Mines Physique 2 PSI 2012

Thème de l'épreuve Un houlogénérateur pendulaire
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique du point, conversion électro-mécanique de puissance
Mots clefs propagation d'onde, onde de surface, référentiels non galiléens, résonance mécanique, alternateur, machine synchrone

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2012 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PSI (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- PSI. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. UN HOULOGENERATEUR PENDULAIRE On considere un houlogenerateur pendulaire destine a convertir l'energie mecanique de la houle marine en energie electrique. Celui-ci se compose d'un pendule oscillant a l'interieur d'un flotteur libre de se deplacer a la surface de l'ocean. La houle entretient le mouvement du flotteur, et donc, par l'intermediaire des forces d'inertie, l'oscillation relative du pendule. Un alternateur solidaire de l'axe du pendule assure la production d'energie electrique. Les trois parties du probleme sont independantes. On y envisage successivement la caracterisation de la houle en tant qu'onde de surface, l'etude mecanique du houlogenerateur, puis le probleme de la conversion electromecanique. Dans tout le probleme, les vecteurs ~v sont notes avec une fleche en general mais avec un chapeau ub s'ils sont unitaires, et on associe a une grandeur sinusoidale f (t) = A0 cos( t + ) sa representation complexe soulignee f (t) = A0 exp j( t + ) avec f (t) = Re{ f (t)} et j2 = -1 Une grandeur surmontee d'un point represente la derivee temporelle de celle ci : = d . dt Un houlogenerateur pendulaire I. -- Caracterisation de la houle Dans une modelisation simplifiee, le probleme est suppose illimite selon la direction eby et invariant vis-a-vis de la variable x. La houle en surface est caracterisee par l'equation de la surface libre z = H + (y,t) ou (y,t) = a cos( t - ky) ou H est la profondeur au repos, (y,t) l'elevation par rapport a H due a la houle, la pulsation et ~k = keby le vecteur d'onde de la houle, tous les deux reels. On leur associe la periode temporelle F IGURE 1 ­ Parametrisation de la T et la longueur d'onde . houle On s'interesse a l'ecoulement de l'eau de mer entre le fond plat et impermeable en z = 0 et la surface libre en z = H + (y,t). Cet ecoulement est parametre par les champs euleriens de vitesse ~v(y, z,t) = vy (y, z,t) eby + vz (y, z,t) ebz et de pression P(y, z,t). Pour cette etude, on se place dans le cadre de l'approximation a , dite acoustique , ou les champs precedents traduisent une evolution de faible amplitude de la particule fluide autour de sa position au repos (y, z). On suppose que l'eau de mer est un fluide incompressible de masse volumique µ = 1, 00 · 103 kg.m-3 en ecoulement irrotationnel. La pression atmospherique P0 et le champ de pesanteur ~g = -g ebz sont uniformes, on prendra g = 9, 81 m.s-2 . Enfin, dans le referentiel terrestre (Oxyz), l'ecoulement verifie l'equation de Navier-Stokes h ~v -- i --- µ + (~v · grad)~v = -grad P + µ ~g - 2µ ~t ~v + ~v t ou ~t designe le vecteur rotation de la Terre autour de son axe polaire et la viscosite dynamique de l'eau de mer. Pour les application numeriques on prendra = 10-3 Pa . s. Pour l'etude envisagee, l'equation de Navier-Stokes peut etre grandement simplifiee dans le cadre des approximations suivantes : ­ A1 : le terme de viscosite est negligeable devant le terme de convection ; ­ A2 : le terme de Coriolis est negligeable devant le terme de convection ; ­ A3 : la derivee convective est negligeable devant la derivee temporelle locale. 1 -- En considerant a comme distance caracteristique du deplacement d'une particule fluide, traduire litteralement chacune des approximations sous forme d'une inegalite en ordre de grandeur portant sur les quantites a, T , , et les constantes du probleme. 2 -- Proposer des valeurs numeriques pour µ et t . En deduire les ordres de grandeurs inferieur et superieur pour imposes par les approximations A1 et A2 dans le cas d'une houle telle que a = 1 m et T = 5 s. Ces approximations sont-elles justifiees ? 3 -- Quelle propriete doit verifier le champ de vitesse ~v pour qu'il existe un potentiel des vitesses ---- scalaire (y, z,t) tel que ~v = grad . Quelle est l'equation verifiee par ? 4 -- Simplifier l'equation de Navier-Stokes dans le cadre des approximations A1 , A2 et A3 . P + + gz est uniforme dans l'ecoulement. Quelle signification En deduire que la quantite = t µ P physique peut-on donner a + gz ? µ Page 2/7 Physique II, annee 2012 -- filiere PSI 5 -- On cherche sous la forme d'une fonction a variables separees dont la representation complexe s'ecrit (y, z,t) = f (z)e j( t-ky) Determiner l'expression de f (z) en fonction de k, z et de deux constantes d'integration que l'on notera c1 et c2 . 6 -- En etudiant la surface libre de cote z = H + (y,t), justifier avec rigueur les conditions aux limites imposees a sur la surface libre, ce qui revient dans l'approximation acoustique a se placer en z = H. (y,t) = = -g (y,t) et z z=H t t z=H En deduire une relation reliant c1 , c2 et les parametres du probleme. 7 -- En ecrivant la condition aux limites imposee a en z = 0, montrer que c1 = c2 . En deduire l'expression de 2 sous la forme 2 = gk (kH) ou l'on precisera l'expression de la fonction (kH). Verifier que (kH) kH si kH 1 et (kH) 1 si kH 1 Dans le cadre de l'etude envisagee, il est possible de faire l'une ou l'autre des deux hypotheses suivantes : ­ H1 : la houle se propage en eau peu profonde ainsi kH 1 ; ­ H2 : la houle se propage en eau profonde ainsi kH 1. 8 -- Preciser dans chacun des cas H1 et H2 si la propagation de la houle est ou n'est pas dispersive. Comment cela se manifeste-t-il en pratique pour un observateur scrutant les oscillations de la surface libre ? 9 -- L'etude envisagee par la suite est effectuee pour une profondeur au repos H 100 m. Laquelle des deux hypotheses H1 ou H2 doit-on retenir dans le cas d'une houle telle que a = 1 m et T = 5 s ? L'approximation acoustique est elle verifiee a posteriori ? 10 -- Les resultats precedents permettent de montrer qu'au voisinage de la surface libre le potentiel des vitesses s'ecrit ja k(z-H) j( t-ky) (y, z,t) = e e k Exprimer, dans le cadre de l'approximation acoustique , les deplacements reels y(y, z,t) et z(y, z,t) d'une particule fluide autour de sa position au repos reperee par ses coordonnees (y, z). Quelle est, dans ce cas, la nature de la trajectoire suivie au cours du temps par une particule fluide ? Quelle est l'evolution de cette trajectoire en fonction de z ? 11 -- Le fonctionnement du houlogenerateur peut etre perturbe quand la vitesse horizontale d'une particule fluide en surface depasse la vitesse de propagation de la houle. On dit alors qu'il y a deferlement. On appelle = 2a/ la cambrure de la houle. Etablir que le deferlement apparait lorsque devient superieur a une certaine cambrure critique c que l'on determinera. Une houle se propageant en eau profonde et telle que a = 1 m et T = 5 s est-elle deferlante ? Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Un houlogenerateur pendulaire 12 -- Avant de passer au principe meme du houlogenerateur, il reste a quantifier la puissance disponible. Justifier que l'on puisse exprimer la puissance mecanique Pm developpee par la houle a travers une section verticale S d'ecoulement sous la forme Pm = - ZZ S µ d y t Exprimer, dans le cadre de l'approximation acoustique , la puissance mecanique moyenne  developpee par la houle sur toute la hauteur de l'ecoulement en fonction de µ , , g, a et de la largeur x selon la direction ebx . Determiner la valeur de la puissance /x disponible par metre de front d'onde dans le cas d'une houle telle que a = 1 m et T = 5 s. Que pensez-vous de cette valeur ? FIN DE LA PARTIE I II. -- Etude mecanique du houlogenerateur Le houlogenerateur considere est modelise par deux composants : ­ un flotteur de centre d'inertie G ; ­ un pendule pesant de longueur = AB, dont la masse mp = 105 kg est concentree a l'extremite B et dont le point d'attache A est confondu avec G. On note, dans ce cas, (t) l'inclinaison du pendule relativement au flotteur qui, lui-meme, reste vertical. Enfin, le couplage electromecanique entre le pendule et l'alternateur qui permet de convertir l'energie mecanique du pendule en energie electrique introduit un couple resistant de moment F IGURE 2 ­ Houlogenerateur mecanique - ebx ou le coefficient de conversion est fixe a la valeur = 1, 05.106 N.m.rad-1 .s. Le champ de pesanteur ~g = -g ebz est toujours uniforme. La liaison pivot d'axe (Gx) entre le pendule et le flotteur est parfaite. On considere que l'action de la houle sur le flotteur se resume aux seules translations selon les directions eby et ebz du centre d'inertie G, appelees cavalement et pilonnement, et caracterisees par les coordonnees Y (t) et Z(t) de G dans le referentiel terrestre R = (Oxyz) suppose galileen. 13 -- Donner l'expression de la force d'inertie qui s'exerce sur le pendule dans le referentiel barycentrique R = (Gxyz) du flotteur. 14 -- En appliquant le theoreme du moment cinetique en G = A au pendule dans le referentiel barycentrique R du flotteur, montrer que l'equation differentielle verifiee par s'ecrit + + s( ) = 0 (1) ou l'on exprimera en fonction de , m p et et la fonction s( ) en fonction de , g, Y , Z et . 15 -- Exprimer l'energie mecanique E m du pendule dans le referentiel barycentrique R du flotteur. A l'aide d'un bilan energetique, retrouver l'equation differentielle etablie a la question 14. L'action de la houle est dorenavant caracterisee par une periode T = 5 s et par les fonctions Y (t) = a cos( t) et Z(t) = a sin( t) avec = 2 /T . Page 4/7 Physique II, annee 2012 -- filiere PSI 16 -- Pour cette question on considerera l'exemple d'un houlogenerateur dote d'un pendule de longueur = 2 m. Etudier la solution de l'equation (1) dans un regime de faibles accelerations verticales ( Z g) et de petites oscillations (| | 1). On determinera en particulier la duree caracteristique et la pseudo-periode Tt du regime transitoire ainsi que l'amplitude Amax du regime sinusoidal force. F IGURE 3 ­ Evolution de en fonction de t pour differentes valeurs de a et de . 17 -- Une resolution numerique de l'equation (1) sans hypotheses sur et Z est entreprise pour differentes valeurs de a et a partir de conditions initiales nulles. La representation graphique de certaines de ces solutions fait l'objet de la figure 3. En utilisant les resultats de la question 16, interpretez le plus precisement possible ces courbes. On s'interesse a present a la puissance moyenne convertie en regime d'oscillations forcees par le houlogenerateur, notee < P >. On calcule pour cela la fonction < P > qui representent l'evolution de 

en fonction du parametre du houlogenerateur, les autres parametres etant constants. La resolution numerique de l'equation (1) a permis d'obtenir la figure 4. Pour ces calculs et afin de tracer la courbe on a choisi a = 0, 1 m et T = 5 s. F IGURE 4 ­ < P > en fonction de 18 -- Comment peut-on evaluer < P > a partir de la solution numerique (t) de l'equation (1) ? Interpreter physiquement la courbe. FIN DE LA PARTIE II III. -- Probleme de la conversion electromecanique La conversion de l'energie mecanique du pendule en energie electrique est realisee par un alternateur. Les oscillations du pendule sont converties en un mouvement de rotation sensiblement uniforme a la vitesse angulaire autour de l'axe (Ox) d'une bobine appelee rotor. La bobine de resistance r et d'inductance propre L comporte N spires rectangulaires jointives et associees en serie, d'epaisseur negligeable, de hauteur h selon ebx et de largeur b perpendiculairement a cette direction. Elle est fermee sur une resistance de charge R. On suppose dans un premier temps qu'un champ magnetique uniforme ~B0 = B0 eby est cree par un aimant permanent et immobile, appele stator (voir figure 5). On note i l'intensite du courant induit par la rotation de la bobine dans le champ ~B0 , son sens est indique sur la figure 5. Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Un houlogenerateur pendulaire x z v h v O z x b O y y b F IGURE 5 ­ Parametrisation de l'alternateur 19 -- En utilisant la methode de votre choix, exprimer d'une part, la force electromotrice e induite au sein de la bobine en fonction de N, h, b, B0 , et t, et d'autre part, le moment des forces de Laplace, ou couple de Laplace, ~L subi par la bobine en fonction de N, h, b, B0 , i, et t. 20 -- On suppose que le rotor se trouve dans un regime de rotation uniforme forcee a la vitesse angulaire . A l'aide d'un schema electrique equivalent, etablir l'equation differentielle verifiee par l'intensite i (t). Montrer que l'intensite se decompose en la somme d'un regime transitoire i0 (t) et d'un regime sinusoidal permanent i1 (t) = I1 cos(t + ). Quelle est la duree caracteristique 1 du regime transitoire ? Determiner les expressions de I1 , cos et sin en fonction de N, h, b, B0 , R, r, L et . On resume l'effet du couple de Laplace a sa valeur moyenne sur une periode notee hL i et l'effet d'entrainement du pendule sur la bobine a un couple moteur m stationnaire. 21 -- Exprimer le couple de Laplace moyen hL i en fonction de N, b, h, B0 , R, r, L et . Interpreter physiquement le signe de hL i. 22 -- Tracer l'allure de la fonction |hL i ()| pour 0. Etudier graphiquement l'existence et la stabilite d'un (ou plusieurs) regime(s) de rotation etabli(s) en fonction de la valeur du couple moteur m > 0. En deduire l'existence d'une vitesse de rotation et d'un couple moteur critiques, c et c , que l'on determinera. Que se passe-t-il si les conditions de fonctionnement du houlogenerateur conduisent a depasser l'une ou l'autre de ces valeurs critiques ? Dans la pratique, pour eviter ce probleme, on organise le stator en secteurs angulaires creant un champ magnetique tournant ~B0 = B0 ub ou ub est toujours le vecteur represente sur la figure 5. 23 -- Avec cette nouvelle geometrie radiale du stator, determiner la force electromotrice erad induite dans la bobine puis relier le couple de Laplace ~rad L subi par la bobine au courant i circulant dans celle-ci. 24 -- On suppose toujours que le rotor se trouve dans un regime de rotation uniforme forcee a la vitesse angulaire . Determiner l'expression du couple de Laplace ~Lrad en fonction de N, b, h, B0 , R, r et subi par la bobine a l'issue du regime de courant transitoire. Page 6/7 Physique II, annee 2012 -- filiere PSI 25 -- Les parametres physiques du montage sont b = h = 1 m et B0 = 1 T . Le bobinage est realise dans un fil de cuivre de section s = 1 mm2 et de conductivite electrique = 5, 8.106 -1 .m-1 . On suppose que l'on peut identifier a defini lors de l'etude mecanique et que l'on peut negliger R devant r. Determiner le nombre N de spires a realiser pour atteindre le coefficient de conversion = 1, 05.106 N.m.rad-1 .s utilise pour dimensionner la partie mecanique du houlogenerateur. FIN DE LA PARTIE III FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 2 PSI 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet propose l'étude d'un dispositif de conversion de l'énergie de la houle en électricité. · La première partie étudie la houle, particulièrement les ondes de surface qu'elle engendre dans l'eau. À partir de l'équation de Navier-Stokes, dont on néglige différents termes compte tenu des hypothèses, on établit l'expression générale de la vitesse de phase de ces ondes. Les deux approches asymptotiques des ondes dites en « eau profonde » ou en « eau peu profonde » sont comparées afin de déterminer la plus adaptée au problème. Cette partie se conclut par l'évaluation de la puissance mécanique due à la houle. · La deuxième partie aborde un modèle simplifié de pendule oscillant soumis aux ondes de surface dues à la houle. Avec la modélisation retenue, cette partie n'utilise que les outils de mécanique du point. Les calculs sont conduits dans une situation simplifiée et on les compare avec les solutions issues de simulations numériques pour vérifier la pertinence des approximations faites. On termine par l'analyse qualitative de la courbe de réponse de cet oscillateur, ce qui permet d'aborder la puissance mécanique que l'on peut espérer obtenir. · Enfin, la conversion électromécanique de puissance est l'objet de la troisième partie. L'alternateur simple étudié au début fait apparaître un risque d'emballement de ce dernier. Pour pallier ce défaut, on s'intéresse à une machine synchrone. D'une longueur et d'une difficulté raisonnables, ce sujet, centré sur un objet technologique, aborde différentes parties du programme : hydrodynamique, ondes, mécanique du point, induction et couplage électromécanique. Il mêle étude analytique et critique de résultats numériques. Regrettons seulement une erreur d'énoncé qui, si elle n'est pas détectée, empêche d'aborder la fin du problème. Indications Première partie 5 Utiliser le résultat trouvé à la question 3. 6 Différents potentiels peuvent conduire au même champ des vitesses. Un choix judicieux permet alors de retrouver la deuxième expression proposée. 10 Les grandeurs de position y et z doivent être supposées quasi-constantes pour pouvoir mener l'intégration. 12 En mécanique, une expression usuelle de la puissance est - P = F ·- v Exploiter alors le résultat de la question 4 pour conclure. Deuxième partie 13 Le mouvement de R par rapport à R se réduit à une translation qui n'est pas uniforme. L'expression des forces d'inertie est donc très simple. 14 Ne pas oublier le couple associé à la force d'inertie d'entraînement. 15 La force d'inertie d'entraînement n'est pas conservative. Elle ne dérive donc pas d'une énergie potentielle mais est responsable de la diminution de l'énergie mécanique. Troisième partie 22 Les points critiques se déterminent en exhibant les valeurs incompatibles avec un régime stable. 23 Le champ magnétique proposé conduit à un fonctionnement impossible : aucune puissance électrique n'est fournie. Il semble que dans toute la suite - le choix d'un champ B0 = B0 - v soit adapté pour conclure. 25 Un raisonnement par homogénéité est le moyen le plus simple de retrouver la valeur de la résistance connaissant la conductivité électrique d'un matériau. Un houlogénérateur pendulaire I. Caractéristique de la houle 1 Reprenons chacune des approximations pour les traduire sous forme d'inégalités. Évaluons d'abord chacune des grandeurs mises en jeu. Ici, deux grandeurs (a et ) sont des longueurs. Il faut se rappeler que la vitesse est liée au déplacement de la particule sur la période T ; tandis que la dérivation spatiale est liée à une échelle caractéristique de variation que l'on identifie ici à la longueur d'onde spatiale de la houle, si bien que |v| a T et d d 1 dy dz et d 1 dt T Ce faisant, on obtient trois inégalités traduisant ces approximations. -- · L'hypothèse A1 devient |µ (- v · grad )- v | | - v |, qui implique µ a2 a T2 T 2 T µa -- - · L'hypothèse A2 impose |µ (- v · grad )- v | |µ t - v | donc a2 a t 2 T T a T t · L'hypothèse A3 se traduit par -- - v |(- v · grad )- v | ainsi t a a2 T2 T2 a On travaille ici sur des ordres de grandeur. Le facteur 2 dans le terme de Coriolis peut donc être omis. L'hypothèse A3 est une conséquence de l'approximation acoustique. µ = 103 kg.m-3 2 D'après l'énoncé, La vitesse angulaire de rotation de la Terre t est à déterminer en considérant que la Terre tourne de 2 en 24 heures : t = 2 TTerre = 10-4 rad.s-1 Si bien que · L'hypothèse A1 donne 5 µm. · L'hypothèse A2 donne 2 km. donc 5 µm 2 km La houle est caractérisée par une longueur d'onde comprise entre quelques centimètres et une dizaine de mètres. Ces bornes sont donc comprises dans le cadre des approximations proposées par l'énoncé. La valeur de µ était donnée par l'énoncé. Il n'y avait donc pas de valeur numérique à proposer. Cette valeur est en revanche étonnante pour de l'eau de mer (donc salée), qui devrait posséder une densité supérieure à l'unité. - - - 3 L'écoulement est supposé irrotationnel, soit rot v = 0 . L'écoulement est donc potentiel, ainsi -- - Il existe un potentiel tel que v = grad . L'écoulement est de plus supposé incompressible, donc div - v =0 Par définition de l'opérateur laplacien, vérifie l'équation de Laplace, soit = 0 4 Les trois premières approximations permettent de négliger le terme de viscosité, celui de Coriolis ainsi que la dérivée convective. Ne restent alors que la dérivée temporelle locale de la vitesse, la force volumique de pression et la force de pesanteur -- - v µ = - grad P + µ - g t -- L'écoulement potentiel permet d'écrire - v = grad ; et la force volumique de pesan - teur µ g dérive d'un potentiel -- µ- g = - grad (µg z) -- grad d'où P + +gz t µ - = 0 P + +g z est uniforme sur tout l'écoulement. est homogène t µ à une énergie massique et l'on peut assimiler P/µ+g z à l'énergie potentielle massique. Ainsi, la quantité = 5 Cherchons le potentiel des vitesses sous la forme (y, z, t) = f (z) e j(t-ky) Développons l'équation de Laplace établie à la question 3 = 0