c. Qu'en 
est-il dans le cadre
de cette expérience ?

J 7 -- On note z,(t) la position de la membrane du transducteur au voisinage de 
h. Exprimer
puis calculer l'amplitude Z,, de vibration de z,(t). On pourra prendre (47)! = 
8,0 x 1077.

J 8 -- On s'intéresse à l'onde sonore résultante entre le transducteur et le 
réflecteur. Justifier
la condition aux limites
Um(t) TS vi(h,t)

J 9 -- Déterminer complètement la vitesse v1(z,t) dans l'espace 0 < z < h et exprimer son amplitude maximale V en fonction de U,,, h, w et c. Page 2/6 Physique IT, année 2020 -- filière PST 1 10 -- Déterminer les positions spatiales des maxima de vitesse en fonction de À et d'un entier n. Commenter ce résultat. Montrer que l'amplitude V. des maxima diverge pour certaines pulsations w,. En pratique, quels phénomènes limitent la valeur de V. ? J 11 -- Exprimer la surpression p1(2,t) associée à v1(z,t). On considère une bille, de rayon a EUR À et donc assimilable à un volume élémentaire sans influence sur la propagation de l'onde acoustique. Déterminer la résultante F des forces de pression s'exerçant sur la bille, ainsi que sa moyenne temporelle (F ). Le modèle étudié jusqu'à présent permet-il d'interpréter la lévitation de cette bille ? 1 12 -- On règle dorénavant la valeur de h de manière à obtenir V, -- 50m sl. Pourquoi n'est-il plus possible de se placer dans l'approximation acoustique ? qe v(z;t) où les termes d'indice 0 sont les grandeurs constantes au repos (en l'absence d'onde sonore), les termes d'indice 1 sont les solutions étudiées précédemment et les termes d'indice 2 sont des corrections d'ordre 2, résultant des termes non linéaires des équations aux dérivées partielles décrivant le phénomène. On pose maintenant : Pi(2) + pi(zit) + pa(zt) vi(2,t) + vo(z,t) J 13 -- On admet que la surpression p:(2,t) est de la forme 1 pa(z;t) -- n 20 2 LS VS cos (=) + f(z) cos(2wt) C où f(z) est une fonction dont il n'est pas nécessaire de connaître l'expression. Déterminer les valeurs des entiers £ et q. Déterminer la moyenne temporelle (F,) (2) de la résultante des forces de pression qui s'exercent sur la bille. J 14 -- Montrer, sans les déterminer explicitement, qu'il existe des positions d'équilibre tant que la masse volumique 4 de la bille reste inférieure à une valeur {44 max dont on précisera l'expression. En vous appuyant sur une représentation graphique de la force moyenne (F,) (2), discuter la stabilité des positions d'équilibre. J 15 -- Calculer Uy max EURt proposer une estimation de la masse maximale My max d'une bille susceptible de léviter avec le dispositif présenté ici. Commenter les valeurs numériques. 1 16 -- Comme on le voit sur la figure 1 le dispositif permet de faire léviter plusieurs objets. Quelle est la distance qui les sépare ? Exprimer le nombre maximal de ces objets en fonction de À et À. J 17 -- On observe que les objets en lévitation dans ce dispositif ont un petit mouvement d'oscillation de pulsation & au voisinage de leurs positions d'équilibre. Déterminer l'expression de &w en fonction des paramètres du problème. FIN DE LA PARTIE I Page 3/6 Tournez la page S.V.P. La lévitation acoustique II. -- Alimentation du transducteur Pour générer les ondes sonores requises pour la lévita- tion acoustique, il est nécessaire d'alimenter le trans- \ K; K Ne ducteur avec une alimentation alternative sinusoïdale de fréquence ajustable. i(t) charge On dispose d'une source de tension continue de force £ électromotrice constante positive Æ et on utilise le u(t) montage de la figure 2 pour effectuer la conversion / / d'énergie souhaitée. N #1 F2 N 1 18 -- Quel est le nom de ce convertisseur ? Citer deux exemples d'applications importantes de ce type de dispositif. FIGURE 2 --- Dispositif de conversion. 19 -- Le fonctionnement des interrupteurs permet d'obtenir, aux bornes de la charge, la tension u(t) en forme de créneaux à paliers nuls, représentée sur la figure 3. Présenter, sous la forme d'un tableau, les séquences possibles des états des interrupteurs K1, K2, K° et K, dans cet ordre, permettant d'obtenir u(t). Les états ouvert et fermé seront respectivement notés 0 et 1. Sur une période T°, la durée totale de fermeture, ou d'ouverture, des chacun des interrupteurs est 1/2. En justifiant physiquement la réponse, que peut-on dire des états respectifs des interrupteurs de chacun des couples (K:,K;) et (K2,K4). --_2to-- <2to-- no TR [Tr  ? -- E, FIGURE 3 -- Tension u(t) aux bornes de la charge. x Le developpement en série de Fourier du signal u(t), de période T = --, est donnée par W . AE to Lt) = b in |(2 1)wt b = 2 1 t a=27-- u(t) 2_ 2p+1 Sin [(2p + l)wt] avec bo,:: Gp+ Dr cos [(2p + 1)al et à TT 1 20 -- Expliquer brièvement pourquoi, un choix judicieux de l'origine des temps a permis de simplifier le developpement en série de Fourier u(t). Pour quelle raison peut-on savoir sans calcul que tous les termes 2, avec p EUR N sont nuls ? Page 4/6 Physique IT, année 2020 -- filière PST Sur la figure 4 ci-dessous, sont représentées, en fonction de {o, les allures des quatre premiers harmoniques non nuls de u(t) soit p = 0,1,2 et 3. À T bap+ 1] Ar FIGURE 4 -- Amplitudes des premiers harmoniques du signal u(t) en fonction de to. J 21 -- Quelle valeur de {, pourrait-on choisir pour que la tension u(t) s'approche au mieux d'un signal sinusoïdal ? Comparer alors les amplitudes de l'harmonique fondamental (p -- O0) et des deux premiers harmoniques non nuls restants. On commentera le résultat. J 22 -- On définit le taux global de distorsion harmonique par \/U? -- U? U; T --= où U est la valeur efficace du signal u(t) et U}; celle du fondamental. Exprimer U et U; en fonction de £, t, et T puis calculer numériquement le taux de distorsion pour la valeur de to choisie à la question 21. Comparer au cas d'un signal créneau sans palier nul (to = 0). Le taux de distorsion trouvé précédemment est trop élevé pour alimenter convenablement le transducteur et une opération de filtrage est nécessaire afin d'atténuer les harmoniques restantes du signal u(t). Pour ce faire, on installe en série avec la charge supposée purement résistive et de résistance r, un dipôle fortement inductif, modélisé par une bobine idéale non résistive et d'inductance L. NX NX it) «-- «-- E -->
L T

dd
_«

NX u() NX

FIGURE 5 -- Dispositif de conversion d'énergie et filtrage r -- L.

J 23 -- Montrer que la tension u,(t) est le résultat d'une opération de 
filtrage dont on
précisera la nature et la pulsation de coupure w...

Page 5/6 Tournez la page S.V.P.
La lévitation acoustique

1 24 -- Déterminer l'expression générale de la tension u,(t) en fonction des 
b2,:1, de w, et
de w.
25 -- On reprend la valeur de & choisie à la question 21 et on règle la valeur 
de ZL de sorte

que w,. = w. Comparer les amplitudes du fondamental et des deux premières 
harmoniques non
nulles restantes. En déduire une forme approchée du signal u,(t) puis 
représenter son allure en
concordance des temps avec le signal u(t).

FIN DE LA PARTIE II

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PSI 2020 -- Corrigé

Ce corrigé est proposé par Émilie Frémont (professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Jérôme Lambert (enseignant-chercheur à l'université) et Vincent Freulon 
(professeur
en CPGE).

Qu'elle soit d'origine acoustique, magnétique ou encore optique, la lévitation 
est
un phénomène physique qui fascine les petits comme les grands et, parmi eux, les
physiciens. Depuis quelques années, plusieurs équipes de recherche sont 
parvenues à
faire léviter, grâce à une onde acoustique, de petites billes de polystyrène. 
Au-delà de
son aspect ludique, la lévitation acoustique de petites particules ou de 
gouttelettes
pourrait offrir de nouvelles perspectives en biologie, en chimie analytique, ou 
encore
dans l'industrie nucléaire. Ici, le sujet propose d'aborder le principe de la 
lévitation
acoustique de manière simplifiée, à travers deux parties totalement 
indépendantes.
· Dans la première partie, on s'intéresse au dispositif de lévitation 
acoustique le
plus simple qui puisse être envisagé : un émetteur piézoélectrique placé face à
un réflecteur plan génère une onde acoustique stationnaire résonante. On 
détermine le champ de pression caractéristique de cette onde puis la résultante 
des
forces de pression subies par une bille en présence de l'onde. Cela mène à une
discussion sur l'existence de positions d'équilibre et leur stabilité. Cette 
partie,
plutôt guidée, sollicite des notions et méthodes classiques du cours consacré
aux ondes acoustiques dans les fluides, ainsi qu'à la mécanique du point et à la
statique des fluides.
· La partie II est consacrée à un pan concret de la mise en oeuvre du dispositif
de la partie I : l'alimentation de l'émetteur piézoélectrique par un 
convertisseur
de puissance. Une fois identifiée la séquence de commande des interrupteurs
électroniques, on détermine les conditions qui permettent d'obtenir une tension
d'alimentation alternative quasi-sinusoïdale. Pour cela, il faut maîtriser le 
cours
sur le filtrage linéaire et savoir exploiter le développement en série de 
Fourier
(fourni) d'un signal périodique.
Construit de manière résolument progressive et de longueur raisonnable, ce sujet
comporte un nombre significatif de questions de cours. En outre, il propose de 
nombreuses séquences d'interprétation physique, permettant aux candidats de 
montrer
leur capacité à saisir les enjeux d'un dispositif concret, contemporain et 
stimulant.
Enfin, le bon équilibre du questionnement entre restitution des acquis, 
pratique calculatoire et interprétation physique fait de ce sujet un excellent 
support de révision.

Indications
Partie I
2 Commencer par montrer que

v1
v1 

-
-
a =
+ v1
ez
t
z
puis simplifier cette expression dans le cadre de l'approximation acoustique.
6 La longueur d'onde doit être beaucoup plus grande que la distance sur laquelle
l'énergie thermique diffuse pendant une période. Dans un milieu de diffusivité 
D,

la distance
 caractéristique de diffusion ` est reliée à la durée t du phénomène

par `  D t .
8 Comparer Zm à .
9 Le dispositif étudié présente de fortes similitudes avec la corde de Melde. 
On peut
donc chercher v1 sous la forme d'une onde stationnaire de pulsation .
11 Utiliser une des équations de couplage entre les champs v1 et p1 pour 
déterminer
l'expression de ce dernier.
Avec l'hypothèse fournie, la résultante des efforts de pression, qui s'exercent 
sur
la bille de volume V, est donnée par

-
--
F = - V grad P(z, t)
14 La stabilité d'une position d'équilibre z eq dépend du signe de la dérivée 
de hFz i
en z = z eq .
16 La période spatiale de hFz i correspond à /2.
17 Poser z(t) = z eq + (t). À la limite |(t)|  , montrer que (t) vérifie 
l'équation
différentielle d'un oscillateur harmonique pour une position d'équilibre stable.
Partie II
19 La source d'entrée ne doit jamais être court-circuitée, tandis que la charge 
ne doit
jamais se retrouver en circuit ouvert.
20 Considérer la symétrie du signal sur l'intervalle [0, T/2] pour justifier 
que les
coefficients b2p (p entier naturel) sont nuls.
21 L'harmonique p = 1 est celui qui contribue le plus à la distorsion du signal.
24 Déterminer le signal filtré associé à un harmonique quelconque de la tension 
u,
puis exploiter la linéarité de l'opération de filtrage pour exprimer ur sous 
forme
d'une somme.

La lévitation acoustique
I. La lévitation grâce à une onde sonore
1 La propagation d'une onde acoustique dans l'air entraîne une perturbation de
l'état du fluide par rapport à son état thermodynamique au repos. Cette 
perturbation
est traduite par l'introduction des champs p1 , µ1 et v1 dans la modélisation.
L'approximation acoustique consiste à supposer que :
· |p1 |  P0 et |µ1 |  µ0 (ces deux hypothèses sont déjà mentionnées
dans l'énoncé) ;
· |v1 |  c où c désigne la célérité du son dans le fluide support.
Dans le cadre de cette approche perturbative, les équations régissant le
comportement du fluide en présence de l'onde sonore peuvent être simplifiées
en ne conservant que les termes de plus petit ordre non nul relativement aux
champs p1 , µ1 et v1 , ainsi qu'à leurs dérivées partielles.
2 Supposons que la particule de fluide étudiée se trouve à l'abscisse z à 
l'instant t.

-
Dans le référentiel du laboratoire, sa vitesse instantanée V est alors

-
-
-
V (t) = 
v (z, t) = v1 (z, t) 
ez
À l'instant t + dt, cette même particule de fluide se trouve en z + v1 (z, t) 
dt et sa
vitesse instantanée s'écrit désormais

-

-
-
V (t + dt) = 
v z + v1 (z, t) dt, t + dt = v1 z + v1 (z, t) dt, t + dt 
ez

-
Par définition, son accélération a (t) à l'instant t est donnée par

-

-
V (t + dt) - V (t)

-
a (t) = lim
dt0
dt

v1 z + v1 (z, t) dt, t + dt - v1 (z, t) 
-
'
ez
dt
v1
v1
-
-

-
(z, t) 
ez + v1 (z, t)
(z, t) 
ez
a (t) '
t
z
|
{z
} |
{z
}
ordre 1 en v1

ordre 2 en v1

On néglige le terme d'ordre 2 en v1 devant le terme d'ordre 1, ce qui donne
-
v1

v

-
-
a =
(z, t) 
ez =
(z, t)
t
t
Il est également possible de raisonner sur les ordres de grandeur. Notons v1
l'ordre de grandeur caractéristique de v1 , alors
v1
 f v1
t

et

v1

v 2
v1
 1
z

où f est la fréquence de l'onde et  = c/f sa longueur d'onde. Ainsi
v1
v
z
 1  1
v1
c
t

v1

Publié dans les Annales des Concours

3 Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, en l'absence de tout 
phénomène
dissipatif qui serait source d'irréversibilité, la particule de fluide 
envisagée dans la
question précédente est soumise uniquement à :
-
· son poids µ d 
g ;
0

--
· la résultante des efforts de pression - grad P(z, t) d .
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule de fluide 
s'écrit
--
-
-
µ0 d 
a (t) = µ0 d 
g - grad P(z, t) d
-
Après projection selon 
ez et simplification par d , il en découle
µ0

v1
P
(z, t) = -µ0 g -
(z, t)
t
z

(1)

Dans le cas particulier de l'état de repos, l'équation établie reste valable ; 
alors
v1 = 0

et

P(z, t) = P0 (z)

0 = -µ0 g -

Il apparaît que

dP0
(z)
dz

ce qui permet de simplifier l'équation (1) sous la forme
µ0

v1
p1
(z, t) = -
(z, t)
t
z

(2)

4 Une fois linéarisée dans le cadre de l'approximation acoustique, l'équation 
locale
de conservation de la masse devient
µ1
v1
(z, t) + µ0
(z, t) = 0
t
z

(3)

L'équation d'évolution isentropique de la particule de fluide s'écrit quant à 
elle
µ1 (z, t) = µ0 S p1 (z, t)

(4)

L'énoncé demande de « donner » les équations ci-dessus ; cela sous-entend
qu'il n'est pas demandé de les établir.
5 Injectons tout d'abord l'équation (4) dans l'équation (3). Après 
simplification
par µ0 , il vient
S

v1
p1
(z, t) +
(z, t) = 0
t
z

(5)

Associée à l'équation (2), l'équation (5) fait apparaître un couplage 
spatio-temporel
entre les champs p1 et v1 . Dérivons l'équation (2) par rapport à t et 
l'équation (5)
par rapport à z :

 2 v1
 2 p1

µ
(z,
t)
+
(z, t) = 0
0

t2
t z
2
2

  p1 (z, t) +  v1 (z, t) = 0
S
z t
z 2