Mines Physique 2 PSI 2015

Thème de l'épreuve Machines à écoulement permanent
Principaux outils utilisés thermodynamique générale, mécanique des fluides
Mots clefs machine thermique, liquéfaction, conversion d'énergie mécanique, compresseur, échangeur, diagramme enthalpique

Corrigé

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2015 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PSI (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- PSI. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. -- Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. -- Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. MACHINES A ECOULEMENT PERMANENT Ce sujet traite de deux problemes relatifs a des ecoulements permanents de fluides, sous les aspects dynamique et thermodynamique. L'enonce de cette epreuve comporte donc deux parties I et II, qui sont totalement independantes et peuvent etre traitees separement. I. -- Dimensionnement d'une installation de liquefaction Dans ce probleme, on se propose de dimensionner une installation de production en continu de diazote N2 liquide, fonctionnant en regime permanent (procede Linde). Le schema de principe de l'installation est propose sur la figure 1. Le probleme debute par une description complete de l'installation ; les reponses aux questions exigent la prise en compte de l'ensemble des donnees decrivant l'installation ainsi que du diagramme enthalpique du diazote fourni en annexe. Du diazote gazeux entre en continu dans la machine avec un debit massique Dm , dans les conditions pE = 1 bar, TE = 300 K. Il atteint un melangeur ou on le melange avec du diazote gazeux de debit D dans les memes conditions pE , TE . En sortie du melangeur (M ), le debit massique de diazote gazeux est donc D = Dm + D , toujours dans les conditions (pE , TE ). Apres passage par le melangeur, le diazote traverse une serie d'etages de compression ; chacun de ces etages est constitue d'un compresseur adiabatique (C) suivi d'un refrigerant isobare (R) a circulation d'eau froide ; en sortie du refrigerant, le diazote gazeux est ramene a une temperature de sortie egale a TE . sortie Les N etages compresseur­refrigerant sont identiques ; ainsi le rapport de compression r = ppentree est le meme pour chacun des N compresseurs. Apres la traversee du dispositif, le diazote atteint donc le point A a la pression pA = rN pE = 100 bar, a la temperature TA = TE = 300 K. Machines a ecoulement permanent Dm (M ) (C) (C) (C) (R) D (R) (R) D E A (E) B D D (V ) C D diazote gazeux Dm sortie du liquide diazote liquide Figure 1 ­ Schema de principe d'une installation de liquefaction de diazote L'eau liquide utilisee dans chacun des refrigerants circule a la pression constante de 1 bar ; la temperature de l'eau a l'entree du dispositif de refroidissement est Te = 280 K. On note ce = 4, 19 kJ · kg-1 · K-1 la capacite thermique massique de l'eau liquide, consideree comme une constante. Le diazote gazeux aborde entre A et B un echangeur thermique a contre-courant le long duquel il subit un refroidissement isobare ; a sa sortie, le fluide est dans l'etat pB = pA = 100 bar, TB . Ce refroidissement est suivi d'une detente isenthalpique dans une vanne de detente (V ). A la sortie du robinet, le diazote est au point C : c'est un melange liquide­vapeur dont la fraction massique de liquide est notee x, a la pression atmospherique pC = pE = 1 bar, et a la temperature TC = Teb (pC ) = 77 K. A cette temperature, la densite du diazote liquide est d = 0, 81. La fraction massique x de diazote liquefie est faible, on extrait seulement du reservoir un debit massique modeste Dm de diazote liquide dans les conditions (pC , TC ) ; le diazote gazeux recycle est renvoye, avec un debit massique D , vers l'echangeur (E). Ce courant du diazote gazeux entre dans (E) aux conditions pD = 1 bar, TD = 77 K. Dans l'echangeur (E), le diazote se rechauffe a pression constante et arrive au point E dans les conditions pE = 1 bar, TE = 300 K, avant d'etre renvoye vers le melangeur. Pour des raisons techniques, on impose deux limites de fonctionnement : -- la temperature du diazote ne doit, en aucun point du dispositif, depasser Tmax = 400 K ; -- la temperature de l'eau de refroidissement ne doit pas depasser Tmax = 350 K en sortie des refrigerants (R). Le diazote gazeux est diatomique, sa masse molaire vaut M = 28, 0 × 10-3 kg · mol-1 . On notera hK son enthalpie massique en un point K du schema de la figure 1. La constante molaire des gaz parfaits est R = 8, 31 J · K-1 · mol-1 . Page 2/7 Physique H, année 2015 -- filière PSI I.A. -- Dimensionnement des étages de compression Dans cette seule partie I.A le diazote est assimilé a un gaz parfait. Ü 1 -- Que vaut le rapport v : Clg/Cv des capacités thermiques du diazote ? On admet que les compresseurs fonctionnent de manière réversible. Déterminer et calculer la valeur minimale de N compatible avec les exigences décrites ci--dessus. On adoptera cette valeur dans la suite. Ü 2 -- Si on prenait en compte le caractère irréversible du fonctionnement des compresseurs sans changer la valeur de 7°, faudrait--il augmenter ou diminuer N ? On justifiera la réponse. Ü 3 -- On note Deau le débit massique du courant d'eau liquide circulant dans chaque eau réfrigérant (R). Déterminer l'expression et calculer la valeur minimale du rapport com-- patible avec les exigences ci--dessus. I.B. -- Diagramme enthalpique du diazote Dans cette partie IE et la suivante I.O, le diazote n'est plus assimilé a un gaz parfait. La figure 5 fournie en annexe, représente le diagramme enthalpique du diazote sous la forme d'un réseau de courbes. Ü 4 -- Identifier la grandeur conservée le long de la courbe (fil. En justifiant votre réponse, déterminer l'asymptote de cette courbe a basse pression. Ü 5 -- Identifier la grandeur conservée le long de la courbe %2. Justifier le sens de variation de cette courbe. Ü 6 -- Identifier et nommer les états possibles du diazote sur la courbe (fig. Ü 7 -- Identifier la grandeur conservée le long de la courbe (54. On considère la transformation amenant le diazote de l'état représenté par le point M1 a celui représenté par le point M2 suivant le segment [M1M2]. Décrire l'état du diazote en M. I.C. -- Dimensionnement de l'échangeur (E) Ü 8 -- Exprimer hc en fonction de a: et des enthalpies massiques du diazote liquide et gazeux, notées hhq et h...p, dans le réservoir. Ü 9 -- Le réservoir utilisé en sortie de l'appareil fonctionne aussi en régime permanent ; relier a:, D et D... puis a:, D' et D. Ü 10 -- Par un bilan que l'on précisera pour le fonctionnement de (E), déterminer a: en fonction de hA, ME et hhq. Ü 11 -- En exploitant le diagramme enthalpique du diazote fourni en annexe, déterminer les valeurs de hA, ÎLE, hhq et h...p. Evaluer a: avec 2 chiffres significatifs. Quelle valeur aurait--on obtenue en considérant que le diazote gazeux vérifie la loi des gaz parfaits ? Ü 12 -- Reproduire sommairement le diagramme enthalpique du diazote en y faisant figurer la courbe %3 et l'isobare a la pression du point B du dispositif. En déduire la valeur de la température et l'état du diazote en ce point. Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Ü 13 -- La production de dia-- zote liquide s'effectue avec un débit D... = 3,0 >< 10_2 kg - s_1. Dans le cadre du modèle du gaz parfait, évaluer la puis-- sance mécanique qui est néces-- saire au fonctionnement de l'en-- semble des N compresseurs (C ) Comparer votre résultat a la ci-- tation suivante, publiée lors de l'exposition universelle de 1900 : Nous avons immédiatement dé-- crit le principe de l'appareil de M. le Dr. Carl Linde; quelques mois plus tard, M. le Dr. d 'Ar-- sonual faisait installer dans son Machines & écoulement permanent laboratoire du Collège de France une petite machine de 3 chevaua: destinée a fournir un litre d'air liquide par heure. L'illustration ci--dessus accompagnait l'article cité. On notera que 3,0 hp : 2, 2 kW; hp est le symbole de l'unité << cheval--vapeur >>. FIN DE LA PARTIE I II. -- Roue--vanne de Sagebien Ce problème décrit le principe d'une roue-vanne utilisée pour les moulins a eau de forte puis-- sance depuis son invention au XIXe siècle par ALPHONSE SAGEBIEN. ..:- .n-F FIGURE 2 -- Schéma historique d'une roue Sagebien Page 4/7 Physique U, année 2015 -- filière PS] Les roues Sagebien construites a la fin du XIXEUR siècle ont atteint des rendements supérieurs a ceux des meilleures turbines, dépassant régulièrement les 80%. La figure 2 présente un schéma historique de roue--vanne de Sagebien, montrant le dispositif d'obturation du canal d'entrée, permettant l'arrêt de la roue. La roue--vanne de Sagebien est une roue étroite, a aubes et a rotation lente. L'eau y est amenée par un canal fermé de telle sorte que la roue empêche l'écoulement de l'eau lorsqu'elle ne tourne pas (dans un fonctionnement idéal, sans fuite). La masse volumique de l'eau vaut p = 103 kg--m_3 ; la pression atmosphérique est po : 1 bar. Le schéma de principe de la roue--vanne est présenté sur la figure 3. On notera Oa: l'axe (horizontal) de rotation de la roue--vanne. La vitesse de l'eau dans le canal d'arrivée est égale a celle de l'eau dans le canal de sortie; on notera v cette vitesse et ?} sa norme. Le canal d'arrivée (amont) est situé a une hauteur supérieure de H a celle du canal de sortie (aval). On choisira un axe Oz vertical ascendant de sorte que l'altitude de la surface du canal d'entrée est ?: = O. L'accélération de la pesanteur est notée g, de norme g. On notera ho la profondeur commune des canaux d'entrée et de sortie. FIGURE 3 -- Roue--vanne de Sagebien La roue comporte N pales rectangulaires, de faible épaisseur, régulièrement disposées entre deux cylindres de rayons R et R' > H. La largeur de la roue (perpendiculairement au plan de la figure 3) est égale a celle des canaux d'entrée et de sortie; on la notera d. Chacune des pales est inclinée d'un faible angle oz par rapport au rayon de la roue. Afin d'assurer un fonctionnement sans déperdition d'énergie, on souhaite que la vitesse des diverses pales de la roue en contact avec l'eau soit aussi proche que possible de la vitesse d'amenée et de départ de l'eau. A toutes fins utiles, on précise que le volume V de la section d'angle 5 du tore a section rectangulaire représenté en gris sur la figure 4 est donné par la relation V : %5c(b2 -- a2). FIGURE 4 -- TOTEUR à SGCËiOH rectangulaire Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Machines a écoulement permanent II.A. -- Étude dynamique du mouvement de la roue-vanne. Ü 14 -- Déterminer le débit massique D... d'eau qui traverse le dispositif. Expliciter la vitesse angulaire au de la roue en fonction de u et des paramètres géométriques décrivant la roue--vanne. Ü 15 -- Quelle relation faut--il imposer entre R, R' et ho pour que la vitesse @ de l'eau soit égale a la vitesse moyenne des points d'une pale de la roue ? On se placera dans ce cas dans la suite. Déterminer les valeurs de ho et R' si D... = 3, 6 >< 103 kg - s_1, ol : 1, 40 m, R = 11,0 m et u : 0,60m-s_1. Ü 16 -- Déterminer les relations donnant les champs de pression en amont de la roue p1(z) et en aval de celle--ci p2(z) en fonction des données. Dans un modèle élémentaire, toutes les pales sauf une subissent la même répartition de pression sur les deux faces de la pale, qu'il s'agisse de pa : pb : pc : p1(z) (pour les pales immergées du côté amont) ou de pd : pEUR : pf : p2(z) (pour les pales immergées du côté aval). Ces pales sont dites tnacttues. La seule pale active subit sur l'une de ses faces le champ de pression pc : p1(z) et sur l'autre le champ de pression pd : p2(z). Ü 17 -- Déterminer la résultante des forces de pression exercées sur une pale inactive. Déterminer la résultante des forces de pression exercées sur la pale active. Déterminer le moment M = M e,, des forces de pression exercées sur l'ensemble de la roue. Ü 18 -- Comment ce résultat est--il modifié si les diverses pales séparent la zone d'écoulement en volumes a pression constante et régulièrement décalées : p1(z) : pa > pb > pC > pd > pEUR > 19 f : P2(Z) Ü 19 -- Application numérique : on donne H = 3,0 m et g = 9, 80 m - s_2. Déterminer le couple F exercé par la roue--vanne sur son axe de rotation. Ü 20 -- Déduire de vos connaissances personnelles une évaluation de l'ordre de grandeur du couple moteur nominal développé par une automobile courante, et le comparer a l'. A titre documentaire, on rappelle qu'un << cheval--vapeur >> ou hp vaut 1 hp : O, 74 kW. II.B. -- Bilans énergétiques de fonctionnement. Ü 21 -- Quelle est la puissance 79 des forces mécaniques exercées sur la roue par l'eau? Commenter l'ordre de grandeur obtenu. On considère le système &" constitué par l'eau contenue entre deux sections droites du canal, l'une située en amont de la roue et l'autre en aval. Ü 22 -- Déduire d'un bilan d'énergie appliqué a .5" , l'expression de la puissance fournie par l'eau a la roue. Ü 23 -- Définir et calculer le rendement énergétique 77 de la roue. Commenter; préciser en particulier les causes probables, a votre avis, d'une diminution du rendement effectif du dispo-- sitif. Une roue--vanne a été construite par Alphonse Sagebten en 1867 pour l'alimentation de puis-- sance des pompes d'amenée d'eau au canal de l'Ourcq (par prélèvement dans le cours de la Marne). Cette pompe est toujours en état de marche; son rendement pratique est estimé à 90%. FIN DE LA PARTIE II Page 6/7 L/L 939d OE[ADOE[HdOE[JI OE[(I NIH Pression [Bar] }_\ 50 Al 75 5=0, 11H) 125 150 0,2 0,4 06 0,8 1,0 a:=0,9 0,8 0,7 0,6 175 200 ,2 1, 0,5 0,4 1,6 225 ,8 2, 0,3 0,2 Enthalpie massique [kJ-kg"1 ] 250 275 300 325 350 375 400 425 \\ M2 _ 272 274 T=-180 -160 -140 420 400 --80 --60 0,1 FIGURE 5 -- Diagramme enthalpique du diazote

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 Mines Physique 2 PSI 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE). Ce sujet comporte deux parties totalement indépendantes. · La première partie, la plus longue, étudie le principe de fonctionnement d'une machine à liquéfier de l'azote. Elle est divisée en trois sous-parties. La première vise à dimensionner l'étage de compression de l'azote, constitué de plusieurs sous-ensembles compresseurs-réfrigérants en série. La deuxième étudie un diagramme enthalpique pour une transformation comportant un changement d'état liquide-vapeur. Quant à la troisième, elle a pour objectif de dimensionner l'échangeur thermique (E) à partir d'un raisonnement sur l'enthalpie. En particulier, le premier principe industriel est largement mis à profit dans cette étude. · La seconde partie étudie par une approche mécanique une machine hydraulique : la roue-vanne de Sagebien. Cette partie est divisée en deux sous-parties. La première détermine le couple exercé par l'eau sur l'arbre de la roue en faisant le lien entre le débit et la vitesse de rotation de la roue, puis en explicitant la force exercée par l'eau sur les pales afin de déterminer le moment des forces. La dernière sous-partie permet enfin de comparer la puissance fournie par l'eau à la roue à celle effectivement disponible sur l'axe de rotation. Il est alors possible d'établir le rendement mécanique du système. La première partie est d'une difficulté raisonnable sous réserve d'avoir bien assimilé le cours de thermodynamique. La seconde comporte des questions délicates pouvant conduire à des calculs lourds. Indications Partie I 1 Utiliser la loi de Laplace pour déterminer la valeur maximale de r, après avoir précisé les conditions de son application. 2 La pression finale ne dépend que du rapport de compression et du nombre de compresseurs. 3 Appliquer le premier principe industriel entre les instants t et t+dt aux deux soussystèmes {diazote} puis {eau}. Exprimer la variation d'enthalpie dH du système en fonction des enthalpies et des débits massiques. 10 Utiliser le même raisonnement qu'à la question 3. 13 Appliquer le premier principe industriel à l'un des compresseurs. Partie II 14 Écrire le volume passant dans la roue en fonction de et le comparer au volume entrant. 16 Utiliser l'équation d'Euler en la simplifiant pour un champ de vitesse constant et homogène. L'eau est supposée incompressible. 17 Pour le calcul de la résultante, comparer les pressions de part et d'autre de la pale. En ce qui concerne le calcul du moment des forces, noter que le point d'application de la résultante est au milieu de la pale. On pourra faire l'approximation des petits angles pour alléger les calculs. 20 Une puissance de 100 hp et une vitesse de 100 km.h-1 sont de bons ordres de grandeur. 22 Faire un bilan d'énergie en tenant compte du poids et de l'action de la roue. Que peut-on dire des forces de pression ? Machines à écoulement permanent I. Dimensionnement d'une installation de liquéfaction 1 Le diazote est assimilé à un gaz parfait diatomique. Aux températures usuelles, en notant R la constante des gaz parfaits, la capacité thermique à volume constant associée à une quantité de matière n de gaz s'écrit par conséquent 5 Cv = nR 2 Pour un gaz parfait, l'énergie interne est associée aux nombres de degrés de liberté des molécules. Par ailleurs, le théorème d'équipartition de l'énergie, issu de la physique statistique, assure que chaque degré de liberté des particules contribue à raison de RT/2 à l'énergie cinétique molaire du gaz. Pour un gaz diatomique, aux températures usuelles, les degrés de liberté sont les translations du centre de masse de la molécule dans les trois directions de l'espace (trois degrés de liberté) et la rotation de la molécule autour de son centre de masse (deux degrés de liberté). Ainsi, cinq degrés de liberté contribuent à l'énergie interne molaire, d'où U = 5/2nRT . De plus, d'après la relation de Mayer, pour un gaz parfait 7 CP = CV + nR = nR 2 d'où = CP 7 = = 1,4 CV 5 Le compresseur réalise la compression adiabatique réversible d'un gaz parfait. Il est donc possible d'appliquer l'une des formes de la loi de Laplace. Ici, il convient de choisir celle faisant intervenir la température et la pression T P1- = Cte Il est évidemment inutile de connaître l'ensemble des formes de la loi de Laplace. La plus simple à mémoriser est probablement PV = Cte . Il suffit alors d'utiliser l'équation d'état des gaz parfaits pour obtenir la forme nécessaire. La température d'entrée du gaz est fixée à TE et la température de sortie du diazote ne peut dépasser Tmax , si bien que dans le cas limite, on obtient la valeur maximale du rapport de compression /(-1) Tmax rmax = TE Par ailleurs, les étages de compression étant tous identiques, pA = r N pE Utilisons alors la valeur limite rmax afin de calculer le nombre minimum d'étages de compression nécessaires Nmin . En prenant le logarithme de l'expression précédente, il vient Nmin = ln (PA /PE ) ( - 1) ln (PA /PE ) = = 4,6 ln rmax ln (Tmax /TE ) Le nombre N étant entier, choisissons donc l'entier immédiatement supérieur comme nombre minimal de compresseur, soit N=5 2 Le rapport de compression r étant maintenu constant, le même nombre d'étages de compression est nécessaire pour obtenir la compression finale pA . Par conséquent, Le nombre N de compresseurs est identique. Si l'ajout d'irréversibilités ne modifie pas le nombre d'étages de compression nécessaires, en revanche, la dimension du corps des cylindres des compresseurs est augmentée pour maintenir le même rapport r. Une puissance mécanique supérieure est donc nécessaire pour l'actionnement de chacun des compresseurs. En pratique, la prise en compte d'irréversibilités s'accompagne d'une augmentation plus élevée de la température lors de la compression. Il est alors nécessaire de diminuer r afin de vérifier la contrainte sur la température. 3 En se plaçant comme indiqué par l'énoncé dans le cas N = 5, le rapport de compression prend la valeur r = (PA /PE )1/N . Calculons la température Tsortie du diazote en sortie de l'un des compresseurs. En utilisant la relation de Laplace, avec TE la température d'entrée, il vient Tsortie = r(-1)/ TE = PA PE (-1)/(N) TE Appliquons le premier principe industriel aux systèmes constitués par chacun des deux fluides dans l'échangeur thermique. En toute généralité, le bilan s'écrit, pour des grandeurs massiques, (h + ec,macro + gz) = wm + q m Dans le cas présent, le système est isolé de l'extérieur. L'unique échange d'énergie est le transfert thermique d'un fluide vers l'autre. Par ailleurs, la variation d'énergie macroscopique est supposée négligeable : il n'y a ni variation de l'énergie cinétique, ni variation de l'énergie potentielle de pesanteur. Écrivons le bilan pour chacun des deux fluides : et hazote = q azote heau = q eau Par ailleurs, pendant l'instant dt, les masses Ddt de diazote et Deau dt d'eau passent dans l'échangeur. Les équations précédentes se réécrivent alors, par extensivité, hazote Ddt = q azote Ddt et heau Deau dt = q eau Deau dt L'échange thermique se faisant uniquement entre les deux fluides, il vient q eau Deau dt = -q azote Ddt Finalement, Deau heau + D hazote = 0