Mines Physique 2 PSI 2016

Thème de l'épreuve Mesures de champs magnétiques
Principaux outils utilisés mécanique du solide, électromagnétisme, électronique
Mots clefs champs magnétiques statiques, appareil de mesure, balance de Cotton, magnétorésistance, effet Hall, boussole

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A 2016 - PHYSIQUE II PSI CONCOURS COMMUN MINES PONTS Ecole des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TELECOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Etienne, MINES Nancy, TELECOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filiere MP). CONCOURS 2016 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est autorise. Sujet mis a la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Telecom, Concours Centrale-Supelec (Cycle international). Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II - PSI L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. Mesures de champs magnetiques Mesures de champs magnetiques Dans ce probleme sont abordees quelques methodes de mesure de champs magnetiques, permanents ou eventuellement lentement variables dans le temps. Les vecteurs seront tradition~ pour le champ magnetique ; sauf s'ils sont nellement surmontes d'une fleche, par exemple B unitaires et seront alors surmontes d'un chapeau, par exemple u b tel que kb uk = 1. Le referentiel terrestre sera considere comme galileen. On rappelle que µ0 = 4 × 10-7 H · m-1 . I. -- La balance de Cotton La photo d'un modele de balance de Cotton est placee ci-contre. Ce type de balance, destinee a la mesure de champ magnetique, a ete mis au point par Aime Cotton en 1900. Elle est constituee de deux fleaux. L'un, a gauche, comprend sur sa peripherie, un conducteur metallique qui sera parcouru par un courant et dont une partie sera placee dans le champ magnetique, uniforme et permanent, a mesurer. Le conducteur sera soumis a des forces de Laplace et la balance penchera du cote de ce fleau. L'autre comporte un plateau sur lequel on peut deposer des masses marquees pour equilibrer la balance et deduire ainsi la norme du champ magnetique. Le schema de principe de la balance est represente sur la figure 1. A2 U A5 i ~g R i i A1 A3 C A4 ~ B Zone dans laquelle le champ magnétique est appliqué D Contrepoids Axe de A6 rotation ubz (O) ubx uy b Plateau Figure 1 ­ Schema de principe de la balance Sur le fleau dessine a gauche, les conducteurs permettent le passage d'un courant d'intensite i, selon le parcours A1 A2 A3 A4 A5 A6 . Les portions de circuit A2 A3 et A4 A5 sont des arcs de cercle de meme centre O. L'ensemble des deux fleaux constitue un systeme rigide, mobile sans frottement, autour d'un axe horizontal passant par le point O et note Oz. On designe par C le milieu du segment A3 A4 et D le point de suspension du plateau. On note d1 la distance OC entre les points O et C, d2 la distance OD entre les points O et D et la longueur du segment A3 A4 . Page 2/7 Physique II, annee 2016 -- filiere PSI La procedure de mesure est la suivante : 1. Equilibrage a vide : en l'absence de courant i et de masses marquees dans le plateau, le contrepoids C est deplace de facon a ce que la balance soit a l'equilibre, les trois points C, O et D etant alignes sur l'horizontale. 2. Mesure du champ : on ferme le circuit electrique, ce qui permet au courant d'intensite i de circuler dans la balance , le fleau de gauche penche vers le bas ; on ajoute alors des masses dans le plateau jusqu'a ce que la balance soit a l'equilibre, les trois points C, O et D etant alignes sur l'horizontale. 1 -- Montrer que, lorsque l'equilibrage a vide est realise, le centre de masse, G, des parties mobiles de la balance est situe en O. 2 -- Lorsque le courant circule dans la balance , montrer que le moment resultant en O des forces de Laplace s'exercant sur les parties en arc de cercle est nul. 3 -- A l'equilibre, en presence de courant et de champ magnetique, etablir l'expression du ~ , la somme m des moment en O des forces de Laplace. En deduire la relation liant B = B masses marquees posees sur le plateau, i, , d1 , d2 et le module g du champ de pesanteur ~g . 4 -- La sensibilite de la balance etant de m = 0,05 g, determiner la plus petite valeur de B mesurable pour i = 10 A, g = 10 m · s-2 , = 5 cm et d1 = d2 = 10 cm. En comparant cette valeur avec une ou des references connues, conclure quant a l'utilisabilite de la balance. FIN DE LA PARTIE I II. -- Utilisation d'une boussole II.A. -- Etude generale G Dans cette partie on utilise une boussole constituee d'une Figure 2 ­ La Boussole aiguille aimantee mobile, presentant un axe de symetrie longitudinal. Cette aiguille peut pivoter sans frottement autour d'un axe passant par son centre de masse G et perpendiculaire a l'axe de symetrie. La liaison avec l'axe est du type pivot parfait sans frottement. Cette aiguille aimantee se comporte comme un dipole magnetique de moment magnetique M~m ayant la direction de l'axe de symetrie de celle-ci. ~ permanent et localement uniforme Cette boussole est placee dans un champ magnetique B, (il est considere comme uniforme tout le long de l'aiguille aimantee). Les forces magnetiques ~ On note J le moment d'inertie de l'aiguille soumettent la boussole a un couple ~ = M~m B. aimantee par rapport a l'axe de rotation. Dans un premier temps nous allons etudier les petits mouvements de l'aiguille autour de sa position d'equilibre stable, en negligeant les frottements fluides dus a l'air. Le champ magnetique et l'axe de symetrie de l'aiguille sont dans un plan ~ et celle de M~m . horizontal. On appelle l'angle entre la direction de B 5 -- Apres avoir exprime le couple des forces magnetiques s'exercant sur l'aiguille en fonc~ , Mm = M~m et , etablir l'equation tion des parametres du probleme que sont B = B differentielle dont est solution. En deduire les positions d'equilibres de l'aiguille, et indiquer sans calcul l'equilibre stable. En supposant 1, donner l'expression de (t) en notant 0 la Mm et en supposant que valeur maximale de cet angle, en faisant apparaitre le rapport = J d = 0 rad · s-1 . dt t=0 Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Mesures de champs magnetiques On cherche a mesurer le rapport . Pour cela on mesure la periode des peI I tites oscillations de l'aiguille aimantee placee dans un champ magnetique uniforme connu, cree par des bobines de Helmholtz. Les bobines de Helmholtz sont constitues de deux bobines plates, c'est-a- x O dire d'epaisseurs negligeables, identiques et equidistantes. Chacune d'entre elles comprend N spires circulaires de rayon R, parcourues par le meme R d courant d'intensite I et dont le sens est indique sur la figure 3. Ces deux bobines sont distantes de d = R. L'axe Ox de revolution des spires a pour origine le point O tel que les bobines soient equidistantes de celui-ci. Fig. 3 ­ Bobines On montre qu'en un point M situe a l'abscisse x, sur l'axe Ox, le champ de Helmholtz ~ (x) cree par les bobines s'ecrit magnetique B " 2 #-3/2 " 2 #-3/2 x 1 1 x ~ (x) = N B ~0 - + 1+ + 1+ B R 2 R 2 ~ 0 s'exprime en fonction de µ0 , R et I. Par comparaison avec 6 -- La quantite B0 = B d'autres champs magnetiques, choisir en justifiant precisement ce choix, l'expression de B0 parmi les suivantes : B0 = µ0 I 2R B0 = µ0 R 2I B0 = µ0 IR 2 B0 = IR 2µ0 7 -- Les bobines ont un rayon R = 15 cm. On donne le developpement limite suivant " 1 1+ X ± 2 2 #-3/2 ! 4 6 32 3 144 4 8 X +o X = 1 X ± X - 5 25 125 5 5 Dans quelle zone situee sur l'axe Ox, peut-on considerer que la variation relative de la norme du champ est inferieure a 2% ? Preciser la valeur numerique de cette norme sachant que N = 50 spires et I = 4 A ? 8 -- La valeur mesuree de la periode des petites oscillations de l'aiguille aimantee est T = 0,30 s. Determiner l'unite et calculer la valeur numerique du rapport pour cette boussole. II.B. -- Applications au champ magnetique terrestre On se place a Paris dont l'altitude (42 m) est negligeable devant le rayon terrestre RT = 6 400 km, la longitude est = 2 21 et la latitude = 48 52 nord. On rappelle que la latitude est l'angle entre le plan de l'equateur et le rayon terrestre passant par le point considere. On effectue deux mesures avec la boussole precedemment calibree : -- Quand l'axe de la boussole est vertical, la periode des petites oscillations est de T = 2,31 s. -- Quand l'axe de la boussole est horizontal, a l'equilibre, et que l'axe de symetrie de l'aiguille aimantee est dirige selon le champ magnetique local vers le pole nord magnetique terrestre, l'aiguille fait un angle i = 64 0 avec l'horizontale locale. On suppose que le champ magnetique terrestre est celui d'un dipole magnetique de moment M~T place au centre de la terre, dont la direction est celle d'un axe (O,b uz ) passant par les deux poles magnetiques et oriente du nord vers le sud. On indique qu'un dipole magnetique situe en l'origine O du referentiel considere, d'axe (O,b uz ) et de moment M~ = M u bz , cree en un point M eloigne de O et de coordonnees spheriques Page 4/7 Physique II, annee 2016 -- filiere PSI (r,,) un champ magnetique µ0 M ~ (2 cos u br + sin u b ) . B(M )= 4r3 Dans le systeme de coordonnees spheriques adapte a la geometrie du champ magnetique terrestre, l'angle = 0 indique la direction du pole sud magnetique et correspond a une longitude. ~ 9 -- Apres avoir fait un schema representant M~T ainsi que le vecteur B(M ), les angles i et si le point M est la ville de Paris, deduire des mesures effectuees la coordonnee de cette ville. Que peut-on en conclure concernant l'axe de symetrie du champ magnetique terrestre et l'axe de rotation de la terre ? 10 -- En indiquant les arguments utilises, deduire des mesures effectuees et du resultat de la question 8, l'intensite du champ magnetique terrestre a Paris. Calculer alors MT = M~T . FIN DE LA PARTIE II III. -- Utilisation d'une sonde a effet Hall L'element principal d'une sonde a effet Hall est une plaquette constituee d'un semi-conducteur, dope N, dans laquelle les porteurs de charges libres sont des electrons, dont la charge est q = -e = -1,6 × 10-19 C. uy b ubx ubz 2 1 a La densite volumique de ces electrons dans cette plaquette est n = 3,30 × 1018 m-3 . Cette plaquette possede la forme d'un pac 4 rallelepipede, dont les six faces sont nume6 b rotees conformement a la figure 4, ses diFigure 4 ­ Plaquette de semi-conducteur mensions sont a = 3 mm, b = 6 mm et c = 0,2 mm. Les faces 1 et 3 sont reliees aux bornes d'une source de courant ideale, delivrant un courant d'intensite I0 = 10 mA constante. En regime permanent, on peut considerer que les lignes de courant sont rectilignes et paralleles, le vecteur densite volumique de courant est uniforme et s'ecrit ~j = j u bx . 11 -- Etablir l'expression de la vitesse ~v des porteurs de charge et calculer sa norme. La plaquette est placee dans une zone de l'espace ou regne un champ magnetique considere ~ =Bu comme constant, tel que B by avec B > 0. 12 -- Apres avoir exprime la force magnetique s'exercant sur une charge mobile, justifier que des densites surfaciques de charge apparaissent sur les faces 2 et 4. On precisera les signes de ces densites. Ces densites surfaciques de charges creent un champ electrique E~h = Eh u bz au sein de la plaquette. En regime permanent, la vitesse des porteurs de charge reste inchangee. 13 -- En appliquant le principe fondamental de la mecanique a un porteur de charge en projection sur u bz , determiner l'expression de Eh . Montrer qu'il apparait une difference de potentiel uh = V4 - V2 entre les faces 4 et 2. Celle-ci est appelee tension de Hall, on l'ecrira sous la forme uh = B en precisant l'expression et la valeur numerique de la constante . Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Mesures de champs magnetiques La creation de la source de courant necessite un cirR e s A cuit electronique de commande. Les tensions de Hall etant souvent tres faibles, on doit les amplifier a l'aide c d'un circuit electronique de mesure. Le circuit de comIc mande comprend un circuit integre, nomme regulateur Vcc de tension, ayant trois broches, notees : e (entree), s M (sortie) et c (commun). La tension u = Vs - Vc est constante et sa valeur est fixee a u = 5 V. La tension Figure 5 ­ Source de courant ideale d'alimentation est Vcc = 9V . L'intensite Ic du courant entrant en c, est controlee a la valeur Ic = 10 nA. Le dipole AM ainsi realise est represente sur la figure 5. 14 -- Pour quelle valeur de la resistance R le dipole AM se comporte-t-il comme une source de courant ideale, delivrant un courant I0 = 10 mA ? Le premier amplificateur de mesure que l'on pourrait envisager pourrait etre constitue d'un amplificateur lineaire integre (ALI) ideal utilise en montage non inverseur conformement a la figure 6. L'entree e+ est reliee a la face 4, la masse M est reliee a la face 2. e+ + ¡ ue R0 us R 15 -- Montrer que l'utilisation du montage de la figure 6 associe a celui de la figure 5 peut poser des problemes de reference M de potentiel. Figure 6 ­ Montage non On modifie le circuit de mesure en utilisant un amplificateur inverseur differentiel represente sur la figure 7, qui utilise un ALI, suppose ideal et en fonctionnement lineaire. Les courants sur les deux entrees sont nuls et ses deux entrees sont au meme potentiel. 16 -- Montrer que le probleme rencontre a la question 15 est resolu par l'utilisation d'un amplificateur differentiel. Etablir la relation entre us et uh = V4 - V2 . A quelle condition sur R2 et R1 la tension de Hall est elle amplifiee ? R2 17 -- Etablir l'expression de la resistance d'entree sur la face 4. Quel probleme pose le resultat obtenu ? R1 Face 2 ¡ Face 4 V2 Afin de pallier ce probleme, on utilise le montage de la figure 6 dans un cas limite. + R1 us 18 -- Etablir l'expression de la resistance d'entree et du gain en tension A = uues pour le montage de la figure 6. Figure 7 ­ Amplificateur differentiel 19 -- Dans quelle limite peut-on se placer en ce qui concerne les valeurs de R et de R pour resoudre le probleme souleve a la question 17. Comment s'appelle le montage de la figure 6 dans cette limite. V4 R2 20 -- Representer le montage complet incluant la plaquette semi-conductrice et l'electronique qui permet la mesure de la composante horizontale du champ magnetique terrestre. On placera cette composante sur la figure qui utilisera entre autres 5 resistances et 3 ALI. Page 6/7 Physique II, annee 2016 -- filiere PSI 21 -- On choisit R1 = 100 et R2 = 1 k. On obtient alors us = 20,0 mV, quelle est la valeur de cette composante ? ~ 0 cree par le courant On veut maintenant verifier l'influence du champ magnetique propre B I0 . Pour cela on adopte un modele simplifie dans lequel la plaquette est supposee infiniment longue dans les directions u bx et u bz uniquement. Le semi-conducteur est suppose avoir la meme permeabilite µ0 que le vide. ~ 0 ainsi que les variables spatiales du 22 -- Determiner, dans ce modele, la direction de B probleme dont ce champ ne depend pas. A l'interieur de la plaquette ou la variable y - 2c , 2c , ~ 0 sont solutions. En deduire ecrire la ou les equations differentielles dont les composantes de B ~ 0 . Calculer la valeur maximale de la norme de ce champ. Dans la mesure du l'expression de B ~0 ? champ terrestre, pouvait-on negliger l'influence de B FIN DE LA PARTIE III IV. -- Utilisation d'une magnetoresistance On considere un conducteur electrique se presentant sous la forme d'une couronne cylindrique d'axe Oz, de hauteur h, delimitee par un cylindre interieur de rayon r1 et par un cylindre exterieur de rayon r2 . A l'aide d'une source de tension on impose les potentiels V (r1 ) = V1 et V (r2 ) = V2 . On se place en regime permanent et on neglige les effets de bord, ce qui revient a supposer que le comportement de cette couronne est le meme que si elle etait infiniment haute. L'existence de deux equipotentielles cylindriques permet d'emettre l'hypothese que le potentiel ne depend que de r, ainsi 1 d dV dV ~ V = V (r) , V (r) = u br . r et gradV (r) = r dr dr dr 23 -- Le conducteur est globalement non charge, verifier que l'hypothese V = V (r) est la seule possible. Determiner le potentiel electrique en un point M de ce conducteur. En deduire ~ en ce meme point en fonction de V1 , V2 , r1 , r2 et r. l'intensite E du champ electrique E ~ = Bu La couronne cylindrique est placee dans un champ magnetique B bz avec B > 0. Le 3 conducteur contient n electrons libres par m . On considere de plus le modele de Drude dans lequel chaque electron de vitesse ~v est soumis, en plus des forces electromagnetiques, a une force de frottement s'exprimant sous la forme F~ = -~v avec > 0. ~ et E ~ 24 -- Pour chaque electron, etablir, en regime permanent, la relation entre ~v , B parametree par et la charge elementaire e. En deduire l'expression, dans la base cylindrique (b ur ,b u ,b uz ), des coordonnees de ~v en fonction de e, , E et B puis celles du vecteur densite volumique de courant ~j. 25 -- Exprimer l'intensite du courant electrique traversant une surface equipotentielle de rayon r. En deduire la resistance electrique R de la couronne, en fonction de e, n, , B, h, r1 et r2 . 0 en On note R0 la resistance en l'absence de champ magnetique. Exprimer l'ecart relatif = R-R R0 fonction de e, B et . Calculer la valeur numerique de R0 ainsi que celle de pour B = 1,0 mT, r1 = 1,0 mm, r2 = 3,0 mm, h = 1,0 mm, n = 1,1 × 1021 m-3 et = 1,8 × 10-17 kg · s-1 . Commenter l'utilisation du phenomene pour la mesure de champs magnetiques. FIN DE LA PARTIE IV FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 2 PSI 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Maimbourg (Agrégé de physique) ; il a été relu par Cyril Jean (ENS Ulm) et Tom Morel (Professeur en CPGE). Ce sujet présente différentes méthodes de mesure d'un champ magnétique statique. Il comporte quatre parties totalement indépendantes. · La première partie, facile et bien guidée, propose l'étude de la balance de Cotton, dispositif de mesure du champ magnétique par évaluation de la force exercée sur un fil traversé par un courant. Une bonne maîtrise de la mécanique des solides et en particulier du théorème du moment cinétique est requise. Cette partie permettait également de tester la capacité des candidats à utiliser la force de Laplace. · La deuxième partie, la plus difficile, étudie une boussole. Elle est divisée en deux sous-parties. La première, calculatoire, s'intéresse au comportement d'une boussole, modélisée par un moment magnétique permanent, placée au centre de bobines de Helmholtz. La seconde cherche la direction et l'intensité du champ magnétique terrestre local à Paris. La difficulté réside principalement dans une bonne compréhension de l'énoncé afin d'effectuer un schéma clair de la situation. Ensuite, la résolution est directe. · La troisième partie, la plus longue, étudie dans un premier temps l'effet Hall et son intérêt dans la mesure d'un champ magnétique. Ensuite, l'intégration électronique du capteur est étudiée. Certaines questions sont délicates et il faut bien maîtriser les chapitres portant sur les amplificateurs linéaires intégrés. · La dernière partie propose enfin l'étude de l'effet magnétorésistif et de son application à la mesure d'un champ magnétique. Un cylindre creux est traversé par un courant de sa face interne vers sa face externe, tandis qu'un champ magnétique est appliqué dans l'axe du cylindre. On montre que la résistance du matériau est modifiée par le champ magnétique. L'énoncé est long et parfois difficile. Cependant, l'indépendance totale entre les parties offrait aux candidats de nombreux points d'entrée dans le sujet. Il permet par ailleurs d'aborder de nombreux aspects du cours de physique tels que l'électromagnétisme, la mécanique et l'électronique. Indications Partie I 1 Montrer que G est situé à la verticale de O. 3 Se placer sur une section élémentaire du segment [A3 A4 ] pour calculer la force de Laplace locale puis intégrer sur tout ce segment. Partie II 5 Une position d'équilibre stable correspond à un minimum d'énergie potentielle. Par ailleurs, l'énergie potentielle associée à cette interaction magnétique s'écrit -- - E p = - Mm · B 6 Utiliser la formule du champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde infini. 9 L'équateur est défini comme l'intersection de la surface de la Terre avec le plan perpendiculaire à son axe de rotation. Il n'est donc pas orthogonal au moment magnétique terrestre. Partie III 17 La résistance d'entrée est par définition le rapport entre la tension et le courant à l'entrée du composant. 19 Montrer qu'un suiveur est le montage le plus simple pour résoudre le problème introduit par la question 17. 20 L'amplificateur différentiel doit être précédé par deux montages suiveurs afin que sa résistance d'entrée soit infinie. 21 Utiliser les invariances et symétries du problème afin de simplifier l'expression de - B0 . Appliquer ensuite l'équation de Maxwell-Ampère afin de déterminer l'expres- sion de B en fonction de - . 0 Partie IV 23 Montrer que le problème est invariant par rotation et translation selon l'axe de révolution du cylindre. 25 La résistance de la couronne cylindrique est définie comme le rapport entre la différence de potentiel V2 - V1 et l'intensité I traversant le conducteur. Mesures de champs magnétiques I. La balance de Cotton 1 Notons (S) la partie mobile de la balance. À vide, deux forces s'appliquent sur le système (S) : · l'action de contact de l'axe sur (S) modélisée par une liaison pivot parfait (car sans frottement) ; - · le poids P qui s'applique en G. Appliquons le théorème du moment cinétique sur (S) au point O. Le système est à l'équilibre, ce qui implique que la somme des moments des forces s'annule. Par ailleurs, la liaison pivot étant parfaite, son moment associé est nul en O. Si bien que le moment du poids doit être nul également. -- - -- - MO ( P ) = OG P = 0 Par conséquent, G est situé sur la verticale passant par O. La situation proposée par l'énoncé ne permet pas de démontrer que le barycentre G est situé exactement en O. En effet l'équilibre est réalisé (absence de moment mécanique en O du au poids de l'objet) à la condition que le vecteur -- OG soit colinéaire au poids. Il est même d'usage afin d'assurer la stabilité de l'équilibre que le barycentre des masses soit situé en dessous de l'axe. Cette considération n'est pas importante pour la suite du sujet, puisque la balance est toujours considérée à l'équilibre. Par conséquent, le moment du poids des parties mobiles n'intervient pas dans les calculs suivants. , - - 2 Introduisons le repère polaire (- u r u , uz ) et le point M(r, , z) situé sur les parties en arc de cercle. A3 i - u r - u - d A4 - ux (O) - u z - u y - - Évaluons alors la force de Laplace élémentaire dFL sur une section d de l'arc de cercle [A4 A5 ] de rayon r = d1 - l/2, orienté dans le sens du courant d'intensité i : - - - - soit dFL = i d B = -iB rd - u d = -r d - u r Calculons alors le moment associé au point O. -- - (-iB rd - ) = - MO (dFL ) = r- u u 0 r r Une démonstration équivalente permet de montrer que ce moment est également nul sur l'arc de cercle [A2 A3 ]. Le moment des forces de Laplace sur les parties en arc de cercle est nul. - un élément de 3 Notons N un point situé sur le segment [A3 A4 ] et d = -dr - u r longueur infinitésimale centré sur N et orienté dans le sens du courant d'intensité i. La force de Laplace élémentaire sur cette section s'écrit - - - dFL = i d B = iB dr - u Le moment élémentaire associé vaut -- - (iB dr - ) = iB rdr - MO (dFL ) = r- u u u r z Intégrons ces moments élémentaires sur le segment [A3 A4 ] pour obtenir la résultante Z d1 +/2 -- - MO (FL ) = iB rdr - u z d1 -/2 = iB (d1 + /2)2 (d1 - /2)2 - 2 2 - u z -- - MO (FL ) = iB d1 - u z Pour conserver l'équilibre mécanique des parties mobiles, ce moment doit être - compensé par celui associé à la force Paj , créée par les masses ajoutées en D. Lorsque - la balance est à l'équilibre, OD = -d - u. Le moment du poids s'écrit donc 2 x -- - - ) = -d mg - MO (Paj ) = OD (mg - u u y 2 z L'équilibre est maintenu à la condition -- - -- - - MO (FL ) + MO (Paj ) = 0 D'où B= d2 mg i d1 4 Évaluons le champ magnétique B associé une variation de masse m = 0,05 g. Cette valeur correspond à la plus petite valeur du champ magnétique mesurable. B = d2 m g = 1 mT i d1 Comparons cette valeur à quelques valeurs typiques de champs magnétiques. Le champ terrestre vaut environ 50 µT, le champ induit par un aimant est de l'ordre de 100 mT et le champ associé à une bobine peut aller de 1 T (bobine classique disponible en salle de travaux pratiques) à plus de 10 T (bobine supraconductrice utilisée par exemple pour générer le champ magnétique nécessaire à un appareil d'imagerie par résonance magnétique). Par conséquent, cette balance est utilisable pour la mesure de champ magnétique supérieur à 1 mT. Il est en revanche impossible de mesurer ainsi le champ magnétique terrestre.