Mines Physique 1 PSI 2025

A2025 --- PHYSIQUE I PSI

Cmp

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,

MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,

Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.

Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique I, année 2025 -- filière PSI

Le canon, fournisseur d'impulsion

L'impulsion désigne, dans le langage général, l'élan initial qu'on donne à un 
objet (projectile)
qui poursuit ensuite son mouvement. Il à un sens plus spécifique en physique, 
depuis son
introduction sous le nom #mpetus au moyen--âge : ainsi, un point matériel de 
masse m et de
vitesse Y a pour impulsion p = mv et un système étendu de masse M et de 
barycentre G
a pour impulsion p = Müc. Cette grandeur joue par ailleurs un rôle essentiel en 
physique
microscopique, quantique et relativiste.

L'acquisition d'impulsion pour un projectile est le but d'un canon. Le sujet 
comporte trois
problèmes I (description hydrodynamique d'un canon à eau), IT (étude 
thermodynamique d'un
canon à poudre explosive) et IIT (modélisation électromagnétique d'un canon 
électromagné-
tique). Ils sont totalement indépendants. Dans l'énoncé des questions posées, 
exprimer signifie
donner une expression littérale et calculer signifie donner une valeur 
numérique ; toutes les ap-
plications numériques seront réalisées avec seulement deux chiffres 
significatifs ; on notera que

V2=14, V3%1,7, V5=22 et V7 2,6.

I Canon à eau

Le canon à eau est un dispositif utilisé par les pompiers pour éteindre les 
incendies tout en
restant à distance des flammes ; on en utilise aussi dans les opérations de 
police anti-émeutes.
Le but du dispositif est de projeter à grande distance, à travers un tube 
métallique cylindrique
de diamètre d et de longueur £, de l'eau avec une vitesse initiale w élevée 
(voir figure 1).
Un tel canon doit, dans le cas le plus favorable, avoir une portée maximale L 
-- 150m. On
supposera que l'eau est un liquide incompressible de masse volumique po = 
1,0x10° kg :m * et
peu visqueux, 7 = 1,0x10-*Pa:s.

jet d'eau

FIGURE 1 -- Canon à eau (photo SDIS de la Haute-Loire et Jéremy Rousseau) et 
son schéma

Après être sorties du canon, les gouttes d'eau sont en mouvement sous la seule 
action du champ
de pesanteur, d'intensité g = 9,8m:s?.

D -- 1. En négligeant tout frottement, montrer que la trajectoire des gouttes 
est parabolique et
que la portée maximale est atteinte lors d'un tir sous un angle de 45° (figure 
2).
Exprimer v, en fonction de g et L puis calculer sa valeur.

En déduire le diamètre d du canon s'il permet d'assurer un débit sortant de 
6000 L:min !

(cas des plus gros canons à eau commercialisés).

D -- 2. Justifier que la totalité du jet est isobare à pression identique à 
celle P, = 1,0 bar de l'air.
Peut-on appliquer le théorème de Bernoulli le long de cet écoulement 
parabolique ?
Quelle est en particulier la vitesse minimale de l'eau entre sa sortie du canon 
en © et son
impact au sol ?

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Physique I, année 2025 -- filière PSI

O L

> LT

FIGURE 2 -- Canon à eau en configuration de portée maximale

Si la pression de sortie du canon est bien pratiquement identique à P5, sa 
pression à l'entrée
du tube, c'est-à-dire juste à la sortie de la pompe qui l'alimente, est plus 
élevée ; on la notera
P; + AP. La chute de pression AP le long du tube est due aux effets combinés de 
la viscosité
de l'eau et de la rugosité relative du matériau formant l'intérieur du tuyau du 
canon; cette
grandeur mesure le rapport £/d de la hauteur moyenne des aspérités au diamètre 
du tuyau. La
hauteur EUR des aspérités à l'intérieur d'un tuyau de canon à eau sera comprise 
entre 0,1 mm et
1,0 mm ; sa longueur est { = 1,0 m.

[=]
Q
ND

i
£ (mm) :
0.25

0.025
0.0025
! glass 0.0025
: | Fer, Fonte 0.15
M Égout, usé 3.0
77] Acier, revêtement ciment 0.1

Matériau
1" Béton, grossier

©
©
na
ct
ï

Turbulence complète

Coefficient de perte de charge
[--)]
=

E neAn) np oAtepor oyrso8ny

+ Acier, rouillé 0.5 1 10°
! | Acier, de construction ou forgé | 0.025 5x1076
[ 1 L Canalisation d'eau, usée - LOT ET ART EP NOTE Tuyau lisse 10-56
iii PP Li D LU LE iii ii iii sr ii ii iii
10% 104 10 106 107 105

Nombre de Reynolds
FIGURE 3 -- Diagramme de Moody

Le diagramme de Moody (figure 3) permet alors de déterminer le facteur de 
friction £ de
Darcy-Weisbach ; on peut alors en déduire la perte de charge selon :

2

Povs

AP = £---- 1 1

3 (1)

D -- 3. Rappeler l'expression du nombre de Reynolds R d'un écoulement, puis 
calculer celui-ci
pour l'eau à l'intérieur du canon à eau. Que peut-on en conclure ?

D -- 4. Déterminer les valeurs extrêmes de £ puis de AP ; commenter.

La pompe qui alimente un tel canon prélève l'eau dans un réservoir de grande 
dimension contenu
dans le camion, à la même altitude que la pompe, au repos et à pression 
atmosphérique. Cette
pompe accélère donc l'eau (qui atteint la vitesse vo 38 m-s7! à l'entrée du 
canon) et augmente
sa pression pour compenser les pertes de charge de la loi de Darcy-Weisbach 
(1), elle atteint
P, = 6,0 bar à l'entrée du canon, pour une sortie de celui-ci sous pression 
atmosphérique.

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Physique I, année 2025 -- filière PSI

D -- 5. En négligeant tout frottement mécanique à l'intérieur de la pompe, 
exprimer la puissance
P qu'elle fournit en fonction de vo, Fe, Po, po et du débit volumique D... 
Exprimer aussi
le rendement propulsif k défini comme la fraction de puissance utilisée 
effectivement pour
l'acquisition d'impulsion de l'eau en sortie du canon.

1 -- 6. Calculer P et k; commenter.

IT Canon à propulsion chimique

Une arme à propulsion chimique (qu'il s'agisse d'une arme légère ou d'une pièce 
d'artillerie)
contient (figure 4) un projectile Z, à symétrie de révolution, de rayon très 
légèrement inférieur
au rayon a de l'âme du canon, de longueur £. Au moment de l'explosion, 
l'arrière du projectile
(le culot) est disposé en x = 0; entre ce culot et la culasse à l'arrière du 
canon se trouve
la chambre de combustion de volume V. dans lequel une certaine quantité de 
poudre sera, à
l'instant { = 0, portée à température suffisante (par exemple par percussion) 
pour en déclencher
la combustion avec élévation de température et de pression; c'est celle-ci qui 
va propulser le
projectile dans le tube du canon.

projectile à & = 0 projectile à £{ > 0
Î Î
BR | ----îñ--_------_--_--_--_--_--__
S VW : [20
=) EE
> D TD A
âme
LL @. >
0 X (4)

FIGURE 4 -- Projectile dans un canon

Ainsi, pendant le mouvement du projectile, les gaz qui le propulsent occupent 
en arrière de
celui-ci le volume V(t) = V. + ra?X(t) où X est l'abscisse du projectile, de 
masse M. On
négligera toute fuite de ces gaz vers l'extérieur, qui sera considéré comme 
vide. On négligera
aussi les forces de pesanteur.

ITA Le modèle des gaz de Joule

Tous les systèmes thermodynamiques étudiés seront décrits au moyen des 
variables intensives
(pression P et température T) et des grandeurs extensives volume, énergie 
interne et entropie
dont les valeurs molaires seront notées V,,, U,, et S,. On rappelle, en dehors 
de toute transfor-
mation chimique ou changement d'état, l'identité thermodynamique associée à 
toute évolution
infinitésimale :

Un = T dS$m -- P dVn (2)

Du fait des pression et température élevées régnant dans le canon, on ne peut 
se contenter d'un
modèle de gaz parfait. On adoptera donc le modèle de Joule défini par deux 
caractéristiques
(admises) :
-- le gaz vérifie la première loi de Joule : l'énergie interne molaire U,,(T) 
ne dépend que de
la température ;
-- l'entropie molaire du gaz à pour expression :

ST Vin) = So +R [TT (Pr .) (3)

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Physique I, année 2025 -- filière PSI

où So, R>0,b>0et y > 1 sont des constantes.

Q -- 7. Déduire de (2) les expressions de U,,(T) (à une éventuelle constante 
additive près) et de
l'équation d'état P = P(n,V,T) pour une quantité de matière n en fonction des 
constantes
R et b.
À quelle(s) condition(s) ce modèle décrit-il un gaz parfait monoatomique ? 
Attention,
dans ce qui suit on ne se placera pas dans ce cas particulier.

D -- 8. Rappeler les définitions puis donner les expressions des capacités 
thermiques molaires Cm
et Cym du gaz de Joule à volume et à pression constantes ; commenter.

On note P, la pression (très élevée) juste après la fin de la combustion, à t = 
0* lorsque le
volume disponible pour le gaz est V.. On admet aussi que la combustion est 
instantanée et
produit exclusivement un gaz de Joule, en quantité de matière n. On suppose 
d'abord que
la détente de ce gaz, pendant le mouvement du projectile dans le canon, est 
adiabatique et
réversible.

Qi -- 9. Établir une relation liant, pendant une telle transformation, la 
pression P et le volume
molaire V,, en fonction de b et de 7.

L'hypothèse isentropique est en fait peu réaliste et nous ne la conserverons 
pas dans ce qui suit.
On considère donc ici, toujours dans le modèle du gaz de Joule, une évolution 
intérieurement
réversible telle que le transfert thermique 0Q reçu par le gaz n'est plus nul 
maïs donné par
0Q = KkÔW en fonction du travail des forces de pression, également reçues par 
le gaz.
D -- 10. Quel est, à votre avis, le signe de k ?
Établir la relation P-(V,, -- b)? = cte et exprimer l'exposant q en fonction de 
# et .
J -- 11. Exprimer la force de poussée F,(t) exercée sur le culot du projectile 
en fonction de P;, V,
n, b, a, X(t) et q.
D -- 12. Cette force est-elle conservative ? Une réponse justifiée est attendue.

IIB Balistique intérieure

On étudie ici le seul cas d'un canon à âme lisse : le mouvement du projectile 
est seulement une
translation et on peut négliger tous les frottements.

D -- 13. Établir l'équation différentielle du second ordre vérifiée par X(#).

D -- 14. Montrer que l'impulsion p, acquise par le projectile à sa sortie du 
canon est donnée par

la relation :
Xo \7!
8 -- Po 1 --
Fa (x)

et exprimer X, en fonction de a, V., b et n ainsi que p, en fonction de M, q, 
n, R et de
la température T; des gaz à t = 0*. Commenter la signification et l'expression 
de ps.

IIT Canon électromagnétique

Depuis la découverte des phénomènes d'induction, l'utilisation des forces 
électromagnétiques
pour la mise en mouvement de projectiles a été souvent évoquée. Dès 1917, le 
français FAUCHON-
VILLEPLÉE réalise un prototype et dépose un brevet aux États-unis pour un tel 
canon (figure
5) : le projectile (f) est en contact électrique (e et e") avec deux rails 
conducteurs (g et g?)
qui permettent le passage du courant électrique généré par des batteries. Le 
projet a été repris
pendant la seconde guerre mondiale en Allemagne puis par de nombreux pays 
depuis ; l'agence
de défense européenne (EDA) finance actuellement un projet de ce type (PILUM). 
Nous nous
contenterons ici d'une étude de principe.

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Physique I, année 2025 -- filière PSI

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FIGURE 5 -- Extrait du brevet US N°1 370 200

IIIA Ordres de grandeur

Le canon électromagnétique repose sur la production d'un champ magnétique 
statique B par
un courant électrique 1 circulant dans un circuit fermé. Nous utiliserons, à 
titre de modèle, le
champ créé par un fil infini, cylindrique, confondu avec l'axe (Oz), parcouru 
par le courant 1
(figure 6). On caractérise un point M extérieur au fil par ses coordonnées 
cylindriques (r, 0, 2).
On note lo = 1,3x10 6H :m ! la splitéabilité magnétique du vide.

D -- 15.

El >
Z
M
7,
k x CO
VA (l
iT
(l
O I
--?#Y ® ----+ L ------ Z

FIGURE 6 -- Fil infini créant en M un champ magnétique

Déterminer la direction du champ magnétique B créé en M par ce fil. En déduire 
la
projection de B sur la base locale cylindrique en fonction des coordonnées de M.

Dans l'expérience de 1917, un projectile de masse m = 50 g est accéléré par un 
canon électroma-
gnétique de longueur { = 25 m et atteint à sa sortie l'impulsion p, = 
10kg-m-s"7!, L'écartement
des rails est de l'ordre de d = 1 cm.

3 -- 16.

D -- 17.

D -- 18.

D -- 19.

En supposant l'accélération a constante à l'intérieur du canon, exprimer la 
durée At du
tir en fonction de £ et a puis a en fonction de m, p, et £.

Dans le cas d'un tir en direction non horizontale, est-il légitime de négliger 
le poids du
projectile ?

Rappeler l'expression de la force de LAPLACE exercée sur un conducteur 
électrique.

En supposant le champ magnétique uniforme dans le canon, exprimer son intensité 
mini-
male B, en fonction de a, m, d et du courant électrique 7.

Ce champ magnétique est assimilé à celui créé par un fil infini situé à la 
distance d/2 du
point où se trouve le projectile. Exprimer puis calculer la valeur minimale 7 
du courant
électrique nécessaire à la réalisation de l'expérience, en fonction de m, a et 
Ho.

La résistance électrique du système est notée À. On définit le rendement de 
propulsion 7
comme le rapport de l'énergie cinétique emportée par le projectile à l'énergie 
électrique
nécessaire au tir. Montrer que l'on peut mettre ce rendement sous la forme 7 = 
R,/R en
exprimant la résistance utile R, en fonction de Lo, m et p,. Sachant que À, = 
107" Q,
proposer une conclusion.

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Physique I, année 2025 -- filière PSI

IIILB Modélisation

La géométrie du propulseur et des rails d'alimentation est proposée figure 7; 
le générateur
de tension constante Æ4 alimente l'ensemble en courant électrique depuis une 
abscisse x < 0. La ligne est fermée par le projectile à l'abscisse X(t). Le mouvement de celui-ci démarre en X(0) = 0 et se termine par l'éjection en X (At) -- £. La résistance électrique R(X) du circuit, tout comme l'inductance propre L(X), dépendent a priori de la progression du projectile dans le canon. Le courant /(t) est donc variable. On note m la masse du projectile et on néglige le poids et tous les frottements. FIGURE 7 -- Le propulseur d'un canon électromagnétique et son schéma équivalent Les rails de guidage, distants de d, sont formés d'un matériau conducteur de conductivité 7, de hauteur h et d'épaisseur e. D -- 20. Rappeler la loi de Faraday de l'induction électromagnétique. On distingue parfois deux situations d'induction : « circuit fixe dans un champ magnétique variable » (induction de Neumann) et « circuit mobile dans un champ magnétique statique » (induction de Lorentz). Que dire de cette distinction dans le cas de la figure 77? . Établir l'équation électrique reliant Æo, les fonctions L(X), R(X), I(t), X(t) et leurs dérivées. d£ . Justifier que la force propulsive est F = 1°(t)--- ; en déduire l'équation mécanique qui dX ? décrit le mouvement du projectile. . L'argument « la longueur des rails d'alimentation est {, indépendamment de la position du projectile » pourrait servir à justifier un modèle où R(X) = cte. En limitant votre argumentation à quelques lignes au maximum, expliquer pourquoi cet argument est in- correct. Dans la suite on négligera la résistance électrique du projectile et la résistance interne du générateur. Justifier le modèle linéaire, R(X) = p X et exprimer p en fonction des caractéristiques du rail de guidage. . En négligeant les effets de bord, on pourra en première approximation considérer le champ magnétique B , dans le plan 2 = 0 où se trouve le projectile, comme uniforme dans chaque zone de l'espace (entre les rails et hors de ceux-ci). Montrer, en précisant les hypothèses ou approximations nécessaires, qu'entre les rails il vaut Bo © ol/h; on pourra s'inspirer du modèle du solénoïde infini. Page 6/7 Physique I, année 2025 -- filière PSI En déduire l'expression de de. Les équations différentielles du mouvement prennent la forme non linéaire ci-après, qui ne permet qu'une résolution numérique : ax = al? et X(t#)I(4)+7 ee | x Te = B dt dt dt D -- 25. Exprimer les constantes positives à, 6 et T7 en fonction des données du problème. Préciser la dimension de 7 et son interprétation physique. FIN DE L'ÉPREUVE Page 7/7