Mines Physique 2 PSI 2009

Thème de l'épreuve Modélisation fréquentielle de dipôles
Principaux outils utilisés circuits à AO, dipôles, oscillations auto-entretenues, électromagnétisme
Mots clefs amplificateur opérationnel, bobine, oscillateur, milieux conducteurs

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2009 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PSI (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE­EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- PSI. L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. MODELISATION FREQUENTIELLE DE DIPOLES Dans tout ce probleme, les vecteurs sont surmontes d'un chapeau ab s'ils sont unitaires ou d'une fleche - a sinon. Les nombres complexes sont soulignes : z C. On notera j2 = -1. Ce probleme se propose tout d'abord d'etudier un circuit a amplificateur operationnel et son application a l'etude d'une bobine a air, puis de fournir une interpretation du comportement frequentiel de cette bobine. Plus precisement, il se compose deux parties tres largement independantes : la premiere concerne l'existence et la stabilite des points de fonctionnement du circuit a amplificateur operationnel, l'oscillation auto-entretenue du circuit, la modelisation electrocinetique de la bobine ; la seconde va justifier que dans un domaine de basses et moyennes pulsations, la resistance d'un fil rectiligne est une fonction quadratique de la pulsation du courant qui l'alimente. I. -- Etude d'un circuit a amplificateur operationnel Dans tout le probleme, on suppose que la seule cause de fonctionnement en regime non-lineaire d'un amplificateur operationnel est la saturation de sa tension de sortie : les tensions de saturation sont supposees opposees et notees Vsat et -Vsat . On rappelle qu'un amplificateur operationnel ideal est tel que les courants d'entree i+ et i- sont toujours nuls et que dans la zone de linearite V+ -V- = 0. Modelisation frequentielle de dipoles I.A. -- Etude d'un dipole On considere le circuit de la figure 1 dans lequel l'amplificateur operationnel est suppose ideal. 1 -- Dans l'hypothese d'un fonctionnement ideal de l'amplificateur operationnel en regime lineaire, determiner l'impedance d'entree Ze = Ve /Ie du circuit de la figure 1. Tracer la partie de la caracteristique Ve = f (Ie ) en regime lineaire : on exprimera les limites du domaine de validite de Ve en fonction de Vsat , R2 et R3 F IG . 1 ­ Montage a amplificateur 2 -- Completer la caracteristique Ve = f (Ie ) du circuit de la figure 1 dans les regions qui correspondent a un fonctionnement non-lineaire de l'amplificateur operationnel : on donnera les expressions Ve = f (Ie ) correspondantes en justifiant precisement les domaines de Ve sur lesquels elles sont valides. On precisera les points remarquables. I.B. -- Visualisation experimentale de la caracteristique du dipole On considere a present le montage de la figure 2. Ce dernier est celui de la figure 1 auquel on a rajoute une resistance Rg et un generateur de fonction ideal qui delivre une tension E(t). Lorsque la tension du generateur est continue E(t) = E0 = cste, le couple (Ve , Ie ) prend la valeur (Ve0 , Ie0 ). Ce point de la caracteristique Ve = f (Ie ) est appele point de fonctionnement du circuit. L'amplificateur operationnel est encore suppose ideal. F IG . 2 ­ Montage avec entree 3 -- Indiquer comment le montage de la figure 2 permet une visualisation a l'oscilloscope de la caracteristique Ve = f (Ie ) : on precisera les branchements a effectuer et les eventuelles precautions materielles a prendre. 4 -- Etudier en fonction de la valeur de Rg , les differentes possibilites pour le point de fonctionnement du circuit dans le cas E0 = 0V. I.C. -- Stabilite du point de fonctionnement Lorsque l'on realise experimentalement le montage de la figure 2 avec E = 0V et Rg < R1 R3 /R2 , on constate que le point de fonctionnement du montage se trouve arbitrairement soit en un point M(Ie01 ,Ve01 ) associe a un courant Ie01 negatif, soit en un point P(Ie02 ,Ve02 ) associe a un courant Ie02 positif. Ces deux points sont distincts et presentent la propriete d'etre symetriques l'un de l'autre par rapport a l'origine O du plan (Ie , Ve ). 5 -- Dans quel regime se trouve l'amplificateur operationnel si le point de fonctionnement du montage est situe en M ou en P ? On justifiera la reponse en precisant les coordonnees de ces points. Page 2/6 Physique II, annee 2009 -- filiere PSI Pour expliquer que les seuls points de fonctionnement accessibles soient les points M ou P lorsque Rg < R1 R3 /R2 et E = 0V, on ne peut plus supposer que l'amplificateur operationnel soit de gain infini. Dans le regime lineaire, on peut le modeliser comme indique sur la figure 3 : les courants d'entree i+ et i- sont toujours nuls, mais (t) = V+ -V- 6= 0. Dans ce regime et pour des signaux sinusoidaux, on peut modeliser l'amplificateur operationnel par une relation entre les representations complexes de (t) et VS (t) : F IG . 3 ­ Amplificateur operationnel (j ) reel 1+j 0 6 -- Rappeler les ordres de grandeurs des constantes A0 et f0 = 0 /2 pour un amplificateur operationnel usuel. En utilisant la modelisation de l'amplificateur operationnel definie par la figure 3, etablir l'equation differentielle verifiee en regime lineaire par le courant Ie (t) du montage de la figure 2 dans le cas ou E(t) = 0V. On utilisera les parametres A0 , 0 , Rg , R1 et A = R3 /(R2 + R3 ). 7 -- En prenant en compte le fait que AA0 1, montrer que, l'equation differentielle de la question 6 permet de justifier l'observation experimentale relative aux points de fonctionnement. Expliquer qualitativement, comment s'etablit le basculement vers M ou P. Vs (j ) = A0 I.D. -- Realisation d'un oscillateur L'amplificateur operationnel est a nouveau suppose ideal. On adjoint maintenant au circuit de la figure 1 une resistance R, un condensateur C et une bobine ideale d'inductance L pour obtenir le montage de la figure 4. 8 -- Ecrire l'equation differentielle regissant le courant Ie traversant la resistance R en supposant que le circuit de la figure 1 soit modelisable en premiere approximation par un dipole d'impedance Ze calculee a la question 1. 9 -- A quelle condition le montage de la figure 4 est-il le siege d'une oscillation purement sinusoidale ? Que vaut alors la frequence fc d'oscillation ? La condition precedente n'etant jamais rigoureusement realisable experimentalement, indiquer a quelle condition on constate effectivement le demarrage d'une oscillation. F IG . 4 ­ Oscillateur a amplificateur operationnel 10 -- En fait, la bobine presente dans le montage de la figure 4 est une bobine a air de resistance rb et d'inductance L. Quelle est l'origine physique du terme de resistance rb ? On constate experimentalement que la valeur de la resistance rb de la bobine a air depend de la pulsation du courant sinusoidal qui la parcourt. Dans un domaine de basse et moyenne pulsation, la dependance frequentielle de rb s'ecrit : (1) rb ( ) = r0 1 + 2 Typiquement, pour une bobine a air d'inductance egale a 100 mH comprenant 1000 spires reparties sur plusieurs couches, la loi precedente est tres bien verifiee pour < 2, 00 × 104 rad.s-1 ; on trouve experimentalement r0 = 92, 0 et = 5, 00 × 10-10 s2 . 11 -- Comment pourrait-on, a l'aide du montage de la figure 4, valider la dependance quadratique en la pulsation de rb ( ) ? On decrira avec soin le protocole experimental propose. Estimer la variation relative de la resistance rb de la bobine a air precedente composee de 1000 spires pour des pulsations variant de 0 a 2, 00 × 104 rad.s-1 . Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Modelisation frequentielle de dipoles I.E. -- Modelisation electrocinetique de la bobine On souhaite traduire le comportement frequentiel de la bobine de la figure 4 par la modelisation electrocinetique de la figure 5. On fixe r0 = 92, 0 , L = 100 mH, le parametre de cette modelisation etant l'expression et la valeur de la resistance R p . F IG . 5 ­ Bobine reelle 12 -- Montrer que, sous les hypotheses r0 R p et L2 2 R2p , la loi experimentale de l'equation (1) est compatible avec l'impedance complexe Z( ) du dipole de la figure 5. On exprimera R p en fonction de , r0 et L et on calculera sa valeur numerique. Verifier a posteriori les hypotheses de calcul pour des pulsations variant de 0 a 2, 00 × 104 rad.s-1 . 13 -- On considere le montage de la figure 4. Ecrire l'equation differentielle regissant le courant Ie en supposant toujours que le circuit de la figure 1 soit modelisable en premiere approximation par un dipole d'impedance Ze calculee a la question 1 mais en remplacant la bobine ideale par sa modelisation electrocinetique definie a la figure 5. Cette equation differentielle sera etablie sans faire les hypotheses de la question 12. 14 -- Simplifier l'equation differentielle de la question 13 en considerant que simultanement r0 R p et (R + Ze ) R p . On presentera l'equation simplifiee sous la forme L dIe 1 d 2 Ie + R + Ie = 0 T dt 2 dt C (2) dans laquelle on exprimera RT en fonction de R, Ze , r0 , R p , L et C. Donner l'expression du coefficient de qualite Q et de la pulsation propre 0 du circuit RT L C serie equivalent a celui de la figure 4. 15 -- Dans le cas RT < 0 et R2T < 4L/C, exprimer la solution generale de l'equation differentielle (2) en fonction de Q et 0 . Tracer l'allure de Ie (t) correspondante. Que se passe-t-il lorsque RT 0- ? Interpreter alors l'expression de RT a l'aide de l'equation (1). I.F. -- Stabilisation de l'amplitude des oscillations 16 -- On considere encore le montage de la figure 4. Dans le cas ou la bobine a air est une inductance ideale L, comment se reecrit l'equation differentielle (2) ? Que vaut alors RT ? Dans quel type d'oscillations se trouve l'amplitude du courant Ie si RT < 0 ? 17 -- On constate experimentalement que sous la condition RT < 0, une oscillation d'amplitude constante apparait apres un regime transitoire. Quelle est l'origine physique de la limitation de l'amplitude des oscillations ? Cette limitation apparait-elle dans l'equation differentielle de la question 16 ? 18 -- Afin de mieux comprendre le mecanisme de stabilisation de l'amplitude des oscillations, on se propose de tenir compte du caractere non-lineaire de la caracteristique Ve = f (Ie ) etablie dans la question 2. Pour ce faire, on modelise cette caracteristique par un polynome du troisieme degre passant par les zeros de la caracteristique et ayant meme pente a l'origine : determiner dans ces conditions l'expression de Ve en fonction de Ie . 19 -- Reecrire l'equation differentielle regissant le courant Ie (t) en incorporant l'expression de la caracteristique determinee dans la question precedente. Interpreter qualitativement la stabilisation de l'amplitude de Ie (t). FIN DE LA PARTIE I Page 4/6 Physique II, annee 2009 -- filiere PSI II. -- Comportement frequentiel d'un fil conducteur Pour expliquer le comportement frequentiel de la bobine a air, on se propose de modeliser le comportement frequentiel du fil de cuivre avec lequel elle est realisee : on supposera dans cette partie que le fil n'est pas enroule autour d'un cylindre pour former la bobine, mais etendu en ligne droite. Pour ce faire, considerons (cf. figure 6) un conducteur ohmique cylindrique de conductivite , de rayon a, illimite suivant son axe de revolution Oz. On adopte un systeme de coordonnees cylindriques d'axe Oz de base orthonormee directe (ubr , uc , ubz ) : un point M est repere par ses coordonnees cylindriques (r, , z). Ce conducteur est parcouru par un courant I(t) = I0 cos( t) oriente positivement dans le sens Oz croissant. La distribution de courant correspondante est decrite - par le vecteur densite volumique de courant J (r, , z,t) dont la - representation complexe s'ecrit J (r, , z,t). F IG . 6 ­ Le fil conducteur - Dans le systeme de coordonnees cylindriques, le rotationnel d'un champ de vecteurs V = Vr ubr + V uc +Vz ubz s'ecrit --- Vr Vz 1 Vz V 1 (rV ) Vr - ubr + uc - - ubz , rot V = - + r z z r r r - le laplacien vectoriel d'un champ de vecteurs W = Wz ubz n'ayant qu'une composante selon ubz s'ecrit 2 -- Wz 1 Wz 1 2Wz 2Wz - + + 2 ubz . W = + r2 r r r 2 z2 - Par ailleurs, on rappelle que pour tout champ de vecteurs X : --- -- -- - - ---- - --- -- - - -- - rot rot X = grad div X - X Pour les applications numeriques, on utilisera les valeurs suivantes : a = 2, 50×10-4 m, = 5, 80×107 -1 .m-1 , µ0 = 4 ×10-7 H.m-1 , o = (36 )-1 ×10-9 F.m-1 . - - Finalement, on notera E (r, , z,t) le champ electrique, et E (r, , z,t) sa representation complexe, - - ainsi que B (r, , z,t) le champ magnetique et B (r, , z,t) sa representation complexe. - 20 -- Montrer que J (r, , z,t) ne depend spatialement que de la variable r. Expliquer qualitativement pourquoi l'on recherche une distribution de courant non uniforme. Dans la suite, on ecrira - J (r, , z,t) = J(r)ej t ubz . 21 -- La pulsation du courant sinusoidal I(t) alimentant le conducteur etant inferieure a 2, 00 × 104 rad.s-1 , justifier l'utilisation de l'approximation des regimes quasi-stationnaires dans la suite des questions de cette partie. 22 -- En precisant clairement les etapes de votre raisonnement, etablir l'equation differentielle du second ordre verifiee par J(r). En posant s 2 r a = , r = , et a = , µ0 etablir l'equation differentielle verifiee par la fonction G = J/J(0) de la variable r . Calculer la valeur maximale de a2 pour des pulsations variant de 0 a 2, 00 × 104 rad.s-1 . Dans la suite du probleme, sur l'intervalle de pulsations considerees, on suppose que r2 1 des que r 6 a. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Modelisation frequentielle de dipoles 23 -- On fait l'hypothese que G(r ) est une fonction paire. On admet que la solution cherchee de l'equation differentielle de la question precedente se met sous la forme + G(r ) = gn rn n=0 Donner la relation liant gn et gn-2 pour tout n > 2. En deduire que j 2 1 4 j 6 J(r ) = J(0) · 1 + r - r - + o r6 2 16 288 r 24 -- En supposant dans toute la suite du probleme que J(0) soit en fait une quantite J0 reelle, deduire de la question precedente l'expression a l'ordre 4 en r du champ electrique complexe - - E (r, , z,t) a l'interieur du conducteur. On donnera egalement l'expression reelle de E (r, , z,t). 25 -- Montrer que la valeur moyenne temporelle de I 2 (t) s'ecrit < I 2 (t) >= 2 1 J0 a2 1 + a4 + o a4 2 ou est un facteur numerique que l'on precisera. 26 -- Preciser, en la justifiant, la direction et la dependance vis a vis des variables d'espace du - champ magnetique B (r, , z,t). Determiner, a l'interieur du conducteur, l'expression de la quantite 2 - B (r, , z,t) a l'ordre 4 en r (on pourra supposer que le module du champ magnetique reste µ0 J0 r - - borne en r = 0). En deduire celles de B (r, , z,t) et de B (r, , z,t). - - 27 -- Que represente la quantite J · E ? Quelle est son unite ? Definir par une integrale (que l'on ne cherchera pas a calculer) la puissance P (t) cedee par le champ electromagnetique a une portion de longueur selon Oz du conducteur ohmique. Pour la suite du probleme, on admet que la valeur moyenne temporelle de P (t) s'ecrit 1 4 1 a2 J02 4 1 + a + o a < P (t) >= 2 24 28 -- On definit la resistance R d'une portion de longueur selon Oz du conducteur ohmique par : R = < P (t) > < I 2 (t) > Justifier la definition choisie. Calculer a l'ordre 4 en a l'expression de R . Donner l'expression R ( ) de R en fonction de la pulsation du courant I(t) parcourant le conducteur ohmique. Commenter le resultat et le comparer precisement a l'expression de rb ( ) definie dans l'equation (1). Proposer une interpretation. 29 -- Calculer a l'ordre 4 en a la valeur moyenne temporelle < > du flux du vecteur de Poynting a travers une portion de longueur l de la surface laterale du conducteur orientee localement selon -ubr : on exprimera le resultat en fonction de J0 , a, , et . En deduire a l'ordre 4 en a , une expression de la quantite < > / < I 2 (t) >. Interpreter avec soin le resultat obtenu. FIN DE LA PARTIE II FIN DE L'EPREUVE Page 6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 2 PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Mehdi Nehmé (ENS Cachan) ; il a été relu par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE). Le problème concerne l'impédance des bobines à air, plus particulièrement les écarts au modèle de bobine idéale d'impédance imaginaire pure. Il s'attache à montrer que l'impédance d'une bobine réelle comporte une partie réelle quadratique en fréquence, du moins dans un domaine limité de basses fréquences. Il se compose de deux parties largement indépendantes. · La première partie commence par l'étude (théorique puis expérimentale) d'un montage à amplificateur opérationnel et de ses points de fonctionnement (existence, stabilité). Ce montage est ensuite utilisé comme élément actif dans la réalisation d'un oscillateur permettant d'accéder expérimentalement à la dépendance fréquentielle de la partie réelle de l'impédance d'une bobine à air. On retrouve alors certaines propriétés des oscillations observées à l'aide d'un modèle simple de bobine réelle. Cette partie repose principalement sur les connaissances d'électronique acquises en première année. · La seconde partie, plus courte mais aussi plus technique, exploite les connaissances de deuxième année en électromagnétisme. Dans le cadre de l'ARQS, on étudie l'effet de peau dans un fil cylindrique conducteur qui tient lieu de bobine à air. On retrouve ainsi la dépendance fréquentielle introduite dans la partie I. Parfois calculatoire, cette partie reste abordable car certains résultats sont donnés dans l'énoncé et permettent de contrôler sa progression. D'une difficulté graduelle, ce problème est conçu pour classer efficacement les candidats. Indications Première partie 2 Le problème est non-linéaire. Pour le résoudre, faire une hypothèse sur Vs et vérifier son domaine de validité a posteriori. 3 Penser aux problèmes de masses électriques. 4 On dispose de deux relations reliant Ve à Ie : penser à une discussion graphique. 6 Passer de la description fréquentielle à la description temporelle afin d'obtenir une équation différentielle : une multiplication par j revient à dériver une fois par rapport au temps. 11 Pour accéder à r0 , il suffit de faire circuler un courant continu dans la bobine et de mesurer la tension à ses bornes. Sur quel composant peut-on agir pour faire varier la fréquence des oscillations ? 14 Une fois l'équation différentielle obtenue, la mettre sous forme canonique afin d'obtenir les caractéristiques de l'oscillateur. 19 Revenir à la mise en équation initiale, c'est-à-dire à l'écriture de la loi des mailles (question 8). La modifier pour prendre en compte les non-linéarités. Seconde partie 22 Écrire les équations de Maxwell dans le cadre de l'ARQS, puis les particulariser pour un conducteur. Ne pas oublier d'utiliser le formulaire d'analyse vectorielle fourni par l'énoncé. 24 Prudence lors du passage au champ électrique réel, car ejt possède une partie imaginaire non nulle. 25 Calculer le flux du vecteur densité de courant à travers une section droite du fil. Dans l'intégrale, faire le changement de variable r = r/. Après avoir élevé au carré, écrire directement les valeurs moyennes de produits de fonctions sinusoïdales : hcos2 ti = hsin2 ti = 1/2 et hsin t cos ti = 0. 26 Intégrer l'équation de Maxwell-Ampère en utilisant le fait que le champ magnétique est supposé borné sur l'axe. Ici aussi, prudence lors du passage au champ magnétique réel. 28 Penser à l'effet Joule et à l'expression de la puissance moyenne dissipée dans un résistor en régime périodique. 29 Calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting, soit à partir des grandeurs complexes en utilisant la formule - 1 h (r, t)i = Re 2 - - E (r, t) B (r, t) µ0 soit à partir des champs réels en développant - - - E (r, t) B (r, t) (r, t) = µ0 puis en prenant la valeur moyenne. I. Étude d'un circuit à amplificateur opérationnel I.A Étude d'un dipôle 1 L'AO est idéal donc i- = 0. La tension aux bornes de la résistance R1 s'écrit, d'après la loi d'Ohm Vs - Ve = -R1 Ie Pour la même raison, i+ = 0. On reconnaît alors un pont diviseur de tension sur la figure ci-contre, et V+ = R3 Vs R2 + R3 i+ = 0 L'AO idéal fonctionnant en régime linéaire R2 V+ = V- = Ve V+ On élimine Vs dans les relations précédentes : R2 + R3 - 1 Ve = -R1 Ie R3 Finalement, Ze = R3 Vs Ve R1 R3 =- Ie R2 Le fait que l'impédance trouvée soit négative ne doit pas surprendre : dans une portion de sa caractéristique, le dipôle vu depuis son entrée est équivalent à une résistance négative. Cela n'a rien de choquant du fait de la présence d'un élément actif, l'AO. Le calcul précédent est valable tant que l'AO fonctionne en régime linéaire, c'està-dire si |Vs | < Vsat , ce qui donne les limites du domaine de validité : |Ve | < R3 Vsat R2 + R3 Traçons la partie de la caractéristique qui décrit le régime linéaire. Ve R3 Vsat R2 + R3 Ie 0 R3 - Vsat R2 + R3 2 Le fonctionnement non-linéaire regroupe les cas de saturation positive et négative de la tension de sortie. · Si Vs = +Vsat , la loi d'Ohm aux bornes de R1 donne Ve = R1 Ie + Vsat C'est le cas pour V+ > V- , soit Ve < R3 Vsat R2 + R3 · Si Vs = -Vsat , la loi d'Ohm aux bornes de R1 donne Ve = R1 Ie - Vsat C'est le cas pour V+ < V- , soit Ve > - R3 Vsat R2 + R3 La caractéristique est donc affine par morceaux. Définissons les points A et B comme les points où se produisent des changements de pente. R3 Ve (A) = R + R Vsat 2 3 R3 Ve (B) = - Vsat R2 + R3 En reportant dans l'équation Ve = f (Ie ) donnant la forme de la caractéristique, on trouve les intensités des courants associés, soit R2 Ie (A) = - R (R + R ) Vsat 1 2 3 R2 Ie (B) = Vsat R1 (R2 + R3 ) On peut maintenant tracer la totalité de la caractéristique Ve = f (Ie ) du dipôle à résistance négative. Ve Vs = +Vsat Régime linéaire A Vs = -Vsat Ie 0 B On remarque que cette caractéristique est symétrique par rapport à l'origine. Ainsi, le sens de branchement du dipôle est sans importance.