Mines Physique 2 PSI 2010

Thème de l'épreuve Physique d'un ballon de football
Principaux outils utilisés mécanique des fluides
Mots clefs couche limite, nombre de Reynolds, Force de traînée, équation de Blasius, crise de traînée, théorie de Prandtl

Corrigé

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Rapport du jury

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2010 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PSI (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- PSI. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. PHYSIQUE D'UN BALLON DE FOOTBALL On l'a observe lors de recentes competitions internationales : le mouvement d'un ballon de football est parfois si surprenant qu'il semble tenir d'un tour de magie. On a cherche a mieux comprendre les mecanismes qui regissent la dynamique du ballon de football, et, en particulier, a l'occasion de l'introduction d'un nouveau modele, repute plus « rapide » mais aussi plus imprevisible, on a procede a des etudes experimentales et a des simulations numeriques. Dans ce probleme, on exploite quelques mesures qui ont pour but d'evaluer le coefficient de trainee et on developpe un modele theorique qui permet d'interpreter certains resultats. On se limite au cas dans lequel le ballon est simplement en mouvement de translation dans l'air. Les donnees numeriques utiles et les notations correspondantes sont rassemblees dans le tableau ci dessous. A l'exception de la question 4 pour lequel on conservera les 4 chiffres significatifs de mesure pour remplir le tableau, on utilisera 2 chiffres significatifs dans le reste des applications numeriques. Les vecteurs sont notes avec un chapeau s'ils sont unitaires ebx , - avec une fleche v dans le cas general. Masse volumique de l'air = 1, 2 kg.m-3 Viscosite cinematique de l'air n = 1, 4 · 10-5 m2 .s-1 Module de l'acceleration de la pesanteur g = 9, 8 m.s-2 Masse du ballon m = 0, 50 kg Diametre du ballon D = 22 cm A toutes fins utiles on rappelle certaines relations. Pour un fluide incompressible dans lequel le champ --- -- -r ,t) et la masse volumique ( -r ,t), l'equation de de vitesse est V ( r ,t), le champ de pression P( Navier-Stokes s'ecrit - ---- 1 -- V - - -- - + V · grad V = - gradP + n V t Physique d'un ballon de football Pour toute fonction f de R dans R quatre fois derivable, le developpement de Taylor au quatrieme ordre de f au voisinage de 0 s'ecrit 2 3 4 f ( ) = f (0) + f (0) + f (0) + f (3) (0) + f (4) (0) + o 4 2 3! 4! Enfin pour une fonction h de deux variables reelles x et y, on demontre que ­ Si h(x, y) = g( , ) alors ­ Si h(x, y) = f ( ) alors h g g = + ; x x x h = f ( ) . x x I. -- Nombre de Reynolds et coefficient de trainee - Lorqu'un fluide, ici l'air, de vitesse U , de module U, s'ecoule autour d'une sphere de diametre D, UD . Lorsque Re prend des valeurs inferieures a l'unite on on definit le nombre de Reynolds Re = n - parle d'un ecoulement a petit nombre de Reynolds. La force de frottement visqueux F qui agit sur la sphere est proportionnelle a la vitesse de l'ecoulement. Elle est donnee par la formule de Stokes : - - F = -3 n D U . - Dans le cas des ecoulements a grand nombre de Reynolds, la force de trainee T qui agit sur la sphere est proportionnelle au coefficient de trainee C, sans dimension, et au carre de la vitesse selon la relation 2 1 D - - UU T = - C 2 4 1 -- Evaluer la valeur numerique du nombre de Reynolds dans le cas d'un ballon de football se deplacant dans l'air avec une vitesse de 100 km.h-1 . Que peut-on en deduire ? L'axe Oz qui oriente les grandeurs vectorielles est dirige selon la verticale descendante, son vecteur unitaire est note ebz . On cherche a valider experimentalement la loi donnant la force de trainee en mesurant la vitesse d'un ballon soumis au seul champ de pesanteur. Ce dernier est lache d'une hauteur - de 27 m dans une enceinte contenant de l'air au repos, avec une vitesse initiale vo = vo ebz telle que vo > 0. On procede a des series de mesures du module de la vitesse instantanee au cours du mouvement par velocimetrie laser. L'intervalle = 30 ms separant deux mesures successives est constant. On donne dans le tableau ci-dessousun extrait des valeurs vi du module de la vitesse, mesurees aux dates ti = i × . vi i m.s-1 1 5,220 2 5,480 3 5,736 4 5,988 5 6,237 6 6,482 7 6,726 8 6,986 9 7,253 10 7,522 11 7,789 2 -- Evaluer le module de l'acceleration instantanee ai a la date ti en fonction de vi+1 , vi et . 3 -- En utilisant le theoreme de la resultante cinetique, etablir la relation scalaire entre les grandeurs m, ai , g et la norme Ti de la force de trainee a la date ti . 4 -- Reproduire et completer le tai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 bleau ci-contre. A partir de ces donnees et v2 m2 .s-2 i en utilisant le document joint avec le suTi [N] jet, representer les points de coordonnee 2 C vi ; Ti et [log10 (Re) ; C]. Commenter les log10 (Re) diagrammes obtenus. Page 2/7 Physique II, annee 2010 -- filiere PSI Les etudes experimentales etablissent l'existence d'un nombre de Reynolds critique Rec , voisin de 105 , au-dela duquel le coefficient de trainee chute brutalement. Les mecanismes responsables de cette chute sont lies a la nature de l'ecoulement de l'air autour du ballon. On se propose de modeliser ce regime d'ecoulement dans les questions suivantes. FIN DE LA PARTIE I II. -- Ecoulement d'un fluide visqueux le long d'une paroi solide Dans un premier temps, afin de simplifier le probleme, on assimile la surface du ballon a une plaque plane semi-infinie d'equation (y = 0, x > 0) representee sur la figure 1. L'ecoulement du fluide, au-dessus de la plaque, est suppose stationnaire, incompressible et bidimensionnel. Le champ de vi - tesse est pris sous la forme V = u(x, y)ebx + v(x, y)eby . Les fonctions u et v sont respectivement appelees composante longitudinale F IG . 1 ­ Ecoulement d'un fluide au dessus d'une et verticale du champ de vitesse. Loin de la plaque semi-infinie. plaque, la vitesse se stabilise a la valeur U, ainsi : - - lim V = U ebx = V y+ On neglige l'action de la pesanteur. Le nombre de Reynolds est maintenant defini comme une fonction de la variable x par la relation : Re(x) = Ux/n. Dans la suite du probleme, on considerera systematiquement que Re(x) 1, ce qui suppose que le domaine d'etude exclut la singularite x 0. On appelle couche limite la region dans laquelle la vitesse du fluide differe sensiblement de sa valeur loin de la plaque. Pour evaluer l'epaisseur (x) de cette couche limite, on adopte le point de vue Lagrangien. Une particule de fluide emise au voisinage de l'origine O se deplace d'une distance approximative x(t) Ut le long de l'axe Ox entre l'instant initial et la date t. Par ailleurs, au cours de la meme duree, l'influence de la viscosite est perceptible sur une epaisseur (t) = nt. 5 -- Deduire de cette evaluation la loi (x) donnant l'epaisseur de la couche limite a une distance x de l'arete de la plaque. A quelle condition la geometrie plane permet-elle de decrire correctement la surface du ballon ? 6 -- Former le rapport (x)/x et l'exprimer en fonction de Re(x). On deduit de la question precedente que (x) x. Il apparait que l'ecoulement est caracterise par deux echelles de longueur, l'une (epaisseur de la couche limite) etant tres faible devant l'autre (distance longitudinale le long de la plaque). On cherche a prendre en compte cette caracteristique de facon a simplifier les equations de la dynamique du fluide en ecoulement. On procede de la facon suivante : pour toute grandeur g(x, y) relative a l'ecoulement on evalue les ordres de grandeur des derivees partielles en ecrivant que : g g g g et x x y 7 -- En ecrivant l'hypothese d'ecoulement incompressible, montrer que l'un des elements du couple (u, v) est negligeable devant l'autre. Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Physique d'un ballon de football 8 -- Montrer que --- - 2u 2v - V 2 ebx + 2 eby y y et en deduire que la composante selon ebx de l'equation de Navier-Stokes se simplifie en u u u 2u 1 P +v =- +n 2 x y x y (1) FIN DE LA PARTIE II III. -- Couche limite laminaire sans gradient de pression On suppose dans un premier temps que l'ecoulement a lieu en l'absence de gradient longitudinal de P pression, soit 0. On cherche, dans ce regime, a obtenir la solution de l'equation (1) verifiant les x conditions aux limites suivantes : ­ le champ de vitesse s'annule au contact de la plaque ; - ­ l'ecoulement est uniforme loin de la couche limite, soit lim V (x, y) = U ebx avec U = cste. y r U introduite par Prandtl dans sa On se propose d'utiliser pour cela la variable reduite (x, y) = y nx theorie des ecoulements visqueux bidimensionnels. 9 -- Exprimer (x, y) en fonction de x, y et Re(x), puis en fonction de y et (x). En deduire la dimension de la variable . On recherche une solution du probleme dans laquelle la composante longitudinale reduite f = u/U de la vitesse ne depend que de . Cette hypothese sera discutee a la question 14. On introduit donc deux nouvelles fonctions f et g verifiant u(x, y) = U f ( ) et v(x, y) = Ug(x, ) 10 -- Traduire les conditions aux limites y 0 et y par des equations portant sur les fonctions f et g. u v u 2u , , et en fonction de U, x, , Re(x) et des derivees de f et g. 11 -- Exprimer x y y y2 12 -- En ecrivant la condition d'ecoulement incompressible montrer que Z f ( )d g(x, ) = p f ( ) - 0 Re(x) ou est une constante que l'on determinera. 13 -- En utilisant les resultats precedents, verifier que la dynamique de l'ecoulement dans la couche limite est regie par l'equation de Blasius f ( ) + f ( ) Z f ( )d = 0 0 que l'on ne cherchera pas a resoudre directement. 14 -- Expliquer pourquoi l'equation de Blasius confirme l'hypothese preliminaire concernant la dependance de la vitesse longitudinale par rapport aux variables spatiales. 15 -- On considere les points M et M de coordonnees respectives (x, y) et (x , y ). Quelle relation existe-t-il entre u(M) et u (M ) si y y = x x Cette propriete est appelee invariance d'echelle, commenter cette denomination. Page 4/7 Physique II, annee 2010 -- filiere PSI La resolution numerique de l'equation de Blasius permet d'obtenir la representation graphique de la fonction f ( ), celle-ci fait l'objet de la figure 2. On constate qu'au voisinage de l'origine, la courbe representative de f ( ) possede un domaine lineaire qui s'interrompt brusquement. Apres le domaine lineaire, la courbe se rapproche tres rapidement de son asymptote. Une lecture graphique permet d'obtenir la valeur numerique : a = f (0) = 3 10 F IG . 2 ­ Representation graphique de la solution de l'equation de Blasius. . 16 -- A partir de la solution numerique, determiner une expression approximative de u(x, y) en fonction de x, y,U et Re(x) dans la couche limite. Montrer que la transition entre la couche limite et le domaine de l'ecoulement uniforme est situee approximativement a une distance Y (x) de la plaque que l'on exprimera en fonction de (x). On suppose que la fonction f ( ) possede un developpement de Taylor a tout ordre au voisinage de zero. d3 f d2 f 17 -- Demontrer que = = 0 et que par consequent, il existe une constante d 2 =0 d 3 =0 b telle que f ( ) = a + b 4 + o 4 . Exprimer b en fonction de a. FIN DE LA PARTIE III IV. -- Decollement de la couche limite laminaire L'equation de Blasius a ete etablie sous l'hypothese U = cste, ce qui revient a supposer que, le long de la frontiere entre le solide et le fluide, le gradient de pression est nul. On etudie maintenant une situation plus realiste qui prend en compte ce gradient de pression dans une zone ou les lignes de courant divergent et qui conduit au fait que U = U (x). Pour cela nous allons, dans un premier temps, chercher la structure du champ de vitesse hors de la couche limite, domaine ou l'ecoulement est suppose potentiel et incompressible. Nous en deduirons alors la loi U (x) ainsi que l'expression du gradient de pression. Nous etudierons finalement l'effet produit par ce dernier. Afin de rendre compte de la courbure des lignes de courant au voisinage de la surface du ballon, on assimile localement cette surface a un diedre d'angle = / (m + 1). La constante m est un parametre negatif qui est pris dans l'intervalle ] - 1/3, 0] si bien que [ , 3 /2[. On repere un point M du fluide par ses coordonnees polaires (r, ) avec [0, ] et on recherche le potentiel des vitesses sous la forme (r, ) = F(r) cos [(m + 1) ]. La geometrie du systeme est representee sur la figure 3. On donne, dans le systeme de coordonnees choisi : -- 1 ec ebr + grad = r r 1 2 1 r + 2 = r r r r 2 F IG . 3 ­ Ecoulement a la surface du ballon Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Physique d'un ballon de football 18 -- En examinant le cas = /2, expliquer pourquoi la dependance du potentiel des vitesses par rapport a la variable est acceptable. 19 -- Montrer que (r, ) est solution de l'equation de Laplace. En deduire que la fonction F(r) peut se mettre sous la forme F(r) = k1 r p ou k1 est une constante positive que l'on ne cherchera pas a calculer, et p une constante pouvant prendre deux valeurs. Le choix de p sera determine a la question suivante. - --- 20 -- Exprimer le champ des vitesses V = grad . On souhaite retrouver une structure du champ de vitesse identique a celle adoptee dans la partie precedente lorsque m tend vers la valeur limite 0. Quelle est alors la valeur qu'il faut alors attribuer a la constante p ? - 21 -- Etablir que, le long de la paroi d'equation = 0, la vitesse suit la loi V ( = 0) = k2 xm ebx ou k2 est une constante que l'on exprimera en fonction de k1 et m. 22 -- En utilisant le resultat de la question precedente et en etudiant la derivee par rapport a x de la relation de Bernoulli le long d'une ligne de courant voisine de la surface d'equation = 0, etablir que le profil de vitesse entraine l'existence d'un gradient longitudinal de pression dirige vers les x croissants. On suppose que l'expression du gradient de pression obtenue a la question 22 se generalise en tout point du domaine d'etude et que la condition de bord en dehors de la couche limite s'ecrit - lim V (x, y) = U (x) ebx avec U (x) = k3 xm ou k3 est une constante positive. y 23 -- Montrer que la composante selon ebx de l'equation de Navier-Stokes s'ecrit u u u 2u +v = n 2 + (x)U 2 (x) x y y ou (x) est une fonction que l'on determinera en fonction de k1 , k3 , m et qx. En reprenant la methode de la partie III, on introduit la variable = y U(x) nx et la fonction f ( ) = u(x, y)/U(x). On admettra que l'equation de la question 23 devient l'equation de Blasius generalisee Z m 1 - f ( ) + f ( ) + (m + 1) f ( ) 2 f ( )d = 0 0 La resolution numerique de cette equation pour differentes valeurs des parametres m et f (0) permet d'obtenir la representation graphique de la fonction f ( ), celle-ci fait l'objet de la figure 4. 1,2 24 -- Examiner le cas limite dans lequel m = 0. On supposera dorenavant que m < 0. 25 -- En procedant comme avec 1,0 0,8 0,6 02 1 0,4 l'equation de Blasius, c'est-a-dire en supposant que f (0) = 0 et que f ( ) 0,2 2 admet un developpement de Taylor 0,0 a tout ordre au voisinage de = 0, - 0,2 determiner f (0) en fonction de m. On verifiera que f (0) > 0. On ne cher- 0,4 chera pas a determiner f (0), on ad0 1 2 3 4 5 6 mettra simplement que son signe est F IG . 4 ­ Graphe de la solution de l'equation de Blasius determine par le parametre m. generalisee pour differentes valeurs de m et de f (0). Page 6/7 Physique II, annee 2010 -- filiere PSI 26 -- La situation f (0) < 0 correspond au decollement de la couche limite laminaire. Que se passe-t-il alors concretement ? On admet qu'une telle situation se produit lorsque m est inferieur a une valeur critique mc voisine de -0, 09. L'angle est alors egal a c . Quelle est alors la valeur de la « cassure » c - ? Exprimer cet angle en degres. Representer schematiquement les lignes de courant dans le cas > c en supposant que l'ecoulement reste laminaire. FIN DE LA PARTIE IV V. -- La transition laminaire/turbulent et le nombre de Reynolds critique Dans la pratique, le decollement de la couche limite laminaire dans le sillage d'un ballon de football contribue a accroitre sensiblement le coefficient de trainee. Par ailleurs, il provoque aussi des phenomenes de turbulence qui sont instationnaires et induisent des pertes d'energie. On cherche donc a limiter les effets de ce phenomene en modifiant l'etat de surface du ballon, en modifiant par exemple, le nombre, la profondeur et la repartition des coutures. Certains resultats experimentaux sont etudies dans cette partie. Grace a des essais en soufflerie, on a mesure le coefficient de trainee d'un ballon de football et celui d'une sphere lisse de meme rayon. Les valeurs de ces coefficients en fonction du nombre de Reynolds, sont representees sur le diagramme de la figure 5. 0,8 Ballon de football Sphère lisse 0,6 0,4 0,2 (Re) 10 0 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 F IG . 5 ­ Essai comparatif en soufflerie 27 -- En rassemblant les resultats dans un tableau, evaluer pour chacun des deux essais les valeurs minimale et maximale Cmin et Cmax du coefficient de trainee, le nombre de Reynolds critique Rec qui correspond a la transition entre les ecoulements laminaire et turbulent, ainsi que la vitesse Uc du ballon (ou de la sphere) lorsque Re = Rec . 28 -- Interpreter les valeurs extremes du coefficient de trainee. 29 -- Comparer les valeurs de Rec et interpreter le resultat. 30 -- Expliquer en quelques phrases l'influence de l'etat de surface du ballon (profondeur et disposition des coutures) sur ses performances (vitesse, stabilite de la trajectoire...). Connaissez-vous d'autres facteurs pouvant influencer la trajectoire du ballon ? FIN DE LA PARTIE V FIN DE L'EPREUVE Page 7/7 0,9 0,8 - --------------- ---------------- ----------------- ---------------- ----------------- ---------------- --------------- - --------------- ---------------- ----------------- ---------------- ----------------- ---------------- --------------- - T _ """""""" """""""""" """"""""" """"""""" """"""""" """""""""" """""""" _ o,6 -- --------------- ---------------- ----------------- ---------------- ----------------- ---------------- --------------- -- +++++++++++++++ ++++++++++++++++ +++++++++++++++++ ++++++++++++++++ +++++++++++++++++ ++++++++++++++++ +++++++++++++++ - 0,4 ; ; ; ; ; ; 25 30 35 40 2 45 50 55 60 Document à remettre non plié avec la copie -- Utiliser le recto ou le verso de ce document 1 -------------------------- _____________ - -- -- -- ____________ _____________ ___________ + -------------------------- - ----------- ------------- ------------- ------------- ------------ ------------ ------------- ------------- ----------- - 033 | | | | | | | | 4,9 4,92 4,94 4,96 4,98 5 5,02 5,04 5,06 5,08 10810(R6)

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 Mines Physique 2 PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Alban Sauret (ENS Lyon) ; il a été relu par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet de mécanique des fluides étudie l'écoulement de l'air autour d'un ballon de football. · La première partie, courte et plutôt facile, évalue l'influence du nombre de Reynolds sur la force de traînée. · La deuxième partie analyse l'écoulement d'un fluide le long d'une paroi solide. On recherche les ordres de grandeur des termes de l'équation de Navier-Stokes et de l'équation d'incompressibilité afin d'en déduire des simplifications. · La troisième partie établit l'équation de Blasius, qui permet de résoudre la dynamique de l'écoulement dans la couche limite. Les questions sont plus techniques mais elles s'enchaînent bien et demeurent accessibles. · La quatrième partie considère l'écoulement à la surface d'un dièdre afin de modéliser le décollement de la couche limite. C'est la plus complexe du sujet. · La dernière partie aborde l'influence du nombre de Reynolds sur le coefficient de traînée. On établit notamment que ce dernier chute brutalement pour une valeur critique du nombre de Reynolds. Les questions sont essentiellement qualitatives et demandent une bonne compréhension du phénomène physique. Les notions physiques mises en jeu dans cette épreuve sont assez profondes, mais l'énoncé les introduit de façon progressive et les questions sont bien guidées. Peu de connaissances sont nécessaires, principalement l'incompressibilité d'un fluide et la signification physique de la force de traînée. Le concept de couche limite et la technique d'analyse des ordres de grandeurs expliqués par l'énoncé sont très importants en mécanique des fluides. Le rapport du jury souligne deux points importants. « Le sujet comportait de nombreuses applications numériques et les candidats qui ne se sont pas intéressés à celles-ci ont été assez nettement pénalisés au vu de la longueur raisonnable de l'épreuve. De plus, il est rappelé aux candidats qu'il est possible de rencontrer une épreuve très ciblée, ici la mécanique des fluides, et que celui-ci ne doit donc négliger aucun des thèmes au programme. » Indications Partie I 4 Comparer la vitesse à laquelle la force de traînée varie brutalement et la valeur du nombre de Reynolds critique quand le coefficient de traînée chute. Partie II 8 Écrire l'expression complète du laplacien en coordonnées cartésiennes et comparer les ordres de grandeur des différentes dérivées partielles. Partie III 10 Écrire les conditions aux limites sur y pour les fonctions u et v, puis traduire cette limite pour la variable et finalement écrire ceci pour les fonctions f et g. 12 Exprimer les dérivées de u et v avec les expressions trouvées à la question 11. 13 Utiliser l'équation de Navier-Stokes établie à la question 8 et remplacer la fonction g par son expression trouvée précédemment. 15 La fonction u ne dépend que de la variable . 17 Utiliser l'équation de Blasius et sa dérivée en fonction de . Partie IV 18 Traduire la condition sur le potentiel des vitesses en une condition sur les lignes de courant. 19 Exploiter l'incompressibilité de l'écoulement. 20 Comparer les champs de vitesses avec ceux de la partie précédente pour = /2 ; - - dans ce cas, - er et - e sont confondus avec ey et -ex respectivement. 23 Utiliser l'expression de la dérivée partielle de P obtenue à la question 22. 26 Que peut-on dire de la fonction f au voisinage de 0 si f (0) < 0 ? Qu'est-ce que cela implique sur l'écoulement ? Partie V 28 Quel est l'effet des aspérités du ballon sur le déclenchement du décrochement de la couche limite ? Physique d'un ballon de football I. Nombre de Reynolds et coefficient de traînée 1 Dans le cas d'un ballon de football se déplaçant dans l'air à une vitesse constante de 100 km.h-1 , les paramètres du problème à prendre en compte afin de calculer le nombre de Reynolds sont : · la vitesse du ballon : U = 28 m.s-1 ; · le diamètre du ballon : D = 0,22 m ; · la viscosité cinématique de l'air : n = 1,4.10-5 m2 .s-1 . Évaluons alors numériquement le nombre de Reynolds : Re = UD = 4,4.105 n Cette valeur étant très grande devant 1, l'écoulement de l'air autour du ballon est turbulent et l'expression de la force de traînée s'exerçant sur le ballon s'écrit - - 1 D2 T = - C UU 2 4 Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension qui représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. S'il est petit, l'écoulement est dit laminaire, alors que s'il devient grand, il est turbulent. Le jury souligne qu'il « faut être attentif aux unités du système international » et que « les résultats doivent être donnés avec un nombre correct de chiffres significatifs ». 2 Le module de l'accélération instantanée ai à la date ti peut s'approximer comme la variation de vitesse du ballon |vi+1 - vi | pendant la durée , c'est-à-dire ai = dv |vi+1 - vi | (ti ) = dt 3 Les forces qui agissent sur le ballon à l'instant ti sont : - · son poids : P = m g - ez (- ez est dirigée suivant la verticale descendante) ; - · la force de traînée : T = -Ti - ez , cette force s'oppose au mouvement du ballon. Appliquons le théorème de la résultante cinétique au ballon de masse m dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. En projection suivant - ez , il vient m a i = m g - Ti 4 Connaissant vi et vi+1 , on peut en déduire la valeur de l'accélération à l'instant ti à l'aide de la relation établie à la question 2. On peut ensuite successivement calculer la valeur de la norme Ti de la force de traînée : Ti = m (g - ai ) puis la valeur du coefficient de traînée 2 Ti 4 C= vi 2 D2 et pour finir, la valeur du logarithme décimal du nombre de Reynolds, donnée par vi D log10 (Re) = log10 n Regroupons ces résultats dans un tableau : i vi (m2 .s-2 ) Ti (N) C log(Re) 1 27,25 0,566 7 0,911 8 4,914 2 30,03 0,633 3 0,924 7 4,935 3 32,90 0,700 0 0,932 8 4,955 4 35,86 0,750 0 0,917 1 4,974 5 38,90 0,816 7 0,920 5 4,991 i vi 2 (m2 .s-2 ) Ti (N) C log(Re) 6 42,02 0,833 3 0,869 6 5,008 7 45,24 0,566 7 0,549 2 5,024 8 48,80 0,450 0 0,404 3 5,041 9 52,61 0,416 7 0,347 3 5,057 10 56,58 0,450 0 0,348 7 5,073 2 Avec ces données, on représente graphiquement les points de coordonnées [vi 2 ; Ti ] : 0,9 0,8 0,7 T (N) 0,6 0,5 0,4 25 30 35 40 45 50 v 2 (m2 .s-2 ) 55 60 ainsi que les points de coordonnées [log10 (Re); C] : 1 0,9 0,8 C 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 4,9 4,94 4,98 5,02 log10 (Re) 5,06 Remarquons sur le premier graphique que la force de traînée augmente linéairement avec v 2 jusqu'à une valeur critique de la vitesse v c = 6,7 m.s-1 . Cette loi de comportement est conforme à la loi proposée à la question 1. L'expression de la force