Mines Physique 2 PSI 2001

Thème de l'épreuve Boucle à verrouillage de phase
Principaux outils utilisés électrocinétique, électronique, notations de Laplace

Corrigé

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A 2001 PHYS. PSI - Il ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUÈ ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNIÇATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2001 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE II -- Filière PSI Cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 7 pages de texte. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé, même S'il n'a pas été démontré. . Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. BOUCLE À VERROUILLAGE DE PHASE Les dispositifs à verrouillage de phase sont utilisés dans les systèmes nécessitant la synthèse d'un signal dont la fréquence soit asservie à un signal de commande donné. Dans ces dispositifs, la variable de boucle est la phase du signal de commande. Ce problème étudie tour à tour les éléments d'un tel dispositif ; l'étude de la boucle proprement dite 'occupe la dernière partie de ce problème. 1 Oscillateur Fig. 1 : Oscillateur Fig. 2 : Caractéristique du générateur Le fonctionnement d'un oscillateur est décrit par le dispositif représenté sur la fig. 1. Le générateur de courant i : f(v) attaquant le circuit R--L-C parallèle est un générateur linéaire par morceaux (et donc Tournez la page S.V.P. globalement non linéaire !), commandé par la tension v(t)l. Sa caractéristique, impaire, est la suite de segments de droite précisée sur la figure 2 ; par hypothèse, on a V() > 0 et g2 < gl. D 1 -- En distinguant les cas |v(t)l < VO et |v(t)l > VO, écrire les deux formes de l'équation différentielle relative à v(t). Cl 2 -- L'instant initial est défini par i(0') = 0 et v(0') = 0. À quelle condition sur Rg1 le système est--il instable ? E] 3 -- En supposant cette condition réalisée, montrer que l'apparition d'oscillations stables, c'est-à-- dire d'amplitude bomée, est subordonnée à une seconde condition, portant maintenant sur Rg2. Cl 4 -- La figure 3 représente le schéma--bloc de la fig. 1 ; elle précise succeSsivement le signal de commande g(p)=0, le signal d'erreur 3( p) et le signal de sortie i(p). Ce schéma-bloc est constitué d'un organe non linéaire NL et d'un filtre de fonction Fig-- 3 -' Représentation en SChémâ-ÜIOC de lafig. 1 de transfert opérationnelle F ( p) qu'on précisera en fonction de R, L et C. Pour une fréquence propre .. 6"o - 2 =IOOkHZ et un facteur de qualité Q=RCwO =5, tracer le diagramme de Bode, en 72: fo . . , . £(jw) .2 amphtude et en phase, de la fonction de transfert redu1te _lg(oe)= R (] =--l). On donne L = 100 ,uH ; calculerR et C. V E] 5 --- La détermination de la pulsation d'accrochage et de l'amplitude d'éventuelles oscillations se fera en utilisant l'approximation dite du premier harmonique, que nous allons établir progressivement. _ On commence par supposer que le générateur de courant est commandé par la tension sinusoïdale Vsin (th , de pulsation ca, avec V > V . On pose V : Vsin 9 , avec 0 S 6 < £. Exprimer formelle- _ o o o o 2 ment, dans ces conditions, le développement en série de Fourier du courant i en sortie du générateur de courant. Montrer que la moyenne du courant i est nulle et que le premier harmonique de son déve10p-- pement en série de Fourier est en phase avec V sin(cot). Cl 6-- Décrire avec précision, mais sans effectuer les calculs, la méthode permettant de calculer l'amplitude Il de ce premier harmonique en fonction de gl, g, 90 et V. Le gain du premier harmoni-- que, défini par G : %, s'en déduit et l'on admettra la solution, qui définit H (90) : G ;: G(90) = g, + gl ;g2 [sin(290)+290] = g2 + & ?? H(9,). E] 7 --L 'approximation du premier harmonique suppose que tous les signaux dans le schéma--bloc de la question 4 sont sinusoïdaux de même pulsation &) et que la fonction de transfert non linéaire ' Typographie : le symbole v est le « v »\en italique et non pas le << v » (nu) grec. Page 2 sur 7. f(p) £[E(P)l !(P) ÎÎËÎ dire G(90). Dans ce cadre, établir l'équation différentielle linéaire portant sur la tension v(t). En déduire la pulsation d'accrochage des oscillations et montrer que la sélectivité du filtre conditionne la légitimité de la méthode. est remplacée par le gain du premier harmonique du générateur de courant, c'est-à-- E] 8 -- Montrer qu'en régime d'oscillations purement sinusoïdales, 00 est solution de l'équation 290 +sin(2eo) = --ï--(--L--ËÀ]. D 9 -- Déduire de l'étude de H (90) = 290 + sin(2%) les inégalités établies dans la question 3. E] 10 -- En examinant la manière dont le système, en régime d'oscillations d'équilibre, réagit à une 75 petite perturbation d'amplitude AV et en utili$ant le fait que H (60) soit croissante pour 0 .<. 60 < --2--, montrer la stabilité de l'amplitude des oscillations lorsque les conditions de leur existence sont res-- pectées. E] 11 -- Sans effectuer les calculs, et en supposant le générateur de courant autonome, décrire et justi- fier une méthode << énergétique >> permettant de retrouver la condition d'oscillations d'équilibre. II Oscillateur contrôlé en tension (OCT) i"'"""""""'"""""""""""""'"'""'"""""'"""""l Un oscillateur contrôlé en tension est un 1 . . , . . c1rcu1t, (fig. 4) de11vrant un Signal ' d'amplitude constante et de pulsation .Q(t) : (00 + ku(t) : 600 + ka cos(oet), Î où k est une constante, (00 la pulsation à vide de l'oseillateur sinusoïdal de la partie I et u(t) = acos(oet) la tension de Oscillateur sinusoïdal //z Circuit varicap commande, basse fréquence (co << 000). F ig. 4 Oscillateur contrôlé en tension . _ ' L'OCT se compose de l'osc1Hateur et du circuit de charge dit varicap. Le circuit varicap comporte notamment une diode varicap D polarisée en inverse par la tension positive E : EO +u(t) avec E0 >> a. La tension,appliquée à ses homes étant notée uc, cette diode est équivalente à un condensateur de capacité Cl: 7 , où 7 est une constante. On suppose que V"c i = f(v) l'inégalité C1<-- ---\ ] Multiplieur Filtre passe--has Fig. 7 : Boucle à verrouillage de phase La boucle à verrouillage de phase Vs@ étudiée dans cette partie est un système bouclé composé d'un multiplieur analogique, suivi d'un filtre passe--bas 1 l+'Lp variable de Laplace et enfin d'un oscillateur commandé en tension OCT, qui fournit le signal de sortie (fig. 7). La tension d'entrée est notée ve(t)= Ve cos[OE,(t)]. L'amplitude Ve de ce signal est constante et sa dd>e dt ' vs(t)=Vscos[däs(t)], son amplitude VS est constante et sa pulsation instantanée est de fonction de transfert F = en pulsation instantanée est, par définition, Qe(t)= Le signal de sortie est noté Qs(t)= ddîs =wo+ku(t), oùco0 désigne la pulsation & vide de l'OCT. La tension de sortie du multiplieur est v(t) : k...ve(t) vs(t) : kae cos[®e(t)] Vs cos[®s(t)] k V "'ZeVs {cos[>l et 0< conditions, seule subsiste après filtrage la composante basse fréquence (phase 9) de v(t). km kVeV 2 D 17 -- On note A(t) : .Qe(t) -- wo. Donner la dimension de K-- -- , puis établir la relation Æe d6 dA TÜ+OE+KCOS(Û)= A(Î)+T'ä_t'- [1] Etude de la boucle verrouillée Cl 18-- La boucle est dite ici verrouillée lorsque Qs(t)=Qe(t). En sortie, v_.(t)= V,.cos[OEe(t)--GO], avec un déphasage (--90) constant. Une fois verrouillée, la boucle peut suivre les variations lentes de w__Q_ 27: Que devient chacun des membres de l'équation différentielle ... en situation de verrouillage ? Dans d A quelle mesure peut- on affirmer que 1-- peut être considéré comme nul '? Déterminer la plage de dt verrouillage. Montrer que, à une fréquence fe donnée à l'intérieur de cette plage, correspondent deux la fréquence d'entrée dans un intervalle de fréquence autour de f0= appelé plage de verrouillage. valeurs de 9. 4------- ...--S'I- .r-H-m- ll""fêi't"l- nuagmmu .m--fl-fl- ___-r-- fig. 8 présente un diagramme de phase de "1' 5 "1' 25 "1"Û'75 "°' 5 "°' 25 l'équation [1]. Son observation est--elle compatible avec vos conclusions ? D 19-- La fréquence fe est supposée fixée. On pose A(t) : A : Cte. L'étude générale de la stabilité de la boucle verrouillée reste difficile. On se contentera de linéariser [1] autour d'une position d'équilibre caracté- . A risée par Q, vér1fiant cos(âe)=--k--. Poser 8 | << 75) et discuter la stabilité 0=Q+e ( de l'équilibre selon le signe de sin(98). La 1 dt - (Q,) " î Ü20 -- Déterminer numériquement la plage de verrouillage. Etudier numériquement comment évolue le déphasage (--Be) lorsque la fréquence fe balaie la plage de verrouillage par valeurs croissantes. On donne : fi) : 100 kHz, t' =150><10"ô 5, k : 6,28><104 s".V", ... = 0,1 et Ve : V. : 4V. Fig. 8 : ---- en fonction de 9 pour COS Accrochage de la boucle D 21 -- La boucle n'est pas verrouillée, la fréquence d'entrée est constante ; on admet provisoire- ment2 que le signal de sortie du multiplicateur puisse s'écrire v(t) : V0 + Vn cos(fit), où V0, V9 et [2 sont des constantes. Le gain complexe du filtre F (fig. 9) à la pulsation .Q étant noté 2 Justification dans la question 21. Tournez la page S.V.P. Page 5 sur 7. F (Q)exp[ jÇDF (Q)), (noter l'égalité F (O) = l), établir les expressions respectives de u(t) et de .Qs(t) ; ngr 1+ .(22r2 ' B(t) = at-- flsin[flt+®F(û)] [2]. établir enfin que, si on a 0(0) : alors B(t) peut s'écrire : Exprimer a en fonction dek,V0 et A et B en fonction de k, VQ,F(Q) et a. D 22 --- On suppose désormais que l'action du filtre passe-bas F est suffisamment efficace pour que l'on puisse admettre que cos((D,,)= F (0) = ---1---- et (D, = --£. Dans l'expression de la ten- sion v(t) : --Ë-cos[9() t ()]= --Ë--(A(t)cos(oe)+ B(t)sin(æ)) déduite de --2 --1 0 1h.- 2 Fig-- 9 -' Diagramme de 30619 de F: [2], les fonctions A(t) et B(t) peuvent s'exprimer comme une série en abscme " log...(an) trigonométrique par rapport à la variable (Qt+ O. g_ç_ Déterminer les conditions initiales 8(O') et (dt ] . Exprimer £(t). r=0+ E] 28-- Expliquer les avantages et les inconvénients pour la boucle à verrouillage de phase d'une faible constante de temps Tdu filtre F. Fin du problème Fin de l'épreuve Page 7 sur 7.

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 Mines Physique 2 PSI 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Matthieu Denoual (ENS Cachan) ; il a été relu par Yannick Alméras (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (ENS Lyon). Le sujet porte sur l'étude d'une boucle à verrouillage de phase. Ce dispositif est utile dans les systèmes nécessitant la synthèse d'un signal dont la fréquence doit être asservie à un signal de commande. Dans un premier temps, différents éléments constituant cette boucle sont étudiés successivement (oscillateur, oscillateur contrôlé en tension, comparateur de phases). Ensuite, on étudie plus particulièrement le fonctionnement de la boucle, notamment les plages de verrouillage et de capture. Ce problème, très calculatoire, met en évidence, au prix de nombreuses hypothèses simplificatrices, les phénomènes de capture et de poursuite de la boucle à verrouillage de phase. Indications Partie I 1 Appliquer la loi des noeuds. 2 Étudier la partie réelle des solutions. 5 Montrer d'abord que i(t) est impaire. 8 En régime purement sinusoïdal, les racines sont imaginaires pures. 9 Montrer que 0 < H(0 ) < et en déduire les inégalités obtenues aux questions 2 et 3. Partie II 13 En se servant des hypothèses, effectuer des développements limités. Attention, k n'intervient pas dans l'expression de k . Partie III 14 Attention, les entrées de l'amplificateur opérationnel ont été interverties. Partie IV 17 Partir de l'équation temporelle du filtre. 18 C'est la tension de commande de l'OCT qui limite la plage d'excursion en fréquence. 19 Analyser la partie réelle des solutions. 20 Utiliser un peu de trigonométrie et suivre les hypothèses pour des simplifications. 21 Utiliser une méthode reposant sur la notation complexe. Penser au théorème de superposition. 26 Utiliser les notations de Laplace. 27 Partir de l'équation [1] de la question 17. I. Oscillateur 1 La loi des noeuds pour le circuit de la figure ci-dessous s'écrit i = iR + iC + iL iC i en passant en notations de Laplace, on obtient v C iL L iR R v(p) 1 i(p) = + p C v(p) + v(p) R pL On pose di dv = gk , soit en notations de Laplace dt dt p i(p) = gk p v(p) gk correspond alors à la pente des portions de la caractéristique courant-tension du générateur. · | v(t) | < V0 alors k = 1. · | v(t) | > V0 alors k = 2. En utilisant ces notations et en multipliant la loi des noeuds en notations de Laplace par L p, on arrive à Lp L gk p v(p) = v(p) + L C p2 v(p) + v(p) R 1 soit L C p2 v(p) + L - gk p v(p) + v(p) = 0 R En repassant en notations temporelles, on obtient les deux formes de l'équation différentielle relative à v(t) : d2 v 1 dv - g1 +v =0 cas | v(t) | < V0 , gk = g1 soit LC 2 + L dt R dt d2 v 1 dv cas | v(t) | > V0 , gk = g2 soit LC 2 + L - g2 +v =0 dt R dt On peut également obtenir le résultat en restant dans le domaine temporel. i = iR + iC + iL v dv 1 i= +C + R dt L Z v dt En dérivant par rapport à t : di 1 dv d2 v 1 = +C 2 + v dt R dt dt L L alors di L dv d2 v = + LC 2 + v dt R dt dt Lgk dv L dv d2 v = + LC 2 + v dt R dt dt d'où LC | v(t) | < V0 | v(t) | > V0 d2 v +L dt2 1 - gk R dv +v = 0 dt d2 v soit LC 2 + L dt 1 - g1 R dv +v =0 dt d2 v +L dt2 1 - g2 R dv +v =0 dt soit LC 2 L'instant initial correspond au premier cas (v(0- ) = 0 < V0 ) de la question précédente. Par ailleurs, on a v(0+ ) = 0 car la tension est continue aux bornes d'un condensateur. L'équation caractéristique de l'équation différentielle est alors 1 LC r2 + L - g1 r + 1 = 0 R Le système est instable si une solution de l'équation caractéristique a une partie réelle positive (exponentielle croissante). Si l'on identifie l'équation précédente à la forme classique reprise ci-dessous a r2 + b r + c = 0 il faut distinguer deux cas suivant le signe du discriminant de l'équation. · Si > 0 : alors il y a deux racines réelles dont la somme vaut -b et le produit a c c . Or ici, est strictement positif, donc les racines ont le même signe. Ce a a -b signe est celui de . Par conséquent, le système est instable si et seulement si a -b > 0 ; c'est-à-dire, puisque a est strictement positif, si et seulement si b < 0. a -b · Si < 0 : alors il y a deux racines complexes conjuguées de partie réelle . 2a -b La condition d'instabilité est alors > 0 soit b < 0, puisque a > 0. 2a Dans notre cas, la condition b < 0 se traduit par 1 L - g1 R <0 2 LC 1 Or L > 0 et C > 0, donc la condition est - g1 < 0. R Soit R g1 > 1 3 L'apparition d'oscillations stables, d'amplitude bornée, rend nécessaire la diminution de l'amplitude des oscillations à partir d'un certain moment. C'est la non linéarité de la caractéristique du générateur qui permet d'obtenir une réponse décroissante du système. Cette réponse est décroissante si les parties réelles des solutions de l'équation