Mines Physique 2 PSI 2007

Thème de l'épreuve Hydrates et climatisation
Principaux outils utilisés structure de la matière, machines thermiques, changement d'état, écoulement visqueux
Mots clefs hydrates, climatisation, fluide de Bingham

Corrigé

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A 2007 PHYS. II PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2007 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE Il - PSI L'én0ncé de cette épreuve comporte 8 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initia-- tives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. _» Notations : vecteur _) A ; norme du vecteur A --> A (italique) ou --> A ; vecteur unitaire --> â. Le vecteur unitaire correspondant à la coordonnée c est noté ê ; par exemple 0 est le vecteur unitaire correspondant à la coordonnée 9 en coordonnées cylindriques. Dans toute l'épreuve, exprùner signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique. HYDRATES et CLIMATISATION 1.'l| füfËHfÈ-. H'_'EH.H Pour répondre aux exigences des protocoles de Kyoto et de ,'l-frJËrËf;-I_IFIJ {.it-' Montréal sur les changements ...,fi"',...w climatiques et sur la protection ' de la couche d'ozone, le marché de la réfrigération utilise pro- gressivement des fluides frigo- porteurs diphasiques. Ces flui- des exploitent l'énergie de changement de phase solide/liquide (300 kJ.kg_1 pour la glace). Pour la climatisation, il est nécessaire de disposer de composés dont la température de transition soit voisine de 10°C. Des cristaux similaires à la glace, les £."I'iäiIii IIÏF _Ü£EILËL( ' ' 1/8 Physique 11200 7. Filière PSI. hydrates, se révèlent être des candidats intéressants pour ce but. Ce sont des structures tridimensionnelles, en forme de cage susceptibles d'accueillir des molécules ou des sels. La figure de la page 1 en représente un exemple. Ce problème concerne différents aspects d'un système de climatisation utilisant des hydrates. Il est composé de trois parties indépendantes, de longueurs et de difficultés inégales et que l'on pourra traiter dans l'ordre de son choix. I -- Préliminaire : généralités sur les hydrates [ -- 1 In teractian de Van der Waals ,; 3 _} L'interaction entre les molécules d'eau ë----:--- :t: --: i et l'espèce piégée est du type de Van --q. «:; _ . . . , --i--l--l {la--_.-- der Waals. La Fig. 1 montre un d1pole A Ü B M électrostatique pa modélisé par deux ÆfÏ};æ E -- Üf}i}:fifiâ EÏEEH'ü5OE figue " .d - - _ _ + . amdefisa firm: et HÜËHÜÜHS. charges ponctuelles (- q) dlstantes de a . L'expression du champ électrique produit par ce dipôle en un point M de son axe très éloigné de l'origine (x >> a) est Ëx =%Î, où pa = qa. Une structure 7OEOx moléculaire neutre 2 placée en M acquiert le moment dipolaire p, = 50 O£Ex, où la constante a est nommée polarisabilité. E! 1 -- Quelle est la dimension de 05 '? Ü 2--L'énergie potentielle d'un dipôle électrostatique de moment dipolaire 13 plongé dans un champ électrostatique extérieur É est WP =--p.Ë. Exprimer WP (x), l'énergie potentielle de la molécule 2 dans Ëx et Ê,dW , force qui s'exerce entre 2 et pa . J ustifier que l'on parle ici de force attractive à courte portée. [ -- 2 Capacité de stockage Les hydrates cristallisent dans plusieurs types de structures. Deux d'entre elles, nommées l et Il (Fig. 2) appartiennent au système cubique. Chaque structure présente deux types de cavités, la grande et la petite. Quelques données struc- turelles sont présentées dans le tableau de la page 8. Par exemple, la structure 1 comporte au total 8 cavités dans le volume ("1 )3 et la structure Il comporte 24 cav1tes dans le volume (a") . L'expérience indique que le rayon d'une cav1te occupée est, en moyenne, inférieur de 140 pm = 140 >< 10_12 m a celui de la même cavité vide. On note y d d le rap- port du rayon de la molécule piégée a celui de la cavité occupée. Lorsque la cavité est occupée par une molécule plus encombrante, son rayon peut être augmenté. On constate aussi que seuls les hydrates vérifiant l'inégalité Fig. r' -- SÈI'HÜËHÏES d Ïlj'ûË'fi ÉES. 2/ 8 ydd > 0,76 sont stables. Physique 112007. Filière PSI. Structure Cubique l Cubique Il Arête du cube, en pm (10_12 m) al = 1200 6111 = 1730 Nombre de HZO par maille 46 136 Rayon de la CâV1té, en pm Petite 395 Petite 391 Grande 433 Grande 473 N mbr d ca i tés ar maille Petite 2 Grande 6 Petite 16 Grande 8 0 e e V p Total 8 Total 24 E] 3 -- Expliquer, qualitativement, ces deux faits expérimentaux. E! 4 -- Vérifier que, pour une structure de type I et une petite cavité, ydd = 1,00 pour le dioxyde de carbone ; le rayon de la molécule de COZ est de 255 pm. E! 5 -- Le rayon de la molécule d'hélium est de 114 pm. L'hélium peut-il être piégé dans l'une ou l'autre des deux structures cubiques '? D 6-- Un hydrate naturel est constitué dans des proportions variées des struc- tures l et Il. Montrer que la proportion des structures n'a pas d'influence sur la capacité de stockage. [|_ 7 -- Calculer le volume de méthane gazeux libérable par 1 m3 d'hydrate à la température de 20°C, sous la pression de 1 bar (105 Pa). On supposera que le méthane est un gaz parfait. Avec les notations usuelles, R = 8,31 ].K_1 et NA= 6,02 >< 1023 mol--1. Le résultat est compris entre 150 et 200 m3 . E! 8 -- Les hydrates de méthane des fonds océaniques sont réputés contenir deux fois plus d'équivalent carbone que la totalité des gisements de combustibles fos- siles connus dans le Monde. On pense qu'une élévation de 2°C de la température des profondeurs déstabiliserait les hydrates de méthane et entraînerait une remontée des gaz vers la surface de la Terre. Quelle pourrait être une consé- quence de ce phénomène '? II -- Climatisation Une façon d'améliorer les systèmes de climatisation consiste en l'utilisation des heures creuses de demande énergétique. Cela implique de pouvoir « stocker du froid ». Le fluide qui permet ce stockage est un fluide diphasique, constitué par un mélange fluide d'eau et d'hydrates d'un sel que l'on nommera TBAB pour les besoins de la cause. Un tel mélange porte le nom de coulis. Le système de clima- tisation comprend ainsi deux fluides caloporteurs. Le fluide primaire est le butane, le fluide secondaire est le TBAB. La Fig. 8 représente un élément du circuit primaire de climatisation et donne plusieurs données importantes et non reprises dans le texte. Le climatiseur fonctionne avec un fluide (ici le butane) dont la température maximale est 52 °C et la minimale 5 °C. L'évaporateur E'U est en contact thermique avec la source froide. Dans un sys- tème classique, cette source serait la pièce à climatiser. Le condenseur est en contact avec la source chaude, ici l'air extérieur à 85°C. Le fluide primaire est du butane (C4Hm, masse molaire M ), la fraction massique de la vapeur dans l'état 1' est notée xY (i =l ou 4 sur la Fig. 3). Le régime de l'écoulement est indépen- 3/8 D...... . u: 7°(7. P,:1.;21...n L.... Sm. L P{= 5.2 Zum; Lan/Ï...lpmw' \c...ÿ-- î1snbnn :sobarei « -- (@ - 2 1 0.93 Dzyhmé. z,' " = 5°('- F]: 1 J b... b... mluzhrrhqm> ww... {; rrfmulw (...... [rm/{EUR} %, * Schr'mm natatwm et mie... ...... le ...1e... pnmmTr de L'l...zlelsafian ; :...». DM * :m«...1.... En * 1Aa1nn'alum u Comp * c............. hq...de autumn/. En 1 n ... 4. A', :lmhtwês. m. n...; 11 ... ... Physique 112007. Efiêre PS]. I] -- 2 Utilisation de coulis dîlzydra tes de TBAB L'évaporateur est a présent intégré dans un générateur de coulis, qui est le fluide secondaire utilisé pour ce système de climatisation. La fraction massique d'hydrate dans le coulis est de 20 %. Ce dernier est stocké a 12 °C pour être acheminé ensuite vers "Ê'Ë'Ë" RËËË"" EÜUÜEÊÊË'"""' l'ensemble des échangeurs thermiques stuckagæ des pièces à climatiser a 20 °C. Pour chaque pièce, on utilise un réservoir de stockage de volume Vs =6 m3 et un échangeur thermique permettant =6kW. Le coulis, entrant dans l'échangeur thermique à la température de 12 °C, en ressort, fondu, a la température de 17 °C. d'obtenir une puissance maximale de climatisation Pc lim Pour les applications numériques, on utilisera aussi 1 Capacité thermique massique de l'eau c; = 4,18 kJ.kg_l.K_l. Capacité thermique massique de l'hydrate de TBAB cZyd = 2,22 k].kg_l.K_1 . Enthalpie massique de fusion de l'hydrate de TBAB à 12°C É'}äÎ = 200 kJ.kg_l. Masse volumique moyenne du coulis ,uc = 1020 kg.rrf3 . D 14 -- Exprimer et calculer Ah , l'enthalpie massique disponible pour la climati- sation de la pièce. D 15-- En déduire AHS, enthalpie disponible du réservoir de stockage, pour le refroidissement (cette quantité porte le nom de frigories). E! 16 -- La quantité AHS permet-elle de faire fonctionner le climatiseur 12 heures par jour '? Ü17-- On souhaite reconstituer complètement le stock de coulis d'hydrates de TBAB pendant les 6 heures nocturnes les plus creuses en demande d'électricité. Le système primaire permet de faire en sorte que le coulis utilisé revienne a son état initial (cf. question 11). Exprimer et calculer le débit massique minimal a réaliser, au niveau du fluide primaire (le butane) pour y parvenir. III -- Fluide de Bingham dB Définitions, 1'brmulaÏre et bwat]zêses ' générales 0011 train te de dsai]]em ent Certaines distributions de forces dans un milieu déformable engendrent un mouvement .;flf' laminaire de cisaillement. Au cours d'un tel d.î mouvement, le matériau présente une structure en lamelles, en couches adjacentes. La déforma- tion s'effectue par glissement relatif des différentes couches, sans transfert de matière d'une couche a l'autre. Au cours d'un mouvement laminaire de cisaillement, deux Ï= } '-fî_f;_ .; -- Flames agissnm: sur deux c.=mmfm5 FrJJËÙHÏ-ËÊ. 5/8 Physique 11200 7. Filière PSI. couches adjacentes se déplacent l'une par rapport a l'autre. Des forces tangentielles de frottement, les forces de cisaillement (Fig. 4) apparaissent à l'interface de ces deux couches. Si la couche (1) est animée d'une vitesse supé- rieure a celle de la couche (2), (l) exerce sur (2) une force de cisaillement dË parallèle au mouvement et tendant à accélérer (2). La couche (2) exerce pour sa part sur (1), la force de cisaillement --dÊ tendant à la freiner. La contrainte de cisaillement ? est définie dans la Fig. 4. Form u]aire (coordonnées cy]1h dr1'ques) Si  = AÏÎ' + AHÔ + Azî , alors div(Â) =l--Ô(rA') +lÔÆ+Ôi r Ôr r 89 Ôz -- Ô A 15 A Ô A grad{f(r,9,z)]=Ô--Cr+;â9+Ô--Çz. Ë'rm rdr1'u'æ1fl..ä r:_æ,ræ'æÏmi-æ '.irjrm-H Hypothèses générales On étudie l'écoulement permanent d'un fluide incompressible dans un tuyau cylindrique horizontal d'axe Oz, de rayon R et de longueurL. Le problème est invariant en 9 . La masse volumique du fluide est notée ,u, le champ de pression au sein du fluide P(r,z) et le champ de vitesse û=u(r,z)î. La vitesse est maximale sur l'axe du cylindre et nulle sur la paroiî u(O,z)Z u(r,z) etu(R,z) = O . La vitesse de cisaillement est, par définition (et par convention de . , . . , . . . I/l . . . notation) en rheolog1e, la quantite pos1t1ve ;/ = ----. Le fluide est dit de Bing- dr ham lorsqu'il obéit à la loi de comportement à seuil Ts Pour T>Ts, T=Ts+îÿp7' et pour TSZ'S ÿ=O. Une imageî ouvrons un tube de dentifrice et maintenons le vers le bas. Le dentifrice ne s'écoule pas sous l'action de son poids. Si l'on appuie sur le tube jusqu'à dépasser la contrainte seuil, le dentifrice s'écoule comme un fluide. On admet enfin que le fluide étudié obéit à l'équation suivante, analogue à l'équation d'Euler pour le fluide parfait 3 "Pa--'? + (û.grad)û} = --grad( p) _ FM}î , rôr Ô--"=o. Ôt avec la conservation de la masse div (pû) + III-1 Profil de vitesse [|_ 18 -- Quelle est la dimension de y (ce n'est pas celle d'une vitesse !) '? Vérifier que la dimension de la constante 77p est celle d'une viscosité. [[ 19-- Montrer que ü ne dépend que de la coordonnée radiale r. La loi de comportement montre alors qu'il en va de même pour T . dP 1 d(rr) D 20 -- Montrer que P ne dépend que de z et que -- = ---- (1 z r d r 6/8 Physique 112007. Filière PSI. E! 21 -- On note P(O) = Pe la pression du fluide à l'entrée du tuyau, P(L) = PS la pression en sortie et AP = Pe --Ps la chute de pression, une grandeur évidem- AP _ 1 d(rr) ment positive. Établir la relation-- rdr Ü_ 22--En déduire l'expression de la contrainte T(F)=âAP ; la relation 2 L T(ï) = TS L définit le rayon de seuil R0 = TS . RO AP Ü23 -- Le rayon R est donné. Montrer que les solutions pour lesquelles RO > R correspondent a une vitesse nulle de l'écoulement. En déduire la différence de pression minimale APmin nécessaire à l'existence d'un débit non nul. E! 24 -- On suppose que RO < R. Établir que la vitesse du fluide est f A--'D(R--RO)2 pour rSR0 4an A--P(R+r--2RO)(R--r) pour rZ R0 \4an u(r)=< E! 25 -- Tracer l'allure de u(r) pour 0 S r S R. On dit que l'écoulement présente une zone bouchon. D'où vient cette dénomination '? []]-2 Caractérisation expérimentale d'un fluide de Bingham E! 26 -- Afin de vérifier la pertinence du modèle, on mesure la chute de pression R R AP = Pe -- Ps et le débit volumique Q = Ju (r) 27zrdr . Montrer que Q = J7zr27ÿ dr . 0 0 RAP Ü27 -- On note Tp la contrainte à la paroi : Tp = {(R) = 2--. Démontrer la for- . . U 1 'p . . . , . mule de Rab1nov1tob Q3 =--d=--3JT2)/dï, ou Ud = Q2 est la V1tesse delu- 7zR TP 0 7zR tante. Dans ce qui suit, cette formule est mise en oeuvre pour permettre une exploitation facile des résultats expérimentaux. E! 28 -- Appliquant cette formule a un fluide de Bingham, montrer que, en négli- . R 8L geant le terme d'ordre 4 en 3, on obtient & = --(AP -- APO) , où APO = TS T R 8L77p 3R P est la pression d1fféren bielle orifiq ue. D 29 -- Quel est l'écart minimal de pression entre l'entrée et la sortie du tuyau pour que l'écoulement se produise '? Comment peut-on avoir accès expérimentale- ment à cette grandeur '? E! 30 -- Au vu de la Fig. 5, le modèle de Bingham est-il fondé '? 7/8 Physique 11200 7. Filière PSI. 3.53 E'. "." 1.5- F1r'ÿ. & -- Résultats rrpëræïwif'-iiaitiifl' de lu.. thèse de M. Da-rüomrt {ËÜÜ&_Ê. pour diverses fractions [.'ÜËH-ïïH-ÜHt'S dr ;m-ri-är-ulsæ. Les limites .E-':JILE des gra-irËrfi 3Jü'Æi?' la 'HLüffiëfiiäffüffli. D 31 -- La caractérisation du fluide de Bingham exige la détermination expéri- mentale du seuil z's et de %. Les grandeurs mesurées sont la chute de pression RAP . AP et le débit volumique Q. La contrainte à la paroi TP = Î = Ts + 77p }/(R ) se déduit de la mesure de AP. En dérivant par rapport a TP le logarithme de la TP formule de Rabinovitch ln(%)=ln ljfiy'df =--31n(rp)+1n[f(fp)], où 3 7117 0 . . , . . . Ud 1 \ dln(RAP/2L) )/p =)/(R), etabhr la relation }/p =Î 3+; ,ou V= dln(U /R) d D 32 -- Comment peut-on déterminer expérimentalement % '? FIN DU PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE Combustion du méthane dans un ]1ydra te. TBAB (pour Tetra-n-Butyl Ammonium Bromure) ! nom commun du Bromure de Tetra-ButylAmmonium CH3(CH2)3N+BrÏ 8/8

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 Mines Physique 2 PSI 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Alban Sauret (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Centrée sur le thème général des hydrates, cette épreuve est composée de trois parties indépendantes consacrées chacune à un domaine de la physique : · la première partie s'intéresse à la structure cristalline des hydrates et ne demande aucune connaissance de cours particulière ; · dans la deuxième, on envisage très classiquement l'utilisation des hydrates au sein d'un système de climatisation ; · enfin, la troisième partie, plus difficile, est consacrée à l'étude d'un écoulement de type Poiseuille d'un fluide dit de Bingham présentant un comportement non linéaire. Les concepts physiques mis en jeu dans cette épreuve sont relativement peu nombreux : changement d'état du corps pur, machines thermiques, écoulement visqueux. La première partie est facile. La deuxième n'est guère plus difficile si l'on sait utiliser la notion de fraction massique. La troisième partie est la plus originale. Les raisonnements sont ceux effectués en cours sur l'écoulement de Poiseuille mais ils sont ici appliqués différemment à un fluide non newtonien. Cela peut dérouter. L'énoncé est limpide, directif et plutôt court pour une épreuve de quatre heures. Indications Première partie - 1 Utiliser l'expression de Ex et la définition de données dans l'énoncé. 3 L'interaction de la molécule piégée et de la structure hôte est « attractive » et « à courte portée ». 6 Comptabiliser le nombre de cavités par unité de volume de chacune des deux structures. Deuxième partie 9 Pour un mélange diphasé, h = (1 - xV )hL + xV hV . 11 Écrire le premier principe pour un système ouvert sous la forme d'un bilan enthalpique. 12 Contrairement à ce que demande l'énoncé, justifier que w s'identifie directement à h12 . 13 Expliquer pourquoi e < ec . 14 Initialement, le coulis est un mélange d'hydrates solides et d'eau liquide ; lors de son utilisation, les hydrates fondent et s'échauffent alors que l'eau s'échauffe. Troisième partie 18 Utiliser la loi de comportement à seuil d'un fluide de Bingham et l'expression du nombre de Reynolds d'un fluide newtonien. 19 Utiliser l'incompressibilité de l'écoulement. 20 Utiliser l'équation analogue à l'équation d'Euler donnée par l'énoncé. Justifier la nullité de l'accélération convective. 21 Intégrer entre z = 0 et z = L l'égalité obtenue à la question précédente. du pour 0 6 r 6 R ? 23 Que vaut dr du 24 Exprimer pour 0 6 r 6 R0 et R0 6 r 6 R. Résoudre séparément et utiliser la dr continuité en R0 . 25 Une partie de l'écoulement se fait en bloc. 26 Effectuer une intégration par parties. 27 Faire le changement de variables = p r. R - s . p 29 Ne pas se formaliser de l'apparente discordance avec la question 23. 28 Il suffit d'intégrer pour s 6 6 p avec = 30 Commenter la linéarité. 31 On a f ( p ) = p2 p . Hydrates et climatisation I. Préliminaire : généralités sur les hydrates I.1 Interaction de Van der Waals - 1 L'expression du champ Ex et la définition de donnent en termes de dimension [pa ] et [pi ] = [0 ] [] [Ex ] [0 ] [x3 ] On en déduit aisément que [] = x3 = L3 et que [Ex ] = La dimension de la polarisabilité est celle d'un volume. - - 2 L'énergie potentielle du moment dipolaire p i induit dans le champ Ex est - W p = -- p i · Ex = -0 Ex2 d'où Wp = - pa2 4 2 0 x6 La force de Van der Waals qui dérive de Wp s'écrit -- - dWp - F VdW = - grad Wp = - ex dx - 6 p 2 F VdW = - 2 a 7 - ex 4 0 x soit Il s'agit bien d'une force attractive de courte portée puisqu'elle est opposée au vecteur -- position OM = x - e et décroît rapidement en x7 par comparaison à l'interaction x coulombienne entre deux particules chargées qui décroît en x2 . I.2 Capacité de stockage 3 Le caractère attractif de l'interaction des molécules d'eau et de l'espèce piégée explique la stabilisation de l'édifice et la diminution du rayon d'une cavité occupée. L'interaction étant à courte portée, elle reste sans effet si le rayon de la molécule piégée est trop faible devant celui de la cavité. 4 Le rapport du rayon de la molécule de CO2 sur celui de la cavité occupée est y dd = 255 = 1,00 395 - 140 5 Pour la plus petite cavité envisageable, le rayon minimal d'une molécule piégée est 0,76 × (391 - 140) soit 191 pm. La molécule d'hélium de rayon 114 pm ne peut donc pas être piégée par l'une ou l'autre des deux structures cubiques. 6 Le nombre de cavités par unité de volume pour chaque structure est 8 nc I = 3 = 4,63.1027 m-3 aI n = 24 = 4,64.1027 m-3 c II aII3 À volume équivalent, les deux structures présentent le même nombre de cavités. La proportion des structures est donc sans influence et on adopte la moyenne nc = 4,63.1027 m-3 7 En considérant une seule molécule de méthane par cavité, la quantité de matière piégée pour 1 m3 d'hydrate et le volume de gaz libérable sont nCH4 = d'où nCH4 RT P nc NA et VCH4 = nc RT = 187 m3 NA P VCH4 = 8 Le méthane est un gaz à effet de serre vingt fois plus efficace que le dioxyde de carbone et sa libération sous l'effet d'une élévation de la température renforcerait encore le réchauffement climatique. Dans un autre contexte, on parlerait d'effet boule de neige.