Mines Physique 1 PSI 2021

Corrigé

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2021 --- PHYSIQUE I PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique I, année 2021 -- filière PSI

Télécomunications

Ce sujet est consacré à l'étude de modes de communication à distance, relevant 
de plusieurs
domaines de la physique ; les différentes parties sont totalement indépendantes 
et, à l'intérieur
même de celles-ci, de nombreuses questions sont également indépendantes. Pour 
toutes les

applications numériques, repérées par les initiales A.N., on se contentera d'un 
ou deux chiffre(s)

significatif(s). À l'exception de i tel que i? -- --1, les nombres complexes 
sont repérés par

une notation avec barre : z EUR C. Une grandeur sinusoïdale de pulsation w sera 
associée à la

représentation e*!.

Données numériques et constantes physiques

e Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,0x10° ms"!
e Masse d'un électron : me. = 91x10 %kg

e Constante d'AVOGADRO : NA = 6,0x10* mol !

e Perméabilité du vide : uo = 13x10 6H :m !

e Constante de BOLTZMANN : kg = 14x10 7% J-K71

e Permittivité du vide : EUR -- 88x10 F.m !

e Charge élémentaire : e = 1,6x10 1 C

e Rayon de la Terre : Rr = 6400km

I Le fil du télégraphe

-- Sire, une nouvelle dépêche.

-- D'où vient-elle ?

-- De Tomsk.

-- Le fil est coupé au-delà de cette ville ?
-- Il est coupé depuis hier.

-- D'heure en heure, général, fais passer un télégramme à Tomsk, et que l'on me 
tienne au
courant.

Dans le roman de JULES VERNE, Michel Strogoff, publié en 1876, l'année même de 
la fondation
à Paris de l'École Supérieure de Télégraphie (actuellement Télécom Paris), les 
télécommunica-
tions électriques (le télégramme) jouent, dès la première page, un rôle 
essentiel.

LD -- 1. L'alphabet cyrillique utilisé par Michel Strogoff comporte 32 lettres, 
plus les chiffres et
quelques symboles de ponctuation. Combien de symboles binaires (les bits ou les 
points
et traits du code MORSE) faut-il prévoir pour coder chaque caractère d'un 
document
écrit en cyrillique contenant du texte, des chiffres et de la ponctuation ?

A.N. : sachant qu'un opérateur compose 3 symboles binaires par seconde, combien 
de
temps faut-il pour transmettre une page complète de texte comme celle-ci par 
exemple ?
On détaillera l'évaluation proposée.

Le premier télégraphe électrique terrestre a été mis en service en 1838 par 
WHEATSTONE en
Angleterre et le premier câble sous-marin posé en 1851 entre la France et 
l'Angleterre. La suite
de ce sujet explore quelques propriétés de la transmission d'informations le 
long d'un tel fil
électrique.

Page 1/6 Tournez la page S.V.P.
Physique I, année 2021 -- filière PSI

i(2t)  f12 i(z + dz;t)
u(z; )| [ut + dz;t)
i(z,0) Nu STILL i(z Lazt)
D LL LL 2 2. @------ @ --- . . ), (Oz)
7 z + dz

FIGURE 1 - Modèle de ligne bifilaire

LA Transmission par une ligne bifilaire

Le modèle électrique d'une ligne télégraphique est représenté figure 1 : la 
transmission a lieu
dans le sens de l'axe (O2) et un élément de ligne de longueur dz transmet la 
tension aux bornes
de la ligne u(z,t) et le courant de ligne i(z,t) selon les équations des 
télégraphistes, Ro, Lo et Xo
étant des constantes positives :

Ou _ Rod, Ron di 1 du
Oz X0 Ot Lo 02  RoXo Ot

LD -- 2. Déterminer les unités usuelles des grandeurs Ro, Xo et Lo.

DJ -- 3. Dans le cas du télégraphe terrestre du XIX* siècle, l'installation 
comportait en général
un seul fil tendu sur des poteaux. Le modèle de transmission par ligne 
bifilaire reste-il
applicable ? Expliquer.

1 -- 4. Déterminer l'équation aux dérivées partielles (équation de propagation) 
vérifiée par la
seule fonction u(z,t), puis l'équation de dispersion associée reliant la 
pulsation w au
vecteur d'onde k.

Ici et dans toute la suite, on étudie une ligne bifilaire permettant le 
transport du signal sur une
assez grande distance ; les phénomènes limitant la propagation seront donc 
traités comme une

perturbation et leur étude limitée au premier ordre du développement.

DJ -- 5. En déduire la vitesse de phase des ondes de courant et de tension. Y 
a-t-1il dispersion à
cet ordre du développement ?

1 -- 6. On considère une onde de tension progressant le long de l'axe (Oz) 
caractérisée par
u(z = 0,t) = ÜU, cos(wt), montrer que la puissance électrique moyenne P,,(2) 
transportée
par la ligne décroît lors de la propagation et déterminer la distance 
caractéristique de
cette atténuation.

I.B Câble coaxial

Depuis l'installation de lignes télégraphiques sous-marines, l'obligation 
d'isoler la ligne conduit
à utiliser une forme géométrique particulière : le câble est coaxial, formé 
d'une armature centrale
métallique formant un cylindre de rayon a, entouré d'une gaine isolante et d'un 
second câble
métallique de rayon bd > a. Les photographies de la figure 2 représentent les 
extrémités dénudées
de deux câbles de ce type qui relient la télévision à l'antenne ; quelques 
éléments de la fiche
technique du plus performant des deux sont repris dans la table 1.

Un tel câble est d'abord modélisé comme un milieu continu sans pertes 
caractérisé par une
inductance linéique /, et une capacité linéique EUR...

Ci -- 7. Représenter le schéma équivalent à une longueur infinitésimale dz du 
câble. Établir les
équations de propagation des ondes de courant et de tension.

Page 2/6 Tournez la page S.V.P.
Physique I, année 2021 -- filière PSI

(7URLC 75 ©

FIGURE 2 -- Câble coaxial professionnel (à gauche) et bas de gamme (à droite)

Conducteur interne : cuivre, 21,6 mm Impédance : 75 (
Isolant : Polyéthylène, 7,2 mm Capacité nominale : 53pF/m
Lresse externe : cuivre, couverture > 95% Inductance nominale : 0,32 uH/m
Gaine : Polyéthylène Résistance nominale câble :  8,5Q/km
Délai : 4,0 ns/m Résistance nominale tresse : 3,6Q/km

TABLE 1 -- Extraits de la fiche technique du câble Belden 8213

L -- 8. Définir, exprimer, calculer et commenter la célérité de propagation des 
ondes électriques
dans le câble Belden 8213. Comparer au « délai » de la fiche technique.

 -- 9. Définir et exprimer l'impédance caractéristique Z du câble. Les données 
de la fiche
technique ci-dessus sont-elles compatibles avec ce modèle ?

Lorsqu'un tel câble relie un générateur (par exemple l'antenne de réception du 
signal TV) à un
récepteur (ici, l'étage d'entrée de l'amplificateur TV) modélisé par une 
impédance complexe Z,
en 2 = 0 sur la figure 3, on observe en général la superposition d'ondes de 
tension et de courant
incidente et réfléchie, donc la superposition d'une onde strictement 
progressive, d'amplitude
un = U, Cos(wt -- kz+%,) et d'une onde stationnaire, d'amplitude u, = UV, 
cos(wt -- ,) sin(kz --
#.). L'importance de cette dernière est caractérisée par le rapport p = U./U,, 
qui peut être
mesuré pour indiquer le degré de désaccord entre le câble et sa charge.

Câble interne LE
u(z,t) Ze
> Tresse externe O
---- = -- 7 -- -- - --- --- --- -----"-----"--"------- ---> 7

FIGURE 3 -- Câble TV alimentant un étage électronique

 -- 10. On impose d'abord dans la partie z < 0 du câble une onde de tension incidente ü, (2,t) d'amplitude complexe Ü.,, de pulsation w et de vecteur d'onde k. Exprimer l'onde de courant 4,(z,t) associée en fonction de Z, U., k et w. Exprimer les ondes de tension &#_(z,t) et de courant 1_(z,t) réfléchies par le câble en fonction de Z%, Zo, U., k et w. Qi -- 11. Exprimer p en fonction de Zo et Z.. À quelle condition aura-t-on p = 0? On parle dans ce cas d'adaptation (ou accord) entre le câble et sa charge. Dans tout ce qui suit, on choisit une valeur de Z, qui assure cet accord. On souhaite évaluer l'importance des pertes en ligne dues aux résistances électriques par unité de longueur r, et r!, du câble et de la tresse. Ci -- 12. Proposer un schéma modifié de l'élément de longueur dz de câble. Établir la nouvelle équation de propagation de l'onde de tension; définir et exprimer la longueur caracté- ristique d'atténuation de l'amplitude des ondes en fonction de Z5, ry et r;,. LH -- 13. A.N. : calculer et commenter la valeur de la distance caractéristique. En pratique, on évite d'utiliser de tels câbles à très haute fréquence (1 GHz et plus). Pourquoi ? Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, année 2021 -- filière PSI Dans une installation de captage de télévision, un câble coaxial (C) relie l'antenne P au décodeur D. Un voisin indélicat, souhaitant bénéficier du signal sans payer, réalise le branchement en dérivation de la figure 4 en dénudant partiellement le câble (C) pour y souder son propre câble (C') relié à son détecteur D'. Les soudures relient entre elles les câbles centraux d'une part et les tresses externes d'autre part. Les décodeurs D et D' sont tous deux adaptés aux câbles. Tous les câbles sont assez courts pour négliger l'atténuation du signal. D' -------- vers le décodeur D' P-- -- D EMHECUC LS ; vers l'antenne P + -------- vers le décodeur D FIGURE 4 - Branchement illégal d'un câble coaxial (C') sur une installation préexistante (C) Un onde de tension u; = Us cos{(wt -- kz) provient de l'antenne P dans la partie z < 0 du câble: elle atteint en z = 0 la soudure ainsi réalisée. Dans les deux câbles situés en parallèle dans le domaine 2 > 0 apparaît la même onde de tension u, = US cos(wt -- kz), avec [US] 
< [Uol. -- 14. Pourquoi n'y a-t-il pas d'onde réfléchie dans les câbles situés en z > 
0? Montrer qu'il en
existe une dans le câble situé en z < 0 et déterminer son amplitude. -- 15. L'introduction de cette dérivation « pirate » est-elle détectable par une mesure de p ou bien par celle de l'atténuation du signal incident au niveau du détecteur D ? II La télégraphie sans fil Le physicien italien MARCONI est considéré comme un des inventeurs de la transmission à grande distance de signaux électromagnétiques (la T.S.F., télégraphie sans fil, ou radio). Il a reçu à ce titre le prix NOBEL de physique en 1909. On lui doit la réalisation de la première transmission radio transatlantique (1901) entre le nord-est du Canada et le sud-ouest de l'An- gleterre, séparés par une distance à vol d'oiseau de 3 500 km. IIA Échos ionosphériques Lors de la première série d'expériences, le récepteur se situait au niveau du sol et l'émetteur était porté par des cerf-volants dont l'altitude, limitée par la longueur du fil, ne dépassait pas h -- 180 m. On néglige tout phénomène de réflexion sur le sol, la portée d'un tel émetteur est donc limitée par la courbure de la Terre. -- 16. Représenter sur un schéma les points d'émission E et de réception R du signal radio correspondant à cette transmission. Montrer qu'elle n'est possible que si la distance d = ER vérifie d < dax et exprimer dd, en fonction de h et du rayon terrestre Rr. A.N. : calculer d.,+ et conclure. La propagation sur une grande distance d'ondes radio est en fait possible grâce aux échos ionosphériques, qu'on assimilera à des réflexions de l'onde électromagnétique sur la surface de Page 4/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, année 2021 -- filière PSI séparation entre la basse atmosphère (assimilée au vide) et la haute atmosphère (l'ionosphère qui forme un plasma). Une onde électromagnétique incidente plane, progressive, de pulsation w, polarisée rectilignement selon (Oy), est émise en direction de ce plasma, dans une direction faisant l'angle 0 avec la verticale (Oz). L'ensemble est représenté sur la figure 5. À Z Tonosphère (plasma) FIGURE 5 -- Échos ionosphériques D -- 17. Exprimer la représentation complexe du champ électrique ÊË de l'onde incidente d'am- plitude Æ, ; on prendra l'origine des phases au point origine O. Le champ électrique dans le plasma étant recherché sous la forme É' -- Ee, exp ï (2 tk r)| , on peut établir l'équation de dispersion (ED) w'* -- w2+c2k 2 où we > 0 est une 
constante qui ne
dépend que des propriétés électromagnétiques locales de l'ionosphère. Par 
ailleurs, on admettra
la continuité de toutes les composantes du champ électromagnétique à 
l'interface z -- H entre
le vide et ce plasma. Une onde électromagnétique réfléchie existe également 
mais sa prise en
compte n'est pas utile dans les calculs qui suivent.

D -- 18. Expliciter w' et les composantes k', -- EUR, : k! et k, --EUR,: k! en 
fonction de w, cet Ü.

Qi -- 19. En déduire k/° en fonction de w, w,, c et cos 4 et en déduire que 
l'onde transmise ne peut
pas se propager dans le plasma si w < w, et exprimer la pulsation limite w, en fonction de w, et 0. D -- 20. AN. : pour l'ionosphère on prendra f, -- _ D 1MHz et À © 175 km. Calculer cos 0 T puis la fréquence limite f, = w,/27 dans le cas d'une transmission sur une distance totale d = 3500 km (en négligeant l'influence de la courbure terrestre). Conclure. IILB L''ionosphère On considérera que l'ionosphère forme un plasma peu dense qui contient une densité particulaire uniforme n d'électrons par unité de volume, et autant d'ions (de forte masse donc presque immobiles) de sorte que la charge totale reste partout nulle. On étudie ici encore la propagation d'une onde plane progressive et monochromatique, de champ électrique complexe Ë dans le plasma. LD -- 21. Dans le cadre non relativiste, en justifiant les simplifications, expliciter l'équation du mouvement des électrons et en déduire la densité volumique de courant dans ce milieu sous la forme J -- Y(w)E ; préciser l'expression, le nom et la dimension de la grandeur complexe y(w). Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, année 2021 -- filière PSI D -- 22. Montrer que cette expression de J permet d'obtenir une équation de dispersion (ED) ; préciser en particulier l'expression de la grandeur w,,. LJ -- 23. Que peut-on dire de la puissance moyenne dissipée dans ce milieu lors du passage de l'onde ? Que devient la puissance incidente électromagnétique dans le cas d'un écho ionosphérique ? Les ondes électromagnétiques actuellement utilisées pour la transmission de signaux radio ou télévision vérifient w > w,, au contraire des ondes des expériences historiques 
étudiées précé-
demment.

L -- 24. Citez l'ordre de grandeur des fréquences utilisées actuellement pour 
ce type de signaux.
Quels sont les avantages et les inconvénients d'une transmission à haute 
fréquence ?

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


© Éditions H&K

Mines Physique 1 PSI 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Jérôme Lambert (enseignant-chercheur à l'université) et Émilie Frémont 
(professeur
en CPGE).

Le sujet commence par une question sur la durée requise pour encoder en morse
une page de texte. C'est le prétexte pour introduire les télécommunications, 
thème
central du sujet.
· Dans la partie I, on s'intéresse à la propagation d'onde de courant et de 
tension dans un câble coaxial. Dans une première sous-partie, on étudie quelques
conséquences des équations dites des télégraphistes. C'est l'occasion de 
déterminer une relation de dispersion et d'étudier la dispersion et 
l'atténuation.
Ensuite, on aborde le modèle du câble coaxial vu en cours, puis on le complète
en prenant en compte l'atténuation. Cette partie s'appuie sur des données 
numériques relatives à un câble de bonne qualité, dont on parvient à expliquer 
les
caractéristiques grâce au modèle adopté.
· La deuxième partie, plus courte, cherche à rendre compte quantitativement de 
la
possibilité de transmettre un signal électromagnétique « par-delà l'horizon » en
utilisant le phénomène d'écho ionosphérique. L'ionosphère, qui est une couche
importante de la haute atmosphère, peut en effet être modélisée comme un
plasma peu dense qui peut, sous certaines conditions, réfléchir totalement une
onde électromagnétique. Cette partie reste très proche du cours sur les plasmas
peu denses.
Cette épreuve de longueur tout à fait raisonnable présente un ensemble cohérent
centré sur les ondes. De nombreuses questions sont très accessibles. Notons 
également
la présence de quelques applications numériques, à réaliser sans calculatrice 
mais qui
ne présentent pas de difficulté majeure.

© Éditions H&K

Indications
Partie I
2 Raisonner d'abord sur la dimension avant de donner l'unité. Ne pas chercher 
l'expression de la dimension à partir des dimensions fondamentales mais 
introduire la
dimension d'une impédance/résistance. Commencer par déterminer la dimension
de R0 et déduire celles des autres grandeurs ensuite.
5 La vitesse de phase est le rapport entre la pulsation et la partie réelle du 
vecteur
d'onde.
6 La puissance est proportionnelle à la tension au carré : comment évolue u(z, 
t)
quand z augmente ?
7 Rappelons qu'un tronçon élémentaire de câble coaxial de longueur dz est 
modélisé par une bobine élémentaire d'inductance `u dz sur un fil et un 
condensateur
élémentaire entre les deux fils de capacité cu dz.
9 Pour retrouver l'expression de l'impédance caractéristique, chercher des 
solutions
sous la forme d'une onde plane progressive harmonique se propageant dans le sens
des z croissants.
10 L'énoncé permet de traduire l'expression de l'onde de tension utilisée en 
l'écrivant
sous la forme u+ = U+ e i(t-kz) . Traduire la condition en limite en z = 0 avec
l'onde totale u+ + u- .
11 Écrire us et up en notation complexe. Exprimer u de deux façons : avec us et 
up
d'une part et avec u+ et u- d'autre part puis identifier. La grandeur  
correspond
au rapport des modules des amplitudes complexes de us et up .
12 Pour établir l'équation d'onde, utiliser la même démarche qu'à la question 7.
On obtient, comme résultat intermédiaire, des équations analogues aux équations
des télégraphistes données dans l'énoncé : identifier les constantes pour 
obtenir
rapidement la distance d'atténuation à partir de la question 6.
14 Pour déterminer l'onde réfléchie, passer en notation complexe et traduire 
les conditions aux limites en z = 0 à savoir la continuité de la tension et la 
loi des noeuds.
Partie II
18 Pour une démonstration complète, il faut écrire l'égalité entre le champ 
électrique
dans le vide (ondes incidente et réfléchie) et dans l'ionosphère. Si on ne 
tient pas
compte de l'onde réfléchie, le résultat est bien le même mais il n'est pas 
rigoureux.
19 Injecter les résultats de la question précédente dans la relation de 
dispersion. La
2
propagation n'est possible que si kz0 > 0.
20 Faire un schéma en supposant un rebond sur l'ionosphère de la part de l'onde
émise. En déduire l'expression de tan  en fonction de d et H.
22 Adopter la notation complexe et écrire les équations de Maxwell. Éliminer le
champ électrique pour obtenir l'équation de dispersion.

- 
-
23 La puissance volumique moyenne dissipée par effet Joule est J · E . Comment
est le vecteur d'onde dans le plasma dans le cas d'un écho ionosphérique ? Pour
déterminer la puissance moyenne transmise à travers le plasma dans le cas d'un
écho ionosphérique, il faut analyser le vecteur de Poynting moyen.

Publié dans les Annales des Concours

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I. Le fil du télégraphe
5

1 Attendu que 2 = 32, 5 bits ne permettent de coder que les 32 caractères de 
l'alphabet cyrillique, ce qui est insuffisant pour pouvoir coder en plus la 
ponctuation et
les chiffres. En revanche, vu que 26 = 64, 6 bits sont suffisants pour coder un 
caractère (lettre, chiffre, ponctuation ou espace) d'un document écrit en 
cyrillique. En effet,
pour coder N caractères en binaire sur n bits, avec n minimal, il faut que n 
vérifie
2n-1 + 1 6 N 6 2n
À raison de 3 bits/s, il faut 2 s pour coder un caractère. Estimons le nombre
de caractères dans une page de texte. En utilisant la page 2 de l'énoncé, on 
dénombre environ 40 lignes. En analysant les premières lignes de cette page, on 
peut
retenir une moyenne de 90 caractères par ligne, soit 3 600 caractères pour une 
page.
On en déduit qu'il faut environ 2 h pour transmettre en morse une page de texte.
Il est important d'expliquer comment on détermine le nombre de caractères mais 
il ne faut pas perdre de temps à faire une analyse trop précise : en
effet, c'est l'ordre de grandeur qui est utile et pour cela, que l'on retienne 
30,
40 ou 50 lignes d'une part, 80, 90 ou 100 caractères par ligne d'autre part ne
change rien à l'ordre de grandeur. L'avantage des valeurs retenues ici, c'est
que le calcul pour obtenir la durée de transmission est instantané.
La capacité des cartouches de toner en terme de pages de texte est calculée 
avec 4 000 caractères par page environ : l'ordre de grandeur est bon.
2 On a les équations des télégraphistes écrites sous la forme
-

u
R0 i R0
=
+
i
z
0 t
`0

(1)

et

-

1 u
i
=
z
R0 0 t

(2)

On note [X] la dimension de la grandeur X et L, M, T les dimensions de base que 
sont
les longueur, masse et temps. Sachant que le rapport d'une tension par une 
intensité
a la dimension d'une impédance, notée [Z], on obtient de l'équation (1)
#

  " -1
R0
1 u
R0
i
u
-1
= [Z] T L-1
=
= [Z] L
et
=
`0
i z
0
t
z
et de l'équation (2)

[R0 0 ] = [Z] L T-1

Comme R0 0 × R0 /0 = R0 2 , on déduit que R0 a la dimension d'une impédance
donc R0 s'exprime en ohms. Grâce à la 1re relation, on détermine que `0 a la
dimension d'une longueur donc `0 s'exprime en m. Enfin, via la 3e relation, on
conclut que 0 a la dimension d'une vitesse donc 0 s'exprime en m.s-1 .
3 Le rôle du fil de « retour », absent dans une configuration à un seul fil, 
est joué
par le sol. Le modèle bifilaire est donc toujours justifié.
Ce n'est pas la seule situation où il semble manquer un fil. On peut citer
deux autres exemples :
· Pour une dynamo de vélo, il n'y a, en général, qu'un seul fil car c'est le
cadre qui sert de masse.
· Dans le cadre de la transmission d'énergie électrique par courant triphasé, 
il n'y a que trois fils alors qu'il devrait y en avoir quatre. Le 4e
fil (le neutre) est en fait inutile si le réseau est équilibré puisqu'alors la
somme des courants est toujours nulle.

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4 Pour obtenir l'équation vérifiée par u, il faut éliminer i des équations des 
télégraphistes. Pour cela, on calcule la dérivée partielle de l'équation (2) 
par rapport au
temps et la dérivée partielle de l'équation (1) par rapport à z. Il vient

1 2u
2i

=
-
t z
R0 0 t2
2

R0  2 i
 u
R0 i
R0  2 i
1 u

 -
=
+
=
-
2
z
0 z t
`0 z
0 z t `0 0 t
En utilisant le lemme de Schwarz qui permet de permuter l'ordre des dérivations
partielles et en remplaçant dans la 2e relation ci-dessus, il vient
2u
1 2u
1 u
=
+
2
2
2
z
0 t
`0 0 t
On peut vérifier les dimensions de 0 et `0 déterminées à la question 2.
Pour déterminer la relation de dispersion, on cherche une solution sous forme
d'une onde sinusoïdale progressive u(z, t) = A e i(t-kz) et on injecte dans 
l'équation
de propagation. On obtient
 2

i
2
-k u = -
u+
u
0
`0 0
On en déduit la relation de dispersion en divisant par u :
 2

i
2
k =
-
0
`0 0
5 Par définition de la vitesse de phase v , on a

v =
Re (k)
On a donc besoin de l'expression de la partie réelle du vecteur d'onde en 
fonction de
la pulsation. On procède à un développement limité à l'ordre le plus bas non 
nul en
la perturbation. Ainsi, d'après la relation de dispersion réécrite sous la forme
 2 

i 0
2
k =
1-
0
`0 
on tire, par développement limité

k=
d'où

0

1 i 0
1-
2 `0 

v = 0

La vitesse de phase est une constante donc, à cet ordre du développement, il 
n'y a
pas de dispersion.
0
Insistons : il n'y a pas de dispersion si et seulement si
 1.
`0 
6 Analysons l'évolution de u(z, t) quand z augmente, c'est-à-dire dans le sens 
de
la propagation. Puisque l'on s'intéresse à des grandeurs énergétiques, il 
convient de
passer en notation réelle. Comme

1 i 0
k=
1-
0
2 `0 
Il vient

u(z, t) = A e Im (k) z e i(t-Re (k) z)