Mines Physique 1 PSI 2012

Thème de l'épreuve Résonances et plasmons de surface
Principaux outils utilisés ondes électromagnétiques, oscillateurs, induction
Mots clefs plasmons de surface, résonance, haut-parleur

Corrigé

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2012 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PSI (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I -- PSI. L'enonce de cette epreuve comporte 5 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. RESONANCES & PLASMONS DE SURFACE Le probleme se compose de trois parties largement independantes. La premiere partie presente un modele qui servira dans la partie suivante pour resoudre qualitativement par analogie quelques questions, avec des calculs plus simples. La derivee par rapport au temps t d'une fonction x (t) est notee x. Hormis j dans la partie I et i dans la partie II, les nombres susceptibles d'avoir une partie imaginaire non nulle sont soulignes. La notation Re (z) signifie partie reelle du nombre complexe z. Les vecteurs -v dans le cas general. Les applisont notes avec un chapeau s'ils sont unitaires ebx , avec une fleche cations numeriques peuvent toutes etre effectuees sans calculatrice, il n'est donc demande de fournir qu'un ordre de grandeur correct. I. -- Resonance en mecanique Dans toute cette partie on notera j le nombre complexe tel que j2 = -1. I.A. -- L'oscillateur harmonique amorti entretenu. Une masse m supposee ponctuelle et dont l'abscisse est reperee par la fonction x (t),p peut se deplacer sur un plan horizontal sous l'action d'un ressort de raideur k0 . On posera 0 = k0 /m. Elle est - soumise a une force de frottement visqueux proportionnelle a la vitesse Fv = - f x ebx , creee par un amortisseur a air comme represente sur la figure 1. En faisant apparaitre un facteur d'amortissement sans dimension > 0, le coefficient f peut etre mis sous la forme f = 2 0 m. A l'instant t = 0 la masse est abandonnee sans vitesse initiale d'une position x (t = 0) = x0 > 0. On entretient les oscillations du systeme en exercant sur la masse m et a partir de t = 0, une force sinusoidale de - pulsation qui s'ecrit Fe = k0 x0 Re e j t ebx . L'origine de l'axe des x correspond a la position de la masse lorsque le ressort n'est ni etire ni compresse. Resonances & plasmons de surface f m ex m k x F IGURE 1 ­ Oscillateur mobile amorti 1 -- Determiner l'equation differentielle verifiee par x(t) et decrivant le mouvement de m. On utilisera les seuls parametres , 0 , et x0 . 2 -- Resoudre l'equation obtenue a la question 1 dans le cas general. On note Xm l'amplitude du mouvement dans la limite t ( 0 )-1 , exprimer dans cette limite ­ la valeur M de rendant maximale la fonction Xm ( ). On exprimera M en fonction de 0 et ; ­ la valeur XM = Xm (M ) dans la limite 1 ; ­ la largeur de la bande passante = |2 - 1 | avec Xm (2 ) = Xm (1 ) = XM / 2, toujours dans la limite 1. 3 -- En considerant la variable = /0 , tracer une representation graphique approximative de la fonction g ( ) = Xm ( ) /x0 pour = 0, 05 et = 0, 2. I.B. -- Interaction electromecanique. F IGURE 2 ­ Vue en coupe d'un couplage electromecanique Une onde sonore plane sinusoidale progressive incidente se propage de la gauche vers la droite dans un tube T comme represente en coupe sur la figure 2. L'onde reflechie sur une membrane d'aire se propage quant a elle de la droite vers la gauche sur cette meme figure. La surpression due a l'onde incidente est notee pi , et celle due a l'onde reflechie pr . A l'exterieur du tube la pression p0 est supposee constante, a l'interieur du tube elle s'ecrit p = p0 + pi + pr . Cette membrane est solidaire d'un solenoide constitue par un fil de longueur totale , qui s'enfile sur - un aimant de telle maniere que ce fil, sur toute sa longueur, soit soumis a un champ magnetique B - radial (donc perpendiculaire au fil qui est orthoradial) d'intensite B = k B k uniforme dans l'espace et constante dans le temps. L'ensemble du dispositif : tube, solenoide, aimant, possede la symetrie de revolution autour de l'axe des x. Le fil est relie a un circuit R, L, Ca . Le sens du courant choisi est tel que i > 0 donne une force de LAPLACE orientee comme l'axe des x. On suppose que cette force est integralement transmise Page 2/5 Physique I, annee 2012 -- filiere PSI a la membrane qui est egalement soumise aux forces de pression mais libre de toute autre force. Cette membrane coulisse librement le long de l'axe des x. On neglige tout frottement mecanique, ainsi que l'emission eventuelle d'une onde sonore vers la droite par la membrane. La representation complexe de l'abscisse de la membrane s'ecrit x(t) = Xe j t . On rappelle que pour une onde sonore, la surpression est telle que pi = cs vi , pour l'onde incidente se propageant vers la droite, et pr = - cs vr pour l'onde reflechie se propageant la gauche. Le parametre designe la masse volumique moyenne de l'air, cs la celerite du son dans l'air et vi et vr la vitesse de l'air au passage des ondes correspondantes. On pourra utiliser les representations complexes de ces deux vitesses vi = Vi e j t et vr = Vr e j t . 4 -- Ecrire le principe fondamental de la dynamique en projection sur l'axe des x applique au systeme membrane-solenoide en supposant que sa masse est nulle. 5 -- En effectuant un bilan de puissance, exprimer la force electromotrice (fem) E induite dans le circuit en fonction de B, et x. En deduire l'equation differentielle verifiee par i. 6 -- On definit le coefficient de reflexion par la relation pr = pi , montrer que 1+ Rm = avec ( ) = L - (Ca )-1 1- R + j( ) ou l'on exprimera Rm en fonction de B, , , cs et . On verifiera que Rm est homogene a une resistance. 7 -- Interpreter les valeurs de correspondant a B = 0 et a B + . 8 -- Dans quelles conditions peut-on obtenir | | = 0 ? Quel nom donner a cet ajustement ? Calculer la valeur numerique de B correspondant a cet ajustement pour = 4 m ; = 10 cm2 ; = 56 kg.m-3 ; cs = 1 3 -1 et R = 100 . 3 · 10 m.s 9 -- Calculer | | en fonction de Rm , R et ( ). Determiner la valeur numerique de | | si Ca = 10 µ F ; L = 0, 1 H ; Rm = 150 ; R = 100 et = 2 · 103 rad.s-1 . En utilisant les divers resultats de la question 2, interpreter et commenter les differentes courbes de la figure 3 qui represente | | en fonction de pour Rm = 66; 100 et 150. F IGURE 3 ­ Module du coefficient de reflexion en fonction de la pulsation pour differentes valeurs de Rm FIN DE LA PARTIE I Page 3/5 Tournez la page S.V.P. Resonances & plasmons de surface II. -- Les plasmons de surface Dans toute cette partie on notera i le nombre complexe tel que i2 = -1. II.A. -- Propagation d'une onde sur un plan metallique On considere un plan conducteur infini ( = xOz, voir figure 4) plonge dans le vide. Ce plan est parcouru par des ondes electromagnetiques de celerite c caracterisees par une densite sur- facique de courant js independante de x, et dont la representation complexe s'ecrit - js = jsM ei(Kz- t) ebz ou jsM et K sont des constantes reelles et positives. F IGURE 4 ­ Geometrie du plan 10 -- En adaptant l'equation de conservation de la charge au cas de distributions surfaciques, - determiner la densite surfacique de charge (z,t) associee a js . - 11 -- Montrer que le champ electrique E cree par la densite de charges est de la forme - E = Ey eby + Ez ebz ou Ey et Ez sont deux fonctions des variables y, z et t. 12 -- Determiner la limite de la fonction Ey (y, z,t) lorsque y 0+ . 13 -- On suppose que k = /c < K. Dans la region y > 0, determiner l'expression de Ey (y, z,t) puis celle de Ez (y, z,t) en fonction des parametres K, jsM , 0 , et k et des variables y, z et t. Pour cette derniere expression, on pourra calculer div~E. 14 -- Quelles sont les proprietes de l'onde qui existe dans la region y > 0 ? On se place dans le cas ou le plan est un metal infiniment fin contenant des charges libres sous la forme d'electrons (charge e < 0 et masse m). Le nombre de ces electrons par unite de surface est note , il est suppose constant. On fait l'hypothese que ces electrons peuvent se deplacer sans interaction (frottement) avec le reseau cristallin constituant le metal. On suppose enfin que ces electrons restent dans le plan y = 0 et que le module de leur vitesse v = k~vk est toujours negligeable devant la celerite de la lumiere c. 15 -- En ecrivant la relation fondamentale de la dynamique, determiner l'expression de la vitesse d'un electron dans le metal. 16 -- En deduire la relation de dispersion reliant et K pour des ondes libres se propageant dans le plan metallique. De telles ondes sont appelees plasmons de surface. On introduira la pulsation S = e2 0 mc 17 -- Pourquoi une onde electromagnetique plane progressive incidente, dans le vide, ne peut-elle pas exciter un plasmon de surface sur le metal ? II.B. -- Excitation de plasmons grace a la reflexion totale On considere (figure 5) un demi-cylindre de verre d'indice n. Une onde electromagnetique d'intensite Ie arrive perpendiculairement au plan tangent en A a la surface du verre. Elle penetre donc le verre en A sans deviation. On suppose de plus qu'elle subit une reflexion totale en O pour ressortir du demi cylindre en B avec une intensite Ir . Page 4/5 Physique I, annee 2012 -- filiere PSI 18 -- Montrer qu'il existe une onde evanescente dans le vide d'epaisseur d entre le metal et le demi cylindre de verre. On pourra supposer que la loi de la refraction s'applique encore, mais avec un angle de refraction r qui est un nombre complexe tel que cos r = i avec reel et positif. On ecrira la dependance en z, y, et t du champ electrique en procedant par analogie avec le cas ou r est reel. 19 -- Montrer que cette onde, qui existe alors dans l'espace vide entre le verre et le metal, peut exciter un plasmon dans le metal. 20 -- Determiner l'expression de la pulsation F IGURE 5 ­ Excitation des plasmons dans la de ce plasmon de surface en fonction de , n, et configuration de OTTO S . 21 -- Comment va se manifester l'excitation de plasmons dans le metal ? On pourra par exemple considerer le rayon emergeant en B. Lors d'une experience on mesure le rapport gd ( ) = Ir /Ie pour differentes incidences et differentes valeurs de d dans le cas d'une plaque en argent, d'un demi-cylindre en verre, et d'un rayon incident de 633 nm de longueur d'onde. Pour chacune des trois valeurs de d utilisees (d1 = 581 nm ; d2 = 918 nm et d3 = 951 nm), on a reporte sur la figure 6 la courbe gd ( ) experimentale. 22 -- En utilisant les differents resultats de la partie I, proposer une explication qualitative des resultats experimentaux rassembles sur la figure 6. F IGURE 6 ­ Proportion d'intensite reflechie en fonction de l'angle d'incidence. Chaque courbe a ete obtenue pour une valeur differente de l'epaisseur de vide d. 23 -- Si l'on place un liquide entre la surface du metal et le demi cylindre de verre, en quoi les phenomenes precedents sont ils modifies. Comment un tel dispositif permet-il de detecter des impuretes dans un liquide ? FIN DE LA PARTIE II FIN DE L'EPREUVE Page 5/5

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 Mines Physique 1 PSI 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Hadrien Vroylandt (ENS Cachan) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Le sujet comporte deux parties largement indépendantes portant sur la résonance en mécanique et les plasmons de surface. · Au cours de la première partie, qui porte partiellement sur le programme de première année, on étudie les phénomènes de résonance sur deux systèmes mécanique et électromécanique. D'abord sur un système simple masse-ressort excité, où l'on calcule divers paramètres du système. Puis on s'intéresse au haut-parleur électromécanique : après établissement des équations de fonctionnement, on étudie la réponse du système à une excitation externe. · La seconde partie porte sur les plasmons de surface, qui sont une des solutions des équations de Maxwell à l'interface entre deux milieux. On établit la relation de dispersion du plasmon de surface via l'étude du champ électrique de part et d'autre d'une plaque. On considère enfin une méthode pour les exciter via la réflexion totale d'une onde lumineuse sur une interface. Ce sujet assez difficile demande une bonne maîtrise de l'induction, des ondes électromagnétiques et des oscillateurs. Il permet de s'entraîner à l'étude des phénomènes de résonance. Indications Première partie 2 Se placer en régime sinusoïdale forcé pour obtenir la solution particulière. Ne pas oublier les approximations faites par l'énoncé. 5 Effectuer un bilan de puissance électrique et électromécanique. 6 Partir de l'équation différentielle vérifiée par i et passer en représentation complexe. Utiliser également le résultat de la question 4. 9 C'est le module || qui est demandé et pas juste . Seconde partie 11 Attention à la disposition des vecteurs de base. Utiliser les symétries. 12 Faire par similitude avec le cas du plan infini conducteur. 13 Considérer Ey comme une OPPM de vecteur d'onde (0, ky , K). La région y > 0 est vide de charges. 16 Égaliser la densité surfacique de courant avec le champ électrique. Le champ électrique tangentielle est continu à la traversée de l'interface. 18 Calculer les composantes du vecteur d'onde de l'onde réfractée. L'onde réfractée est dans le vide. 20 Égaliser la composante horizontale du vecteur d'onde de l'onde évanescente avec le vecteur d'onde du plasmon. I. Résonance en mécanique I.A L'oscillateur harmonique entretenu 1 Effectuons le bilan des forces appliquées à la masse m : - · la force de rappel du ressort F ressort = -k 0 x(t) - ex ; - - · la force de frottement visqueux Fv = -f xex = -2 0 mx(t) - ex ; - · la force d'entretien des oscillations F = k x Re (e jt ) - e . e 0 0 x Appliquons ensuite le principe fondamental de la dynamique à la masse m que l'on projette directement sur - ex m x(t) = -k 0 x(t) - 2 0 m x(t) + k 0 x0 Re (ejt ) on simplifie par m et on réorganise pour obtenir x(t) + 2 0 x(t) + 0 2 x(t) = 0 2 x0 Re (ejt ) 2 Il s'agit ici de résoudre l'équation différentielle du second ordre x(t) + 2 0 x(t) + 0 2 x(t) = 0 2 x0 Re (ejt ) avec pour conditions initiales x(0) = x0 et x(0) = 0 Il faut donc obtenir une solution homogène et une solution particulière. La solution générale de l'équation est la somme de ces deux solutions. · Obtention de la solution homogène Résolvons x(t) + 2 0 x(t) + 0 2 x(t) = 0 Posons le polynôme caractéristique de l'équation différentielle r2 + 2 0 r + 0 2 = 0 dont le discriminant est = 40 2 ( 2 - 1). Si > 0, alors les solutions sont p p r1 = - 0 + 0 2 - 1 et r2 = - 0 - 0 2 - 1 et la solution est une combinaison linéaire d'exponentielles réelles. Si = 0, la racine est double et la solution de l'équation est de la forme xh (t) = (A + Bt) e -0 t Et si < 0, les racines sont p r1 = - 0 + j 0 1 - 2 et r2 = - 0 - j 0 p 1 - 2 et la solution est de la forme p p xh (t) = A cos 0 1 - 2 t + B sin 0 1 - 2 t e -0 t où A et B sont deux constantes à déterminer à l'aide des conditions initiales. Intéressons-nous plus particulièrement à ce dernier cas, car dans la suite on se place plus particulièrement dans le cas où < 1. · Obtention d'une solution particulière On souhaite trouver une solution particulière à l'équation x(t) + 2 0 x(t) + 0 2 x(t) = 0 2 x0 Re (ejt ) considérant qu'il s'agit d'une force excitatrice sinusoïdale, on se place en représentation complexe, et l'on suppose que la solution particulière est de la forme Re (X0 e jt ) ; en l'introduisant dans l'équation, on obtient - 2 X0 e jt + 2j 0 X0 e jt + 0 2 X0 e jt = 0 2 x0 e jt Après simplification, d'où X0 = xp (t) = 0 2 x0 0 2 - 2 + 2j 0 (1 - x0 e 2 /0 2 ) jt + 2 j / 0 est une solution particulière de l'équation. Ainsi la solution générale de l'équation différentielle est p p x(t) = A cos 0 1 - 2 t + B sin 0 1 - 2 t e -0 t + Re (X0 e jt ) Pour t 0 1, la solution homogène, qui correspond au régime transitoire, est très fortement atténuée et est alors négligée. L'amplitude du mouvement dans cette limite est donc Xm = |X0 | = (1 - x0 2 /0 2 ) + x0 2j/ 0 Xm = p (1 - 2 /0 2 )2 + (2/ 0 )2 Ensuite, M est solution de X m ( M ) = 0, ce qui conduit à résoudre -4 / 02 + 4 (/ 0 )2 + 8 / 02 3/2 = 0 (1 - 2 /0 2 )2 + (2 / 0)2 soit - / 02 + (/ 0 )2 + 2 / 0 2 = 0 On a 0 /Q où Q le facteur de qualité vaut ici Q = 1/(2). Par suite pour 1 p M = 0 1 - 2 2 0 x0 XM = Xm ( M ) 2 2 0 g () p 3 On trace g () = 1/ (1 - 2 )2 + 4()2 pour = 0,05 et = 0,2. On observe que lorsque le coefficient d'amortissement diminue, l'amplitude XM de la résonance augmente et la largeur de la bande passante diminue. = 0,05 = 0,2