Mines Physique 2 PSI 2004

Thème de l'épreuve Un indice de réfraction négatif?
Principaux outils utilisés ondes électromagnétiques dans les milieux, optique géométrique, magnétostatique
Mots clefs indice optique négatif, lois de Descartes, stigmatisme, relations de passage

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ' ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, T PE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique Il -- Filière PSI L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 7 pages. Une illustration est fournie page 8, à titre strictement documentaire. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lors que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Notations : un vecteur est noté en gras (A) ; le vecteur unitaire pour la coordonnée a est noté ua . UN INDICE DE RÉF RACTION N ÉGATIF ? Nous nous proposons d'examiner quelques implications d'un indice négatif, phéno-- mène dont on a spéculé l'existence dès 1964 et revendiqué l'observation en 2001, dans des matériaux composites réfractant la lumière dans la direction opposée à celle qui est dictée par les lois ordinaires de l'optique (Fig. 1) ! La même année, une réfutation détaillée des_théories et des expériences de quarante ans de travaux était publiée. Cette ' ' réfutation n'a pas été, à ce jour, contredite. La cinquième partie de ce problème évoque un élément (marginal) de la réfi1tation, l'argument F ig. la : rayon lumineux dans un milieu d'indice positif principal étant hors pro-- Fig. lb : rayon lumineux dans un milieu d'indice négatif g r a m m e. L e 5 "' 0 15 ' prem1ères part1es, assez proches du cours, concernent successivement la propagation des ondes planes dans un matériau homogène, le passage de la lumière du vide dans un milieu homogène et l'optique dans un << milieu négatif». La quatrième partie présente le matériau étudié. l. Ondes planes dans un matériau homogène L'espace étant repéré par le trièdre orthonormé Oxyz, on étudie la propagation d'une onde électromagnétique monochromatique plane dans un milieu isolant, neutre, linéaire et homo-- gène de permittivité diélectrique 8= 808, et de perméabilité magnétique [1 = ,uour, l'une et l'autre positives. En notation complexe standard, le champ électrique de cette onde, polari-- sée selon la direction de vecteur unitaire u,, , s'écrit @: E, |] ). exp j(w t--kz) , ce qui définit le vecteur de propagation k : kuz et la norme, EO, de ce champ ; EO est donc réel. Quelques relations d 'électromagnétisme et d'analyse vectorielle sont indiquées dans l'annexe, enfin de problème. Cl 1 ---- Déduire des équations de Maxwell l'expression du champ _B_ de cette onde et celle de la valeur moyenne temporelle de son vecteur de Poynting, (S), . Préciser l'orientation de ces deux vecteurs. Interpréter physiquement le vecteur de Poynting et comparer sa direction et son sens à ceux du vecteur de pr0pagation k. D 2 -- L'indice de réfraction d'une onde dans un milieu, noté n, est généralement défini comme le quotient de la vitesse de cette onde dans le vide, 0 , par la vitesse de la lumière dans ce milieu, 1). Établir l'équation de propagation du champ électromagnétique (équation de d'Alembert) et en déduire l'expression de n =c/1) en fonction de EUR, et de ,u,. Cet indice est, à l'évidence, une quantité positive. Cl 3 ---- Supposons maintenant que, par un artifice quelconque, on ait pu obtenir simultané-- ment £< 0 et # < 0. Reprendre l'étude des questions [1] et [2]. Comment définir alors le sens de propagation de l'onde (selon le vecteur de propagation k ou selon S) ? 2. Passage de la lumière du vide dans un matériau homogène Fig. 2 : Notations et conventions de signe pour les lois de Descartes Considérons les lois de Descartes de la réfraction, en prêtant attention à l'orientation des angles. Le plan d'équation Z = 0 sépare l'espace en deux régions ; la région Z < 0 contient de l'air, dont les propriétés électro magnétiques sont celles du vide, la région 2 > 0 contient un isolant, linéaire, isotrope et, pour le moment, « ordinaire » : 8 > 0 et ." > O. L'onde incidente, provenant de la région 2 < 0, est monochromatique plane, de fréquence angulaire &) ; son vecteur d'onde, noté ko et situé dans le plan sz, fait un angle 9 > 0 avec la verticale (Fig. 2). Le champ électrique de cette onde est noté _E, ; la notation _Ffl- : A,--expi wt+ k0x sin(9)-koZ cos (9) = A,- u,. exp i[w t+koxsin(9)--koz cos(9)] =--k0r =A' ! précise la structure du champ et les notations : seule la composante A,}. de l'amplitude A,- n'est pas nulle ; le vecteur d'onde incident est ko : --k0 sin (6) ux + ko cos (â) uZ . E] 4 -- Quelle relation géométrique doit--on avoir entre k() et A,-- ? Cl 5 -- L'onde incidente engendre d'une part une onde réfléchie, de champ électrique E,, d'amplitude A, de vecteur d'onde k, : k,,ux +kÔ.u), + k,_.uz et de fréquence angulaire co, , d'autre part une onde transmise de champ électrique E , , d'amplitude A, de vecteur d'onde k , : k,,u, + k,,.u, + k,:u: et de fréquence angulaire oe, . En considérant, pour toute valeur de x et de y, et à chaque instant, les relations de continuité en z = 0 des composantes appropriées des champs électriques (on pourra éventuellement se référer à l'annexe), établir que tous les champs ont la même fréquence angulaire &) ; établir aussi les relations k,x : km : --kOsin(6), ko}, : k,}, = k,}, =O. Cl 6 ---- Montrer que l'on retrouve ainsi les lois de Descartes pour la réfraction et la réflexion. El 7 -- On considère maintenant le Cas où 8< 0 et # < 0, tel qu'envisagé à la question [3]. Si un milieu doté de ces deux propriétés existe, on dira que ce milieu est négatif On convient que, dans la région 2 > 0, la direction de propagation de l'onde transmise est dans le sens des z croissant. Exprimer alors le vecteur k ,. On illustrera ce résultat par un schéma, en imposant 6 > 0, c'est--à--dire kOx < 0 et kOZ > 0. On représentera les vecteurs d'onde des ondes incidente et transmise, et l'on indiquera leurs directions respectives de propagation par des vecteurs unitaires si et s,. Peut-on dire, au sens de la question [2], c'est--à--dire en termes de rapport de vitesses, que l'indice du milieu est négatif? sin(9) sin(9") direction de propagation de l'énergie. Quel est, en ce sens, le signe de n ? Cl 8 ---- On définit maintenant l'indice de réfraction par n = , 9 et 9" se référant à la 3. Optique dans un milieu négatif (lame à faces parallèles) ? Cl 9 -- On considère des ondes de très courte longueur d'onde (analogues, donc, à celles de l'optique) traversant une lame transparente à faces parallèles d'épaisseur e, constituée d'un matériau négatif et placée dans l'air. Tracer, en justifiant votre construction, le trajet d'un rayon arrivant sur ce matériau sous l'incidence 9 et le traversant. Comparer au trajet dans un matériau ordinaire. Cl 10 -- On étudie maintenant les ondes issues d'un point source P situé à gauche de cette lame et la traversant (Fig. ci-contre). . EURCOS(9 9)n(l l>l) Établir la relation H 7" HP +-------------- 'in2 --sin2 ° Définitif le stigmatisme. Dans quelle mesure (c'est--à-dire à quel ordre en 9) peut--on dire que sur la lame est stigmatique pour les points P et P"? ' Sous quelle condition, portant sur 'n] , e et _H--13, l'image P' est-elle réelle '? Cl 11 ---- Montrer que lorsque euc2 : l, le stigmatisme est rigoureux. Cl 12 -- Toujours dans le cas d'une lame à faces parallèles d'indice négatif, et toujours avec £].1c2 : 1, où est située l'image d'un point à l'infini '? Quel est alors le grossissement d'un tel dispositif1 '? Une telle lame pourrait--elle servir de lentille dans un microscope ? d'objectif dans un télescope '? 4. Proposition pour un milieu négatif Aucun matériau connu n'est doté des propriétés 8 < 0 et ,a < 0. Il a été avancé que des milieux composites, constitués d'éléments bien plus petits que la longueur d'onde de tra-- vail, pourraient y parvenir. Dans ce cas, comme dans celui de la matière ordinaire, les ondes ne scruteraient pas les détails du milieu, mais seulement ses propriétés moyennes. On étudie ici quelques propriétés diélectriques d'un tel milieu ; l'aspect magnétique étant donc ignoré, on supposera que ,a : #0. Un ensemble de fils conducteurs parallèles à Oz, de lon- gueur EUR et de rayon R, est plongé dans un matériau isolant de permittivité diélectrique e(w) positive et réelle. Il forme un réseau carré illimité de côté a (Fig. 3). Fig. 3 : Structure bidimensionnelle de permittivité diélectrique négative ? On étudie la propagation dans ce milieu d'une onde électromagnétique plane homogène, de pulsation a), de longueur d'onde À et de vecteur d'onde k= ku,... Le champ électrique appliqué, Eu possède la direction de polarisation u:. Le champ électromagnétique appliqué [Ea,Ba] produit dans les fils des courants volumiques variables dans le temps ; au niveau d'un fil, ces courants produisent un champ électromagnétique [E,-,B,] . Les électrons libres, de masse me , de charge électrique -- e et de vitesse v, d'un fil donné sont soumis au champ électromagnétique total [ET : Ed +E,--, BT : Ba +B ,-] . Ces électrons I 06 1 Le grossissement G est défini par G = _, où Ot' est l'angle sous lequel on voit l'objet à travers la OC lame et DC l'angle sous lequel on le voit à l'oeil nu. subissent aussi la force de viscosité moyenne, qui modélise l'ensemble des interactions des électrons avec le réseau, Ff : --fyv , où )! est une constante positive. On note N la densité volumique des électrons dans un fil. El 13 -- Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour un électron, en négligeant les forces magnétiques devant les forces électriques. En déduire l'équation différentielle sui- vante vérifiée par la densité volumique de courant j dans un fil : d' m;â=--yj+NeïEa +E,--). Cl 14 -- Dans quelle mesure est-il légitime d'utiliser l'approximation des régimes quasi-sta-- tionnaires pour calculer, dans un fil donné, le champ électrique E ,-- défini plus haut ? Cl 15 -- Établir, par applications des propriétés de symétrie et du théorème d'Ampère, l'expression du champ magnétique B,, produit par un fil unique illimité traversé par le cou- rant [( t) , à une distance r 2 R de son axe. On négligera, dans cette question, le courant de déplacement et l'on admettra que ce champ ne dépend que de la distance r à l'axe de ce fil. [:| 16 -- Montrer que ce champ dérive du potentiel vecteur A,, = % I(t)f(r)uz et donner 7z l'expression de f (r) satisfaisant f (R): O ; on pourra utiliser les relations u, A u: = --- ue et, pour une fonction scalaire g et un vecteur constant V, rot(gV) : grad( g) /\ V. El 17 -- On admet que le potentiel vecteur A produit par tous les autres fils au niveau d'un fil donné ne varie pas sur la section de ce fil. On admet aussi que le champ électrique E,-- se confond avec le champ électromoteur d'induction. Avec une approximation acceptable, le a potentiel vecteur A peut être mis sous la forme A=%'-- (!) {ln(î)} u_._, ce qui définit la 72: &_,---J =F(R,a) fonction F ( R,a). Établir alors l'expression de E,-- en fonction de la densité de courant dans le fil, supposée uniforme j, de R et de ,uO. E] 18 -- En déduire, compte tenu de l'équation de la question [13], que tout se passe comme si l'on avait affaire à des électrons soumis au seul champ E,, mais affectés d'une masse mH différente de m, . Donner l'expression du terme « d'habillage » 5 m = m H ---- m, . Cl 19 -- Donner le nombre de fils par maille carrée de côté a dans le réseau (attention : le même fil appartient à plusieurs mailles simultanément). Établir l'expression de la densité volumique moyenne de courant dans une maille, J m , en fonction de j. d.]m 7L'NeZR2 + =------E,. dt me a2 Cl 20 ---- Établir l'équation différentielle vérifiée par J ... : mH Cl 21 ---- En représentation complexe [oc exp(ioet)] , la densité volumique moyenne de courant dans une maille s'exprime sous la forme J_...= a(w)Ê_,. Expliciter la grandeur complexe a(w) en fonction de N, e, R, y, a, a) et mH. [] 22 -- Justifier sommairement que les équations de Maxwell vérifiées par (à, &) font intervenir la densité moyenne ___I_rl . En exprimant l'équation de Maxwell--Ampère unique- ment en termes de _l_£_EUR et de _l_3_a , montrer que tout se passe comme si la permittivité diélec-- trique £(æ) était remplacée par une autre expression, SH (co) , que l'on précisera. Cl 23 ---- Dans quelle gamme de fréquences peut--on considérer e,,(w) comme une grandeur , , . . . me _ 2 7re 2R2N reelle negative ? on mtrodu1ra y = --- ("L' est le temps de relaxation) et a),, = --5---- . T a m,,£(æ) Cl 24 ---- Pour estimer la plausibilité numérique de certaines relations, on adopte : a ==..."3 m, R=10'6 m et 8(0)) =£0 pour tout ca. Le métal (hypothétique) constituant le fil est de structure cubique simple, avec une maille de 3><10'10 m. Chaque atome du métal fournit un électron libre ; enfin, #0: 47z:><10'7 H.m'1 et 80[.L0EUR2 =l . ' Vérifier la dimension et calculer la valeur numérique du terme d'habillage, 5m, introduit à la question 18. On trouvera mH z masse d'un noyau ! ° Simplifier en conséquence l'expression de ca,, (question 23) ; calculer la valeur nu- mérique de a),, et la longueur d'onde correspondante, À,, . Comment choisir a et R pour que l'effet soit observable aux fréquences les plus basses possible '? ° Quelle inégalité T doit--il Satisfaire pour que l'encadrement trouvé à la question 23 soit possible '? A titre documentaire, le temps de relaxation pour le cuivre vaut 2,7><10"14 s à la température ambiante. 5. Un embryon de réfutation Nous considérons le calcul du champ B produit par un fil de longueur finie (Fig. ci-dessous). Les relations données dans la partie C de l'annexe pourront se révéler utiles. Cl 25 -- Expliquer en quoi il est irréaliste de considérer un courant constant circulant dans un fil rectiligne de longueur finie. Qu'en est--il d'un courant constant circulant dans un fil rectiligne illimité '? E] 26 -- Vérifier que l'application sans discernement du théo-- rème d'Ampère à un élément rectiligne de fil de longueur 26 donne un champ B indépendant de EUR . En appliquant mainte-- nant la loi de Biot et Savart, calculer le champ B au point M, de coordonnées cartésiennes (O, R, 0), situé dans le plan médiateur et à la distance R du fil. Commenter le résultat. On donne: ------dZ--3- =-}%;---Ë--;+C'° : Slr;e(2a) (R2 + zz); R +z +Cte Cl 27 -- Une troisième méthode de calcul part directement des équations de Maxwell. Plaçons à chaque extrémité du fil des charges ponctuelles variables dans le temps et de signe ' ' ' ' ' I ' d oppose. La neutralité electnque est donc preservee et un courant [( t)= ------d-g- peut s'écouler [ dans le fil. Les charges produisent un champ électrique E(t), variable lui aussi dans le temps. En utilisant la relation de Maxwell-Ampère pour les champs variables et en considérant le flux du champ électrique E(t) à travers la surface plane s'appuyant sur le contour circulaire de la figure, retrouver l'expression établie à la question 26. Annexes (notations standard) A) Ondes planes Si A : AO expi ( wt-- k.r) , avec AO constant, % _...(A>=_.k.A .. ...Ï : -2- 9î(AA B_Î) . B) Équations de Maxwell, potentiels et relations constitutives (en notation complexe) rot(E)=---£-Ê <=> % E dl= --dJ --- B.ndS dl (5) dl . 8D _ 8D mt(H)--J+-âÏ @: iH.dl- JJ(S)(j+ Bt). ndS E= --grad(V)-- %? B : rot(A) .D=e...E.+£ ' .B= u..(fl+M) =eE=eo(l+xe)_lä = ufl= uo(1+x...)fl 8 #. C) Calcul de champ Loi de Biot et Savart : Flux d(p de E àtravers ds= nda : --d--g cos (9)-- 47rEUR0 r2 _ 47æ0 Angle solide correspondant à l'intérieur d'un cône de demi-angle au sommet B .Q= 2n[l--cos(fi)] . dw=E.nda= dQ. D) Relations de continuité (DZ--Dl)-HIZZÔ' (BZ--BI).nIZ=O js : "12A(H2 ""H1) "12--A (E2 _E1)= () FIN DE L'ÉPREUVE '\ \._} :\ \ \\-- 1>\« \\\\Ê " "-- -- Une structure artificielle réputée d'indice négatif: certains éléments ont la forme d 'anneau circulaire, d 'autres la forme de fil. Dans une certaine gamme defléquences, cette structure macroscopique se comporte comme si elle était continue.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 2 PSI 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (Professeur en CPGE). Il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-David Picon (École Polytechnique). Le sujet porte sur l'étude d'un matériau ayant la propriété peu commune d'avoir un indice de réfraction négatif. Il se compose de cinq parties. · Tout d'abord, dans la première partie du problème, on étudie la propagation d'ondes planes dans un milieu diélectrique et magnétique. On définit alors, de manière très générale, la notion d'indice de réfraction négatif. · Dans une deuxième partie, on redémontre les lois de Descartes en utilisant les relations de passage à l'interface entre deux milieux différents. On peut alors affiner la définition d'un milieu d'indice négatif. Ces deux parties sont proches du cours d'électromagnétisme même si la notion d'indice négatif a pu dérouter certains candidats. · On étudie ensuite géométriquement cette notion dans une troisième partie, à l'aide notamment de connaissances acquises en première année. On vérifie ainsi que le candidat a assimilé les bases de l'optique géométrique et qu'il est capable de les appliquer dans un cadre original. · Dans la quatrième partie, un modèle microscopique est proposé pour justifier la définition établie dans la partie I. Une bonne connaissance du cours d'électromagnétisme est alors nécessaire. · Une critique de ce modèle est suggérée dans la dernière partie, qui utilise les notions d'électromagnétisme étudiées dans le cours de première année. Ce sujet est assez long mais la difficulté principale réside dans la compréhension de l'énoncé, qui est parfois obscur. Même si l'ensemble peut paraître déroutant, de nombreuses questions sont très abordables si l'on prend soin de bien lire le texte. Indications Partie I 3 Se rappeler qu'on définit le rayon lumineux à l'aide du vecteur de Poynting. Partie II 5 Utiliser la continuité de la composante tangentielle du champ électrique. - - 8 Utiliser le fait que h S i et k sont opposés dans le milieu négatif. Partie III 9 Regarder la figure de la première page de l'énoncé. 10 Faire attention au signe des valeurs algébriques. 12 Faire un schéma. Partie IV 13 Se rappeler la définition de - = -Ne- v. - . 15 Montrer que B est colinéaire à - u - - 16 Utiliser l'équation de Maxwell-flux div B = 0 . 23 Considérer d'abord que la grandeur H est réelle puis qu'elle est négative. 24 Calculer la densité d'électrons à l'aide du paramètre de maille du réseau cubique. Partie V 26 Considérer un élément infinitésimal de fil, de longueur dz. 27 Calculer le champ créé par la charge q(t) en utilisant la notion d'angle solide rappelée en annexe. Utiliser alors l'équation intégrale de Maxwell-Ampère (il y a une erreur dans l'annexe). I. Ondes planes dans un matériau homogène 1 L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit - - B - rot E = - t - - En convention e i ( t- k · r ) , on a alors, comme il l'est rappelé dans l'annexe, f = i f t - - = -i k - - - -i k E = -i B L'équation s'écrit alors On en déduit et - - - k E k E0 i (t-kz) - B = =- e ux La valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting est - - - - - 1 h S it = h E H it = Re E H 2 - - B H = µ Or, et - k E0 i (t-kz) - H =- e u x µ - , Il vient alors, avec k = k - u z - E0 2 - h S it = k 2µ Le vecteur de Poynting représente le vecteur densité de flux d'énergie électromagnétique. Il définit le trajet du rayon lumineux de l'onde électromagnétique associée. Avec µ > 0, la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting est de sens et de - direction identiques à ceux de k . 2 L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit, en l'absence de courants de conduction, - - E - B rot = µ t Dérivons cette équation par rapport au temps. Il vient alors ! - - 2 E - B rot = µ 2 t t On a de plus, en utilisant l'équation de Maxwell-Faraday, ! - - B - - - rot = - rot (rot E ) t d'où - - 2 E - - - rot (rot E ) = µ 2 t En l'absence de charges libres, l'équation de Maxwell-Gauss implique - - div D = 0 d'où div E = 0 - -- - - - - - - rot (rot E ) = E - grad (div E ) = E Il vient Finalement, l'équation de propagation s'écrit - - - 2 E = 0 E - µ 2 t La célérité v de l'onde dans le milieu est telle que : - - - 1 2 E E - 2 = 0 2 v t Par identification, 1 v= µ D'autre part, dans le vide, la célérité de l'onde est 1 c= µ0 0 c On déduit de ces deux équations l'indice du matériau défini par n = , v µ c n= = v µ0 0 d'où n= µr r 3 Les relations démontrées dans les deux questions précédentes ne dépendent pas du signe de et µ et restent donc valables. En particulier, l'équation de d'Alembert et l'expression de l'indice de réfraction du milieu sont inchangées. En revanche, si µ est - - négatif, la relation exprimant h S it en fonction de k montre que ces deux vecteurs sont opposés. Le sens de propagation de l'onde est défini par le sens de propagation de l'énergie, c'est-à-dire du vecteur de Poynting. Celui-ci définit le rayon lumineux associé à l'onde électromagnétique. Habituellement, le sens de propagation de l'onde est défini par le vecteur - d'onde k . Ici, il faut comprendre « sens de propagation du rayon lumineux ». Le fait que le rayon lumineux soit opposé au vecteur d'onde est exceptionnel et est à l'origine de l'indice optique négatif. Cette remarque est essentielle pour la compréhension de la suite du problème.