Mines Physique 1 PSI 2013

Thème de l'épreuve Modulation acousto-optique
Principaux outils utilisés ondes acoustiques, ondes électromagnétiques, modulation, interférences
Mots clefs indice optique variable, milieu compressible, interférences hétérodynes, MAO

Corrigé

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2013 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PH YSIQ UE 1 -- PSI. L'énencé de cette épreuve comporte 6 pages. -- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené a prendre. -- Il ne faudra pas hésiter a formuler des commentaires pertinents (incluant des considérations numé-- riques), même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. MODULATION AOOUSTO--OPTIQUE Oe problème comporte trois parties largement indépendantes. La première partie fait établir l'équation de propagation d'ondes acoustiques dans un milieu compressible. Dans une deuxième partie, une modélisation d'un modulateur acousto--optique (MAO) est présentée. Le MAO est un outil très utile en optique : il peut modifier la direction et la fréquence d'une fraction de la lumière le traversant. La troisième et dernière partie étudie une application utilisant un MAO : la méthode de détection hétérodyne. Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner le meilleur ordre de grandeur possible de la valeur numérique. Les vecteurs seront surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires (EUR), ou d'une flèche dans le cas , , --) ' 7 . . .2 _ . , general (a ). A l except10n de ], tel que ] -- --l, les nombres complexes seront souhgnes. Const ant es numériques : <> constante des gaz parfaits : R = 8,31 J - mol_1 - K_1 ; <> exposant adiabatique : v = 5/3 (resp. v = 7/ 5) pour un gaz parfait monoatomique (resp. diatomique) ; <> masse molaire moyenne de l'air : M = 29,0 g - mol--1. Modulatian acausta--uptique I. -- Ondes acoustiques dans un milieu compressible FIGURE 1 * Déformation du milieu lors du passage d'une onde sonore se propageant selon 'e}. _, _, EUR(z,t) 5(z + dz,t) On considère un milieu compressible et homogène caractérisé, au repos, par sa masse volumique gg uniforme, et au sein duquel règnent une température T0 et une pression PO uniformes (pe-- santeur négligée). Pour décrire la. déformation du milieu, on considère une tranche (systéme fermé) de section S et d'épaisseur dz initialement au repos. Sous l'effet d'une perturbation se propageant dans la direction 2, la tranche élémentaire, repérée au repos par l'abscisse z, est déplacée d'une distance 5(z,t) à un instant t (Voir figure 1). La grandeur EUR est appelée champ de déplacement acoustique. On note P(z,t) et g(z,t) respectivement la pression et la masse volumique de cette tranche élémentaire a un instant t quelconque. On définit enfin par .. 5 A . v (z,t) : % ez la Vitesse de cette tranche. E' 1 -- Déterminer, par conservation de la masse, la relation liant Q(z,t) a go et (Î' 2 D 2 -- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique a la tranche de fluide ini-- 62 ôP tialement au repos entre les abscisses z et 2 + dz, établir la relation liant go, Î'Î et Î' z , . , . ,, . . , . . . 1 @@ D 3 -- En déduire que {(z,t) verifie lequatron dfierent1elie su1vante, ou Xs : ? % est le s coefiicient de compressibfiité isentropique du milieu : 525 62EUR 1 % at2 Xs90 (l + Ë) ôz , . . . . , ,. , . , 35 D 4 -- On se place dans lappro}nmatnon acoustique ou lon suppose lmegalrte Æ << 1. Montrer que le champ de Vitesse v(z,t) vérifie alors une équation de propagation de d'Alem-- bert. Exprimer la célérité cD des ondes acoustiques. Donner la forme générale d'une solution sinusoïdale progressive d'amplitude 1/0, de pulsation temporelle Q et se propageant dans le sens des 2 croissants avec un vecteur d'onde K : K EUR,. Exprimer la norme de K en fonction des données. D 5 -- Exprimer la célérité du son dans l'air, notée ca,-,, en fonction de grandeurs pertinentes puis calculer sa valeur dans le cas d'une propagation isentropique dans l'air, assimilé à un gaz parfait à la température To : 300 K. Comparer la Valeur obtenue à l'ordre de grandeur (que l'on précisera) de la célérité @... des ondes sonores dans un solide. FIN DE LA PARTIE I Page 2/6 Physique I, année 2013 * filière PSI II. -- Modèle du modulateur acousto--optique (MAO) On s'intéressera dans un premier temps a la réflexion d'une onde lumineuse sur un dioptre plan, préalable nécessaire a la modélisation d'un MAO. On note c la célérité de la lumière dans le vide. On considère deux milieux, diélectriques (isolants) transparents, non chargés, linéaires, homo-- gènes et isotropes d'indices réels respecti£s " et n' dont l'interface de séparation est le dioptre plan d'équation z : O. Le milieu d'indice n occupe le demi--espace : > 0 et le milieu d'indice n' le demi--espace 2 < 0 (Voir figure 2). Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique de pulsation temporelle w se propage dans le milieu d'indice n. Dans le référentiel centré sur 0, on note Ë(M,t) : En exp [j(wt * la - OÎ4)] êy la représentation complexe du champ électrique au point M associé à cette onde. En notant c la célérité de la lumière dans le vide, le vecteur d'onde !? 1- : E'e} : définit l'angle d'incidence 9 par rapport a la normale au dioptre. En notation complexe, les champs électriques réfléchis et transmis s'écrivent : <> Ë,(M,t) : RED exp [j(wt * Iii, -- OÎ)] %, où le vecteur d'onde E, : E'e} définit l'angle -- c de réflexion 0,. <> Ë(M,t) : TEgexp [j(wt * Î 0 en fonction de k et K puis en fonction de À et A. L'angle aB existe--t-il toujours? E' 15 -- Vérifier que, à l'incidence de Bragg, les ondes élémentaires réfléchies aux interfaces z et 2 + A interférent de manière constructive. D 16 -- On donne 9 : 2,0 mm, A : 50 pm, no : 2,0 et la longueur d'onde dans le vide de l'onde lumineuse )... : 0,60 pm. Montrer que le profil de l'intensité lumineuse (on éclairement) réfléchie en fonction de Sina se limite en bonne approximation a deux pics très étroits centrés sur 1 sin dB et dont on précisera (littéralement et numériquement) la largeur, notée A sin &. On envisage alors le cas a : +aB. Montrer que l'onde lumineuse réfléchie est décalée en fréquence par rapport a l'onde incidente (et transmise). Caractériser ce décalage. FIN DE LA PARTIE II III. -- Interfêrométrie hétérodyne Un faisceau laser Hélium--Néon (Àg : 632,8 nm) est envoyé sous incidence de Bragg (a : EME) a travers le modulateur acousto--optique modélisé dans la partie II. Deux faisceaux émergent du dispositif : le faisceau transmis (ordre 0), non dévié et de pulsation temporelle L.}, est séparé du faisceau réfléchi (ordre 1 ), de pulsation w +Q. Ces faisceaux sont ensuite recombinés au moyen de deux miroirs et d'une lame semi--réfléchissante (analogue à la séparati'ice d'un interférométre de Michelson). On enregistre l'intensité lumineuse totale sur un détecteur (photodiode) dont le temps de réponse T vérifie 2" << T << %" (Voir figure 4). w Page 5/6 Tourna la page S.V.P. Modulatian acausta--aptique Séparatrice Détecteur ) Laser (w) Miroir mobile dA(t) l FIGURE 4 * Dispositif expérimental pour l'interférométrie hétérodyne. m On note @ : ao exp(jwt) et à : a1 exp [j[(m +Q)t + «p(t)]] les vibrations scalaires complexes respectives des champs électriques associés aux ordres 0 et 1 qui interférent au niveau du détecteur. La grandeur  

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 Mines Physique 1 PSI 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Bruno Salque (ENS Lyon) ; il a été relu par Tom Morel (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur l'étude d'un procédé de modulation de la lumière appelé modulation acousto-optique (MAO). · Dans la première partie du problème, on étudie le principe de propagation d'une onde acoustique dans un milieu compressible. Contrairement au cas habituel du cours, l'approximation acoustique, postulant la linéarité de la relation de dispersion, n'est pas introduite au début du raisonnement. · Dans la deuxième partie, nécessitant plus de maîtrise des calculs, on travaille sur un modèle de modulateur acousto-optique avec la propagation d'ondes électromagnétiques sur un milieu isolant à indice optique variable. Cette variation d'indice est induite par des ondes acoustiques propagées dans le milieu. · Enfin, on s'intéresse dans la troisième partie à l'utilisation d'un dispositif de MAO : la méthode de détection hétérodyne. Les noeuds et ventres des ondes acoustiques dans le milieu constituent un réseau qui diffracte les ondes lumineuses tout en modifiant leurs phases et leurs fréquences. En superposant l'ordre 0 et l'ordre 1 du signal lumineux, on identifie les variations de chemin optique entre les deux ordres. Un tel dispositif permet, par exemple, de mesurer des déplacements très petits devant la longueur d'onde de la source laser utilisée. Des notions de traitement du signal sont abordées dans les dernières questions. Ce problème, d'une difficulté raisonnable, permet de tester ses connaissances sur l'acoustique et l'optique ondulatoire. Les calculs doivent être soignés pour pouvoir terminer ce sujet. Indications Partie I 1 Adopter un point de vue lagrangien et traduire la constance de la masse d'une tranche du milieu. 2 Faire un bilan de quantité de mouvement sur une tranche de fluide. 1 . 3 On rappelle la définition de s = P S 5 Utiliser les lois de Laplace pour exprimer S en fonction de et p. Partie II 6 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss. 7 Ne pas oublier le déphasage de pour la réflexion d'une onde électromagnétique. 8 Utiliser la loi de Maxwell-Faraday et la continuité du champ. 9 Utiliser le développement limité sin(a + a) = sin(a) + a cos(a). 10 Se rappeler que tan2 + 1 = 1/ cos2 . 12 Utiliser le théorème de Malus sur deux rayons arrivant en z = 0 et en z > 0. 13 Développer sin(t - K z) en exponentielles complexes. 14 Où la fonction sinus cardinal atteint-elle son maximum ? 16 Comparer la valeur du terme croisé par rapport aux autres. Partie III 17 « Hétéro » signifie « différent ». 2 18 Utiliser la formule I = |A0 + A1 | . 20 Utiliser cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B. 21 Par définition du décibel : 20 log (S1 /S0 ) = -60. Modulation acousto-optique I. Ondes acoustiques dans un milieu compressible 1 Effectuons un bilan de masse dans le système fermé suivant : une tranche du milieu au repos, placée entre z et z + dz. À l'instant t, cette tranche se déforme et ses limites sont z + (z, t) et z + dz + (z + dz, t). dz z (z, t) (z + dz, t) En notant dm la masse de cette tranche, il vient : dm = 0 S dz = (z, t) S[dz + (z + dz, t) - (z, t)] Avec le développement de Taylor à l'ordre 1 de (z + dz, t) = (z, t) + (z, t)dz, on z arrive à dm = (z, t) (z, t) + 1 S dz z soit la relation demandée après simplification par S dz, (z, t) + 1 0 = (z, t) z Attention à ne pas utiliser l'équation eulérienne de la conservation de la masse D = + div (- v)=0 Dt t qui ne permet pas de trouver la relation entre et 0 . 2 Appliquons le principe fondamental de la dynamique à une tranche de fluide de masse dm = 0 S dz. Les forces qui s'appliquent sont uniquement les forces de pression en amont et en aval de la tranche. - v m = S P(z, t)- ez - S P(z + dz, t) - ez t - v P 0 S dz =- S dz - ez t z - Projetons la relation précédente selon ez , en simplifiant par S dz, on arrive à 0 2 P (z, t) = - (z, t) 2 t z 3 Travaillons sur le terme P/z en faisant apparaître le coefficient de compressibilité isentropique du milieu s . 1 1 z s = = P S z P Utilisons l'expression de trouvée à la question 1 : 1+ z z s = 0 z P 2 1 + 1 P 2 0 z donc = = - z z s 0 z s 1+ 1+ z z En réinjectant dans l'expression obtenue dans la question précédente, on trouve bien 2 2 1 z = 2 t s 0 1+ z 2 La relation obtenue indique, par son caractère non linéaire, une propagation dispersive des ondes acoustiques. 4 Négligeons le terme en /z devant 1 et dérivons par rapport à t cette équation : 3 1 3 = t3 s 0 tz 2 Comme v = /t, il vient bien 1 2v 2v - 2 =0 c0 2 t2 z avec 1 c0 = s 0 La forme générale de la vitesse d'une onde acoustique, pour une propagation - dans le sens des z croissants avec un vecteur d'onde K = K- ez , de pulsation et d'amplitude v0 , est v(z, t) = v0 sin(t - K z + ) en notant la phase à l'origine. Si l'on réinjecte cette expression dans l'équation de propagation précédente, on trouve, après simplification par v0 , soit 2 = K2 c0 2 |K| = s 0