Mines Physique 2 PSI 2013

Thème de l'épreuve Énergie éolienne
Principaux outils utilisés équation de Bernoulli, bilan de quantité de mouvement, électrocinétique, analyse spectrale
Mots clefs éolienne, transfert mécanique de puissance, onduleur, interrupteurs commandés

Corrigé

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2013 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ]] -- PSI. L'énonce' de cette épreuve comporte 8 pages. -- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené a prendre. -- Il ne faudra pas hésiter a formuler des commentaires pertinents (incluant des considérations numé-- riques), même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. ÉNERGIE EOLIENNE L'énergie éolienne a été exploitée de tout temps (moulins à vent, bateaux à voiles, etc.) et repré-- sente un potentiel d'énergie énorme. Actuellement, la production d'électricité au moyen d'aérogénéra-- teurs connaît une forte croissance et fait l'objet de nombreuses recherches. Les systèmes les plus ré-- pandus sont les éoliennes à axe horizontal, mais des éoliennes à axe vertical sont aussi développées. En effet, celles--ci s'adaptent mieux aux contraintes des turbulences engendrées en milieu urbain, leurs caractéristiques étant par exemple indépendantes de la direction du vent. Ce problème propose d'étu-- dier le fonctionnement d'une telle éolienne de type Darrieus (voir figure 1), du nom de l'ingénieur français qui en déposa le brevet en 1931. FIGURE 1 -- Eolienne de type Darrieus. Dans la première partie, on s'intéressera à l'aspect aérodynamique de l'éolienne pour arriver a une estimation de son rendement énergétique. Dans la seconde partie, on étudiera le raccorde-- ment au réseau électrique. Les deux parties sont totalement indépendantes. Les vecteurs sont surmontés d'une flèche (par exemple ci) et la norme du vecteur ci est sim-- plement notée a. Énergie éolienne I. -- Eolienne de type Darrieus On supposera que les pales de l'éolienne sont quasiment planes et verticales. La surface qu'elles décrivent lors de leur rotation est un cylindre appelé «cylindre éolien », de hauteur H et de rayon R (Voir figure 2). Dans tout ce qui suit, on supposera que l'écoulement de l'air est permanent et incompressible de masse volumique uniforme @. La pesanteur est négligée dans tout le probléme. amont ( up ) aval ( dawn ) cylindre éolien /-- de rayon R et de hauteur H FIGURE 2 * Lignes de courant du vent (en gris) et trace du cylindre éolien (en pointfllés) en vue de dessus. Le segment vertical en pointillés sépare les faces amont et aval du cylindre éolien. L'angle 9 de repérage sur la face amont est compris entre f1r/2 et 1r/2. De même, l'angle tp de repérage sur la face aval OEt compris entre f7r/2 et 1r/2. Le sens positif est le sens trigonométrique (l'angle 9 est donc positif sur la situation représentée). On note 51 le vecteur unitaire parallèle à 1700 et de même sens que 17 0°. En amont de l'éolienne, et loin de celle--ci, l'air arrive selon un champ de vitesse uniforme et horizontal 17... avec la pression atmosphérique notée Po. L'écoulement a travers l'éolienne est ralenti au niveau de la face amont ainsi qu'au niveau de la face aval. En un point u de la face amont, caractérisé par l'angle EUR, la vitesse de l'air est réduite à la valeur 17" De même, en un point d de la face aval, caractérisé par l'angle  P..., la pression en amont de la pale juste avant le point M; <> P..., la pression en aval de la pale juste après le point u. De même, pour la face aval du cylindre éolien, on introduit : <> Pd+, la pression en amont de la pale juste avant le point d ; <> Pdf, la. pression en aval de la pale juste après le point d. À l'intérieur du cylindre éolien, la pression retrouve rapidement la valeur Po. En aval et loin de l'éohenne, l'air retrouve la pression Po et possède un champ de vitesse uniforme 17... parallèle à 17 w. On introduit un point A situé loin des pales a l'intérieur du cylindre éolien sur la ligne de courant u --> d. La vitesse du vent en ce point, notée 17 A, est supposée parallèle à 17... pour simplifier. De même, 17" et 17 L,, sont supposées parallèles a la vitesse 1700. Cette modélisation donne a la ligne de courant passant par H, A et d un aspect « tordu » avec des points d'infiexion en M, A et d. On rappelle l'équation de Navier--Stokes pour un écoulement incompressible de fluide newto-- nien : 517 .. _. .. _. .. .. @ Ê+(" -grad)v :ÏgradP+gy +nAv. Page 2/8 Physique II, ...... 2015 * filière PSI Données numériques <> viscosité dynamique de l'air : n : 1,8 - 10*5 Pa - s; <> masse volumique de l'air dans les conditions normales de température et de pression : g : 1,3kg-m4; <> rayon du cylindre éolien : R : 5,0 m; <> hauteur du cylindre éolien : H : 4,0 m. D 1 -- Rappeler la définition et la signification du nombre de Reynolds d'un écoulement. Pour un vent de vitesse U : 60 km - hÏ', estimer le nombre de Reynolds a l'échelle de l'éolienne. Est-il légitime de considérer l'écoulement comme parfait ? D 2 -- J ustifier l'allure globale des lignes de courant. E' 3 -- En justifiant son application, appliquer deux fois le théorème de Bernoulli (une fois de foo a u+ et une autre fois de u* a A). En déduire la discontinuité de pression P,,+ * Pr introduite par les pales de la face amont en fonction de @, vw et UA. D 4 -- Expliquer pourquoi il n'est pas possible d'appliquer le théorème de Bernoulli entre les points M" et u*. Pour les deux questions suivantes, on considère un fin tube de courant traversant le cylindre éolien au niveau du point u (Voir figure 3). Sa section orthogonale élémentaire au niveau du point M a pour aire dSu. Pour simplifier on suppose que la vitesse de l'écoulement au voisinage du point u est parallèle a si. Le vecteur surface élémentaire associé a dSu est donc dS * ndS er. l_ cylindre éolien FIGURE 3 * Tube de courant élémentaire contenant le point u (en gris) et trace du cylindre éolien (en pointillés) en vue de dessus. Et 5 -- On considère le systéme fermé constitué d'une portion de ce tube de courant s'éten-- dant de u+ a u a. l'instant 2. En faisant un bilan de quantité de mouvement sur ce système, déterminer la force dFu exercée par l' air sur l'élément de surface dSu en fonction de P.", P,r et dS. Le raisonnement devra s' appuyer sur un schéma explicatif représentant le système a deux instants voisins t et t + dt. E' 6 -- On considère le système fermé constitué d'une portion de ce même tube de courant, mais s'étendant cette fois de foo a A. Pour le bilan de quantité de mouvement demandé, on pourra admettre que la résultante des actions de pression s'exerçant tout autour de cette portion de tube est nulle. <> Expliquer ce qui permet d'affirmer que la résultante des actions de pression est nulle. Ce résultat est--il exact ou approché? <> Faire un schéma explicatif et réaliser un bilan d_e quantité de mouvement sur ce système pour déterminer une deuxième expression de dFu en fonction de g, dS... v... 1700 et 17,4. En déduire une relation simple entre les normes des vitesses vA, 'Un et 11m. Page 3/8 TO'JIDOE la page S.V.P. Énergie éolienne D 7 -- Sur la face amont du cylindre éolien, on repère par l'angle 9 un élément de pale d'aire élémentaire dAu. La force dFu précédemment déterminée peut se décomposer comme dÉ : dT., ? + dNu 71 où le vecteur unitaire ? pointe selon la vitesse de la pale (exprimée dans le référentiel terrestre) et le vecteur unitaire 5 pointe vers l'axe du cylindre éolien (Voir figure 4). Exprimer dT., et dNu en fonction de dEA et de l'angle orienté @. FIGURE 4 * Elément de paie de la face amont, d'aire dA., et dont la vitesse est colinéaire a ? et de même sens que ?. Sa position est repérée par l'angle 9. Ce schéma est orienté dans le sens trigonométrique (@ est donc positif ici). On note W.1À le Vecteur Vitesse du Vent au point il dans le référentiel (u, ?, rÎ ) lie' à la pale et Wu sa norme. On définit les coeflîcients aérodynamiques (sans dimension) CT" et CN" de la pale par : dTu :39W31 dA., CT" et dNu : 39W31 dAu ON" 2 27r 2 27r où 17 est un coericient sans dimension appelé solidité de l'éolienne. D 8 -- Exprimer le lien entre dA1À et l'élément de surface dSu. Projeter ] expression vectorielle an :dT1À t + dN TL sur la direction moyenne e: de lécoulement. En déduire la relation explicitant dFu en fonction de 17, g, 0, W... dS... CNuet CT". On ne cherchera pas à étudier les éventuelles conséquences des autres projections de cette relation. D 9 -- Montrer que l'on peut en déduire la relation : ou Un 17 Wu 2 -- 1f-- =-->< * X(CNH+CTu tan0). Um vw 87r vDc La vitesse angulaire u} de rotation de l'éolienne étant supposée constante on note Ü la vitesse du point 71 de la pale dans le référentiel du sol. On rappelle que le rayon du cylindre éolien est noté B. On définit le coefficient de vitesse de léolienne par À * ':R. On note au : ( W... t) l'angle d'attaque (angle entre l'opposé du vecteur Vitesse du Vent relatif et la direction de la tangente à la paie, Voir figure 5). 3] FIGURE 5 * Schéma de la pale et du repère (il, t n) solidaire de la pale. La vitesse relative du vent Wu dans ce référentiel définit l'angle orienté au* * ( W... t). Le sens positif est le sens trigonométrique (] angle an est donc positif dans la situation représentée). Page 4/8 Physique II, ...... 2015 * filière PSI D 10 -- En utilisant la loi de composition des vitesses, déterminer l'expression du vecteur W., en fonction de 17... u}, R et t . En déduire les expressions de sin au et cos au en fonction de v... v 11 W... u}, R et 9, puis en fonction de z : l, 4", À et 0 (il n'est pas utile d'expliciter la norme _ . voo IL Wu pour traiter cette question). D 11 -- Pour des valeurs de lau| inférieures a 15°, on admet que les coefficients aérodynæ miques ont les expressions approximatives suivantes : CT : *CD + 27r si.n2 au et CN" : 21r sine... cosa... Dans la réalité, CD est une constante positive. Cependant, pour simplifier, on prendra Cg : 0 dans tout le probléme (profil de pale parfait). Exprimer CT" et CNu en fonction de :c, %, À et À 9 et montrer que 1 : 1 f % cosfi. " Remarque. Une étude analogue menée sur la face aval du cylindre éolien permettrait de montrer que : * vd *] 3aÀ yÿvoeÿ * 4 cos0 FIGURE 6 * Onduleur de tension a deux niveaux. D 22 -- Rappeler les définitions d'une source de tension parfaite et d'une source de courant parfaite. Page 6/8 Physique II, année 2013 * filière PSI D 23 -- Compte--tenu de la nature de la source de tension E et de la nature de la charge, quelles sont les contraintes d'ouverture et de fermeture des interrupteurs K,. (on attend une justification)? Compléter le tableau suivant avec les mots « ouvert » ou « fermé ». K1 Kz K3 K., U... > 0 fermé ouvert U... < 0 ouvert fermé D 24 -- La tension de commande U... est générée par le montage de la figure 7, dans lequel l'amplificateur opérationnel est idéal. La tension Un est constante telle que Ug EUR [ÏUhçUh], où U,, > 0. La tension U,,(t), appelée porteuse, est T,;périodique et en dents de scie (suite de rampes montantes). Justifier que l'amplificateur fonctionne en régime de saturation en tension (on note Vm l'amplitude de la tension de sortie dans ce cas). Up(t) interface de Uh commande des interrupteurs FIGURE} 7 * Circuit générant la tension U...(t). E' 25 -- On choisit U0 2 O. Tracer la courbe représentant la tension Us(t) aux bornes de la charge en fonction du temps et préciser la valeur de sa période Ts. D 26 -- Sur une période T, de Us, on note t] la durée où Us > 0. Le rapport cyclique est défini t par a : %. Exprimer la Valeur moyenne (Us) de Us en fonction de a et E, puis en fonction de U... E et Uh. Quelles doivent être les valeurs de a et Uo si on veut que Us ait une moyenne nulle ? On se placera dans ce cas dans la suite. D 27 -- Le développement en série de Fourier de la tension Us (t) ainsi générée s'écrit : 00 2E 27r Ut: --1ff1"sinnwt avec w:f. .<>ëfi[ (H (> T. Représenter graphiquement le spectre en amplitude de cette tension. Ce spectre est--il satisfai-- sant en vue d'un raccordement de U, au réseau de distribution électrique'.? Si ce n'est pas le cas, quels en sont les défauts et quelles conséquences néfastes peut--il y avoir ? E' 28 -- La charge est constituée d'une bobine d'inductance L en série avec une résistance H. On pose T : %. On étudie le régime T,;périodique établi du montage. On note il la valeur de is at : 0 et +] sa valeur at : %. Exprimer is(t) pour t EUR [O;TP/2] et pour 2 & [TP/2;Tp] en fonction de t, E, R, I, T,, et T. En déduire l'expression de I en fonction de E, R, T,, et T. D 29 -- Représenter les chronogrammes de is et i. Page 7/8 Tourna la page S.V.P. Énergie éulienne D 30 -- Dans la pratique, l'onduleur qui alimente la charge {résistance + bobine} est réalisé avec le montage de la figure 8. Les interrupteurs commandés Ku sont des transistors idéaux unidirectionnels et le circuit contient également quatre diodes idéales D". Expliquer le rôle des diodes dans ce circuit. FIGURE 8 * Réalisation pratique d'un onduleur de tension à deux niveaux. D 31 -- Le rôle de la bobine est d'effectuer un filtrage. Les grandeurs soulignées désignent les grandeurs complexes associées aux grandeurs réelles sinusoi'dales de pulsation temporelle notée w. Déterminer la. fonction de transfert complexe @ : :R de la branche {bobine + résistance} et faire apparaître dans son expression une pulsation caractéristique, notée w... a exprimer en fonction de T. Donner l'expression du gain G(w) et du déphasage d$(m) associés à @. D 32 -- Donner le développement en série de Fourier de UR(t). En déduire le spectre en amplitude de la tension U R et le représenter graphiquement. En quoi ce spectre est-il meilleur que celui de Us pour un éventuel raccordement au réseau de distribution électrique ? FIN DE LA PARTIE II FIN DE L'ÉPREUVE Page 8/8

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 Mines Physique 2 PSI 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) ; il a été relu par Victor Bertrand (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet propose d'étudier le fonctionnement d'une éolienne à axe vertical, dite de Darrieus, et d'un onduleur couplé à l'éolienne. · La première partie, la plus longue, étudie le principe du transfert mécanique de la puissance du vent aux pales de l'éolienne. À partir de l'équation d'Euler, on utilise le théorème de Bernoulli afin de trouver des relations entre les grandeurs du problème. Au niveau des discontinuités de pression engendrées par les pales, un bilan de quantité de mouvement permet de trouver une nouvelle relation. On établit ensuite la force qu'exerce le vent sur les pales. Cette force étant connue, il est alors possible de remonter au moment exercé par le vent sur l'axe de l'éolienne puis d'en déduire la puissance mécanique disponible. Enfin, quelques estimations d'ordre de grandeur sont proposées afin d'estimer le rendement du dispositif. · La seconde partie traite du principe de l'onduleur. À partir d'une tension continue, on cherche à générer un courant alternatif afin de pouvoir l'injecter dans le réseau électrique. L'énoncé propose dans un premier temps de générer un signal créneau à partir d'un hacheur quatre quadrants. Dans un second temps, on se rapproche d'un signal sinusoïdal par la mise en parallèle d'une inductance avec la résistance de charge. Dans cette partie, l'analyse spectrale tient une place importante. De difficulté et de longueur raisonnables, ce sujet comporte quelques questions d'interprétation physique délicates. Les premières questions sont plus difficiles et exigent un recul suffisant sur le cours d'hydrodynamique pour être abordées sereinement. La suite du problème est en revanche guidée et peut être faite sans avoir répondu aux premières questions. Indications Partie I 2 Penser à l'influence sur la vitesse d'écoulement d'une perte d'énergie du fluide lors de son passage dans l'éolienne. 4 Le théorème de Bernoulli traduit la conservation de l'énergie. 5 Introduire un système ouvert fixe. La stationnarité de l'écoulement permet alors d'annuler la dérivée temporelle de la quantité de mouvement relative à ce système. 6 Pour une pression homogène, la résultante des forces de pression sur un solide est nulle quelle que soit sa forme. - 10 Exprimer - v dans la base (- n , t ). u 12 Utiliser la relation cos2 u + sin2 u = 1 afin d'exprimer v /Wu . Utiliser la calculatrice pour montrer que l'angle u reste inférieur à 15 . 13 Utiliser la conservation du débit volumique le long d'un tube de courant. 14 Dans l'expression de Tu fournie par l'énoncé, exprimer dAu à l'aide des questions précédentes. - 15 Intégrer le moment induit par la force élémentaire Fu sur le cylindre éolien. 16 Les intégrales utilisent respectivement les jeux de variables (, ) et (, ). La relation proposée entre et à la question 14 assure l'égalité = . Cette identité des variables permet alors de regrouper les intégrales afin d'obtenir la relation proposée. 17 En l'absence d'éolienne, la vitesse du vent est égale à v sur toute la longueur d'un tube de courant. 19 Raisonner sur la condition nécessaire pour obtenir CTu > 0. Partie II 23 Utiliser les conditions de fonctionnement des sources parfaites pour en déduire des positions interdites des interrupteurs. 24 Utiliser l'absence de boucle de rétroaction négative pour conclure. 28 La tension d'alimentation du circuit RL est constante par morceaux. Utiliser les indications de l'énoncé sur les valeurs de l'intensité en t = 0 et en t = Tp /2 permet de conclure plus aisément : Tp = +I is (t = 0) = -I et is t = 2 30 Remarquer que le courant change de signe lors d'un même mode de fonctionnement. Énergie éolienne I. Éolienne de type Darrieus 1 Le nombre de Reynolds Re est une grandeur adimensionnée qui représente, pour un écoulement donné, le rapport entre les flux advectif et diffusif de quantité de mouvement. Il permet de caractériser le régime de l'écoulement (visqueux ou laminaire). Il est nécessaire de se donner une taille caractéristique et une échelle de vitesse pour le définir. Il semble judicieux de prendre le rayon de l'éolienne R, puisque c'est lui qui donne l'échelle de l'écoulement. Ainsi, -- k(- v · grad ) · - vk U2 /R Re = = U/R2 k- vk Par conséquent, Re = UR 6 · 106 Puisque Re 1, les forces de viscosité sont négligeables, donc l'écoulement peut légitimement être considéré comme parfait loin des parois. Le terme de viscosité est alors négligé dans l'équation de Navier-Stokes. Cette nouvelle équation est appelée équation d'Euler ; elle est valable dans le cas des fluides parfaits. 2 L'éolienne est un système mécanique qui convertit l'énergie du vent en énergie mécanique de ses pales. De l'énergie est donc soustraite au flux d'air la traversant. Par conséquent, l'air a perdu de l'énergie lors du passage dans l'éolienne. Dans une bonne approximation, le passage du vent dans l'éolienne est adiabatique. De plus, le flux d'air étant horizontal, il est iso-potentiel. Seule de l'énergie cinétique est donc perdue par l'air. Ainsi, la vitesse de l'air en aval est inférieure à celle en amont : - k- v w k < kv k. L'écoulement étant de plus supposé incompressible, il y a conservation du débit volumique, ce qui impose l'élargissement des tubes de courant au passage de l'éolienne et donc l'écartement des lignes de courant comme suggéré par le schéma de l'énoncé. 3 Le fluide étant parfait d'après la question 1, et l'écoulement étant de plus considéré comme stationnaire et incompressible, il est possible d'appliquer le théorème de Bernoulli le long d'une ligne de courant . L'énergie de pesanteur peut de plus être négligée (sa variation serait de toute façon nulle, les lignes de courant étant iso-hauteur). Le théorème de Bernoulli s'écrit alors simplement v2 P + = Cte 2 2 v P vu 2 P + 0 Ainsi, de - à u+ , + = + u 2 2 2 2 P v v P u u A 0 et de u- à A, + - = + 2 2 d'où Pu+ - Pu- = (v 2 - vA 2 ) 2 4 Le théorème de Bernoulli traduit la conservation de l'énergie mécanique du fluide lors de son mouvement. Or, lors de son passage à proximité du cylindre éolien, il y a transfert d'énergie entre le vent et les pales de l'éolienne (sinon l'éolienne ne pourrait pas être mise en rotation). Il n'y a donc pas conservation de l'énergie dans cette zone. Le théorème de Bernoulli pourrait s'appliquer, mais dans une version généralisée qui contiendrait un terme de transfert entre le fluide et le système mécanique. Ce terme étant inconnu, cela ne permettrait pas de conclure plus aisément. 5 Dans les deux questions suivantes, les grandeurs faisant référence au système fermé - auront une étoile en exposant. Notons F la force totale s'exerçant sur le système fermé. Le principe fondamental de la dynamique permet d'écrire - d- p = F dt - avec p la quantité du mouvement du système fermé considéré. t - v u dSu - v u dSu Pu+ Pu- - v u t + dt vu dt u+ - v u vu dt - ex u u- Introduisons le système ouvert (en traits pointillés) coïncidant avec le système fermé (en traits pleins) considéré à l'instant t. À cet instant, les quantités de mouvement du système ouvert et du système fermé vérifient - p (t) = - p (t) À l'instant t + dt, ces deux quantités ne coïncident plus. Elles diffèrent du flux de quantité de mouvement. - + - p (t + dt) = - p (t + dt) + d- p - d- p - + avec d- p la quantité de mouvement ayant quitté le système ouvert et d- p celle étant rentrée pendant l'instant dt. Ces flux de quantité de mouvement s'écrivent, en notant - vu- et - vu+ les vitesses du fluide respectivement en amont et en aval du point u, ( - - d p = ( v dt dS )- v u- u u- + - d p = ( vu+ dt dSu )- vu+ Ainsi, -- d- p d- p = + dSu (vu- - vu+ ) dt dt