Mines Physique 2 PSI 2002

Thème de l'épreuve Fonctionnement et commande d'un moteur d'une rame de TGV
Principaux outils utilisés mécanique du solide, électromagnétisme, électrocinétique, asservissement
Mots clefs moteur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                          

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


J. 2161 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2002 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique Il -- Filière PSI L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 9 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à pren-- dre. ' 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même S'il n'a pas été démontré. . Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. MOTEUR SYNCHRONE AUTOPILOTÉ Ce problème concerne la traction électrique sur les locomotives. Parmi les procédés utilisés, figurent les chaînes de traction à moteur à courant continu, à moteur asynchrone et à moteur synchrone autopiloté. Pour les locomotives de puissance, le choix de la SNCF pour le TGV Atlantique est la chaîne de traction à moteurs synchrones autopilotés étudiés dans ce pro- blème. Préliminaires : ordres de grandeur La masse d'une rame du TGV Atlantique (deux motrices et dix voitures remorques) est m = 700 t . La figure 1 représente un exemple de courbes donnant les variations suivant la vitesse, notée v, d'une part de la résultante B, des actions extérieures s'exerçant sur la rame (en pointillés), d'autre part de la résultante F des actions exercées par l'ensemble des mo-- teurs (en trait plein). On rappelle que 1 daN : 10 N. 1. La résultante extérieure se modélise classiquement par Fe = A + Bv+Cv2 O ù (A, B et C) sont trois constantes ; proposer une interprétation physique pour chacun des ter- mes de cette loi. Page 1/9 Tournez la page S.V.P. Physique Il -- Filière PSI -- 2002 2. Déterminer graphiquement la vitesse de la rame ainsi que la résultante de traction en ré-- gime permanent. Discuter la stabilité de ce régime. F(daN) 3. Déterminer numériquement, pour " "" Î '" " J ce régime, la puissance développée par _] ------ -------+------------------ l'ensemble des moteurs. , -------- [ --t--------ä 4. En envisageant le cas où cette _ F, résultante ... _l , ----l traction est assurée par huit moteurs à detra°"°Ï courant continu, alimentés par une . i ' tension de 1500 V, estimer l'ordre de 15000 _ Fe, résultante _ --Î7WT"_' grandeur du courant circulant dans le 10000 des actions extérieures L_\_%<_--Î__fii rotor d'un moteur. 5. Quels problèmes peut alors poser ' ce type de dispositif? 00 50 100 150 200 250 300 k hAl) Figure 1 v( "" On analyse dans ce qui suit le cas où la traction électrique est assurée par des moteurs synchrones. La première partie est consacrée à l'étude du moteur, la seconde à l'étude de sa commande. Première partie : Le moteur synchrone Le principe du moteur synchrone repose sur l'interaction entre un champ magnétique << tournant » produit par des courants circulant dans les circuits statoriques, et un champ as- socié aux courants circulant dans les bobinages du rotor. Étude du stator Le stator porte trois bobinages identiques, alimentés en courant triphasé. Chacun d'eux est assimilé à une spire plate, parcourue par le courant ik (l) avec k EUR {1,2,3}. L'alimentation triphasée est caractérisée par l'ensemble des courants (Fig. 2) : il(t)= Icos(oet), i,(t)=lcos aut--2?" , i_,(t)= [cos wt--j4--3£ . Les parties des spires parallèles à l'axe (0,2), positionnées dans des encoches situées à l'intérieur du stator, se referment en formant des cadres rectangulaires. On note ñk la normale au cadre et ik(t) le courant algébrique (orientation sur la fl- gure) associés à la spire k. Le stator et le rotor, tous deux réalisés dans un matériau magnétique linéaire, sont séparés par une zone d'air, d'épaisseur EUR, nommée entre-- fer. La faible valeur de EUR permet de confondre le rayon intérieur du stator et le rayon extérieur du rotor, notés R l'un et l'autre. Figure 2 La perméabilité relative du matériau magnétique, ,ur, sera considérée comme infinie ; celle de l'air sera prise égale à 1 . Page 2/9 Physique Il -- Filière PSI ---- 2002 6. Les effets de bord suivant la direction (0,2) sont négligés. Justifie le fait que le champ B est radial dans l'entrefer. L'espace est rapporté au repère cylindrique (ür,ü9 , ü,) défini sur la figure 3 ; les angles sont repérés à partir du _. vecteur ñ,. On désigne par B, : B(9,l) u,, le champ dans l'entrefer ; on néglige sa variation en fonction de r sur l'épaisseur e de l'entrefer. Le théorème d'Ampère dans _) Figure 3 un milieu magnétique s'écrit É£BI -dl =i, où (C) dési-- gne un contour fermé orienté et i la somme des courants algébriques libres traversant ce contour. Dans le cas où le contour traverse plusieurs mi- lieux, on admet que la circulation de H sur les portions situées dans les milieux de haute perméabilité relative est négligeable devant celle qui est calculée sur les portions situées dans l'air. 7. À l'aide du contour (C) défini sur la figure 4, établir que le champ B(9,t) créé par le courant il(t), satisfait la relation B01 ----B1(9,t) = fl(9) il(t), où la fonction f,(9) est repré-- sentée sur la figure 5 et où B... est une constante dont on précisera la signification. Détermi- ner la constante [3 (Fig. 5). 3_7t 271: 2 2 Figure 5 8. De même, représenter les graphes des fonctions f,_(9) et f,(9) associées respective- mentaux champs B,(9,t) et l%(9,t) produits par les courants i2(t) et i3(t), tels que BOk ---- Bk(9,t) = fk(9) ik(t). Montrer qu'il existe une relation simple entre f2 (EUR) et ]Ï(6+ %], puis entre f_,(6) et f1{9--%) ,/ 9. Les fonctions fk sont périodiques et admettent un développement en série de Fourier, dont on ne retiendra que développement limité au premier harmonique. Exprimer fl(9). On donne: ] 27r f, (a) z -2; 0 f, (a) d9+ F-- {; fi(9)cos(9) de) cos(9) + F-- {: f, (9)sin(e) d9] sin(9) 7ï 7ï Page 3/9 Tournez la page S.V.P. Physique Il -- Filière PSI -- 2002 10. Exprimer le flux du champ magnétique Ë(9,t) créé par le courant i] (t) à travers la sur-- face fermée d'un cylindre d'axe (0,2), de base circulaire de rayon r et de hauteur h , la partie latérale étant située dans l'entrefer (R < r < R + 6 z R). 11. Rappeler l'équation de Maxwell associée au flux de Ë. Que peut--on dire pour le flux calculé précédemment ? En déduire l'expression du champ 3(9,t) dans l'entrefer, en fonc-- tion de 5, Mr) et 9. Donner enfin l'expression des champs Ë,(9,t) et Ë3(9,t). 12. À partir des résultats précédents, montrer que le champ magnétique total dans l'entrefer est de la forme B(9,t) = Bocos(wt --9) (champ glissant) et donner l'expression de la constante BD en fonction de B, I et ,u0, perméabilité magnétique du vide. Formules utiles pour cette question : cos(x) + cos(x ---- %] + cos{x ---- 4%) : 2cos(x), cos(x)cos(y) -- cos(x --Æ) cos(y + E] --- cos{x -- Ë)cos{y _zr_) : â cos(x -- y). 3 3 3 3 2 Étude du rotor Le bobinage porté par le rotor est modélisé par une spire rectangulaire de largeur 2R et de hauteur H , solidaire du rotor, parcourue par le courant continu le (Figure 6). Sa posi-- tion est repérée par l'angle 9 entre ñ , vecteur normal à la spire, et fil (défini Fig. 2). 13. On note 11 le moment par rapport à l'axe (0,2) des forces de Laplace s'exerçant sur le cadre et F sa mesure algébrique (« couple >>). Montrer que F = 1<1>, sin(oet --9), o ù OEO est fonction de yo, ] Figure6 R, Hete. 31 e 9 14. Le rotor tourne à la vitesse angulaire a), et la position de ñ se repère par l'angle 9= a),t -- (p. Pour quelle valeur de a),_ la moyenne temporelle de F est-elle non nulle '? Ex- primer alors F ; dans quelle plage de valeurs de (p ce couple est-il moteur '? 15. Le moteur synchrone entraine une charge dont le couple résistant est noté Fr . Quelle est la valeur maximale FM que peut prendre Fr en régime permanent ? 16. En supposant Fr < FM et 0 _<_ (p S 271", montrer qu'il existe deux points de fonctionne-- ment en régime permanent. Étudier la stabilité de ces régimes par rapport à d'éventuelles perturbations. Page 4/9 Physique Il -- Filière PSI ---- 2002 Forces électromotrices induites par le rotor dans les bobinages du stator On s'intéresse aux flux  H °° i"°"'J Figure 12 32. Représenter les schémas des asservissements représentés sur les figures 10 et 11 lorsque l'on fait intervenir le couple de freinage. 33. En modélisant ce couple supplémentaire par un échelon, calculer pour les deux asservis-- sements précédents la nouvelle vitesse en régime permanent lorsque la consigne délivre le même échelon que précédemment. Comparer les résultats et conclure sur l'intérêt du correc-- teur. FIN DE L'ÉPREUVE 1 cette notion, définie en SI, correspond à g : lim [ac(1) -- ar([)] : lim [p(05 (p) -- a (p))]. l--)°° Page 9/9

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 2 PSI -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jessica Dubois (Centrale Paris) et Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon) ; il a été relu par Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon). Ce problème concerne la traction électrique sur les locomotives de puissance, utilisant des moteurs autopilotés. Il fait appel à des connaissances concernant la mécanique du solide, l'électromagnétisme, l'électricité, l'électrocinétique ainsi que les asservissements. · Les questions préliminaires visent à déterminer les ordres de grandeur de la puissance développée par les moteurs d'une rame de TGV et des courants utilisés. Cette partie, indépendante des autres, fait appel à des connaissances de base en mécanique et à des raisonnements qualitatifs. · La première partie est consacrée à l'étude du moteur synchrone, dont le principe repose sur l'interaction entre un champ magnétique tournant produit par des courants circulant dans les circuits statoriques, et un champ associé aux courants circulant dans les bobinages du rotor. On étudie dans un premier temps le stator à l'aide de notions d'électromagnétisme (calculs de circulation et de flux de champ magnétique, utilisation des équations de discontinuité du champ et des équations de Maxwell sous forme intégrale). On aborde ensuite le rotor, en calculant le couple moteur auquel son cadre est soumis du fait du champ créé par le stator. Finalement, on utilise les lois de l'induction pour étudier l'influence du rotor sur le stator. · La seconde partie, largement indépendante de la première, est consacrée à l'étude de la commande du moteur. On étudie en premier lieu le circuit électrique, à l'aide de connaissances en électrocinétique. Pour finir, l'asservissement de vitesse est abordé, au travers de calculs de fonctions de transfert et d'erreurs en régime permanent. Ce problème ne pose pas de grosses difficultés, mais il est relativement long. Indications Première partie - 6 Écrire les équations de continuité pour la composante tangentielle du champ H aux interfaces rotor-entrefer et entrefer-stator. Utiliser pour conclure le fait que e est très petit. - 10 Pour déterminer le champ B au niveau des bases du cylindre, utiliser les propriétés de symétrie du champ magnétique et le fait que les effets de bord selon la direction (O, z) sont négligés. - 13 Utiliser l'expression de B trouvée à la question 12 et l'indication de la question 10. 16 Raisonner graphiquement. 18 Utiliser le résultat de la question 17 et les propriétés de symétrie du champ magnétique. 19 Utiliser la loi de Faraday. Seconde partie 20 Raisonner en considérant un interrupteur Kj et un interrupteur Kk fermés, les autres interrupteurs étant ouverts. 21 Utiliser le résultat de la question 20. 22 Utiliser la loi des mailles. 24 Utiliser la définition de l'avance de phase pour des fonctions sinusoïdales et le résultat de la question 19. 28 Faire appel au théorème du moment cinétique et aux résultats des questions 23 et 24. 29 Penser à décomposer (p) en éléments simples pour déterminer (t). Préliminaires Ordres de grandeur 1 La résultante des actions extérieures s'exerçant sur la rame du TGV se modélise classiquement par Fe = A + B v + C v 2 où A, B et C sont trois constantes. On reconnaît en fait le développement en puissance de v au second ordre. On peut identifier chacun des termes. Le premier terme, constant, représente physiquement les frottements solides s'appliquant sur la rame, entre autres au niveau des rails et sur les roulements des essieux. Les deux autres termes modélisent les frottements dus à l'écoulement de l'air autour de la rame, appelé force de traînée. À faible nombre de Reynolds, lorsque la vitesse est faible, la force de traînée est proportionnelle à la vitesse de la rame. Pour de grands nombres de Reynolds, lorsque la vitesse est grande, la force de traînée devient proportionnelle au carré de la vitesse. 2 Le principe fondamental de la dynamique s'écrit - - d- v = F - Fe dt En régime permanent, la vitesse de la rame est constante. On doit donc déterminer graphiquement la vitesse de la rame pour laquelle la résultante extérieure est égale à la force de traction. D'après la figure 1 de l'énoncé, m v = 275 km.h-1 Cette vitesse correspond à une résultante de traction de F = 9 000 daN Envisageons la stabilité de ce régime. Supposons que la vitesse augmente légèrement ; la résultante des actions extérieures devient supérieure à la force de traction, et le principe fondamental de la dynamique nous indique alors que la vitesse décroît, rejoignant le régime permanent. Il en est de même si la vitesse diminue : la force de traction devient supérieure à la résultante des actions extérieures, et la rame accélère. Le régime est donc stable. 3 La puissance développée par l'ensemble des moteurs s'exprime par P = Fv Pour le régime permanent, on obtient numériquement P = 6, 9 MW Attention aux unités ; F doit être exprimée en N et v en m.s-1 . 4 On suppose que la traction est assurée par huit moteurs à courant continu. La puissance développée par chaque moteur s'exprime donc par P moteur = P/8. Or, l'intensité du courant circulant dans le rotor d'un moteur est I = P moteur/U où U est la tension d'alimentation. On obtient numériquement I 5, 7.102 A On n'a pas tenu compte des pertes fer ou sous forme d'effet Joule, ce qui n'a pas vraiment sa place dans un calcul d'ordre de grandeur. On retiendra de ce calcul que les courants à considérer dans les rotors sont de l'ordre de 600 A. D'autre part, le candidat averti, qui lit la totalité de l'énoncé avant de rédiger, aura pu s'assurer à la page 6 de l'énoncé de la justesse de ses calculs. 5 Les courants envisagés sont très importants. Les hautes intensités peuvent induire un échauffement dans les câbles, entraînant s'ils sont mal choisis, outre une perte non négligeable d'énergie sous forme d'effet Joule, leur destruction. De plus, dans le circuit électronique de commande décrit dans la seconde partie, il faut concevoir un dispositif capable de gérer de telles intensités. I. Le moteur synchrone Étude du stator 6 Comme il n'y a pas de densité de courants surfaciques aux interfaces, l'équation - de continuité pour la composante tangentielle du champ H s'écrit · à l'interface rotor-entrefer ent - Ht · à l'interface entrefer-stator stat - Ht r=R r=R+e - - H rot t - - H ent t r=R - = 0 r=R+e - = 0 Or, on considère que le rotor et le stator sont réalisés dans un matériau magnétique - - - B de perméabilité relative infinie. Comme H = , le champ H est donc nul dans µ0 µr le rotor et le stator. ent - - H t r=R = 0 Par conséquent - - H ent = 0 t r=R+e Comme l'entrefer est de faible épaisseur (e R), on déduit de ces observations - - - - que la composante tangentielle du champ H , donc du champ B ( B = µ H avec µ - fini dans l'entrefer), est nulle partout dans l'entrefer. Le champ B y est donc radial. La plupart des questions de ce type se résout en invoquant des arguments de symétrie. Ici, la conclusion n'est pas aussi aisée : en l'état actuel des hypothèses, ceux-ci sont insuffisants.