Mines Physique 2 PSI 2003

Thème de l'épreuve Production et stockage d'hologrammes
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, diffusion
Mots clefs holographie, cristal photoréfractif, diffusion de particules, loi de Boltzmann

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUMCATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, INT, T PE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique Il -- Filière PSI L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de lafilière PSI, comporte 7 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lors- que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. . Convention typographique : un vecteur est noté en gras, par exemple A ; le vecteur unitaire pour la coordonnée et est noté ua . PRODUCTION ET STOCKAGE D'HOLOGRAMMES L'addition cohérente de deux ondes optiques produit une figure d'interférence, dont l'enregistrement est nommé hologramme. L'holographîe consiste en l'étude de la production et de l'utilisation d'hologrammes; elle diffère de l'étude classique d'interférences par la complexité des ondes qui interférent et celle du dispositif expérimental. Un hologramme peut produire l'image tridimensionnelle d'un objet. L'utilisation d'hologrammes est largement répandue à des fins publicitaires, éducatives, techniques ou artistiques. Les deux parties de ce problème sont indépendantes entre elles ; la partie I concerne la pro-- duction et la restitution d'un certain type d'hologrammes, dits épais, la partie Il s'intéresse à une méthode d'enregistrement d'hologramme s'appuyant sur l'effet photoréfiactif, caractérisé plus bas. Toutes les longueurs d'onde dont il sera question sont les longueurs d'onde dans le vide. Partie I : Holagrammes épais Pour former l'hologramme d'un objet, on utilise (Fig. 1) une onde lumineuse plane monochro-- matique, de pulsation a), de longueur d'onde «éf, qUe l'on sépare en deux faisceaux. L'un des faisceaux sert d'onde de référence ; l'autre faisceau éclaire un objet, et subit simultanément réflexion, réfraction et diffusion. L'hologramme est produit en faisant interférer sur une plaque photosensible l'onde de référence avec l'onde ayant éclairé l'objet. L'utilisation ultérieure d'un faisceau de lecture (Fig. 2) permettra d'obtenir, en transmission dans ce problème, une onde non plane, de pulsation a), caractéristique de l'objet. On note g(M,t)= A0bj (M )exp[i(wt-- w(M))] l'amplitude complexe au point M et à l'instant t de l'onde issue de l'objet. Dans le trièdre orthonormé Oxyz, l'onde de référence, d'amplitude Aoe'f, de phase nulle au point O et à l'instant t = O, est caractérisée par son vecteur d'onde km,}, : n;f (ux sin ça+ uZ cosa). On la note A,éf exp[i(æt-- k,éf .OM)] et l'on suppose, dans tout le problème, l'amplitude A,éf de l'onde de référence très supérieure à celle de l'onde issue A _ de l'objet:--"ï=--°ËL, |m|<<1. 2 A réf L'intensité [(M) au point M d'une onde d'amplitude complexe Q(M, t) sera conventionnel- lement définie par le carré du module : I (M ): g(M, t); *(M,t)= | 5(M, t)l2. Faisceau issu de l'objet Plaque photosensible Plaque photosensible, après enregistrement ...... ?...--.) F ' . ' ' lg ] Enregistrement d un hologramme Fig. 2 Lecture en transmission d 'un hologramme On établit aisément (et l'on admettra) l'expression suivante de l'intensité lumineuse [(M) au point M de la plaque photosensible : [(M ): 1...(M)+ 1,5 + 2/1 (,,,, (M )A,éf cos [w(M )- k,é,.om] [1] On suppose dans tout le problème que l'objet dont on forme l'hologramme est ponctuel et situé à l'infini sur l'axe Oz (Fig. 1); il génère alors une onde plane de vecteur d'onde k ob ]. = k , u d'amplitude Aobj << Aréf, en phase avec l'onde de référence au point 0. La ref 2' phase de cette onde plane est donc: l/I(M)= w(x, y ,z ): k0bj.OM . On admettra, sans chercher à l'établir, que la relation [1] donne, à l'ordre le plus bas en m : I(M)= 10[1 + m eos(OM.Ak)], [2] où Ak= kobj ---- kréf. La figure d'interférence est enregistrée sur une plaque photosensible X X parallélépipédique (c'est l'hologramme !). Ce parallélépipède est défini par --îS x S --2--, Y Y e e ---55 ys--â- et ---2- 5 2 S -2-. On suppose e<< X et e<< Y, inégalités dont on ne man-- quera pas de tirer les conséquences pratiques, en termes de diffraction. La mémoire hologra-- phique est située dans la zone de recouvrement du faisceau de référence et du faisceau issu de l'objet. En dehors de la mémoire holographique, les ondes se pr0pagent dans l'air, assimilé au % vide. On rappelle la relation :J " exp( 2i7z%Ë) dx : u sinc(£î£) . "z Enregistrement et lecture d'un seul hologramme. E] 1 --- L'onde de référence et l'onde issue de l'objet (en phase au point 0) sont de même longueur d'onde «;éf, et de vecteurs d'onde respectifs k,éf(sincp u, + comp u,) et kréf u,. Déduire de la relation [1] que l'intensité lumineuse à laquelle le point M(x, y, z) de la mémoire holographique est soumis lors de l'enregistrement s'écrit : I(M)= [, 1+ mcos{2kw x [xcos(--Ë) --- zsin(--Ë) ]>< sin(-ËH [3] Cl 2 -- La mémoire holograquue est éclairée, comme indiqué Fig. 2. L'élément de volume dt entourant un point M de cet objet émet dans ces conditions une onde difl'ractée en phase avec l'onde de lecture en M, d'amplitude dA(M)= KA," [a + bl (M)]dr, où K, a et b sont des constantes positives réelles et A..., représente l'amplitude de l'onde de lecture. L'amplitude diffractée à l'infini dans la direction de vecteur unitaire u., = sin9d ux + cos &; uz (on néglige donc la diffraction selon Oy) s'écrit : A(m)= jflMemmdA(M).exp{--z'A(M,ud>} où A(M, u.,) représente le déphasage de l'onde émise en M dans la direction tu., par rapport à l'onde émise dans la même direction par le point 0. La longueur d'onde de lecture est 2... (k1ec = 27t/Â...) et son vecteur directeur unitaire est u,ec : sin(ü,ec )ux + cos (Û,ec)uz. Exprimer A(M, u.,) en fonction de À..., et des vecteurs u.... u., et OM, puis en fonction de 9... Bd, X..., et des coordonnées (x, y, 2) du point M. Cl 3 -- L'amplitude totale A( élec, &) de l'onde diffractée à l'infini par la mémoire hologra-- phique dans la direction ud s'exprirne en termes des trois intégrales al , a2 et a3 : Posons A sind, : sin(9d )-- sin(9,,,) et A cosd,l : cos (Hd )-- cos (0,86) X Y e al : &dxfl dy Jîdz exp {iklec(Asind',x+ Acosd,,z)} 2 2 2 . A . , A : XY esmc[nX smd ' } x smc[7æ cosd1 } et, de manière similaire : ( (a ça\ \ - 25in-- cos-- 25in --- Asm Acos d'--------------2 2J xsinc 7re '" 2J a2 =(...)= XYesinc 7rX lec 613 : [[ dXdde CXp{i [(k,,,Asinw + 2kSifl£ COS £) x + (klecAcosdJ--' 2kSil'l 2 2 ) Zî'} 2 2 (Asin 2sin£ cos--EUR") {Acos 2sin22\ =XYesinc d'+----2--J-- xsinc 75e d'------2' Â'lec Âref ÂIec Âref Déterminer en fonction de a,, la valeur de (% pour laquelle le terme indépendant de m dans A(B,ec ,Ûd) est maximal. Estimer la largeur angulaire du pic principal de diffraction pour ce terme. Que dire de ce terme en dehors de son maximum principal ? Cl 4 -- Montrer que la contribution à A(EUR,ec ,Hd) des deux termes dépendant de m ne prend de valeurs notables, (compte tenu des ordres de grandeur de e, X, 2... et À,éf) que si les angles &, _ 6lec et ça, tous supposés petits (devant 7[, par exemple), sont reliés par les relations, res-- pectivement : \ ( \ _(&£ __Qa iÛIec--il+ÂrIéfJ 2, Ûd_L ÀrIe'f} 2} ( Â'Iec\ ( Â1ec\ lama--rfi 9d=v+z;;r'âl Cl 5 --Quel est le nombre de pics principaux de diffraction observés lorsque l'angle élec varie '? Cl 6 --Dans cette question et dans la suivante, on suppose Â,ec : À,ef . Vérifier que l'on observe, pour 6lec = ço, un pic de diffraction dans la direction (% == 0, correspondant à la reconstitution de l'image de l'objet dont on enregistre l'hologramme, et d'intensité propor-- tionnelle à m2. D 7 ---- On considère le terme associé à cette reconstitution de l'image. C'est un produit de deux facteurs. Montrer que, lorsque les angles sont petits, l'un des facteurs de ce terme est beaucoup plus sensible aux variations de Â1ec et Q,, que l'autre. Dans le cas où 6lec # ça, déterminer la plus petite valeur absolue lô'l de l'écart 5 = EUR," ---- ça pour laquelle ce terme s'amule dans la direction Bd = O. Remarquer que, pour une plaque donnée, |5 | ne dépend que de Âref . Deux types d'enregistrement d 'hologrammes multiples Lorsque plusieurs hologrammes sont enregistrés dans la même mémoire, on admettra que les résultats précédents sont valables pour chacun d'entre eux. Cl 8 -- Dans un premier type d'enregistrement, la longueur d'onde Â,,ef de l'onde de référence est identique pour les deux hologrammes et ça prend respectivement les valeurs (01 et @, petites devant rc. L'onde de lecture est caractérisée par film = «éf et 6iec : (01, de manière à reconstituer l'image associée à l'hologramme 1 dans la direction (% = 0. La reconstitution est dite correcte si |9,,, -- (p;| > 2| 5 |. Quelle est la signification physique de cette inégalité '? Cl 9 --- Dans un second type d'enregistrement, l'angle de référence ça est identique pour les deux hologrammes et les longueurs d'onde prennent, respectivement, les valeurs Â. et &; . L'onde de lecture est caractérisée par Â... = il et 9,,, : gp . Montrer, en vous inspirant de la question 8, que la reconstitution de l'image associée à l'hologramme 1 peut être dite correcte si il," -- ÂQ| est supérieur à un certain seuil, dont on donnera l'expression. Calculer le nombre d'hologrammes enregistrables dans une plage de longueurs d'onde A autour d'une valeur centrale 2.0, pour 2.0 = 500 nm, AÀ : 10 nm, X: 2 cm et (00 = 0,1. rad. Partie II : Stockage d 'hologrammes Cette partie, indépendante de la précédente, étudie une méthode d'enregistrement d'un holo-- gramme. On se limite à des phénomènes unidimensionnels selon l'axe Ox. L'intensité lumi- neuse éclairant le milieu lors de l'enregistrement s'exprime par I (x)= I 0[1 + mcos(kx)} avec 111 EUR [O,l[. L'information sur l'objet holographié est contenue dans le terme de modulation spatiale [om cos(kx). Stockage dans un cristal photoréfractif Un cristal photoréfractif est un cristal transparent dont l'indice est _ modifiable par éclairement. Il est modélisé par une matrice de per- mittivité diélectrique statique EUR, dans laquelle sont présents deux types de sites, l'un et l'autre fixes dans le réseau : Neutre DO ]0nisé D+ . Des sites donneurs d'électrons notés (D), qui peuvent chacun s'ioniser en libérant un électron, pour former un site chargé (DJ"). On note ND la densité particulaire totale de ces sites et on + la suppose uniforme et constante. On note N ;; (x, t) la densité particulaire de sites ionisés (D") à l'abscisse x et à l'instant t. Avec les notations du tableau ci-dessous, N D = N 3 + N 5. 0 - ' -- . , . Neutre A Iomse A 0 Des srtes accepteurs, notes (A), qu1 peuvent chacun capter un électron pour former un site chargé (A"). La densité particulaire totale de ces sites, notée N A, est uniforme et constante. Dans les conditions de cette étude, tous les accepteurs sont ionisés : NA : NZ. On suppose enfin ND très supérieur aux autres densités particulaires, en particulier N D % N 3 . Le courant électrique dans le cristal est uniquement dû aux électrons libérés par l'ionisation des don-- neurs. La densité particulaire d'électrons libres à l'abscisse x et à l'instant t est notée N,(x, t). Ianisation des donneurs : deux mécanismes L'ionisation des donneurs résulte du transfert spontané des électrons en sites (D) vers les sites (A) ; l'inégalité N D >> N A permet donc l'ionisation totale des accepteurs. L'ionisation de sites D se produit aussi lorsque le cristal est éclairé par une onde lumineuse d'intensité [(x). A l'instant t et à l'abscisse x, le nombre de sites (D) ionisés par unité de temps et de volume est donc, pour ce mécanisme, a I(x)[ND --N5 (x,t)]z a1(x)VD , où a est une constante positive. Neutralisatîon des donneurs , - . o - - , + . Les electrons libres peuvent se recombmer avec les srtes 10mses (D ) et les neutraliser. Le nombre de recombinaisons par unité de temps et de volume est flNB (x,t)N,(x,t), où ,B est une autre constante caractéristique du cristal. On a donc, pour t > 0 : î£ : al(xXND _ N5(x,t)]-- ,BNË (x,t)Ne (x,t). Avant irradiation, N ;; (x,0)= N A et N,,(x,0)= 0 . Cl 10 ---- Justifier que, immédiatement après l'irradiation, l'ionisation des sites (D) est plus importante dans les zones d'éclairement maximal. Rappeler la loi de F ick pour la diffusion particulaire (on notera D la constante qui intervient dans cette loi). Préciser la direction des courants électriques de difi'usion qui résultent de l'éclairement. Cl 11 -- Quel est, dans les régions d'éclairement maximal, le signe de la densité volumique de charge associée à la diffusion des électrons libres ? Même question pour les zones d'éclairement minimal. En déduire la direction du champ électrique EC dans une région située entre une zone d'éclairement maximal et une zone d'éclairement minimal. Cl 12 -- Quelle est l'influence de ce champ électrique sur les mouvements des électrons libres dans le cristal ? D 13 --- On pose EC = E,,(x, t) u, et on note je la densité de courant électrique dû aux mou-- vements des électrons libres. Quelle est l'expression de ôEJÔx en fonction de a, e, N,, N A % N ,} ) et N 5 '? Exprimer la conservation de la charge (équation de continuité) reliant je aux densités particulaires N,, N A et N 5. Justifier, pour un cristal électriquement isolé, la nullité de je en régime permanent. Cl 14 ---- Le flux d'électrons est la somme du flux diffusif jdif, qui suit la loi de Pick, et du flux j dé, , dû au champ électrique EC dérivant du potentiel V(x). À l'équilibre thermodynamique, la V x densité des électrons est donnée par la loi de Boltzmann N, (x): NO eXp('e--k-LT--)J , où kB B représente la constante de Boltzmann, e la charge élémentaire (e > O) et T la température. Quelle relation en résulte--t--il entre N, (x), dN,/dx et Ec(x) ? En déduire l'expression de j &, (x) à l'équilibre en fonction de N,,(x) et Ec(x). La vitesse de dérive des électrons à l'équilibre s'écrivant Vdé, : --pEC, déterminer ,u en fonction de e, D, kB et T ; c'est la rela-- tion d'Einstein. CI 15 ---- Admettant que la relation d'Einstein reste applicable en régime lentement variable (même si N e (x) n'est plus celui qui est donné par la loi de Boltzmann), exprimer la densité de courant électrique total en présence du champ électrique EC . D 16 -- On suppose à partir d'ici qu'un état stationnaire est atteint. Déduire des questions précédentes les équations suivantes modélisant le comportement du milieu en régime per-- manent : a1(x)ND--flNs(xWe(x)=0 l4] _ddîc =î[NE(X)--NA --Ne(x)] [51 d N -,--;; = -ijNe(x)a(x) ... CI 17 -- L'intensité lumineuse dans le cristal est ici uniforme (m = 0). Que vaut alors le champ électrique E,. ? On cherche en régime permanent la solution uniforme des équations précé-- dentes. Établir l'équation vérifiée par Ne en fonction de (1, £, 10, ND et NA. Exprimer ensuite N., dans l'hypothèse où Ne << N A. Quelle est l'inégalité relative à 10 équivalente à cette hypo-- thèse '? D 18 --- Le taux de modulation m est supposé ici non nul, et petit devant l. Le terme de modu- lation spatiale de l'intensité apparaît alors comme une petite perturbation du terme principal ; on pose Ne(x)= NO + AN cos (loc +çî), où No est la valeur de N., quand m = 0 et q) un dépha-- AN ' sage. Les grandeurs m et Î seront considérées comme des infiniment petits d'ordre 1. A 0 partir des relations [S] et [6], déterminer l'expression de E.,(x) puis de N 5 (x) à l'ordre 1. En reportant l'expression de N ;5 dans la relation [4], et en ne conservant que les termes d'ordre au plus égal à 1, montrer que l'on retrouve pour NO l'équation vérifiée par N, à la question 17, ainsi qu'une équation permettant de déterminer à et AN. Dans le cas où No << N A, ,ek T exprimer AN puis le champ Ec(x) en fonction de x, m, kB, T, e, k et EUR D = e2 ; . A D 19 -- Le champ électrique EC (x) présent dans le matériau entraîne une variation locale de 3 l'indice de réfraction An(x)= ---r£;--r-Ec(x), proportionnelle à Ec(x); no représente l'indice (uniforme) du milieu en l'absence du champ et r une constante caractéristique du milieu. Établir l'expression de la variation d'indice An(x) en fonction de m, kB, T, e, k, K D et r. La modulation An(x) d'indice du milieu qui apparaît lors de l'illumination par l'intensité [(x) reproduit-elle la forme exacte de la modulation mio cos (kx) de [(x) ? Que se passerait--il si 1 (x) n'était pas purement harmonique ? Cl 20 -- Résumer l'ensemble de l'étude précédente en discutant la notion, de mémoire que l'on peut attacher à ce système. Comment peut--on effacer les hologrammes enregistrés dans ce milieu photoréfractif ? La lecture d'un hologramme est--elle susceptible de l'effacer ? D 21 -- Donner l'ordre de grandeur de Ain pour le titanate de baryum BaTiO3, où e,, =1,7 um, r =..."9 m.V", ..., = 2,5 et T: 300 K. L'éclairement est caractérisé par m = 0,1 et 21t/k : 3 pm. Charge électrique élémentaire : e = 1,6.10'19 (: ; kB = 1,38.10"23 J.K"'. FIN DE L'ÉPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 2 PSI 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Éric Armengaud (ENS Ulm) ; il a été relu par Stanislas Antczak (Professeur agrégé), Cécile Ursini (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (ENS Lyon). Ce problème traite de quelques aspects de l'holographie. Il s'agit d'une technique de production d'images en « trois dimensions », basée sur des phénomènes d'interférences et utilisant le laser. Il est composé de deux parties indépendantes. · La première partie étudie le principe de l'enregistrement et de la lecture d'un hologramme épais. Il faut utiliser ses connaissances en optique ondulatoire : interférences, diffraction, notation complexe, fonction sinus cardinal, etc. En fait, l'énoncé donne les résultats des calculs et demande plutôt de les exploiter. Dans ces conditions, il est nécessaire de bien lire et comprendre le texte, un peu long, qui précède les questions. · La seconde partie prend prétexte de l'étude du stockage d'hologrammes dans un cristal photoréfractif pour traiter de diffusion de matière, couplée à de l'électrostatique. Les questions de cette partie sont assez éloignées du cours. La longueur du problème est raisonnable, mais aucune des deux parties n'est vraiment simple. En particulier, les questions de la première partie, souvent semiqualitatives, peuvent paraître déroutantes. Signalons que les résultats donnés par l'énoncé dans la première partie sont partiellement démontrés dans le second problème de physique des Mines 2003 de la filière PC. Indications Partie I 1 Utiliser directement la relation [2] plutôt que la relation [1]. 3 À quelle intégrale ai correspond le terme indépendant de m ? 4 Le produit de deux sinus cardinaux est non négligeable si l'on est simultanément au maximum de ces deux fonctions. 6 Expliquer pourquoi l'amplitude du pic de diffraction est proportionnelle à m. 7 Le facteur le plus sensible aux variations de lec et lec est la fonction sinus cardinal la plus « piquée ». 8 Il ne faut pas que deux pics de diffraction se superposent. Partie II 10 Ne pas confondre courants électriques et courants de matière. La loi de Fick concerne un courant de matière. 11 Faire un schéma avec le courant de diffusion, les charges qui en résultent et le - champ électrique E c . 13 Utiliser une équation de Maxwell. Quelle est la définition du régime permanent ? 14 Dériver la loi de Boltzmann par rapport à la variable x. Pour obtenir - , utiliser dér le fait que le courant total est nul en régime permanent. 18 Il s'agit d'exploiter méthodiquement les relations [6], [5] puis [4], en éliminant systématiquement les termes d'ordre supérieur à 1. I. Hologrammes épais 1 Partons de la relation [2] à partir de la relation [1] : -- - I(M) = I0 [1 + m cos(OM · k)] - - Explicitons le produit scalaire. Comme k = k ref (sin - u x + (cos - 1) uz ), on a : -- - OM · k = k ref (x sin + z (cos - 1)) = 2 k ref sin x cos - z sin 2 2 2 Rappelons les formules trigonométriques utilisées ici, avec = 2 : sin 2 = 2 sin cos 2 sin2 = 1 - cos 2 On en tire la formule demandée : n h io I(M) = I0 1 + m cos 2 k ref x cos - z sin sin 2 2 2 [3] 2 On calcule le déphasage grâce à = 2 /lec , où est la différence de marche entre le rayon issu de M et celui issu de O. x On lit sur la figure : z = OM1 + OM2 = OM (sin 1 + sin 2 ) M ! k lec 2 1 M1 O M2 d d lec soit puis Le sinus des angles 1 et 2 est directement relié au -- produit scalaire entre OM et les vecteurs unitaires correspondants aux rayons incident et émergent. On a donc -- - = OM · (- u - u ) ! k d = ) = (M, - u d lec -- 2 - -- (u u lec ) · OM d lec 2 x (sin d - sin lec ) + z (cos d - cos lec ) lec On peut aussi écrire directement la relation : - -- - = ( k lec - k d ) · OM pour retrouver les expressions encadrées. 3 Afin de comprendre d'où viennent les trois intégrales a1 , a2 et a3 , on part de l'expression pour l'amplitude diffractée à l'infini en développant dA(M). On a ainsi Z - ) = A(- u KAlec d e-i(M,ud) (a + b I0 + bm I0 cos(f ())) d M Ici, f () est l'argument du cosinus dans la relation [3] de la première question. En développant le cosinus en exponentielles, on voit que l'on peut ainsi séparer trois termes. + · Les termes en bm I0 e-if () dépendent explicitement de . Ils donnent les intégrales a2 et a3 . · Le terme restant, en (a + b I0 ), ne dépend pas de . Il donne l'intégrale a1 . Le terme indépendant de m est aussi le terme en (a + b I0 ). Il s'agit donc de l'intégrale a1 . Cette intégrale, une fois calculée, donne d'après l'énoncé le produit de deux fonctions sinus cardinal. sinc u u 0 La fonction sinc(u) = sin(u)/u présente un maximum piqué en u = 0. Elle s'annule pour la première fois en |u| = , on peut donc dire que sa largeur angulaire vaut en ordre de grandeur. Dans notre cas, la variable générique u est directement reliée à l'angle de diffusion d . On décompose a1 : · La fonction est piquée en sin d,l sin d,l sinc X lec = 0, soit sin d = sin lec et a une largeur angulaire obtenue en écrivant que l'argument du sinus cardinal vaut , ce qui fait en ordre de grandeur lec /X. · La fonction cos d,l sinc e lec est, de même, piquée pour cos d = cos lec et a une largeur angulaire de l'ordre de grandeur de lec /e. Finalement, on voit que l'on a bien un pic principal de diffraction centré en d = lec . La largeur de ce pic est celle de la fonction sinus cardinal dont la largeur angulaire est la plus faible. Comme e X, la largeur du pic est donc lec /X. En dehors de ce maximum principal, il y a des extremums secondaires très faibles que l'on ne prend pas en compte. En effet, le premier extremum secondaire de la fonction sinc(u) est obtenu pour u = 3/2 et on a alors |sinc (3/2)| 0, 2. En outre, la grandeur physiquement mesurable est l'intensité, égale au carré de l'amplitude, ce qui diminue encore la valeur relative des extremums secondaires.