Mines Physique 2 PSI 2011

Thème de l'épreuve Le traitement des déchets
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, thermodynamique
Mots clefs bilan de quantité de mouvement, moteur à courant continu, théorème du moment cinétique, transferts thermique, conductance thermique, système ouvert, incinérateur, refroidissement

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2011 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PSI (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- PSI. L'enonce de cette epreuve comporte 8 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. LE TRAITEMENT DES DECHETS Ce probleme etudie un dispositif de traitement de dechets menagers par incineration. Il se compose de deux parties independantes : ­ l'etude de l'acheminement des dechets vers un four a l'aide d'un tapis roulant entraine par un moteur a courant continu ; ­ l'etude thermique et thermodynamique du four de combustion des dechets. Les vecteurs sont notes avec des chapeaux s'ils sont unitaires (kebx k = 1) ou avec des fleches dans le - cas contraire ( k = kebx ). I. -- Acheminement des dechets Le dispositif d'acheminement est decrit sur la figure 1. Les dechets sont contenus dans un reservoir suspendu au dessus du tapis et deverses par un conduit vertical sur le tapis. On considerera que lorsque les dechets entrent en contact avec le tapis, la composante de leur vitesse parallele a ebx dans le referentiel lie au sol, suppose galileen, est negligeable. 1 -- Le dispositif est concu pour incinerer 25 tonnes de dechets par jour ; il fonctionne en continu. Evaluer le debit massique moyen Dm d'arrivee des dechets sur le tapis exprime en unite du systeme international. On designe par D (t) le debit massique des dechets a l'instant t. Lorsqu'ils arrivent sur le tapis, les dechets acquierent la meme vitesse que le tapis qui les achemine ainsi jusqu'a la section d'admission du four ou ils quittent le tapis animes de la vitesse ~v = vb ex . On suppose dans un premier temps que le - regime d'ecoulement des dechets est permanent. On note F = F · ebx la composante selon l'axe (O, x) de l'action des dechets sur le tapis. Le traitement des dechets Réservoir contenant les déchets rv = v x Section d'admission du four d'incinération Vitesse du tapis z Conduit d'arrivée des déchets z z x O' O x Sens de rotation du cylindre qui entraîne le tapis F IG . 1 ­ Dispositif d'acheminement des dechets 2 -- Determiner F en fonction de Dm et v. On effectuera un bilan de quantite de mouvement en projection sur ebx sur le systeme compris dans le volume de controle forme par le lieu d'occupation des dechets en contact avec le tapis. Ce volume de controle est fixe dans le referentiel lie au sol. Il recoit de la matiere a l'extremite du tapis situee sous le reservoir et en ejecte a l'autre extremite situee a l'entree de four. Le cylindre C qui entraine le tapis est solidaire du rotor d'un moteur a courant continu. L'ensemble C -rotor est en rotation autour de l'axe (O, z), le moment d'inertie total de la partie tournante par rapport a cet axe est note J. Un second cylindre C est en rotation libre, sans frottement, autour de l'axe (O , z). Il assure le maintien de la position horizontale du tapis de masse m. Les deux cylindres C et C ont le meme rayon a et le moment d'inertie de C par rapport a (O , z) est note J . Les liaisons entre le tapis et les cylindres sont telles que les vitesses de glissement du tapis par rapport a chaque cylindre est nulle. On designe par la vitesse angulaire de rotation des cylindres dans le sens indique sur la figure 1. 3 -- Quelle relation, faisant intervenir les parametres geometriques utiles, existe-t-il entre v et ? Le moteur a courant continu est une machine a excitation separee dont le courant inducteur note ie est suppose constant. L'induit est alimente par la tension fixe U, il est parcouru par un courant d'intensite I represente sur la figure 2. F IG . 2 ­ Moteur d'entrainement Dans un souci de simplification, on ne prendra pas en compte la presence d'un reducteur de vitesse et on considerera comme indique precedemment que le rotor du moteur et le cylindre C tournent a la meme vitesse . Page 2/8 Physique II, annee 2011 -- filiere PSI Le bobinage induit du moteur, alimente par une tension constante U, presente une resistance R et un coefficient d'auto induction L. L'intensite de la force electromotrice due au flux inducteur est de la forme ou est une constante positive, caracteristique de la machine, homogene a un flux magnetique. L'intensite du couple fourni par le moteur s'ecrit alors I. L'ensemble du dispositif mecanique produit, sur la partie tournante du moteur, un couple de frottement de moment - ebz . La constante est positive. 4 -- Representer le schema electrique du circuit induit du moteur en precisant soigneusement la valeur de la force electromotrice suivant l'orientation choisie pour le schema. Etablir l'equation electrique (E1 ) du moteur qui relie U, I, et les parametres utiles du probleme. 5 -- Si l'on neglige l'inertie du tapis devant celle des cylindres, l'equation mecanique (E2 ) correspondant au probleme s'ecrit : d = I - - D (t) av dt Preciser, sans la developper, la demarche a adopter pour obtenir cette equation. (E2 ) J + J : On etudie le cas ou les regimes d'ecoulement des dechets et de fonctionnement du moteur sont permanents. On note p la valeur de la vitesse dans ce regime. 6 -- Etablir l'expression de p en fonction de U, Dm , , R, et a. Quelle est, dans ce modele, l'influence du debit des dechets sur la vitesse du tapis ? On envisage maintenant le cas ou l'ecoulement des dechets est caracterise par un debit periodique dont les variations en fonction du temps sont representees sur la figure 3. Le coefficient est un reel positif inferieur a 1. Par ailleurs, on admet que les equations (E1 ) et (E2 ) restent valables. On suppose que les fonctions (t) et I (t) deviennent, en regime etabli, periodiques de meme periode T . On definit les fluctuations , et i par : (t) = (t) - m , D(t) DMax t 0 aT T 2T F IG . 3 ­ Debit d'ecoulement des dechets (t) = D (t) - Dm et i (t) = I (t) - Im . ou m , Dm et Im representent les valeurs moyennes des fonctions (t), D (t) et I (t) sur leur periode T . On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction periodique g (t) de periode est definie par 1 gm = Z g (t) dt 0 7 -- Exprimer DMax en fonction de Dm et . 8 -- En considerant que = 1/4, tracer la representation graphique de la fonction qui a t associe (t) /Dm . Pour la suite des questions, reste un reel positif, inferieur a 1. 9 -- En utilisant la periodicite des fonctions ainsi que les relations (E1 ) et (E2 ), etablir les deux equations satisfaites par Dm , Im , m ou figurent en outre les parametres du probleme et la constante a2 A= T Z T (t) (t) dt 0 Page 3/8 Tournez la page S.V.P. Le traitement des dechets 10 -- On fait dorenavant l'hypothese que A a2 Dm m , quelle est alors la relation entre p et m ? 11 -- En utilisant les resultats precedents, montrer que les equations (E1 ) et (E2 ) se simplifient en Ri + L di + = 0 (E1 ) dt d (J + J ) (E2 ) = i - - Dm a2 - m a2 - a2 dt Dans toute la suite du probleme, on negligera le produit des deux fluctuations devant les autres termes. 12 -- On pose f = 1/T et f0 = R/ (2 L). Dans quel contexte physique l'equation (E1 ) peut-elle etre remplacee par Ri - ? d 13 -- Montrer que dans ce contexte est solution de l'equation differentielle + = - ou dt et sont deux constantes que l'on exprimera en fonction des parametres du probleme. 14 -- On suppose que T . On designe par 0 = (0) > 0 et 1 = ( T ) < 0. Tracer sur un meme graphe l'allure des fonctions - (t) et (t). En deduire l'expression du taux d'ondulation de la vitesse de rotation = (0 - 1 ) /m . Dans quel(s) regime(s) de fonctionnement a-t-on 1 ? FIN DE LA PARTIE I II. -- Incineration des dechets Le four est compose d'une enceinte munie d'une ouverture par laquelle entrent les dechets a incinerer et d'une seconde ouverture reliee a un conduit de cheminee par laquelle sortent tous les gaz presents apres la combustion. La composition des gaz rejetes dans l'atmosphere est reglementee. C'est la raison pour laquelle la temperature de combustion est situee dans un intervalle bien determine : ­ elle ne doit pas etre trop elevee afin de ne pas generer des produits toxiques tels que par exemple le dioxyde d'azote ; ­ elle ne doit non plus pas etre trop basse pour que la combustion des dechets soit totale. Deux commandes permettent de reguler la temperature du four : F IG . 4 ­ Descriptif du four ­ la premiere agit sur l'injection de carburant dans le bruleur qui permet d'echauffer le four ; ­ la seconde permet d'injecter dans le four de l'eau liquide dont la vaporisation refroidit le four. II.A. -- Comportement du four en regime libre On suppose ici que l'ensemble du systeme constituant l'enceinte du four, c'est-a-dire ses parois en acier ainsi que l'air qu'il contient, presente une temperature uniforme notee Ts (t) qui est mesuree par un capteur de temperature situe a l'interieur du four. Afin d'identifier ses parametres thermodynamiques, on etudie l'evolution de Ts (t) lorsque le four se refroidit sans etre alimente ni en air ni en dechets, ses orifices etant obtures. L'enceinte du four constitue alors un systeme thermodynamique ferme. La temperature exterieure, notee Text , est supposee constante et uniforme. Dans tout le probleme, on prendra Text = 25 C. Page 4/8 Physique II, annee 2011 -- filiere PSI Le four est entoure d'un isolant thermique constitue par des murs de briques. La puissance thermique recue par le four de l'exterieur est de la forme P f = G [Text - Ts (t)]. La capacite thermique de tout l'acier constituant le four est notee C0 . On negligera la capacite thermique de l'air contenu dans le four par rapport a celle de l'acier. 15 -- A l'aide d'un bilan thermique applique au systeme four entre t et t + dt, etablir l'equation differentielle satisfaite par Ts (t) et la resoudre. On fera intervenir un temps caracteristique . 16 -- A partir de la temperature initiale Ts (0) = 100 C, on coupe toute alimentation et on ferme toutes les ouvertures puis on laisse refroidir le four. La mesure experimentale de Ts (t) /Ts (0) lors du refroidissement est representee sur la figure 5 dans laquelle le temps est exprime en heures. Deduire de la courbe la valeur numerique de . 17 -- La capacite du four vaut C0 = 25 · 105 J.K-1 . F IG . 5 ­ Representation graphique de Calculer la valeur de G. Cette valeur sera utilisee dans T (t) /T (0) en fonction du temps t exprime s s toute la suite du probleme. en heures. 18 -- Le four en acier est entoure d'un mur de briques d'epaisseur e = 10 cm, de conductivite thermique = 1W.K-1 .m-1 . Le flux (ou puissance) thermique echange entre le four et l'exterieur traverse une surface totale = 19 m2 . Etablir, en regime permanent de temperature, l'expression de P f et en deduire l'expression de la conductance thermique G en fonction de , e et . Calculer alors la valeur numerique de G suivant ce modele. 19 -- Comparer les deux valeurs obtenues aux questions 17 et 18. Qu'en deduisez-vous ? II.B. -- Thermodynamique d'un systeme ouvert L'enceinte du four est un systeme ouvert qui peut admettre de la matiere et en evacuer. Le contenu de l'enceinte reste toujours modelise par un systeme homogene a la temperature Ts (t). La fraction de dioxygene entrant avec les dechets et qui sert a leur combustion est supposee negligeable, ce qui permet de negliger les transferts de matiere entre l'air et les dechets. On suppose que l'eau injectee par la commande de refroidissement est entierement vaporisee et ne subit aucune reaction chimique. On suppose enfin que la combustion des dechets est totale et ne produit que des composes gazeux. On neglige donc tous les residus solides de la combustion, cendres et machefers. Les echanges de matieres possibles sont alors les suivants : ­ entree des dechets solides, de capacite thermique massique a pression constante ce , a la temperature Text , achemines par le tapis roulant avec un debit massique De = D ; ­ entree d'air par l'orifice d'admission des dechets avec un debit massique Deair ; sa capacite thermique massique a pression constante cair sera supposee independante de la temperature. On notera Dsair le debit massique de l'air a la temperature Ts a la sortie de la cheminee ; ­ injection eventuelle d'eau liquide a la temperature Text et avec le debit massique Deau ; la vaporisation de cette eau, de capacite thermique massique a pression constante ceau , permet de refroidir l'enceinte ; ­ evacuation par le conduit de cheminee, a la temperature Ts , de l'air, des gaz produits par la combustion et de la vapeur d'eau. On notera cs et cvap les capacites thermiques massiques a pression constante respectives de ces deux gaz ainsi que Ds et Dvap les debits massiques correspondants. Page 5/8 Tournez la page S.V.P. Le traitement des dechets Tous les gaz seront, le cas echeant, decrits a l'aide du modele du gaz parfait. On souhaite etablir l'equation differentielle qui regit l'evolution de la temperature Ts (t) en fonction du temps. On considere un systeme thermodynamique ouvert S dont l'energie interne est notee US (t). On note ne le nombre d'especes qui entrent dans ce systeme. Pour chaque espece entrante i = 1, · · · , ne on note Dei son debit massique et hei son enthalpie massique. De meme, on note ns le nombre d'especes d'enthalpie massique hsj=1,··· ,ns qui sortent du systeme avec un debit massique Dsj=1,··· ,ns . 20 -- Montrer que si l'on neglige les energies cinetiques et potentielles, le premier principe de la thermodynamique applique au systeme S entre t et t + dt conduit a l'egalite ns ne dUS (t) = Dei hei - Dsj hsj + Pth + P dt j=1 i=1 (E) ou Pth et P representent respectivement la puissance thermique recue par S et une eventuelle puissance autre que celle des forces de pression, fournie a S par l'exterieur. On remarquera que le regime envisage n'est pas permanent. Le systeme S est en fait le four utilise pour la combustion des dechets. Il comprend l'acier qui constitue ses parois et les dechets qu'il contient a l'instant t. La section d'entree de matiere est a l'extremite du tapis d'acheminement des dechets et la section de sortie est celle du conduit de cheminee d'evacuation des gaz. La temperature exterieure au four est toujours consideree comme constante, uniforme, egale a Text . On admet que la mise en route du bruleur declenche l'apport de la puissance Pch au systeme S et l'injection d'eau lui apporte une puissance -Pre f ou Pch > 0 et Pre f > 0. Cette injection d'eau sera etudiee en fin de probleme. dUS (t) si l'on suppose que la contribution a l'energie interne US (t) 21 -- Comment peut s'ecrire dt du contenu du four est negligeable devant celle de l'acier constituant ses parois. 22 -- Le modele des echanges thermiques entre le four et l'exterieur reste celui decrit avant la question 15. Quelle est alors l'expression de Pth ? 23 -- On suppose que les dechets, l'air et l'eau de refroidissement s'ecoulent en regime permanent. En tenant compte de l'hypothese d'absence d'echange de matiere entre les dechets, l'air et l'eau, determiner les relations entre les differents debits d'entree et de sortie. Exprimer alors la difference Deair heair - Dsair hsair intervenant dans l'equation (E) en fonction de cair , Text , Ts (t) et Dair = Deair . Les dechets entrent dans le systeme S sous forme de phase condensee a la temperature Text , leur enthalpie massique est alors notee he et leur debit massique De = D. Ils en ressortent par la cheminee sous forme gazeuse a la temperature Ts (t), leur enthalpie massique est alors notee hs et leur debit massique Ds . Afin de simplifier l'etude, on supposera que la combustion qui assure la transformation des dechets a lieu a la temperature fixee T0 telle Text < T0 < Ts (t). A cette temperature, la variation d'enthalpie massique des dechets entre la phase condensee avant combustion (phase 1) et la phase gazeuse apres combustion (phase 2) est notee q = h1 (T0 ) - h2 (T0 ). 24 -- Exprimer, le terme he - hs en fonction de ce , cs , Ts (t), Text , T0 et q. Dans toute la suite du probleme on prendra ce = cs = c, determiner alors l'expression de De he - Ds hs intervenant dans (E). Page 6/8 Physique II, annee 2011 -- filiere PSI 25 -- Montrer finalement que l'ensemble des dispositifs qui interviennent lorsque le four fonctionne conduit a un bilan thermodynamique caracterise par l'equation differentielle : C0 dTs + (G + Dc + Dair cair ) Ts = (G + Dc + Dair cair ) Text + Dq + Pch - Pre f dt . II.C. -- Essai du four en charge Des lors que le four a subi une phase de chauffage a vide non decrite ici, les dechets entrent dans celui-ci avec un debit constant D. On suppose que Ts (t) est suffisamment elevee pour que la reaction de combustion s'amorce et on prendra q = 7, 0 · 106 J.kg-1 , c = 103 J.K-1 .kg-1 et D = Dm defini a la question 1. L'alimentation en puissance de chauffage et l'injection d'eau de refroidissement sont coupees. Un courant d'air permanent de debit Dair = 1, 9 kg. s-1 s'installe, on prendra cair = c. 26 -- Calculer la valeur numerique de la temperature T atteinte par Ts (t) en regime permanent ainsi que celle de la duree caracteristique correspondante. 27 -- En fait le debit D (t) est periodique et ses variations avec le temps sont celles representees sur la figure 3. On etudie l'influence de ce debit variable sur la temperature Ts (t) qui regne a l'interieur du four ; on pose Ts (t) = T + (t) et D (t) = Dm + (t). Montrer que les fonctions et verifient l'equation d c c(Text - T ) + q - + = dt C0 C0 dans laquelle on identifiera la duree . Pour la suite du probleme, on negligera le terme du second ordre proportionnel au produit 28 -- La periode de la fonction (t) est de l'ordre de quelques secondes. En vous basant sur la valeur numerique de et les proprietes des filtres passe bas du premier ordre, expliquer precisement pourquoi l'on peut considerer que Ts (t) T . En regime permanent a debit Dm constant, on souhaite etudier l'influence d'un changement brusque de la nature des dechets. Afin de modeliser une telle variation on envisage le cas suivant : ­ On fait l'hypothese que la nature des dechets est entierement determinee par leur variation q d'enthalpie massique a T0 decrite dans le texte precedant la question 24 ; ­ Tant que t 0, le four fonctionne en regime permanent a la temperature T et il est alimente a debit constant Dm par des dechets tels que q = 7, 0 · 106 J.kg-1 ; ­ Des que t > 0 la nature des dechets change, q devient q = 1, 09q, le debit restant egal a Dm . 29 -- Determiner la nouvelle temperature T qui s'etablit en regime permanent pour t > 0. Pour un bon fonctionnement, la temperature du four ne doit pas exceder Tmax = 900 C. Lorsque le capteur de temperature qui mesure Ts detecte le depassement de la valeur Tmax , le systeme declenche l'injection d'eau avec le debit Deau = 0, 5 kg.s-1 et coupe l'arrivee d'eau lorsque la temperature Ts est redescendue a Tmin = 850 C. L'eau entre dans le four sous forme liquide a la temperature Text et subit trois transformations : ­ un echauffement isobare du liquide de Text a 100 C ; ­ une vaporisation isotherme et isobare a 100 C ; ­ un echauffement isobare de la vapeur de 100 C a Ts . Lorsque l'eau est a la temperature de 100 C, son enthalpie massique de vaporisation possede la valeur = 2, 26 · 106 J.kg-1 ; par ailleurs, les capacites thermiques massiques a pression constante, supposees independantes de la temperature, ont pour valeurs respectives ceau = 4200 J.K-1 .kg-1 pour l'eau liquide et cvap = 2300 J.K-1 .kg-1 pour la vapeur. Page 7/8 Tournez la page S.V.P. Le traitement des dechets 30 -- Evaluer la variation d'enthalpie massique pour ces trois transformations en prenant Ts = Tmax . En deduire la valeur numerique de Pre f . 31 -- Calculer la duree de la phase de refroidissement par injection d'eau. FIN DE LA PARTIE II FIN DE L'EPREUVE Page 8/8

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 Mines Physique 2 PSI 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Tom Morel (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet traite de quelques aspects relatifs à l'incinération des déchets. · Tout d'abord, on étudie l'acheminement, par tapis roulant, d'un réservoir de déchets vers un four. On caractérise notamment l'effet de la présence des déchets sur la vitesse du tapis. · Ensuite, on étudie le procédé d'incinération dans le four, alimenté de façon permanente ou périodique. On aborde l'évolution de la température du four, dans un premier temps seul, puis en prenant en compte les effets relatifs à l'apport d'air, de déchets puis d'eau, le but étant de vérifier des normes de fonctionnement. Si ces deux parties sont indépendantes, on y utilise les mêmes raisonnements et les mêmes types d'équations différentielles. Dans l'ensemble, le sujet est bien construit et il est représentatif des épreuves posées au concours Mines-Ponts : faisable en quatre heures pour un étudiant bien préparé, il alterne des questions délicates, que ce soit sur le plan technique ou physique, et d'autres largement abordables. Les résultats intermédiaires sont fournis, ce qui évite de rester bloqué. Le chapitre sur les bilans macroscopiques est constamment exploité. Pour le reste, on retrouve des points abordés dans d'autres parties du programme, mais sortis de leur contexte : comme une bonne connaissance d'ensemble du cours permet de traiter efficacement ces questions, il vaut mieux réserver ce sujet aux révisions de fin d'année. Indications Partie I 2 Se ramener à un système fermé pour pouvoir appliquer le théorème de la résultante cinétique. On cherche l'action des déchets sur le tapis, et non l'inverse. 6 Éliminer le courant I entre les équations (E1 ) et (E2 ) et utiliser la question 3. 9 Prendre la valeur moyenne de (E1 ), qui ne contient que des fonctions périodiques de période T. Faire de même avec (E2 ). 10 Comparer l'expression obtenue avec celle de la question 6. 11 Développer les équations (E1 ) et (E2 ) en utilisant les variables associées aux fluctuations, puis utiliser la question 10 pour simplifier les relations trouvées. 12 Comparer l'ordre de grandeur des termes R i et L di/dt, i étant périodique de période T. 14 Commencer par montrer que l'équation de la question 13 peut se simplifier en d = - dt puis exprimer le second membre en utilisant la question 8. Il ne reste qu'à intégrer sur une période. Partie II 15 Appliquer le premier principe au four, phase condensée indilatable, entre les instants t et t + dt. 16 Où se trouve l'asymptote de la courbe Ts (t)/Ts (0) sur la figure 5 ? 18 Modéliser l'ensemble du four par un mur plan et négliger les effets de bord. Intégrer la loi de Fourier entre les deux faces du mur, en ayant explicité le vecteur densité de courant thermique. 19 Quels sont les autres modes de transfert de la chaleur ? 20 Procéder comme à la question 2 pour se ramener à un système fermé, en prenant en compte les entrées et sorties de matière pendant une durée élémentaire dt. Pour calculer le travail des forces de pression, penser à la détente de Joule-Thomson. 24 Évaluer la variation d'enthalpie associée à chaque étape décrite dans l'énoncé. Attention on cherche he - hs et non l'opposé. 25 Écrire l'équation (E) en prenant en compte l'air, l'eau, et les différentes puissances thermiques. Utiliser alors les résultats établis aux questions 21 à 24. 27 Procéder comme à la question 11. 28 Supposer d'abord que est sinusoïdale de période T . Déterminer l'amplitude de (t) en utilisant la méthode complexe vue en électricité. Généraliser ensuite le résultat à périodique (non sinusoïdale) de même période. 30 Appliquer l'équation (E) établie à la question 20 au système ouvert constitué par l'eau présente dans le four. Le traitement des déchets I. Acheminement des déchets 1 Le débit massique moyen est la masse moyenne (en kg) déversée sur le tapis chaque seconde, à savoir Dm = 25.103 = 0,29 kg.s-1 24 × 3600 Pour fixer les ordres de grandeur, l'ADEME précise qu'en 2006 chaque français a produit 354 kg de déchets ménagers. Sur cette collecte, seuls 1,5% finissent incinérés, le reste étant stocké ou valorisé (recyclage ou valorisation énergétique). Ainsi, le débit proposé correspond à l'incinération des déchets résiduels produits chaque jour par les habitants de l'agglomération lyonnaise. 2 Considérons le système fermé constitué : · à l'instant t des déchets contenus dans le volume de contrôle V constitué du lieu d'occupation des déchets, ainsi que la masse dme de déchets y entrant pendant dt. Réservoir v- ey V dme · à l'instant t+dt des déchets contenus dans V , ainsi que la masse dms qui en est sortie pendant dt. dms v- ex Four x y Le théorème de la résultante cinétique au système fermé ainsi constitué s'écrit, dans le référentiel lié au sol supposé galiléen : - - p (t + dt) - - p (t) = F ext dt - où F ext représente l'ensemble des forces extérieures s'exerçant sur les déchets. Seule l'action du tapis est susceptible de présenter une composante non nulle suivant - ex . - On projette dès lors le théorème de la résultante selon ex , avec, les déchets tombant sur le four verticalement, ( - p (t + dt) · - ex = dms v + px(V ) (t + dt) - p (t) · - e = p (t) x x(V ) De plus, en régime permanent, px(V ) (t + dt) = px(V ) (t). Ainsi, dms v = Fxt/d dt dms v = Dm v dt D'après le principe des actions réciproques, et donc Fxt/d = Fxt/d = -Fxd/t = -F et donc F = -Dm v La démarche présentée ici est conforme au programme de PSI, qui stipule explicitement de se ramener à un système fermé. Toutefois, l'énoncé semble privilégier une approche directe sur le système ouvert. On procède alors comme pour un bilan de masse, en écrivant le bilan sous la forme Accumulation = Entrée - Sortie + Création - Destruction En régime permanent l'accumulation est nulle. Ici, selon - e x Entrée = 0 et Sortie = Dm v Création - Destruction = Fxt/d ce qui donne Dm v = Fxt/d = -F 3 Les déchets sont immobiles par rapport au tapis, qui roule sans glisser sur le cylindre. Ainsi, au point A, - v - A v (A) = - v tapis (A) = - v cylindre(A) - v tapis - soit v = a a 4 Pour la convention d'orientation choisie, l'induit est équivalent au circuit ci-contre, avec E = . La loi des mailles donne l'équation électrique dI U = + RI + L dt I L R U (E1 ) E Rappelons sommairement l'origine physique des différentes relations relatives à la machine à courant continu. · La force électromotrice induite (f.é.m.) résulte du mouvement du rotor dans le champ magnétique permanent du stator (induction de Lorentz). · Le couple fourni par le moteur est le couple des forces de Laplace. · Le couplage électromagnétique est parfait : la puissance des forces de Laplace et celle de la f.é.m. induite se compensent exactement. 5 L'équation (E2 ) est obtenue en appliquant le théorème du moment cinétique au système {tapis + rouleau + déchets du tapis} par rapport à l'axe (O, z). On démontre (E2 ) en notant que le terme (J + J ) est le moment cinétique du système par rapport à l'axe considéré. Sa variation par rapport au temps est égale au moment des actions extérieures subies par le système, à savoir · le couple de frottement - ; · le couple lié à la force F, qui est également résistif et dont le moment est -F a = -D(t) a v ; · le couple fourni par le moteur I.