Mines Physique 1 PSI 2015

Thème de l'épreuve Aspects de la propulsion spatiale
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique, électromagnétisme
Mots clefs moteur ionique, moteur chimique, propulsion, système ouvert, pulsation cyclotron, micro-onde, plasma, fusée

Corrigé

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2015 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PSI (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I -- PSI. L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages. -- Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. -- Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. ASPECTS DE LA PROPULSION SPATIALE Pour les applications numeriques on utilisera 3 chiffres significatifs. Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau s'ils sont unitaires u bx ou d'une fleche dans le cas general ~v . A l'exception de i tel 2 que i = -1, les grandeurs complexes sont soulignees : z C. Donnees valables dans tout le probleme · Masse de l'electron, me = 9, 11 · 10-31 kg ; · Charge elementaire, e = 1, 60 · 10-19 C ; · Constante de Newton de la gravitation universelle, G = 6, 67 · 10-11 m3 · kg-1 · s2 ; · Permitivite dielectrique du vide, 0 = 8, 85 · 10-12 F · m-1 ; · Constante d'Avogadro, NA = 6, 02 · 1023 mol-1 ; · Rayon de la Terre, Rt = 6, 37 · 103 km ; · Masse de la Terre, Mt = 5, 97 · 1024 kg ; · Intensite du champ de pesanteur a la surface de la Terre, g = 9, 81 m · s-2 ; · Constante de Boltzmann, k = 1, 38 · 10-23 J · K-1 ; · Constante de Planck, h = 6, 62 · 10-34 J · s ; · Constante des gaz parfaits, R = 8, 31 J · K-1 · mol-1 ; Aspects de la propulsion spatiale Ce problème s'intéresse a la propulsion d'engins spatiaux et plus particulièrement au moteur ionique, dans lequel le carburant n'est pas brûlé mais ionisé. Les ions alors libérés passent par deux grilles fortement chargées électriquement et subissent ainsi une accélération. La force d'accélération des ions cause une force de réaction de sens opposé : c'est la force de propulsion du moteur a ions. Les différentes parties du problème sont très largement indépendantes. I. -- Généralités I.A. -- Aspect cinétique - Lois de vitesse A l'instant t = 0 , une fusée de masse totale m0 décolle verticalement dans le référentiel terrestre (voir figure 1). On définit le débit de masse D... > 0 des gaz brûlés, par D... = --Î,--T , m(t) désignant la masse de la fusée a un instant t > 0 quelconque. On note ([ = --uûz avec u > 0, la vitesse d'éjection des gaz par rapport a la fusée. On note 17 = o(t)Ûz la vitesse de la fusée dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On suppose que D... et u restent constants et que le champ de pesanteur g reste uniforme lors du lancement. _| 1 -- En prenant pour système la fusée a l'instant t, exprimer sa quantité de mouvement fi,-- aux instants t et t--l-- dt . Déterminer de même la quantité de mouvement 5, a l'instant t--l-- dt du gaz éjecté pendant dt . _| 2 -- On rappelle que la dérivée temporelle d'un vecteur OE(t) est définie par la relation d_w : lim ... dt dt-->O dt mental de la dynamique pour l'ensemble {fusée --l-- gaz}, établir l'équation différentielle . En utilisant le principe fonda-- d md--î = D...u -- mg (1) FIGURE 1 -- Fusée _| 3 -- Identifier, dans le second membre de l'équation (1), l'intensité F de la force de poussée. A quelle condition la fusée décolle--t--elle ? _| 4 -- On nomme impulsion spécifique Is d'un ergol (gaz propulseur) le temps pendant lequel une masse m de cet ergol peut fournir une poussée équivalente au poids ressenti par m a la surface de la terre. Exprimer L, en fonction de u et g. _| 5 -- Déterminer l'expression de la vitesse o(t) de la fusée a l'instant t, en fonction de t, m(t), g, u et de la masse de la fusée a l'instant t = 0 notée mo. _| 6 -- On suppose le vaisseau extrait de l'attraction terrestre (mission interplanétaire), sa masse totale est alors m,-- et sa vitesse 77 = v,;Ûz. On allume a nouveau un moteur pendant une durée At conduisant a une variation de masse Am = m,; -- mf. Adapter l'expression précédente pour obtenir la relation de T siolkovski donnant l'accroissement de vitesse correspondant, noté AV = of -- e,, en fonction de u, m,; et mf. L'exemple qui suit a pour objet de montrer l'intérêt des fusées a plusieurs étages. Soit une fusée de masse totale mt = 134 tonnes constituée de deux étages. La masse totale du premier étage est m... = 110 tonnes dont 100 tonnes d'ergols, et celle du second est m,, = 24, 0 tonnes dont 20,0 tonnes d'ergols. _| 7 -- En considérant que la vitesse d'éjection des gaz u = 4, 00 km - s_1 est la même lors de la poussée de chaque étage, calculer les accroissements de vitesse apportés successivement par chacun des étages de la fusée. Comparer avec le cas d'une fusée ne possédant qu'un seul étage et la même répartition de masses, c'est--à--dire 14,0 tonnes de structure et 120 tonnes d'ergols. Les calculs seront effectués dans l'hypothèse d'une absence de pesanteur. Page 2/6 Physique [, année 2015 -- filière PS] Une autre manière de minimiser les dépenses en carburant est d'augmenter la vitesse d'éjection, limitée a quelques kilomètres par seconde dans le cas d'une propulsion chimique comme nous le verrons dans la suite de ce probléme. Ü 8 -- Pour une charge utile de masse mu : 500 kg, calculer les masses mclet mc2 de carburant (la masse initiale du vaisseau est m0 : mu + mc) a prévoir pour obtenir une variation de vitesse AV : 5, 00 km - s_1, dans le cas d'une propulsion chimique (u = 4, 00 km - s_1) et d'une propulsion ionique (u = 20, 0 km - s_1). I.B. -- Aspect énergétique - Rendement propulsif du moteur fusée Ü 9 -- Le vaisseau se déplace a une vitesse de norme ?} dans le référentiel d'étude galiléen. Exprimer l'énergie cinétique dans ce référentiel de la masse dm du gaz éjectée pendant dt, en déduire la puissance cinétique Pjet contenue dans le jet de gaz issu du moteur. Exprimer de même la puissance reçue par le vaisseau de la part de la force de poussée. On exprimera ces deux termes en fonction de D..., u et v. Ü 10 -- On définit le rendement propulsif comme le rapport de la puissance cinétique gagnée par le vaisseau sur la puissance totale dépensée. En admettant une conversion parfaite de l'énergie stockée dans le vaisseau en énergie cinétique du jet et du vaisseau, montrer que le rendement propulsif peut se mettre sous la forme Za: "(l') = @ où l'on précisera l'expression de a: en fonction des données du problème. Ü 11 -- Tracer la courbe 77(a:), pour quelle valeur de a: le rendement propulsif est--il maximal? Pour quelles valeurs de a: le rendement est il nul ? Montrer que l'on pouvait prévoir ces résultats sans calcul. En fait, bien que des moteurs a vitesse d'éjection variable soient étudiés et quelquefois exploités, le rendement énergétique de la propulsion est souvent considéré comme secondaire : l'énergie fournie par une pile nucléaire ou des panneaux solaires est presque illimitée, ce qui n'est pas le cas des réserves de gaz propulsif. FIN DE LA PARTIE I II. -- Limites de la propulsion chimique Considérons l'écoulement d'une tranche de fluide, comprise entre les sections 31 et 32 a l'instant t et entre Sî et S$ a l'instant t+ dt . Durant le laps de temps dt cette tranche échange un certain travail W et une certaine quantité de chaleur Q avec l'extérieur. On note par ailleurs W' le travail échangé sans mettre en jeu les forces de pression. Ü 12 -- Appliquer le premier principe de la thermodynamique a cette tranche, écrire, en régime permanent, la relation entre W' , Q et les variations d'énergie massique de la tranche considérée. On se place dans la tuyère d'un moteur fusée, lorsque l'écoulement est permanent et s'effectue a altitude constante sans travail autre que celui des forces de pression. Le gaz éjecté est considéré comme parfait, de masse molaire M, d'indice adiabatique v = 1,4 . Il provient d'une chambre de combustion, où ses température et pression sont notées T C et Pc . Le gaz est initialement au repos, "UC : 0. Par ailleurs, on considère que le transit du gaz dans la tuyère est suffisamment rapide et les échanges suffisamment lents pour que l'on puisse négliger les transferts thermiques. Ü 13 -- Exprimer la vitesse maximale atteinte par le gaz en sortie de la tuyère en fonction de v, R, T C et M. On négligera la température de sortie devant T C. Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Aspects de la propulsion spatiale Ü 14 -- Les ergols utilisés pour la propulsion sont du dihydrogène et du dioxygène, leur réaction stoechiométrique permet d'obtenir une température de combustion de l'ordre de T C = 3, 0 - 103 K. Calculer la vitesse maximale d'éjection des gaz issus de la tuyère et l'impulsion spécifique correspondante. FIN DE LA PARTIE II III. -- Le moteur plasma micro-ondes III.A. -- Principe de fonctionnement Pour diminuer la consommation de gaz propulsif, il est nécessaire d'accélérer fortement le gaz éjecté par apport extérieur d'énergie . Cette accélération est rendue possible par l'ionisation de ce gaz (on obtient alors un plasma), les particules chargées pouvant être accélérées par un champ électrique. Le gaz propulsif utilisé est par exemple du Xénon, il est ionisé par trois types de mécanismes po-- tentiels, on suppose que tous les ions produits sont Xe+. Ces trois mécanismes sont représentés sur la figure 2. La première source potentielle d'ion est la collision entre un atome et un électron produit par un canon a électrons (défini au début de la partie III.B). Il s'agit de la voie &. Outre l'ion produit cette voie produit deux électrons lents. L'application d'une onde électromagnétique micro--onde permet d'accélérer ces électrons afin qu'ils puissent également ioniser d'autres atomes de Xénon. Il s'agit de la voie (7. Enfin, dans certaines conditions, les photons micro--onde sont également susceptibles de photo--ioniser les atomes de Xénon. Il s'agit de la voie c. Une forte densité du plasma est assurée par la présence d'aimants permanents. Les ions Xe+ sont finalement accélérés par une différence de potentiel dans une région appelée grille accélératrice. Des canons a électrons assurent une neutralisation du gaz émis. L'ensemble est schématisé sur la figure 2. Grille Grille accélératrice . , f A \ Canon a electrons micro--onde de neutralisation Xénon @ @_>@»@_Y @ Canon à électrons d'ionisation @ y A A Aimants permanents Z uoe FIGURE 2 -- Représentation schématique du moteur ionique : les symboles @ sont des atomes de Xénon, @ des ions Xe+ et e des électrons. On considère le plasma comme un milieu électriquement neutre, de permittivité 60 et de perméabilité magnétique ,u0 , qui renferme n ions par unité de volume et autant d'électrons de masse me et de charge --e. Au sein du plasma, les ions possèdent une vitesse caractéristique bien plus faible que celle des électrons, ils peuvent ainsi être considérés comme immobiles. Les électrons sont dits libres pour les distinguer de ceux qui restent attachés aux ions. Le Page 4/6 Physique [, année 2015 -- filière PSI plasma étudié ici est non--collisionnel, c'est--à--dire que l'on néglige l'effet des chocs entre ions et électrons ou entre particules de même espèce. On suppose également qu'il est non relati-- viste ce qui signifie que la vitesse caractéristique des électrons libres est faible devant celle de la lumière H"IÎEURH << c. Afin d'assurer une ionisation la plus complète possible, on souhaite finalement que ce plasma soit le siège de la propagation d'un rayonnement micro-onde. L'onde électromagnétique correspondante est associée a un champ électrique dont la représentation complexe s'écrit É : E0e'(w"_koe)ûy. Ü 15 -- On suppose la propagation effective. Faire l'inventaire de toutes les forces appliquées a un électron libre et préciser lesquelles sont négligeables. Ü 16 -- Déterminer, en régime de propagation établi, la représentation complexe fie de la vitesse des électrons libres et en déduire la conductivité complexe g du plasma définie par î = gÉ Ü 17 -- Vérifier que dans ce régime de propagation la densité volumique de charge p est bien nulle puis en revenant a la notation réelle établir l'équation de propagation du champ Ê(a:,t). On rappelle que rdt(rdtÊ) : grad(divÊ) -- AÊ, en déduire l'équation de dispersion dans laquelle apparaît la pulsation de plasma ne2 w = . }? 50me Ü 18 -- A quelle condition l'onde appliquée au plasma peut--elle s'y propager ? Sinon que lui arrive--t--il ? Un intense champ magnétique statique axial Ë0 : BO @, supposé uniforme, est appliqué a l'intérieur du plasma par des aimants permanents. Ü 19 -- Ecrire l'équation vectorielle qui décrirait le mouvement de l'électron s'il n'était soumis qu'à ce champ magnétique. Montrer que pour une vitesse initiale de l'électron contenue dans le plan perpendiculaire au champ magnétique, son mouvement serait circulaire uniforme dans ce plan, et que sa période de rotation serait indépendante de sa vitesse. Exprimer la pulsation wc correspondante, appelée pulsation cyclotron, et calculer sa valeur numérique pour un champ magnétique appliqué d'intensité BO : 0, 20 T. Ü 20 -- Montrer qualitativement que l'application du champ micro--onde (Ê , Ë0) avec w % wc permet d'accélérer les électrons en augmentant la norme de leur vitesse. Ü 21 -- D'après ce qui précède, exprimer et calculer numériquement la densité particulaire maximale que l'on peut espérer pour un champ magnétique appliqué d'intensité BO : 0, 20 T. Un champ magnétique permanent intense permet donc d'obtenir une densité importante de plasma et ainsi d'augmenter le courant ionique engendré par les grilles accélératrices. Il aide par ailleurs a maintenir l'ionisation : les lignes de champ magnétique << piègent >> les électrons en les forçant a décrire des cercles plutôt que de diffuser librement vers les parois ; la probabilité qu'un électron chaud ionise une molécule est accrue en raison de l'augmentation de la longueur de son trajet. Ü 22 -- L'énergie de première ionisation du Xénon est de l'ordre de 12,0 eV. La configuration précédente permet--elle d'envisager une réelle contribution de la photo--dissociation (voie c). On justifiera sa réponse par un calcul. III.B. -- Poussée On néglige la masse mEUR des électrons devant celle des ions notée ,u. Ü 23 -- Exprimer la relation entre l'intensité du courant électrique ] dû aux ions traversant le moteur, le débit D... de masse de gaz issu du vaisseau et des caractéristiques des ions. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Aspects de la propulsion spatiale Ü 24 -- On suppose que les ions ont une vitesse caractéristique nulle a l'entrée de la grille accélératrice. On note Va > 0 la tension présente entre les deux électrodes de la grille accélératrice. Déterminer la vitesse caractéristique de sortie des ions du moteur. En déduire l'intensité F de la force de poussée du moteur (identifiée a la question 3) en fonction de ], ,u, Va et e. Ü 25 -- La densité volumique de courant dans le moteur est liée a la tension d'accélération par la loi de Ohild--Langmuir que nous admettrons __450 2e Va3/2 "7_ 9 ,u d2 la distance d étant celle séparant les deux électrodes de la grille accélératrice . Exprimer F en fonction de V... d, 60 et du diamètre D du jet de gaz. On considère un moteur ionique utilisant du Xénon, de masse molaire M = 131 g - mol_1 et possédant les caractéristiques suivantes : . tension accélératrice Va : 700V; . distance d entre les deux électrodes de la grille accélératrice : d = 2, 50 mm; . diamètre de chaque trou dans les électrodes de grille délimitant les jets élémentaires D = 2, 00 mm; 0 nombre de trous en vis--à--vis dans chaque électrode : N = 2, 20 - 103 Ü 26 -- Calculer les valeurs numériques de la poussée F de ce moteur, de la vitesse de sortie des ions et de la masse de Xénon consommée sur une période de 90 jours de fonctionnement. Evaluer la puissance cinétique totale transmise au jet de gaz propulsé. Ü 27 -- Justifier sans calcul la nécessité de neutraliser le jet d'ions issu du moteur en lui fournissant des électrons. IV. -- Application du moteur ionique au maintien d'un satelhte en orb1te basse On considère un satellite terrestre de masse m3 = 250 kg en orbite circulaire basse a l'altitude h = 300 km. Cette altitude est telle que les hautes couches de l'atmosphère le freinent. Ü 28 -- Exprimer l'énergie cinétique EC du satellite en fonction de son énergie mécanique Erm ; en déduire que, paradoxalement, le freinage entraine une augmentation de la vitesse. Ü 29 -- Lorsque le moteur est éteint, les forces de frottement font perdre au satellite une altitude Ah : 20 m a chaque révolution. Exprimer la variation d'énergie mécanique correspon-- dante, effectuer l'application numérique. Ü 30 -- Le moteur ionique étudié précédemment permet--il de maintenir l'altitude de ce sa-- tellite ? FIN DE LA PARTIE IV FIN DE L'ÉPREUVE Page 6/6

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 Mines Physique 1 PSI 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Julien Dumont (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Cet énoncé présente deux méthodes de propulsion : la propulsion chimique, qui est utilisée par les fusées, et la propulsion par moteur ionique, utilisée pour les satellites et les sondes spatiales. · La première partie étudie la force de poussée, indépendamment du mode de propulsion. Son expression est obtenue par la loi de la quantité de mouvement appliquée à un système ouvert. On justifie ensuite l'utilisation de fusées à deux étages, plutôt qu'un seul : cette configuration permet d'atteindre des vitesses plus élevées. On calcule enfin le rendement propulsif du moteur d'une fusée en utilisant des méthodes de calcul adaptées à l'étude des systèmes ouverts. · C'est la propulsion chimique qui fait l'objet de la seconde partie. Après avoir écrit le premier principe de la thermodynamique en système ouvert, on évalue la vitesse maximale des gaz de propulsion. · La troisième partie étudie le mouvement de particules chargées dans un champ électromagnétique. On abandonne la physique des systèmes ouverts pour se concentrer, d'abord, sur le mouvement d'un électron d'un plasma froid, soumis à une onde électromagnétique. C'est l'occasion d'utiliser la force de Lorentz, mais aussi les équations de Maxwell. On en déduit les caractéristiques (puissance, consommation et force de poussée) du moteur ionique. On montre que l'utilisation d'une onde électromagnétique permet d'accélérer les électrons du plasma, mais limite sa densité. · Dans la courte quatrième partie, on cherche à déterminer si le moteur ionique qui fait l'objet de la partie précédente permet le maintien d'un satellite sur son orbite. Cette partie fait appel au cours de mécanique sur les mouvements à force centrale. Ce sujet, commun aux trois filières, fait appel aux programmes de première et de deuxième année. Le spectre des thèmes abordés n'est pas très large. Il contient peu de discussions physiques et d'analyses de données, mais fait appel à des méthodes de résolution particulières et à des points de cours. En ce sens, ce sujet constitue un bon problème de révision. Indications Partie I 1 On traite la fusée comme un système ouvert. 2 Le gaz qui est éjecté durant dt fait partie de la fusée à l'instant t. 8 La masse mc1 correspond à la propulsion chimique et mc2 à la propulsion ionique. 9 Dans le référentiel terrestre, la vitesse des gaz éjectés est - u +- v . Exprimer P jet en fonction de Dm , v, u et dt. Utiliser l'expression de F obtenue à la question 3 pour obtenir PF . 10 Faire appel à la formule = PF /(Pjet + PF ). Partie II 12 Les quantités W, W et Q sont échangées pendant la durée élémentaire dt. 13 Ici, (h + ec ) = 0. Dans le cas d'un gaz parfait, h = R T M( - 1) 14 Le gaz éjecté est de la vapeur d'eau de masse molaire 18 g.mol-1 . Partie III 15 La force de Lorentz magnétique peut être négligée. On le justifie en s'appuyant sur une des équations de Maxwell. 16 Écrire la loi de la quantité de mouvement. Se placer en régime sinusoïdal forcé. 17 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss et la formule d'analyse vectorielle fournie. 18 Pour avoir propagation, il faut k réel. En déduire une propriété pour k 2 . d- ve - 19 Montrer que me = -e v e B0 u cz . dt 20 Remarquer qu'une onde polarisée rectilignement est la somme de deux ondes polarisées circulairement. Repartir de l'expression de la vitesse obtenue à la question précédente et appliquer la méthode de variation de la constante. 21 On veut que l'onde se propage dans le milieu lorsque sa pulsation est c ; il faut donc que k 2 ( c ) > 0. 22 L'énergie d'un photon de pulsation est ~. 23 Raisonner par analyse dimensionnelle. 24 Traduire la conservation de l'énergie mécanique pour exprimer v en fonction de Va , puis l'expression de F en fonction de Dm et u. 26 Se contenter d'un ordre de grandeur pour évaluer Pjet ,. On peut, par exemple, utiliser la valeur de v fournie à la question 8. Partie IV 30 Calculer la durée d'une révolution (à l'aide de l'analogue de la troisième loi de Kepler). Utiliser la valeur de Pjet estimer à la question 26. Aspects de la propulsion spatiale I. Généralités 1 Par définition, la quantité de mouvement - pf (t ) de la fusée, à l'instant t , est le produit de sa masse m(t ) à cet instant par sa vitesse - v (t ) au même instant, dans le référentiel d'étude. Ainsi, en prenant successivement t = t, puis t = t + dt, il vient - pf (t) = m(t) - v (t) - pf (t + dt) = m(t + dt) - v (t + dt) et La masse Dm dt de gaz, éjectée entre les instants t et t + dt, possède une vitesse à l'instant t + dt notée - u par rapport à la fusée. La vitesse de la fusée par rapport au - sol est v (t + dt). Par composition des vitesses, la vitesse du gaz éjecté par rapport au sol est - u +- v (t + dt). Il s'ensuit que h i - pg = Dm dt - u +- v (t + dt) = Dm dt [v(t + dt) - u] u cz L'énoncé est déroutant lorsqu'il demande de prendre « pour système la fusée à l'instant t » (ce qui laisse penser que la fusée est vue comme un système fermé), puis invite à la traiter comme un système ouvert. C'est bien cette seconde approche que l'on choisit. 2 Le système {fusée+gaz} est un système fermé entre t et t + dt. On peut donc lui appliquer la loi de la quantité de mouvement dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La somme des forces extérieures à ce système se réduit à son poids m- g. - Notons (t) la quantité de mouvement de ce système à l'instant t, dans le référentiel d'étude, alors - (t + dt) - - (t) lim = m- g () dt0 dt - - Mais (t) = - p (t) et (t + dt) = - p (t + dt) + - p f f g Remplaçons les quantités de mouvement par leur expression établie précédemment, h i - (t + dt) - - (t) = - p (t + dt) - - p (t) + D dt - u +- v (t + dt) f f m h i - = m(t + dt)- v (t + dt) - m(t)- v (t) + Dm dt u +- v (t + dt) Par conservation de la masse m(t + dt) = m(t) + Dm dt, il apparaît que h i - (t + dt) - - (t) = m(t) - v (t + dt) - - v (t) + Dm dt - u Injectons cette expression dans l'équation (), d- v + Dm - u = m- g m dt Projetons cette équation sur u c et utilisons - u = -u u c, z z m dv = Dm u - m g dt (1) 3 L'expression établie à la question précédente montre que la fusée est soumise à deux forces : l'une est son poids et l'autre correspond au terme Dm u, qui s'identifie à la poussée des gaz éjectés. Cette force est bien orientée vers le haut. Ainsi, F = Dm u Pour que la fusée décolle, il faut que l'accélération soit positive. On en déduit que Dm u > m g Puisque m(t) est une fonction décroissante de t, cette condition peut aussi être réécrite en utilisant m(0) = m0 , Dm u > m0 g 4 L'impulsion spécifique Is est la durée pendant laquelle m est éjectée, donc m Dm = Is car le débit est constant. La poussée est supposée égale au poids utilisé pour définir Is , si bien que u m Dm u = Is = u = mg d'où Is g On doit s'assurer rapidement que Is possède bien la dimension d'un temps : L.T-1 [Is ] = =T L.T-2 [ 2]5 Divisons l'équation (1) par m(t) et séparons les variables, dv = Comme Dm u dt - g dt m(t) dm = -Dm dt dm u - g dt m Intégrons entre l'état initial en t = 0 et l'état à l'instant t : m0 v(t) - v(0) = u ln - g (t - 0) m(t) m0 d'où v(t) = u ln -gt m(t) Il vient dv = - On peut également résoudre cette question en s'appuyant plus explicitement sur la conservation de la masse : m(t) + Dm t = m0 . Cela conduit à intégrer l'équation suivante, qui conduit bien sûr au même résultat : dv Dm u Dm u = -g= -g dt m(t) m0 - Dm t 6 Adaptons le calcul de la question précédente. Cette fois, on prend g 0, m0 mi , v(0) v i , v(t) v f et m(t) mf . Ainsi, mi mi v f - v i = u ln d'où V = u ln mf mf 7 Considérons d'abord le cas d'une fusée à deux étages. Les masses sont exprimées en tonnes. Durant la phase de poussée par le premier étage, l'accroissement de vitesse V1 s'écrit