Mines Physique 2 PSI 2006

Thème de l'épreuve Le chant des bulles
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, ondes sonores

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) - CONCOURS D'ADMISSION 2006 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage de la calculette est autorisé Sujet mis à disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner defaçon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ]] -PSI L'énonce' de cette épreuve comporte 8 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. . Notations : vecteur ----> V (gras) ; norme du vecteur V --> V (italique) ; vecteur unitaire ----> â. LE CHANT DES BULLES Ce problème étudie diverses propriétés liées à des bulles d'air dans l'eau. On rappelle que, en l'absence de toute force volumique extérieure (et en particulier en négligeant la pesan-- teur, ce qui sera le cas dans tout ce problème), le champ des vitesses v (de norme U) dans un fluide non visqueux de masse volumique p et le champ des pressions p sont liés entre eux par la relation d'Euler d'une part, l'équation de conservation de la masse d'autre part : p {(%) + (v.grad)v] = --grad ( p) , div (pv) + % = o. 2 Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signi- fie donner la valeur numérique. {Rappel d'une identité vectorielle : (v.grad) v = --1-- grad (02 ) -- v A rot (v)} Partie 1 Évolution de l'air contenu dans une bulle I-1 Propagation du son dans l'air Hypothèses et notations L'air est considéré comme un fluide homogène et parfait dont le rapport des capacités ther- C miques 7 = ------"-- est constant. La masse volumique et la pression dans l'air au repos sont C V notées respectivement Po et po. On étudie des mouvements de faible amplitude et de fai- ble vitesse (approximation acoustique), de sorte que les termes du second ordre seront négligés dans les équations d'évolution de la masse volumique p(r,t), de la pression p(r,t) et de la vitesse V(l',t) du fluide, au point r et à l'instant t. On pose pl(r,t)=p(r,t)--pO, ,01(r,t)=p(r,t)--p0 avec |p,|<<|pJ et |Pll<oo r----->R(t) D 10 -- Toujours sous l'hypothèse lc," (t)l << RO, donner l'équation différentielle régissant 5 (t) ; on fera intervenir la pulsation de Minnaert COM : 37 = 27rfM. Cl 11 -- Calculer wM eth pour R, =10"3 m, p, =105 Pa, p, =1,0><103 kg.m" et 7 = 1,40. Justifier l'hypothèse d'uniformité de la pression faite en I--2. CI 12---- Donner, à l'ordre le plus bas par rapport à 5 (t) ou à ses dérivées, l'expression de la vitesse U (r,!) et celle de la pression p(r,t) à la distance r du centre de la bulle. On cons- tate qu'une modification de 5 (I) se répercute en une variation simultanée de la pression ; quelle est l'hypothèse du modèle qui impose cette transmission instantanée des variations de volume ou de pression '? II-2 Propagation d'ondes acoustiques dans l'eau Il faut donc considérer l'eau comme un fluide parfait compressible, de masse volumique uniforme au repos pE ; la célérité des ondes acoustiques dans ce milieu est notée CE . On se place toujours dans les conditions usuelles de l'approximation acoustique : les ondes sont de faible amplitude et les équations de la dynamique des fluides sont linéarisées. Soit p(r,t) la pression en un point de l'eau à la distance r ?. R(t) du centre. On admet que p(r,t) est 162 solution de l'équation Ap (r,t) : ----- p (r,t) et l'on cherche les solutions de cette équa- e,3... "à? "(N) ]" tion sous la forme p (r,t) = po + p1 (r,!) = p0 + , ce qui définit 7r(r,t) . Cl 13 ---- Établir et identifier (nommer) l'équation aux dérivées partielles [?] satisfaite par 1 7z(r,t). En déduire que la pression s'exprime sous la forme p(r,t) = po +--ça(u) , où r r----RO CE u = t-- . La fonction ç!) ne peut pas être déterminée à ce stade. Cl 14 --- Exprimer l'accélération d'une particule d'eau, a(r,t) = a(r,t) êr , en fonction de ç0(u), de sa dérivée ç0'(u) =%, de pE, CE et de r. Montrer que ça est solution de u \ R d d' l'équation différentielle, notée ci-après [1], --â---'--'î + (p(u) = pERâ f [1]. cE du du , . . " d2 5 cF . L'équation [l] admet la solution exacte (p(u) = pEcERO d 2 exp Î(z--u) dz, qu1 () Z 0 s'annule pour t = 0. Nous préfèrerons cependant adopter un traitement perturbatif du pro- blème. On admettra que, passé le transitoire, la solution particulière de [l] s'écrit sous la ! ' r ' r o \ r _ R forme d'une ser1e des der1vees successwes de g" par rapport a u [ u = t -- °) : c E 2 °° k Ro kd(k+2) e(u)=eRogo<--I) [----] du...? (u). E E] 15 -- Sous quelle(s) condition(s) peut-on choisir pour p(r,t) l'expression approchée [54] 2 ] rr _R0 1 m A--R0 p(r,t)=pO+pERO{--g(1_r )_z_ë= (t--' H [31] Cl 16 ---- On accepte la forme [$] et l'on suppose que le terme de dérivée troisième y est négligeable. Exprimer sous cette hypothèse la continuité de la pression à la surface de sépa-- ration de la bulle d'air et de l'eau. En déduire l'équation d'évolution de 5 (t), en faisant intervenir à nouveau la pulsation de Minnaert (% = 3}/ introduite à la question 10. RâPE Cl 17 ---- En quoi la forme des solutions {ça(r,t),p(r,t),v(r,t)} (ce sont toujours des oscillations à la pulsation COM ) est-elle plus satisfaisante que la solution établie à la question 10 (établie sous l'hypothèse d'incompressibilité du fluide) ? D 18 -- On considère maintenant que, dans l'équation [[A], le terme de dérivée troisième est un terme correctif ; dans ces conditions, on admettra fondé d'exprimer ce terme comme la dérivée troisième de la solution trouvée à la question 16. Etablir alors la relation 2 .-- p(rat)=po+,ÛgRâ lê"(t--r RO]+w_MÆ'(Î_r Ro] En déduire, en relation avec la question 6, l'équation d'évolution d25 d<Î dt2 +2FwM--à--t+wjflë(t) :O. D 19 ---- Discuter l'origine physique et la valeur numérique du coefficient 1". La Fig. 1 correspond à p() = 105 Pa et )/ = 1,40. Estimer, avec ces données, le rayon moyen de la bulle. --4-2 02 4 (: 010121410182022242'2 Fig. ] -- Forme du signal acoustique produit par une bulle d 'air dans l 'eau. Les abscisses sont gra-- duées en millisecondes. L'échelle verticale est en unité arbitraire (u. a. ), proportionnelle à l'amplitude du signal acoustique. (extrait de Passive acoustic bubble sizing in sparged systems, R. Menasseh et al., Mai 2000). Partie III Couplage acoustique de bulles Introduction à la partie II] On étudie (Fig. 2) deux bulles sphériques d'air plongées dans l'eau, et dont les centres sont disposés à la distance d l'un de l'autre. Le rayon d'équilibre de chaque bulle est le même et l'on s'intéresse aux oscillations de taille de ces bulles, couplées acoustiquement entre elles. On pose Rk (t) = R0 +Çk (t) avec k = 1 ou 2 et l'on suppose, ce qui est largement réalisé dans la pratique, que RO << d. On admet que la pression dans l'eau au point M et à l'instant t s'écrit lug.J '? Dr 111 hui/«99 d 1.1.r dans l'eau (51(1!15f5s par le? haut pm]vur [IP. tha'rophmw M p(M)[) : po + pl (MJ) + p2 (MJ) , dc5mmfe Je s1tm 91 acoustzqur5 proc/wi par les \,. a»ullafmnæ /brEUR@m des bu]!rêS ' _ _ , ou Pk (t) est la surpressmn acoust1que causee par l'oscillation de la bulle k. Cette relation signifie que le champ de surpression total est la superposition des champs produits par chacune des bulles, supposée isolée. On admet aussi que, pour un point Ak de la surface de la bulle k, la relation suivante, qui généralise la'rela- tion [7%] de la question 6, est applicable : P1 (Ak=t)+pz (Ak9t) +37, ëk (I) 0. Po Ro On admet enfin que, à l'instar de la relation établie à la question 18, la surpression pk (MJ) rayonnée par la bulle k en un point M situé à la distance rk de son centre satisfait la relation : 1 " 2 r ' ---R pk(M>t)=Pb--RË{-- k("k)+--aîM--ëk(uk)],ou uk=t--rk ° rk cE CE On appelle mode l'ensemble (51, 52). Le mode symétrique satisfait 51 (t) = 52 (t) et le mode antisymétrique EUR] (I) : --.£2 (t) . On suppose enfin vérifiée l'inégalité CE << a)Md . III--1 Étude théorique du couplage E] 20 ---- Établir le système suivant, en particulier exprimer le paramètre de couplage & en fonction de d et de R0 ' 51"+ 0552" + 2FwM (ëi + &) + CÙÎ451 : 52" + aël"+ 2FwM (52, + ëi) + wÏ452 : 0 Cl 21 --- Le dispositif expérimental (Fig. 3) est agencé pour produire des oscillations symé-- triques des bulles. Déterminer dans ce cas la pseudo-période des oscillations amorties; on supposera bien entendu satisfaite l'inégalité F << 103 kg.m°3) et en utilisant l'expression de la pulsation de Minnaert donnée à la question 10, calculer le (RQ )mown correspondant à fm..." . Quel est l'écart relatif entre ce rayon moyen et celui des bulles réelles ? E] 25 -- La forme des courbes et la relation, au jugé, entre leurs pentes sont--elles en accord avec les prédictions théoriques ? Cl 26 -- Les fréquences étant exprimées en kHz, le dépouillement des courbes donne, avec des notations standard » :: ' .l/.f. ..... --mndn.&mriätrimgn---. 0.52 43 .. fig . ' _. : . 2 /'" \ ...... ............. ,,,,,, .j_},__. .l_ï_â ...3...% : ,,,,,,,, ï ...")... 72_= @ 1--0,97 â,a _ 0_44 : ..... .. . .. .. _ ....... a , . .'... ............. . Analysez ces résultats. «3.40 0.00 0.04 0.08 0.12" , Cl 27 ---- On constate que les durees Fig. 4 --- Emi/alim: de nmdas ab.rci.5tre : R.;yOEf et" caractéristiques de r .: - ... r --. , 9 ' omimmee : !.{7'3 ; la__ff"tæ*(ÿïitfifætfiéj cast rm kHz. ] amortissement des "...des symétrique et antisymétrique sont quasiment identiques. Quels sont les phénomènes, non pris en compte ici, qui pourraient rendre compte de ce désaccord avec la prévision théorique '? Cl 28 -- Des travaux de NYSTUEN (1999) visent à utiliser des enregistrements acoustiques pour mesurer les débits de pluie dans l'océan, en utilisant des microphones immergés. Comment l'enregistrement acoustique des oscillations de bulles peut-il être relié à la mesure de la pluviométrie ? Fin de l'énoncé Notations, rappels -- Un système d'axes orthonormés direct Oxyz est associé à la base A A A directe (e e e ), voir Fig. page suivante. On lui associe un système de coordonnées x' y'z sphériques de centre O et d'axe Oz, noté (r,6,ça) et associé à la base locale (êr,ê9,ê(p). En coordonnées sphériques, les expressions du gradient et du laplacien d'une fonction f ne dépendant que de la distance r au centre 0 sont grad(f) =â_f;ê' : f'(r)êr Af : --1Î--c--l--(r2 ë--f--) r dr dr =f"(r)+zf'("). r Pour un vecteur ne dépendant que de r : div(W) = li(r2W(r)) r2 dr Enfin, pour tout vecteur a, rot [rot (a)] : grad [div (a)] -- Aa. Fin du problème Le dispositif historique de Minnaert.

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 Mines Physique 2 PSI 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Georges Rolland (Professeur agrégé) ; il a été relu par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet se compose de trois parties largement indépendantes et traite d'oscillations de bulles d'air dans l'eau. Mis à part le début de la première partie, l'ensemble du problème s'écarte très largement du cours. · La première partie consiste en l'établissement de l'équation des ondes sonores, raisonnement classique de cours, et à son application à la bulle d'air ; elle doit être résolue sans problème. · La deuxième partie introduit deux modèles d'oscillations de bulles et compare leurs prévisions. La sous-partie II.2, qui envisage la propagation des ondes sonores dans l'eau à vitesse finie, est plus délicate et demande une bonne assimilation des phénomènes propagatifs et de leur dépendance en temps et en espace. · La dernière partie du problème traite du couplage acoustique de deux bulles ; elle présente des questions qualitatives pour tester le sens physique (et l'imagination) du candidat. Son niveau reste abordable. L'ensemble est d'une longueur raisonnable et ne comporte pas de question très délicate ou trop calculatoire. De nombreux résultats sont fournis, ce qui aide à leur démonstration et permet de ne pas buter sur une difficulté ponctuelle. Il exige toutefois du candidat attention et rigueur pour éviter quelques pièges, parfois assez subtils. Indications Partie I 3 Dériver l'équation de conservation de la masse par rapport à t, prendre la divergence de l'équation d'Euler de façon à éliminer les termes en v. 6 Exprimer la (petite) variation de volume de la bulle en fonction de (t) et utiliser la loi de Laplace. Partie II 7 Utiliser l'hypothèse d'incompressibilité de l'eau et donc la conservation de son volume lors de la dilatation de la bulle (R - R + dR). 10 Intégrer par rapport à r l'équation obtenue à la question 8 avec les conditions initiales déterminées à la question 9. Négliger le terme du second ordre pour obtenir l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique. 13 Utiliser le formulaire fourni pour exprimer le laplacien de p en fonction de . L'équation de d'Alembert satisfaite par (t) admet deux solutions, dont une doit être rejetée. 14 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à une particule d'eau. 15 Utiliser le fait que r est voisin de R0 . 18 Exprimer en fonction de . 19 L'amortissement est faible, la période mesurée sur la figure 1 peut être assimilée à la période propre. L'enveloppe du signal, une exponentielle décroissante, permet d'accéder à . Partie III 20 Il y a ici une erreur d'énoncé, on doit lire cE M d. Ne pas oublier de prouver que l'on peut confondre u1 , u2 et t pour obtenir les équations demandées. Pour cela, comparer la longueur d'onde des ondes de pression dans l'eau à la distance séparant les deux bulles. Le chant des bulles I. Évolution de l'air contenu dans une bulle 1. Propagation du son dans l'air 1 L'équation d'Euler s'écrit en introduisant 1 et p1 : " # - - -- - v (0 + 1 ) + (- v . grad )- v = - grad (p0 + p1 ) t -- Puisque |1 | |0 | et p0 = Cte , et en négligeant le terme convectif (- v . grad )- v, du deuxième ordre, on obtient -- - v 0 = - grad (p1 ) t Pour les mêmes raisons, l'équation de conservation de la masse peut se simplifier en 1 0 div (- v)+ =0 t 2 L'évolution de l'air est isentropique car : · adiabatique : transformations trop rapides pour permettre un échange de chaleur avec le milieu extérieur ; · réversible : compressions-détentes de faible amplitude. Soit une masse m d'air, occupant un volume V. Sa masse volumique vaut = m/V, le coefficient de compressibilité isentropique s'écrit donc : 1 V (m/) (1/) 1 0 = - =- = - = V p S m p p p S S S 1 Soit, en assimilant à 0 0 = 0 p S 1 et p1 représentent respectivement les petites variations de masse volumique et de pression lors de l'évolution isentropique de l'air contenu dans la bulle, donc 0 = 1 1 0 p 1 L'air, considéré comme un gaz parfait, suit, lors de sa transformation isentropique, la loi de Laplace pV = Cte . En en prenant la différentielle logarithmique, il vient dp dV + =0 à entropie constante p V V V d'où =- p S p 1 V 1 donc 0 = - = V p S p Soit ici 0 = 1 1 = p p0 3 D'après la question 2, on a 1 = p1 0 0 . La conservation de la masse s'écrit donc p1 =0 0 div - v + 0 0 t Soit, après dérivation par rapport au temps : 2 p1 0 (div - v ) + 0 0 2 = 0 t t Les variables spatiales et temporelles sont indépendantes, on peut donc permuter l'ordre des dérivations pour obtenir - v 2 p1 0 div + 0 0 2 = 0 t t La divergence de l'équation d'Euler donne - v = -p1 0 div t Par identification de ces deux résultats, on aboutit à l'équation d'évolution de p1 : p1 - 0 0 2 p1 =0 t2 Pour des ondes planes se propageant suivant + - x, celle-ci s'écrit : 2 p1 1 2 p1 1 - = 0 avec c = x2 c2 t2 0 0 C'est une équation de d'Alembert, dont la solution générale est la superposition de - deux ondes se propageant suivant + - ux avec la célérité c (f et g sont deux fonctions arbitraires) : p1 (x, t) = f (x - c t) + g(x + c t) 4 L'application numérique donne r p0 c= = 328 m.s-1 0 La plage de longueur d'onde du domaine audio est déterminée grâce à la formule classique = c/f : 3, 3 cm < < 3, 3 m 2. Étude d'une bulle d'air 5 Une éventuelle inhomogénéité de pression dans la bulle peut provenir, soit de phénomènes statiques (augmentation de la pression avec la profondeur, tension superficielle), soit des variations dynamiques de pression dues aux ondes de pression qui se déplacent dans la bulle. · L'énoncé demande de négliger la tension superficielle et la variation de pression hydrostatique dans l'eau. A fortiori, comme la masse volumique de l'air 0 est très faible devant celle de l'eau E , l'augmentation statique de pression dans l'air est elle aussi négligeable.