Mines Physique 2 PSI 2017

Thème de l'épreuve La mission spatiale Rosetta
Principaux outils utilisés mécanique du point, électromagnétisme, conversions électronique et électromécanique de puissance
Mots clefs pression de radiation, comète, effet Poynting-Robertson, machine synchrone, commande MLI, modulation à largeur d'impulsion, MLI

Corrigé

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A2017 ­ PHYSIQUE II PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2017 DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE Durée de l'épreuve : 4 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Physique II, annee 2017 -- filiere PSI La mission spatiale Rosetta Ce sujet propose de revenir sur l'exploit realise par l'Agence Spatiale Europeenne lors de l'accomplissement de la mission Rosetta. Cette mission consistait a rejoindre la comete 67P Churyomov ­ Gerasimenko (rebaptisee Churry a cette occasion) sur son orbite a plusieurs centaines de millions de kilometres de la Terre. Une fois sur place la sonde devait etudier l'environnement de Churry en se satellisant autour d'elle. Une fois ce premier exploit realise le 6 aout 2014, la sonde Rosetta devait envoyer un robot, nomme Philæ, pour qu'il se pose sur la comete et realise une etude in situ. Ce robot a reussi a se poser sur la comete le 12 novembre 2014, il a ensuite realise sa mission de facon quasinominale pendant 3 jours dans des conditions physiques extremes. Il a ensuite transmis les donnees recueillies vers Rosetta toujours en orbite autour de Churry. Rosetta les a ensuite envoyees vers la Terre ou nous les avons recues quelques dizaines de minutes plus tard. La realisation complete de cette mission aurait pu etre presentee comme un exploit retentissant de la conquete spatiale, n'ayant rien a envier aux premiers pas de l'homme sur la Lune. Cependant, le fait que Philæ se soit pose de facon peu stable, le traitement mediatique de ce genre d'evenement, et bien d'autres facteurs plus complexes, n'ont pas permis de se rendre compte de l'incroyable performance scientifique realisee a l'occasion de cette mission. Ce sujet revient sur differents aspects de la problematique associe a cette mission. La premiere partie consiste en l'etude des proprietes orbitales de Churry, la seconde partie consiste en une etude de l'environnement des cometes du type de Churry et notamment de sa chevelure et de sa queue. La derniere partie est une etude technique de la motorisation de la foreuse de Philæ. Ces trois parties sont totalement independantes. Les resultats numeriques des calculs seront des ordres de grandeurs ne possedant au plus qu'un seul chiffre significatif. Les valeurs numeriques utiles sont rassemblees en fin d'enonce. Hormis le nombre j tel que j 2 = -1, les grandeurs complexes sont soulignees. Une quantite surmontee d'un point designe dr la derivee temporelle de cette quantite : r = . dt I. -- Etude de la comete 67P Churyomov ­ Gerasimenko La comete etudiee s'appelle Churyomov ­ Gerasimenko, du nom des scientifiques ukrainiens M. Churyumov, l'utilisateur du telescope, et Mme Gerasimenko, la comparatrice d'images, qui l'ont codecouverte en 1969. Cette comete mesure entre 3 et 5 km de diametre et tourne sur elle-meme en une douzaine d'heures. Voila a peu pres tout ce que l'on savait sur la comete objet de Rosetta et Philae. Les estimations sur sa masse, varient, quant a elles, d'un facteur 10 et sa forme exacte restera un mystere jusqu'en juillet 2014 date de la premiere photo envoyee par Rosetta. Le noyau de la comete n'a pu etre observe que depuis la Terre (le Very Large Telescope au Chili en lumiere visible ou proche infrarouge) ou les satellites tournant autour de la Terre (Hubble en lumiere visible, Spitzer en moyen infrarouge). De ces observations ont ete tirees des courbes de lumiere qui, elles-memes, ont permis de determiner quelques unes de ses caracteristiques. 1 -- En appliquant le principe fondamental de la mecanique (Comète) ! Centre a une comete de masse m en orbite circulaire de rayon R autour de l'ellipse $ du Soleil, retrouver la 3e loi de Kepler. Dans le cas d'une orbite % %& elliptique, on peut demontrer que cette relation se generalise en "# remplacant le rayon R par le demi grand axe a de l'ellipse (voir (Soleil) figure 1). En deduire la relation entre le demi-grand axe a de Aphélie Périhélie l'ellipse parcourue par la comete, la periode T de la comete, la masse du Soleil M et la constante de gravitation G. Determiner Figure 1 ­ Orbite elliptique d'exla valeur numerique de la periode Tc de la comete Churry. On centricite e et de demi-grand axe a. donne 2ac = 33 · 1011 si et on prendra 1 an 31 · 108 secondes. 2 -- On ne suppose plus la trajectoire circulaire, et on note "r le vecteur position de la comete dans le referentiel heliocentrique et r = #"r#. Donner l'expression du moment cinetique "s de la comete par rapport au Soleil. Montrer que la trajectoire de la comete est contenue dans un plan que l'on precisera. Determiner l'expression de C = "!ms " en fonction des coordonnees polaires (r,) de la comete dans ce plan. Page 1/7 Tournez la page S.V.P. La mission spatiale Rosetta 3 -- Etablir la relation 12 mr2 = Em - Eeff (r) ou Em est l'energie mecanique supposee negative de la comete et Eeff (r) son energie potentielle effective que l'on exprimera en fonction de C, G, m, M et r. Tracer la representation graphique de Eeff (r), et positionner sur ce graphique Em , l'aphelie rmax et le periphelie rmin (voir figure 1). 4 -- Montrer qu'il existe une trajectoire circulaire correspondant a r = rmin = rmax = r0 et Em = E0 . Determiner l'expression de r0 en fonction de C, G et M puis en deduire celle de E0 en fonction de C, G, M et m. On note respectivement Ec (r) et Ep (r) les energies cinetique et potentielle de la comete a la distance r du Soleil, determiner la relation entre Ec (r0 ) et Ep (r0 ). 5 -- Etablir l'equation du second degre en r dont rmin et rmax sont solutions, qui permet de deduire l'expression de Em en fonction de G, m, M et a. On donnera cette expression. Apres avoir montre que son discriminant est bien positif, resoudre l'equation et determiner la relation liant e a Em , C, a et m. 6 -- Quelle est la propriete de la vitesse areolaire de la comete, rapport de la surface balayee par le rayon vecteur de la comete sur le temps mis par la parcourir ? Quel est l'astronome qui a identifie cette propriete quiporte son nom ? Sachant que l'aire d'une ellipse d'excentricite e et de demi-grand axe a est S = a2 1 - e2 , determiner la relation entre la periode de la comete et le demi-grand axe de l'ellipse. Commenter le resultat obtenu. Rosetta a beneficie de 4 assistances gravitationnelles afin d'acquerir l'energie necessaire pour rejoindre la comete sur son orbite. La precision requise pour l'accomplissement de cet exploit est absolument insensee : fenetre de quelques kilometres entre des objets sur des orbites gravitationnelles a des vitesses de l'ordre du kilometre par seconde, a plusieurs centaines de millions de kilometres de la Terre. Peu de gens ont pris conscience de l'exploit realise par les ingenieurs de l'Agence Spatiale Europeenne. 7 -- Qu'entend-on par assistance gravitationnelle ? On etaiera sa reponse par un schema explicatif. FIN DE LA PARTIE I II. -- Etude de la chevelure et de la queue de la comete Le noyau des cometes est essentiellement compose d'une neige sale (un melange de glace et de grains de toutes tailles) d'environ 10 km de rayon. En se rapprochant du Soleil sur une orbite elliptique, la glace situee sur la surface de ce noyau se sublime et il s'entoure d'une sorte d'atmosphere de gaz et de poussiere : la chevelure. La taille caracteristique de cette chevelure est de l'ordre de 105 km. Le materiel de cette chevelure interagit avec d'une part la lumiere du Soleil et d'autre part le plasma emis par notre etoile : le vent solaire. Le produit de cette interaction est la partie la plus souvent visible d'une comete depuis la Terre : la queue. Elle est environ dix fois plus etendue que la chevelure, mais dans une seule direction. Une fois la chevelure et la queue formees, le telescope Subaru installe a plus de 4000 metres d'altitude sur l'ile d'Hawai a pu prendre une photo de Churry mettant en evidence de nombreux details. Taille de la Terre Traînée de poussière Chevelure Queue de poussière Photo 2 ­ Photo de la comete Churry prise avec le telescope Subaru prise le 8 mars 2016 alors que la comete se trouvait entre les orbites de Mars et de Jupiter. Le temps de pose de la photo est de 6 minutes. Page 2/7 Physique II, annee 2017 -- filiere PSI II.A. -- Taille critique d'un grain dans la chevelure On considere un grain de poussiere spherique de la chevelure de la comete et on assimile la densite volumique de ces grains a celle de la chevelure notee et supposee constante. On note R le rayon du grain et r sa distance au Soleil. Les ondes electromagnetiques associees au rayonnement du Soleil exercent une pression Pr sur toute surface sur laquelle elles s'appliquent. On montre que cette pression s'ecrit sous la forme Pr = #$ c ou %& est la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting associe a ces ondes, et sont deux nombres entiers et c la vitesse de la lumiere. 8 -- Apres avoir rappele la definition du vecteur de Poynting et de son flux a travers une surface orientee, preciser les valeurs de et . Comment peut-on interpreter la pression de radiation ? Dans le cas du rayonnement d'une etoile, le flux total d'energie est appele luminosite. Elle est supposee isotrope et notee L ou L pour le Soleil dont la valeur est precisee en fin d'enonce. On definit egalement la brillance B(r), ou flux radiant, d'une etoile comme la puissance disponible par unite de surface a une distance r de l'etoile. 9 -- En utilisant par exemple des arguments dimensionnels determiner la relation entre B(r) et %& dans le cas du Soleil. En deduire l'intensite Fr de la force exercee par la pression de radiation sur un grain de section = R2 . 10 -- En considerant que la repartition de la masse du Soleil est a symetrie spherique, determiner l'expression du champ gravitationnel cree par le Soleil a l'exterieur de celui-ci. En deduire l'intensite F Fg de la force de gravitation exercee par le Soleil sur le grain considere. Exprimer le rapport = Fgr en fonction de G, M , R, , c et L . Commenter ce resultat. 11 -- En prenant = 3 g · cm-3 , determiner l'ordre de grandeur d'un rayon critique de grain Rc permettant d'expliquer, sur la photo 2, la presence d'une part d'une queue et d'autre part d'une trainee de poussiere tracant l'orbite de la comete. Comment peut-on reperer la direction du Soleil sur la photo 2 ? On indiquera la composition de ces deux structures en fonction de Rc . Pour le calcul on prendra G = 21 × 10-11 m3 · kg-1 · s-2 . II.B. -- Effet Poynting-Robertson Les grains laisses sur son orbite par une comete finissent par tomber vers le Soleil, c'est l'effet PoyntingRobertson. Soit un grain de poussiere spherique de rayon R en orbite circulaire de rayon r dans le systeme solaire. Il absorbe et reemet en totalite la radiation qu'il recoit du Soleil. Le fait que ce grain soit en mouvement rend cette reemission non isotrope et principalement selon l'axe dirige par la direction de sa vitesse : c'est un effet relativiste appele aberration. Cette non isotropie induit une perte de moment cinetique qui conduit au fait que le grain tombe vers le Soleil selon une trajectoire spirale. 12 -- En supposant que toute la puissance absorbee par le grain est reemise, quelle serait la luminosite d'un grain de section a une distance r du Soleil. Faire l'application numerique pour un grain de 1 centimetre de rayon se situant entre Mars et Jupiter a une distance r = 5 × 108 km du Soleil. 13 -- En supposant que les photons reemis emportent une masse effective m = E /c2 et en faisant par exemple un bilan de moment cinetique entre t et t + dt, montrer que l'intensite du moment ! R "2 L cinetique orbital des grains L = mvr verifie l'equation differentielle L = - rc 4m L 14 -- En supposant la decroissance du moment cinetique tres faible, on peut considerer que le grain est constamment sur une orbite circulaire dont le rayon diminue tres doucement. En separant les variables pour resoudre l'equation de la question precedente, determiner dans ces conditions le temps t mis par un grain spherique de rayon R et de densite volumique de masse constante pour tomber sur le Soleil a partir d'une distance initiale r tres grande devant le rayon du Soleil r . On exprimera t en fonction de , c, R, r et L . Page 3/7 Tournez la page S.V.P. La mission spatiale Rosetta 15 -- Determiner la taille du plus gros grain spherique qui a pu spiraler jusqu'au Soleil en partant de l'orbite de Mars depuis la formation du systeme solaire il y a 4,5 milliards d'annees (soit 17 10 secondes). Afin de simplifier ce calcul, on prendra pour Mars un distance moyenne de 5 millions 1 = 7 × 10-3 . de km et on donne 45 FIN DE LA PARTIE II III. -- Etude de la motorisation de la foreuse du robot Philæ Le robot Philæ avait notamment pour mission de forer le sol de la comete sur une profondeur de 40 cm. Il n'a pu realiser pleinement cette partie de sa mission car le site sur lequel il s'est finalement pose apres trois rebonds etait trop incline. Il a cependant pu faire de tres nombreuses mesures dont l'analyse permettra de mieux comprendre la formation du systeme solaire. Dans cette partie nous allons etudier les caracteristiques techniques du moteur de sa foreuse. Il s'agit d'un moteur synchrone associe a un onduleur de tension. Cette structure permet de concevoir un dispositif robuste de forte puissance, delivrant un fort couple et presentant une bonne duree de vie, toutes ses qualites etant ici necessaires. Afin de simplifier l'etude, les pertes mecaniques ainsi que les pertes fer de ce moteur synchrone seront negligees. Finalement, le moteur sera assimile a une machine synchrone diphasee dont les deux enroulements statoriques sont identiques. III.A. -- Essais prealables L'inducteur du moteur synchrone de la foreuse de Philæ est a aimants permanents et possede 8 + , poles, soit 4 paires de poles. Chaque bobinage du stator possede une resis'() , * 0 + tance de 0,03 . / L'intensite nominale du courant dans un enrou. lement du stator est IN = 155 A. Pendant une + duree limitee, elle peut atteindre la valeur maxi- Fig. 3 ­ Schema electrique et diagramme vectoriel male IM = 185 A. d'une phase du moteur. La machine est etudiee en convention recepteur. Le modele equivalent a une phase de l'induit est represente sur la figure 3. Les tensions et courants sont supposes sinusoidaux de pulsation = 2f . Afin de determiner les parametres du modele, divers essais ont ete effectues : -- Essai n 1 : sur un banc d'essais, on a entraine la machine synchrone a vide par l'intermediaire d'un moteur auxiliaire a la vitesse n = 1500 tr · min-1 . Aux bornes d'une phase, on a mesure une tension simple de 57 V. -- Essai n 2 : avec une alimentation electrique appropriee, on a effectue un essai de la machine en moteur a 1500 tr · min-1 pour lequel = 0, I = IM = 185 A, et V = 72 V. 16 -- On admet qu'en regime permanent de vitesse, la condition de synchronisme pour un moteur possedant p paires de poles s'ecrit = p, ou designe la vitesse de rotation du rotor en rad · s-1 . Determiner la frequence des tensions statoriques quand n = 1500 tr · min-1 . 17 -- Representer le diagramme vectoriel relatif a l'essai n 2. La resistance R n'etant pas negligee, en deduire la valeur de L. 18 -- La valeur efficace de la force contre-electromotrice E a pour expression E = 0 . Quelle est l'unite de la constante 0 ? Que represente-t-elle ? De quels parametres de la machine depend-elle ? Montrer que E = A, ou A est une constante dont on precisera l'expression et la valeur numerique. Dans toute la suite on negligera la chute de tension ohmique ainsi que les pertes par effet Joule dans les circuits statoriques. 19 -- Tracer un diagramme vectoriel representatif d'un point de fonctionnement quelconque dans le cas ou 0 < < 2 . En deduire une relation entre V , E, et . 20 -- Determiner l'expression de la puissance electrique absorbee par le moteur Pa en fonction de V , I et puis en fonction de E, I et . Quelle relation existe-t-il entre cette puissance electrique Pa et la puissance mecanique electromagnetique Pm recue par le rotor ? Page 4/7 Physique II, annee 2017 -- filiere PSI 21 -- Exprimer le couple electromagnetique C developpe par le moteur en fonction de A, I et . Pour une intensite efficace I donnee, que doit-on faire pour maximiser le couple developpe par la machine ? De quelle unique variable le couple depend-il alors ? A quel autre moteur ce fonctionnement fait-il penser ? 22 -- On se placera sur un point de fonctionnement a = 0, I = IN , et n = 1500 tr · min-1 . Que vaut le moment du couple C developpe par le moteur ? Representer le diagramme vectoriel representatif du fonctionnement. Placer les vecteurs representatifs des complexes E, V , I. En deduire les expressions de V et . Calculer leurs valeurs numeriques correspondantes. On pourra considerer que 13 12 . III.B. -- Etude simplifiee de la logique de commande mli Le moteur est alimente par un onduleur a commande mli (Modulation de Largeur d'Impulsion). Nous simplifierons l'etude de l'onduleur par le schema monophase de la partie gauche de la figure 4. +-cc Comp. $4 !4 $1 !1 ¡-cc Vers la commande de 11 et 13 -13 0 volt #ch + -T -C Charge " ch +-cc Comp. $2 !2 $3 !3 Vers la commande de 12 et 14 -24 ¡-cc 0 volt Fig. 4 ­ Schema de l'onduleur (a gauche) et de son circuit de commande (a droite) Les deux comparateurs a base d'ali supposes ideaux sont alimentes entre +Vcc et -Vcc . La tension de sortie de ces deux comparateurs commute entre +Vcc et -Vcc . Lorsque la tension de sortie d'un comparateur est au niveau +Vcc , les interrupteurs associes sont commandes a la fermeture ; quand cette tension est au niveau -Vcc , les interrupteurs associes sont commandes a l'ouverture. Les tensions VT et VC sont definies sur la partie droite de la figure 4 representant le circuit de commande de l'onduleur. Leurs chronogrammmes sont representes sur la figure 5. 23 -- Representer sur la copie en concordance des temps les signaux VT , VC ainsi que les chronogrammes de V13 et V24 . Calculer la date t1 en fonction de T , VC et VT,m . +-T,m -C 1 0 2 21 -T ¡-T,m Fig. 5 ­ Chronogrammmes des tensions VT et VC . 24 -- En deduire l'allure de la tension vch (t). Determiner l'expression du rapport cyclique de la tension vch (t) en fonction de VC et VT,m . Quel inconvenient presente ce type de commande ? La commande reelle permet d'alimenter le moteur avec une tension dont la forme est representee sur la figure 6. Les angles 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 # $ compris dans l'intervalle 0, et representes sur la figure 6 sont fixes, les suivants, situes dans les # $ # 3 $ # 23 $ intervalles 2 , , , 2 et 2 , 2 s'en deduisent par symetrie. eff de la tension v (t) en fonction des angles 25 -- Exprimer la valeur efficace Vch i=1,...,6 et de la ch tension E. Si l'on note f la frequence du fondamental de vch (t), la commande mli permet de faire en sorte que eff Vch f = cte et d'eliminer les harmoniques de tension les plus genants. Page 5/7 Tournez la page S.V.P. La mission spatiale Rosetta # ch ' 0 3& 2 % 1 %2 % 3 %4 % 5 %6 & 2 & 2& ( = )* ¡' Fig. 6 ­ Commande reelle d'alimentation 26 -- Les symetries du signal vch permettent d'etablir que seuls les harmoniques de rangs impairs figurent dans son spectre. Donner l'allure de ce spectre en precisant les positions des quatre premiers harmoniques. Montrer qualitativement que les 6 parametres i=1,...,6 de la commande mli permettent eff et d'autre part de faire en sorte que le premier harmonique d'ajuster d'une part la valeur efficace de Vch d'amplitude non nulle ne soit que d'ordre 13. III.C. -- Etude d'une commande mli numerique, precalculee +! Pour chaque angle i=1,··· ,6 predetermine par un calculateur, on fabrique un signal de base note mi (t) dont le chronogramme et la decomposition de Fourier sont donnes sur la figure 7. Ces signaux de base permettent de reconstruire la tension d'alimentation du moteur. ' &+% ! %! ¡' & 2 &¡%! 3& 2 2&¡%! & 2& ( 4' X cos [(2, + 1) %! ] sin [(2, + 1) )*] +! (*) = ¡¡ 2, + 1 & "=0 +1 Fig. 7 ­ Signal de base. 27 -- Representer sur un meme graphe les signaux m1 et m2 en fonction de puis en deduire le graphe de m1 - m2 en fonction de . En deduire l'expression de la tension vch (t) de la figure 6 en fonction des signaux de base mi=1,··· ,6 (t). 28 -- Determiner la relation que doivent verifier les angles i afin que l'on puisse eliminer l'harmonique d'ordre 5 dans le spectre de vch . III.D. -- Utilisation de la technique de surmodulation On realise un decoupage de la commande mli a frequence elevee fd devant la frequence f de cette commande : fd f . Par exemple, pour une frequence f = 50 Hz, on prendra fd = 1 kHz. On note le rapport cyclique de la tension de decoupage D(t) et l'on donne sa decomposition de Fourier % D (t) = A0 + Ak sin [kd t + k ]. Les signaux decoupe et de decoupe sont representes sur la figure 8. k=1 29 -- Exprimer A0 en fonction de . (t) = v (t)× 30 -- Determiner l'expression de la valeur instantanee vch,F (t) du fondamental de vch ch ,eff D(t). En deduire l'expression de sa valeur efficace Vch,F en fonction de E, et des angles i=1,··· ,6 . 31 -- Quel est l'interet d'utiliser cette technique de surmodulation ? Page 6/7 Physique II, annee 2017 -- filiere PSI # ch '¡ $(*) # ch Zoom 1 ' 2 2 % 1 %2 % 3 %4 % 5 %6 -! # !# 2 -! # !# Fig. 8 ­ Decoupage de la commande mli (a gauche) et signal de decoupe (a droite) (t) correspondant a la tension d'alimentation 32 -- Representer l'allure du spectre du signal vch du moteur de la foreuse. Conclure. FIN DE LA PARTIE III Donnees numeriques · Constante de la gravitation : G = 6,7 × 10-11 m3 · kg-1 · s-2 · Vitesse de la lumiere : c = 3 × 108 m · s-1 . · Masse du Soleil : M = 2 × 1030 kg. · Luminosite du Soleil : L = 4 × 1026 W · Unite astronomique : 1 ua = 1,5 × 1011 m Caracteristiques de la comete Churry · rmax : aphelie, distance au plus loin du Soleil : 5,70 ua · rmin : perihelie, distance au plus pres du Soleil : 1,30 ua · Taille caracteristique : 2000 m (albedo de 4%) · Periode de rotation autour de son axe principal : 12,6 h FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 2 PSI 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Cyril Ravat (professeur en CPGE) ; il a été relu par Julien Dumont (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE). Ce sujet étudie quelques aspects de la mission spatiale Rosetta, qui a mis une sonde en orbite autour de la comète Churry en 2014. Elle a notamment permis l'envoi sur cette comète du robot Philæ, dans le but de procéder à des analyses géologiques. Les trois parties de ce problème sont indépendantes. · Dans la première partie, on étudie le mouvement elliptique de Rosetta. Les questions font appel au cours de mécanique céleste de première année. Cet ensemble ne pose guère de difficultés, si ce n'est l'utilisation de l'excentricité dont la définition n'est pas rappelée alors que cette notion est hors programme. Cette partie se termine par une ouverture sur l'effet de fronde gravitationnelle, pour tester si les candidats avaient déjà entendu parler de cette technique d'accélération des engins spatiaux. · La deuxième partie, la plus difficile de ce sujet, traite de la formation de la chevelure de la comète. Elle utilise des notions d'électromagnétisme et de mécanique. Elle permet de s'intéresser à un phénomène astronomique complexe, l'effet Poynting-Robertson. Dommage qu'une erreur sur une donnée numérique dans l'énoncé entraîne un résultat aberrant sur la dernière application numérique de cette partie. · La foreuse de Philæ, modélisée par une machine synchrone, fait l'objet de la troisième partie. Après une étude rapide de ses aspects électrotechniques, on se concentre sur l'électronique de commande. C'est l'occasion d'introduire des éléments de la méthode dite Modélisation de Largeur d'Impulsion (ou MLI). C'est une bonne occasion de découvrir les principes de ce type de commande, qui est largement utilisée de nos jours. Soulignons que, comme pour toutes les épreuves du concours Mines-Ponts, la calculatrice était interdite le jour de l'épreuve. En conséquence, les applications numériques sont demandées avec un chiffre significatif et certaines approximations sont fournies. Certaines applications numériques restent malgré plutôt difficiles. Ce sujet, centré sur des événements récents, est intéressant. Il met en évidence un certain nombre d'exploits scientifiques et techniques qui ont permis l'aventure de la sonde Rosetta et de son compagnon Philæ. Il contient de nombreuses questions abordables et permet de réviser efficacement la mécanique céleste et la conversion de puissance. Indications Partie I 1 Montrer que le mouvement est uniforme et s'en servir sur une période de rotation. 2 Rappeler la principale propriété de - . s 4 Il faut montrer que le minimum de Eeff correspond au mouvement circulaire, puis déterminer ce minimum. 5 L'excentricité e est visible sur le schéma de la figure 1. Exprimer rmin et rmax en fonction de e. Partie II 8 Les paramètres et sont à trouver par analyse dimensionnelle. 9 Le lien demandé est simple, il n'y a pas de piège. 10 Penser à utiliser l'analogue gravitationnel du théorème de Gauss. 13 Toute la variation de L est due à la perte de masse dont parle l'énoncé. L'exprimer en fonction de L , R, r et c grâce à l'expression de Lg . 14 Les grandeurs L, r et t varient, mais L dépend de r. 15 La distance Soleil-Mars fournie est erronée. Prendre r = 5 × 1011 m. Partie III 19 Il faut projeter les vecteurs associés à V et E sur un axe commun. 20 Ne pas oublier le nombre de bobinages du stator. 23 Utiliser la linéarité de la courbe. 24 Faire des schémas pour chaque cas d'ouverture ou de fermeture. 26 Il y a 5 harmoniques entre le fondamental et l'harmonique d'ordre 13. 30 La relation f d f signifie que le fondamental est à la fréquence f . 32 Multiplier les décompositions de Fourier pour voir quelles fréquences apparaissent. I. Étude de la comète 67P Churyomov-Gerasimenko 1 On considère le système {comète} dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. Sur ce système s'applique uniquement l'interaction gravitationnelle - m M - F = -G u r r2 On suppose le mouvement circulaire, c'est-à-dire en coordonnées polaires -- , OM = r - u r - , v = r - u - + r - a = -r 2 - u u r Le principe fondamental de la dynamique en projection sur la base polaire donne m M r2 -m r 2 = -G et m r = 0 La seconde équation montre que est une constante et donc que le mouvement est uniforme. Or = v/r avec v = 2 r/T où T est la période de rotation de la comète autour du Soleil. On obtient ainsi r 2 = v2 4 2 r G M = = r T2 r2 4 2 T2 = 3 r G M soit Il s'agit bien de la 3e loi de Kepler : le rapport T2 /r3 de tout système gravitant autour du Soleil est indépendant du système considéré. Par généralisation, 4 2 T2 = 3 a G M Ainsi, s ac 3 G M r ac = 2 ac G M s Tc = 2 33 · 1011 /2 6,7 · 10-11 · 2 · 1030 = 33 · 1011 Tc = 33 · 10 Or 33 · 11 r 10 · 10-8 8 avec 3,3 1 6,7 2 10 100 et 8 25 5. D'où Tc = 2 · 108 s = 6 ans La calculatrice est interdite sur cette épreuve. Cette application numérique en devient relativement difficile. Il convient de ne chercher qu'un seul chiffre significatif voire seulement l'ordre de grandeur si les calculs sont trop pénibles. - s = - r m- v 2 Par définition, En appliquant le théorème du moment cinétique à la comète, on a - - d- s =- r F = 0 dt -- car la force est centrale, colinéaire à - r . Ainsi, - r = OM est orthogonal à - s constant : - M se situe dans le plan passant par O et normal à . On peut à présent s utiliser les coordonnées polaires dans ce plan : - - + r - r = r- u et v = r - u u r r - 2 - soit = m r u s z C = r2 soit Notons que l'expression de la vitesse fournit la relation : v 2 = r2 + (r )2 qui est utile à la question suivante. 3 L'énergie mécanique s'écrit Em = Ec (r) + Ep (r) 1 G m M = m v2 - 2 r 1 G m M = m [r2 + (r )2 ] - 2 r 2 1 1 C G m M Em = m r2 + m - 2 2 r r Il vient 1 m r2 = Em - Eeff (r) 2 avec Eeff (r) = 1 m C2 G m M - 2 2 r r On trouve lim Eeff (r) = + r0 et lim Eeff (r) = 0 r+ Cette fonction dispose d'un minimum unique négatif, déterminé dans la question suivante. Le graphe représentatif de Eeff est donc Eeff rmin rmax r 0 Em L'énergie mécanique Em de la comète est constante en l'absence de forces dissipatives et négative d'après l'énoncé, ce qui correspond à un état lié : la comète est contrainte de rester à une distance comprise entre rmin et rmax . En effet, pour toute valeur de r hors de [rmin , rmax ], Em devrait être inférieure à Eeff , ce qui est impossible puisque leur différence est positive. Les distances r min et r max sont ainsi les intersections de la courbe représentative de Eeff et de la droite horizontale Em .