Mines Physique 2 PSI 2000

Thème de l'épreuve Étude des contrôles non-destructifs par ultrasons
Principaux outils utilisés ondes mécaniques et sonores

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A 00 PHYS. Il ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPEROEUBES DE L'AERÇNAU'I'IQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES OELECOWUMCATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÊLÉCOMMUNÏCATIÛNS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2000 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ]] --PSI L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 11 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. . Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. TEST NON DESTRUCTIF DE MATÉRIAUX COMPOSITES Présentation L'industrie aéronautique emploie de plus en plus souvent des matériaux dits composites, cons- titués de plusieurs couches de structure différente, plus ou moins croisées, plus ou moins renforcées par l'adjonction de fibres (de verre, de carbone), et orientées selon les efforts à subir. Ces couches doivent être intimement liées entre elles par collage ou résine, par exem- ple : contreplaqués multiplis, fibres de verre, structures en nid d'abeille, etc. Le matériau utilisé doit être à la fois fiable et d'un poids minimal. Des contrôles ont lieu au cours de la fabri- cation et en cours d'opérations de maintenance pour vérifier la bonne adhérence des couches entre elles (risques de "délaminage") et l'absence de bulles d'air ( amorces de points de rup- ture). La méthode communément utilisée est l'analyse par ultrasons ; le problème se propose de présenter quelques aspects de ces méthodes de contrôle non destructzf. Il comprend plu-- sieurs parties entre lesquelles existent plusieurs liens de sens et des liens de nécessité. Éléments de base L'onde ultrasonore qui sonde le matériau est émise par un transducteur et transmise à la pièce à analyser par l'intermédiaire d'un milieu de couplage (tel que : eau, graisse, gel, caoutchouc ...) ; elle subit par la suite des transmissions, des réflexions et des diffisions à chaque change ment de milieu. L'analyse des échos réfléchis permet de déduire la nature des milieux rencontrés. Le récepteur est généralement identique à l'émetteur : lorsqu'il fonc- tionne en émetteur, le transducteur ultrasonore est excité par une impulsion électrique, le disque de céramique piézo-électrique dont il est constitué vibre selon son épaisseur. Les vibrations transmettent au milieu des ondes ultrasonores. Lorsqu'il fonctionne en récepteur, il transforme la surpression acoustique reçue en signal électrique. L'épaisseur de la cérami- que varie selon la fréquence de travail envisagée et la nature du matériau utilisé. La variation de l'épaisseur eL du disque peut ainsi varier de 0,1 à 5 mm. La variation de l'épaisseur de la lame quand cette dernière subit une force surtacigue F _ F p , , . . , . _ (ou press10n p) est 5e : ------eL : ----eL ou la constante Y, caracteristique du matenau, est Y Y son module de Young. Comme indiqué à la figure 1, on note P(z, !) la pression--, a(z, t) le déplacement du plan d'abscisse 2 au repos (F = O) et p la masse volumique du matériau D 1 --En appliquant le principe fondamental de la dynamique à une a(z +dz, t) tranche d'épaisseur dz à l'abscisse ! z, établir l'équation du mouvement P(Zfl-dZ,t) aza zaza ---- =c --. Vérifier la dimen- 3t2 322 . Y . z 2 + dz son de c = --. On ne con51dérera @ p dorénavant que des ondes se dépla- Fi . ] : mouvement d 'une tranche d'é aisseur dz . . "" " çant dans une seule direction A Émetteur, structure de l'onde ultrason0re Excitation de la lame de céramique E] 2 -- Évaluer la célérité des ondes pour le titanate zirconate de plomb, matériau cou- ramment utilisé, et pour lequel p = 3,5 >< 103kg.m'3, Y = 5 X 1010 N.m'2. Pour les ondes se propageant dans un disque de céramique, les deux faces correspondent--elles à un noeud ou à un ventre de pression ? Cl 3 -- Déterminer eL pour v,, = 8,4 MHz puis vp = 4,2 MHz. Expéfimentalement, on constate que la fréquence propre d'une lame de céramique d'épaisseur eL est v}, = 1850/eL. D 4 -- La lame de céramique est excitée par un générateur émettant des impulsions électriques périodiques (fréquence de répétition réglable 1% de 1 à 30 kHz) de durée T varia-- ble entre 40 et 900 ns, ( 1 ns = 10"9 s) et de forme E (t) que l'on considérera comme rectan- gulaire (fig. 2). L'analyse de Fourier de ce signal est (1'2 = --1) : _ ]: a(v) cos(27Wt)d v (v 2 O) , a(V) = 2E0 T %flfl E(t) _ ... _ (: sin(m) J_æ®(v)exp(21mä)dv ®(v) : EOT---------- 7TVt E(t) | fiz= 1/TR -- TO 0 + T/2 Fig. 2 : allure du signal électrique Quel composant électrique simple doit--on placer entre le générateur et la céramique pour alimenter cette dernière à une fréquence donnée à l'avance ? On nommeP(V) =%a2(v)=2®z(v) le spectre de puissance du signal appliqué. Décrire la déformation du spectre de puissance lorsque la période T varie, le produit a = EOT restant constant. Réponse de la lame de céramique D 5 -- La céramique, de masse m, est modélisée par un oscillateur harmonique unidi- . . , k . . men51onnel de coordonnée X. de pulsation propre (:)0 = --_ amorti par une force élastique m (c'est--à--dire proportionnelle à l'élongation, Fa. = --Fkx) résultant du montage de la cérami- que dans son support, et subissant de la part du milieu en contact un amortissement dx fluide F... = --Fv È' proportionnel à la vitesse. Montrer que cet oscillateur, excité par la tension E sin(wet) est décrit par l'équation différentielle (dont on identifiera les termesë, 2 d X +259--£+ij : Asin(wg). dt2 dz a)" etA) : . . . . 60 . Ü 6 -- Déterminer, en régime établi et en fonction de u = --, l'amplitude '? de la 60 n réponse de la céramique à cette excitation. D 7 -- On veut produire des ultrasons de forte puissance ; comment doit--on choisir le coefficient d'amortissement de la céramique ? justifier votre choix à l'aide des courbes mises à disposition dans l'annexe A. On veut maintenant produire des "impulsions" ultrasonores de fai ble durée, mais répétitives à fréquence de répétition variable ; comment doit-on choisir le coefficient d'amortissement & ? Aspects expérimentaux E] 8 -- Les figures 3, 4, 5 et 6 (page 9) représentent les résultats des mesures effectuées sur deux émetteurs identiques, excités dans les mêmes conditions mais amortis de façon différente. Déterminer quelles sont les courbes associées au capteur le plus amorti et au capteur le moins amorti. Mesurer dans chaque cas la largeur de bande à -- 6 dB. Comparer les avantages et les inconvénients des deux émetteurs. D 9 ----»La résolution spatiale, capacité à séparer les défauts, est déterminée par la répartition spatiale de la pression ultrasonore. Pour un transducteur de diamètre D, cette répartition est spécifiée par : d'une part la directivz'té, caractérisée par un cône de demi--angle au sommet sin(a) = 1,22.Â/D à l'intérieur duquel est loca- lisée la plus grande partie de l'énergie acoustique (<< cône à -- 6 dB »), d'autre part la zone de champ pro-- Fig. 7 : Cône d'ouverture et che du faisceau, très perturbée, d'extension 20 = champ proche d'un émetteur D2/4 À (fig. 7). Calculer a et Z0 dans l'air (vitesse du son dans l'air : 330 ms" ), d'abord pour Do = 10 mm et V0 = 4,2 MHz, puis pour D, = DO/2 et v] = 2v0. Quel émetteur a-t-on intérêt à choisir ? D 10 --L'échantillon doit être placé à la limite du champ proche de l'émetteur (voir annexe B). On souhaite que l'échantillon soit le plus rapproché possible de l'émetteur, tout en étant hors de la zone de champ proche. Fig. 8 : Transducteur, relais, coupleur etmatériau Pour ce but, on place un relais de Plexiglas contre l'émetteur (fig. 8). Déterminer l'épaisseur er du relais permettant la réduction maximale de 20 et calculer sa valeur numérique pour D = 2,6 mm et v = 4,2 MHz, la vitesse du son dans le Plexiglas étant cp = 2300 ms" . Relais ' ' îCouplage (eau) Cl 11-- En plaçant une pastille concave contre la 2 céramique (fig. 9), on peut obtenir une focalisation du faisceau à la distance Z = fi.... Est-il intéressant d'obtenir une focalisation en un point ? Comment faudrait-il procé- der pour analyser un échantillon d'épaisseur ec ? Fig. 9 .. Traitement du fais-- E] 12 -- En pratique on obtient une tache focale. Dans ceau par surface concave le cas de la sonde plane, émetteur associé à une pastille concave de façon que fac = Z... la tache focale à -- 6 dB peut être assimilée à un cylindre de diamètre (Df = D/4 entre les abscisses Z' = (2/3)Z0 et Z2 = 220. La focalisation par la pastille s'oppose en effet à la divergence naturelle du faisceau. Déter-- miner la longueur dfde la tache focale à -- 6 dB en fonction de D, v et cc, célérité dans l'échantillon. D 13 --À la distance Z de l'émetteur, le diamètre du faisceau à -- 6 dB est OE(Z)=ÂZ/D. Donner l'expression de CD(Z) en fonction de D, Z et ZO. Calculer la valeur numérique de l'extension df de la tache focale à -- 6 dB dans un matériau où cc : 3000 m.s"' dans les deux cas suivants : v = 4,2 MHZ et D = 5 mm, puis v = 8,4 MHZ et D = 10 mm. Donner l'allure du faisceau. D 14 -- Pourquoi faut--il que la longueur df de la tache focale à -- 6 dB soit au moins égale à l'épaisseur ec de l'échantillon à analyser? Déterminer D pour une épaisseur d'échantillon ec = 3 mm dans les deux cas d'émetteur envisagés (amorti et peu amorti) de la question 7. Lequel de ces émetteurs aura-t-il la meilleure résolution spatiale ? Propagation en milieu non homogène D 15 -- Un onde acoustique harmonique, plane et progressive, représentée par l'amplitude complexe de la surpression : p(z,t) = po exp j(wt --kz) se propage avec la célérité c dans un milieu homogène de masse volumique p. En revenant éventuellement à la Ba première question, déterminer la relation entre la surpression p et la vitesse u(z, t) = -- en un point de côte 2. D 16 -- Lorsque l'onde ultrasonore rencontre un milieu de nature différente, elle est en partie réfléchie et en partie transmise. On admettra que la relation établie à la question 15 reste valable, au signe près, pour l'onde réfléchie. Etablir l'expression des coefficients de réflexion r et de transmission t de la surpression p a la traversée d'une interface entre deux milieux différents 1 et 2 sous incidence normale D 17 -- Calculer les valeurs numériques de r et t pour diverses interfaces planes. En SI : pc =15,5><10ñ pc =1,5><10", pc _ =2,3><10î verre eau Plexiglas (pc)mm : 4, 5 >< 106 (pc)... = 0,33 Quel est l'intérêt du couplage par un filet d'eau entre l'émetteur et l'échantillon ? Comment s'interprète le signe (--) qui apparaît dans r ? Dispositif expérimental Eau D 18 -- Dans la méthode dite de double transmission, un transducteur - /\ - - unique (qui fonctionne donc en Y r' ' émetteur et en récepteur) analyse l'écho réfléchi par une plaque plane en verre épais placée derrière l'échantillon à contrôler (fig. 10). On Composite mesure PR sans cet échantillon puis ' on insère ce dernier et on mesure F... dans ces conditions. Établir l'expression et calculer la valeur numérique en dB de l'atténuation : Verre P A. = 20 log ---'ï'l Fig. 10 : Méthode de double transmission. PR L "ensemble est immergé dans l 'eau, ! 'échantillon est retiré ou inséré sans autre changement dans le dispositif Ü 1 9 --- Le récepteur reçoit l'onde ultrasonore (l'écho) et délivre une tension qui est amplifiée et filtrée des signaux parasites avant d'être visualisée. La bande passante de l'amplificateur est très grande devant la fréquence de l'émetteur. Justifier ce choix. D 20 -- L'utilisation d'un relais de Plexiglas entraîne des réflexions multiples (fig. 8). Déterminer l'écart At au niveau de la face de sortie du relais entre les signaux Pc (réfléchi par le composite) et Pr (résultant de réflexions multiples dans le relais) D 21 -- L'épaisseur du relais étant de 3 mm et le signal PC devant être reçu avant le signal P,, quelle est l'épaisseur maximale du composite que l'on peut analyser dans ces con- ditions (c, = 3000 ..." et cp = 2300 ms") ? :] 22 --Le relais étudié à la question 10 conviendrait-il pour l'analyse d'un composite d'épaisseur ec = 3 mm ? 3 23 --Représenter schématiquement les trois premiers échos reçus par le capteur : on n'indiquera que les instants d'arrivée des échos sur le capteur sans se préoccuper de leur amplitude ni de leur forme et on négligera la durée de la traversée du milieu de couplage entre le relais et l'échantillon). Comment peut--on distinguer l'écho que l'on veut étudier parmi tous ceux ré émis par la pièce ? Cl 24 -- L'absorption propre du matériau est mise en évidence par un contrôle en double transmission sur un échantillon constitué de 16 couches identiques et sans défaut. Avec un émetteur à 4,2 MHz et une tache focale d'extension df = 3 mm, on mesure une atténuation A : 2010g'PRm/PR | = --7,5 dB. Une série de mesures sur des éprouvettes saines, de diffé- rentes épaisseurs et réalisées dans le matériau de l'échantillon à contrôler, donne les résultats suivants (N = nombre de couches, A en dB). ." Déterminer la relation entre A et Nc. En déduire, en dB par couche et pour un trajet dou- ble, l'atténuation AP due à l'absorption propre du matériau. L'épaisseur de chaque couche étant eo = 0,13 mm, donner l'atténuation en dB par mm. D 25 -- L'expression théorique P(d) =P(O).exp(--a. v2d), où d est l'épaisseur de compo- site traversée et on un coefficient constant est-elle en accord avec la mesure ? Si oui, calculer (x. E] 26 -- Déterminer l'expression de l'atténuation globale A en fonction de N, A, (atténuation en double transmission, définie à la question 18) etAP (absorption propre du matériau, définie à la question 24). Calculer A pour une plaque de 16 couches, la valeur trouvée est-elle en accord avec la mesure ? B Détection de défauts E] 27 -- Les imperfections de surface de l'échantillon (défauts parallèles à la surface, généralement dus à des bulles d'air emprisonnées entre deux couches) entraînent la diffrac- tion du faisceau ultrasonore. Ce phénomène peut produire des variations de l'ordre de -- 3 dB. Préciser les caractéristiques de l'émetteur qu'il faut choisir dans ce cas. Comparaison de méthodes Eau E] 28 -- Dans la méthode par réflexion : le même transducteur détecte les échos réfléchis par les faces avant PEet am'èrePs de l'échantillon (fig. 11). Quel phénomène peut--on observer si la durée temporelle du signal ultrasonore émis est supérieure à son temps de parcours dans l'épaisseur de l'échantillon ? Composite Cl 29 -- Déterminer le nombre minimal de couches nécessaires pour éviter ce phénomène, dans les deux cas d'amortissement d'émetteur (fort et faible) Fig. ] 1 : méthode par réflexion présentés àla question 8. D 30 -- Justifier théoriquement que l'on rencontre des problèmes de mesure avec un émetteur peu amorti et un échantillon contenant moins de dix couches, alors que l'on sépare très bien quatre couches avec un émetteur fortement amorti. Cl 31 -- Quel avantage présente la méthode par double transmission sur la méthode par réflexion ? Cl 32 -- On considère les échos réfléchis par la face avant de l'échantillon et par la pla-- que de verre. L'émetteur peu amorti est utilisé pour analyser une plaque extrêmement mince, contenant quatre couches. La vitesse du son dans l'eau est 0e = 1500 ms"' ; quelle doit être la distance minimale entre le réflecteur et la face de sortie de la plaque ? Délaminage (défaut « étendu ») ' E] 33 -- Le défaut à détecter par la méthode de réflexion définie à la question 28 peut être un délaminage, fine lamelle d'air entre deux couches de matériau. Lorsque l'aire, S, de la surface du délaminage est supérieure à celle de la surface, So, de la tache focale, il n'y a plus d'écho de fond (P s) ; dans le cas contraire (S < So), l'amplitude de l'écho de fond est proportionnelle à (l --S/So). Comparer l'amplitude réfléchie par la face de sortie Ps (matériau sain) et par le délaminage PD (S > So) en déterminant A = 20 log |PD/ Ps) ] . On négligera dans le calcul l'absorption propre du matériau, mais on indiquera dans quel sens cette absorption affecte la valeur de A. Comment reconnaître l'écho associé au délaminage ? Cl 34 ---- L'écho PE est pris comme référence : amplitude unitaire au temps initial. Sur le même repère (amplitude en fonction de l'instant d'arrivée), représenter : . l'amplitude de l'écho de fond PS pour un échantillon sain de trente couches, 0 la courbe des échos de délaminage PD. CI 35 -- On analyse l'échantillon représenté fig. 12 ; représenter par un trait sur le gra-- phe précédent les échos P... associé à un échantillon sans défaut détectable et P ... associé àla rencontre du faisceau avec un délaminage. CI 36 -- Une mesure effectuée en un autre endroit du même échantillon donne deux échos : un écho d'amplitude Ps1/2 à la position de l'écho de fond Ps, et un deuxième écho, d'amplitude P... /2. Que déduire de cette observation ? D 37 -- Le diamètre de l'émetteur, du type focalisé, est D = 10 mm. Quelle est la sur- face du délaminage ? Porosité (défaut « ponctuel ») Cl 38 -- Le défaut peut aussi bien être une porosité, ensemble de petites bulles d'air pié- gées entre les couches. Du fait de la présence de ce défaut, l'amplitude de l'écho de fond diminue. En s'appuyant sur l'observation faite à la question 33 dans le cas S < SO et en nommant n le nombre moyen de bulles par unité de surface et O' leur surface, Pspl'amplitude de fond en présence de porosité et P l'amplitude de fond d'un échantillon sain, proposer une expression de A]: = 20 log IPS], / Ps r. Le résultat sera exprimé en fonction de SO, 11 et O'. D 39 -- L'expérience montre que l'expression obtenue par ce raisonnement est valable pour des épaisseurs de 10 à 80 couches. Peut--on être sûr qu'il s'agit bien de porosités ? D 40 -- Un échantillon de 16 couches est contrôlé par la méthode de réflexion. Il est placé dans l'air, le milieu de couplage est l'eau. On mesure A = 20 log |Ps /PE = -- 7,1 dB. Calculer le [aux de porosité sur_facique 'tp = n0' / SO D 41 -- On ne peut mesurer une valeur de |A | supérieure à 30 dB, quel est le taux de porosité maximal mesurable pour un échantillon à 80 couches ? « ;..."ë : « .- --s, _>_ & : Fig. 12 : coupe d'un échantillon avec délaminage Fig, 13 : porosité concentrée DONNÉES EXPÉRIMENTALES SUR DEUX TYPES DE CAPTEUR ...' .. --...... ...... w.- -w-v un... www"- ' _v.......----vnv ! m....vu.yc wo-«---w--z»m «'n-w ;... .-..._ --...--... .. ... ... "'} """ cm...--.....-- _.-...:...M .... ma: ' 3 :$ 3 * «sas Fig. 3 : réponse temporelle Fig. 4 : réponse fréquentielle Les figures 3 et 4 concernent un capteur de haute résolution. On lit sur la fig. 3 que l'amplitude du signal de réponse s'étend de ---- 0,14 V à + 0,1 V. La durée du signal Ats à -- 20 dB est de 0,28 us. L'ordonnée de la figure 4 est en dB, normalisés de 0 à 10. La fréquence au maximum de réponse est de 4. 2 MHz. ._ . __________ ; .............. . .__._...... **:--** '_ g;_. & ...um--nwbpq--u--n-- »u--- _ ä' :? WWW... | --E$,. & «wa-:...».w www.-.wwæ.m-a--p----W _ä°f «& ÿ ........ H "Q.! ...un--" «e...... www--v -----;-------- -- «mon - ' . ' " u.vw&\Auù. Jv:M'-iu w»... w,-'-. .w . - -. ï" '- ' ;; ... W'"""""'""""""" / " "...=f...°wæ.yt ... "' &&..Ç'Qeæ-eqygmqq- -i...d _ sa :.» s. & n_s »i.-5 . ?>ü'=æ' Fig. 5 : réponse temporelle Fig. 6 : réponse fréquentielle Les figures 5 et 6 concernent un capteur de haute puissance. On lit sur la fig. 5 que l'amplitude du signal de réponse s'étend de -- 0,17 V à + 0,16 V. La durée du signal Ats à -- 20 dB est de 0,88 us. [ordonnée de la figure 6 est en dB, normalisés de 0 à 10. La fréquence au maximum de réponse est de 8, 5 MHz. ïdal établi. eram1que en regime Slllll80 ' ' de la c' reponse Annexe A . . 0 m . >... r...-... . . .. . .,_ ...:... . ..»oe .. .. ........ ...... . ; . . ...... . ...:...: .. . . a... . . ...... ...-.... 4 . |.- ..... Y..|-ot.o- .....000'l-0.0000.u......«-...+......QJQ T\U.1 .. ... . :......1M0. . . o... du......" - . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ... Jq . ... ... -- ...u. n u . .. ». . ..L . ...... .;v....uu.çf6..ç.0.o. ...-... . . .oo oui.. .. .. -- ." . a. I | EUR." " .?- ,o : 1.4 . . . . . ... . .. . . ... { ..F't\.. |.)- \.ul. ......o.o. . , , .. .,, .... .h . .... .. ...... ...?-... | {Il... .. ..... ...... .. n o ....,.,....+ . . ..?-.)!- n.f.c __. , ?!!!-..... . . i. . . . . . . . .. I " ... .T,.,......o.f. T.!c....ï.--... ...». . .... . . . ...... l'IP. ..... . . . .PPF. . . . . .... ....W.....o.....'!IP'...\P-...OP?......+t..F--. . . o . o. . . .......q.. | .:.--s... . ».».».p.p..,... ... +.. . .....Êil. 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C'est la dis- tance focale d'un transducteur non focalisé, ce qui correspond à la pression ultrasonore maximale au 2 2 plus loin du capteur ; pour D >> 7», N = D-- = D f 41 4c , où f est la fiéquence et c la vitesse de propaga- tion du son. c Le point focal et l'extension du champ proche correspondent au domaine de distance où la concentration de l'ultrason et l'identification des réflecteurs sont les meilleures. C'est pourquoi, il sera nécessaire que la zone suspectée des défauts recherchés se trouve dans la zone de focalisation ou du champ proche du transducteur utilisé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 2 PSI 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par François-Xavier Bor (École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris), Yannick Alméras (ENS Ulm) et Sébastien Desreux (ENS Ulm) ; il a été relu par Nicolas Wawresky (Mines de Paris). L'étude d'expériences de test non destructif d'un matériau composite par ondes ultrasonores est prétexte, dans ce sujet, à une batterie de questions sur la propagation d'ondes dans les solides. Signalons que les questions ne sont, pour la plupart, pas indépendantes entre elles. Dans un premier temps, de la question 1 à la question 14, on étudie le fonctionnement des émetteurs d'ultrasons (ou transducteurs) et on analyse leurs propriétés de résolution temporelle et spatiale. Ensuite, les questions 15 à 17 permettent de comprendre l'intérêt de l'utilisation d'un milieu de couplage, via le calcul des coefficients de réflexion et de transmission à la traversée d'un dioptre acoustique. Enfin, les questions restantes consistent en l'étude de deux méthodes de test non destructif par ultrasons, celle dite « de double transmission » et celle dite « de réflexion ». Elles demandent notamment l'application des résultats des questions antérieures. L'objectif est de comprendre comment on parvient à détecter et identifier des défauts dans des matériaux composites (partie B). Ce problème, relativement long, est peu calculatoire mais demande un très bon sens physique pour être mené à bien. De plus, des imprécisions et des erreurs sont présentes dans l'énoncé, ce qui rend plus délicate l'analyse déjà difficile des expériences de test non destructif par ultrasons. Indications Partie A 1 La démonstration demandée est analogue à celle vue dans le cours de propagation d'ondes sonores dans les fluides, en faisant intervenir le module de Young Y au lieu du coefficient de compressibilité isentropique S . C'est la méthode Lagrangienne qui est attendue, et non la méthode Eulérienne. 2 L'énoncé dit que l'émetteur vibre. 3 Utiliser la définition de la fréquence propre. 4 Attention, l'analyse de Fourier dans l'énoncé est erronée. Il faut lire « T » au lieu de « t » partout dans les expressions de a() et (). De plus, ces expressions ne sont relatives qu'au motif rectangulaire du signal et non à l'ensemble du signal périodique. 5 La tension d'excitation d'amplitude E est une force appliquée au ressort, non une tension électrique. 13 (Z) est le diamètre du faisceau au-delà du point de focalisation. L'introduire dans l'expression de Z0 de la question 9. 15 Le terme « éventuellement » est superflu. 16 Il faut démontrer les relations de continuité de la surpression et de la vitesse à l'interface et les appliquer. 18 PR et PRm sont des amplitudes de surpression. 24 Vous pouvez utiliser votre calculatrice, qui dispose normalement de fonctions prédéfinies (par exemple statline sur une calculatrice HP) pour faire les calculs à partir du tableau fourni. 25 Attention, log(e) 6= 1. Partie B 28 Que se passe-t-il quand deux trains d'ondes cohérents se recouvrent ? 32 Il faut comprendre : « distance minimale entre le fond du composite et la plaque de verre ». 34 Faire attention au signe de PS sur la figure 11. La même convention est à choisir pour PD . 37 Utiliser la question 12. 38 Le résultat ne fait pas intervenir S0 . 40 Il est plus judicieux de considérer le taux de porosité = n qui n'a pas de dimension. 41 Même indication que pour la question 40. A Émetteur, structure de l'onde ultrasonore 1 On isole le système fermé constitué du solide qui est situé, en l'absence d'onde, entre les abscisses z et z + dz. a(z, t) A P(z, t) z a(z + dz, t) G P(z + dz, t) z + dz L'énoncé demande d'utiliser une méthode Lagrangienne pour répondre à cette question et non la méthode Eulérienne, vue dans le cours de propagation d'ondes sonores dans les fluides. La masse dm du système fermé est conservée et son évaluation peut être faite en l'absence de l'onde : dm = S dz = Cte Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la tranche en projection suivant la direction z dans deux situations distinctes : en l'absence de l'onde puis en sa présence. ­ En l'absence d'onde, la tranche est immobile entre les positions z et z + dz et est soumise au champ de pression, noté P0 , d'où, à tout instant t, 0 = -S P0 (z + dz, t) + S P0 (z, t) (a) ­ En présence de l'onde, le champ de pression est donné par P(z, t) = P0 (z, t) + p(z, t) où p représente la surpression liée au passage de cette onde. Ainsi, le principe fondamental de la dynamique donne à l'instant t, pour la tranche se trouvant entre les abscisses z + a(z, t) et z + dz + a(z + dz, t) et de centre de gravité G, S dz e a(G, t) = -S P(z + dz + a(z + dz, t)) + S P(z + a(z, t)) (b) Des équations de physique ont été écrites. Il reste à les simplifier mathématiquement en remarquant que le déplacement a et dz sont des infinitésimaux du premier ordre et en utilisant des développements de Taylor. P0 (z, t) =0 (a') z Pour simplifier l'équation (b), on note tout d'abord que son premier membre est tel que L'équation (a) donne S dz e a(G, t) S dz e a(A, t) = S dz 2 a(z, t) t2 Ensuite, pour traiter son second membre, on écrit a(z, t) P(z + dz + a(z + dz, t)) P z + dz + a(z, t) + dz ,t z a(z, t) P z + a(z, t) + dz 1 + ,t {z } | z 1 P (z + a(z, t) + dz, t) z z }| { P(z + a(z, t), t) P(z + a(z, t)) + dz z P(z + dz + a(z + dz, t)) P(z + a(z, t)) + dz P(z, t) z L'équation (b) devient, par conséquent, 2 a(z, t) P(z, t) =- 2 t z (b') On introduit la surpression p en utilisant l'équation (a'), d'où 2 a(z, t) p(z, t) =- (c) t2 z Il est important de faire intervenir la surpression car c'est sous l'effet de celle-ci que le solide se déforme d'après la relation d'état e p =- eL Y Il s'agit de l'équation analogue à celle vue en cours pour la propagation des ondes sonores dans les fluides 1 V S = - V p S Dans le cas présent, le module de Young Y est analogue à 1 . S Pour la tranche de solide étudiée, la relation d'état s'écrit a(z + dz, t) - a(z, t) p(z, t) =- dz Y donc a(z, t) p(z, t) =- z Y (d) Finalement, la combinaison des équations (c) et (d) permet d'éliminer le terme de surpression : 2 a(z, t) a(z, t) 2 a(z, t) = - -Y = +Y t2 z z z 2 En posant c2 = Y/ , ce qui est légitime car Y et sont strictement positifs, cette relation se réécrit sous la forme d'une équation de propagation :