ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINTETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2011 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PSI (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPEEIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I -- PSI. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. TRANSPORTS PLANETAIRES Ce probleme etudie divers aspects physiques du voyage a l'echelle planetaire. Il est compose de deux parties independantes, la premiere envisage le deplacement d'un train dans un tunnel creuse dans la sphere terrestre, la seconde etudie la montee d'un ascenseur le long d'un cable vertical fixe a l'equateur. Dans tout le probleme la Terre est assimilee a un corps spherique homogene de rayon rT , de centre OT et de masse volumique homogene µT . Pour les applications numeriques on prendra µT = 5, 50·103 kg.m-3 , rT = 6, 38·106 m , et on utilisera 3 chiffres significatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de gravitation de Newton G = 6, 67 · 10-11 m3 .kg-1 .s-2 . Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau s'ils sont unitaires ubx ou - d'une fleche dans le cas general OP. Une quantite surmontee d'un point designe la derivee totale par d rapport au temps de cette quantite = . Les nombres complexes sont soulignes z C, a l'exception dt de j tel que j2 = -1. I. -- Le metro gravitationnel Dans toute cette partie on neglige tous les effets de la rotation de la terre sur elle-meme et on se place dans le referentiel geocentrique que l'on supposera galileen. I.A. -- Etude preliminaire -- -- - On considere un point P situe a l'interieur de la sphere terrestre. On note OT P = r = r ubr et g (P) le champ gravitationnel cree par la terre en P. Transports planetaires -- 1 -- Justifier que g (P) est porte par ubr et que son module ne depend que de r, on notera donc -- g (P) = g (r) ubr . En utilisant le theoreme de Gauss gravitationnel, determiner l'expression de g (r) en 4 fonction de 2 = GµT et r. 3 2 -- Deduire de la question precedente que la force de gravitation s'exercant sur un point de masse m situe en P derive de l'energie potentielle 1 E p (r) = E p0 + m 2 r2 2 ou E p0 est une constante qui depend de la reference choisie et que l'on ne demande pas d'expliciter. Quelle est la dimension de ? I.B. -- Le tunnel droit On relie deux points A et B de l'equateur terrestre par un tunnel cylindrique traversant la Terre selon le schema de la figure 1 qui presente egalement les notations utilisees. F IG . 1 Le tunnel droit On considere un mobile ponctuel P de masse m se deplacant dans le tunnel sous l'effet du champ gravitationnel terrestre. La position du mobile est reperee sur le segment [AB] par la coordonnee x - - telle que PH = x ubx ou le vecteur unitaire ubx est colineaire a AB et de meme sens et H est la projection orthogonale de OT sur [AB]. On note finalement h = OT H. Dans toute la partie I, on suppose que le point P reste en permanence dans l'axe du tunnel grace a un systeme de confinement. Il n'y a donc pas de contact avec les parois et donc pas de frottement avec celles-ci. Un tel confinement est envisageable en utilisant des parois magnetiques ! On suppose enfin qu'un vide suffisament pousse a ete cree dans le tunnel. Sous toutes ces hypotheses, on considerera que la seule force qui s'applique au mobile est la force de gravitation qu'exerce sur lui la terre. A l'instant t = 0, on abandonne le mobile au point A sans vitesse initiale. 3 -- Determiner l'equation differentielle (lineaire) du second ordre verifiee par x (t). En deduire l'expression de x (t) en fonction de h, rT , et t. 4 -- Determiner la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point P sur le trajet. En quel point cette vitesse est-elle atteinte ? 5 -- Exprimer la duree 0 du trajet entre AB et calculer sa valeur numerique. I.C. -- Projet de metro Pour desservir plusieurs points sur l'equateur, on considere un systeme de tunnels representes sur la figure 2. Page 2/7 Physique I, annee 2011 -- filiere PSI F IG . 2 Le systeme de tunnels Un tunnel circulaire est perce a une distance rH du centre de la Terre dans le plan de l'equateur et l'on creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remontee A1 H1 A2 H2 , etc... Ces tunnels se raccordent au tunnel circulaire interne en des points H1 , H2 , · · · . Chaque jonction est tangentielle, c'est-a-dire que --- --- --- --- A1 H1 .OT H1 = A2 H2 .OT H2 = · · · = 0. Les points H1 , H2 , ... sont equipes d'un systeme d'aiguillage assurant la continuite du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs lors du transfert entre le tunnel de descente ou de remontee et le tunnel circulaire. On assimile cette rame a un point materiel P de masse m astreint a circuler dans l'axe du tunnel et sans contact avec ses parois grace au systeme de confinement. A l'instant t = 0, on laisse tomber une rame du point A1 et sans vitesse initiale. 6 -- Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire interne H1 H2 . Determiner la vitesse de la rame sur cette portion, en deduire que la duree 1 du transfert de H1 vers H2 se met sous la forme 1 = f (y) ou y = rT /rH et f est une fonction que l'on determinera. 7 -- Determiner la duree totale du voyage de A1 vers A2 en fonction de , et y. Determiner la valeur numerique de pour un voyage tel que = /3 avec rH = rT /2. Comparer les caracteristiques de ce voyage avec son equivalent a la surface de la terre. 8 -- Avec un diametre moyen de 7 m, evaluer la quantite de deblais a evacuer pour creuser le tunnel circulaire, ainsi qu'un tunnel radial. Commenter le resultat obtenu. L'une des nombreuses hypotheses necessaires a la realisation d'un tel projet est la creation et le maintien d'un vide suffisant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut etre que partiel sur un tel volume et le tunnel contient de l'air de densite volumique de masse maintenu a la pression p et a la temperature ambiante. Ce dernier point serait a discuter dans le cadre d'une etude plus complete que nous ne menerons pas ici. On supposera que p et sont constantes dans l'enceinte du tunnel et que l'air s'y comporte comme un gaz parfait. Pour cette etude on se place dans le cas du mouvement dans le tunnel circulaire. Des experiences d'aerodynamique montrent que le mouvement d'un solide dans un gaz au repos est soumis a une force de frottement, dite trainee. Cette trainee depend de la taille caracteristique L et de la vitesse v du solide ainsi que de la densite du gaz dans lequel s'effectue le mouvement. Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Transports planetaires 9 -- En effectuant une analyse dimensionnelle, determiner l'expression de cette force de frottement. 10 -- On note P la puissance developpee par la trainee subie par la rame de metro lorsqu'elle circule dans la portion circulaire du tunnel. Determiner la pression qu'il faut maintenir dans le tunnel afin que P soit comparable a la puissance que developpe la force de trainee dans le cas d'une rame de TGV circulant a la vitesse de 360 km.h-1 a la surface de la terre. On supposera qu'en dehors de la vitesse la rame de metro et la rame de TGV possedent les memes carateristiques physiques. Commenter le resultat obtenu. FIN DE LA PARTIE I II. -- Ascenseur spatial Ce probleme etudie certains aspects physiques de la realisation d'une idee recurrente dans de nombreux contextes « l'ascenseur spatial ». Il s'agit d'un mecanisme permettant de s'extraire du champ de pesanteur terrestre sans utiliser de fusee. On suppose pour cela qu'un cable realise par filage de nanotubes de carbone, de plus de 100 000 km de long, inextensible, a pu etre dresse a la verticale d'un point de l'equateur de la Terre. Ce cable possede une masse lineique = 1, 00 kg.m-1 extremement faible et une resistance mecanique extremement forte par rapport a un cable en acier, qui le rend capable de supporter de tres fortes tensions sans casser. Dans cette partie, le referentiel terrestre est en rotation uniforme autour de l'axe des poles par rapport au referentiel geocentrique suppose galileen. Il effectue un tour en un jour sideral de duree T = 8, 62 · 104 s. La terre est toujours supposee spherique et homogene de masse mT = 34 rT3 µT = 5, 98 · 1024 kg. II.A. -- Etude de l'equilibre du cable Les notations sont celles de la figure 3 : Le point d'ancrage E du cable est un point de l'equateur terrestre, rT est le rayon de la Terre et OT son centre. L'altitude d'un point M du cable est notee z, r = rT + z est le rayon OT M et h est la hauteur totale du cable. Le point H represente l'extremite haute du cable : zH = h et rH = rT + h. Ce point est libre. On pourra enfin utiliser le vecteur unitaire --- ubr = OT M/r. rT OT z M E H r h F IG . 3 Vue generale de la Terre et du cable 11 -- Rappeler la definition de l'orbite geostationnaire terrestre. Etablir l'expression litterale du rayon rs correspondant a cette orbite en fonction de la masse mT de la terre, de G et de la pulsation 2 siderale terrestre = . T Dans toute la suite du probleme, on considerera un cable de longueur totale h = 4rs - rT , on a donc OT H = rH = 4rs . On note gs le module du champ de gravitation en r = rs , c'est-a-dire la quantite telle que fs = mgs ou fs est le module de la force de gravitation subie par un corps de masse m situe en r = rs . Enfin, on note g le module du champ de gravitation en r = rT . Page 4/7 Physique I, annee 2011 -- filiere PSI 12 -- En ecrivant que le cable est en equilibre, montrer que la derivee de la tension du cable en M verifie la relation 2 dT rs r = 2- dr r rs ou est un parametre que l'on exprimera en fonction de et gs . En admettant que T (rH ) = 0, determiner l'expression de la tension T (r) en fonction de , r et rs . 13 -- Determiner les valeurs numeriques de rs , gs de la tension du cable au point d'ancrage notee TE = T (rT ), ainsi que la valeur maximale Tmax de T (r). Commenter le resultat obtenu, on pourra par exemple se « servir » de la question 8, on donne aussi le module d'Young de l'acier a = 210 GPa et d'un cable en nanotubes de carbonne c = 1 TPa. II.B. -- Montee de la cage d'ascenseur le long du cable Le systeme de propulsion de la cabine est modelise sur la figure 4. La montee est assuree par la rotation en sens inverses de deux gros cylindres de caoutchouc identiques, chacun de rayon Rc = 1, 00 m, de masse mc = 2, 00 · 103 kg, de moment d'inertie par rapport a son axe J = 21 mc R2c . Ces cylindres sont mus par un moteur electrique exercant sur chacun un couple. Le moment resultant de ce couple est - - g = +0 uby pour le cylindre de gauche et d = -0 uby pour le cylindre de droite. Les deux cylindres serrent le cable grace a un ressort reliant leurs centres. La longueur a vide 0 = Rc et la constante de raideur k du ressort permettent d'assurer un roulement sans glissement au contact du cable. On prend fs = 0, 5 pour le coefficient de frottement statique entre le caoutchouc des cylindres et le cable. On neglige les masses de la cabine, de ses occupants et des moteurs par rapport a celle des cylindres. F IG . 4 Vue generale des cylindres assurant la montee de la cabine On negligera toute action de l'air (frottement et vent) sur le systeme. Dans le referentiel (E, ubx , uby , ubz ) avec ubz = ubr la cabine, reperee par le point M, est en E a t = 0. La montee de z = 0 (ou la vitesse est nulle) a z = h dure au total tm = 4 jours et se decompose en une phase d'acceleration constante d'intensite a = 1 m.s-2 pendant une duree t0 suivie d'une phase a vitesse constante de module v0 . 14 -- Calculer les valeurs numeriques de la duree t0 , de la vitesse v0 et de l'altitude z0 atteintes a la fin de la premiere phase. On verifiera que z0 h. 15 -- Justifier le fait que l'on puisse considerer que pendant la premiere phase, la force de gravitation exercee par la Terre sur le systeme est sensiblement constante et negliger une des forces par rapport a celle-ci. Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Transports planetaires 16 -- Expliquer comment la montee du systeme le long du cable peut affecter sa verticalite au cours de la montee. Proposer un moyen technique de remedier a ce probleme. Dans toute la suite de cette partie, on supposera que le cable reste parfaitement immobile, vertical, tendu et on negligera la ou les forces susceptibles d'affecter la verticalite du cable. II.C. -- Etude du moteur electrique Dans cette derniere sous partie, on s'interesse a la montee de la cabine a la vitesse constante v0 dans les premiers instants de la deuxieme phase. L'altitude reste donc faible, l'acceleration de la cabine dans le referentiel terrestre est nulle. On admet que pendant cette montee, le moteur electrique exerce sur le - cylindre de caoutchouc represente sur la figure 5, un couple moteur constant de moment d = -0 uby . Le cylindre tourne alors a une vitesse angulaire constante de module = v0 /Rc . 17 -- Montrer qu'un moment de module 0 = mc Rc g est compatible avec les resultats de la question 15. Calculer la valeur numerique de 0 ainsi que celle de la puissance fournie par le moteur s'il delivre ce couple lors de la phase de montee a vitesse constante. Le moteur est de type asynchrone, les notations sont indiquees sur la figure 5, il est constitue par : un stator, non etudie dans ce probleme, qui genere un champ magnetique inducteur que l'on considerera comme uniforme dans la zone d'evolution du rotor, au voisinage du point O represente sur la figure 5. Ce champ a pour expression - B = B0 cos( t)ubx + B0 sin( t)ubz la pulsation imposee par l'alimentation du stator est a priori differente de la vitesse de rotation du cylindre ; un rotor portant le circuit induit, assimile a une bobine plate de centre O, de section S, sur laquelle sont enroulees N spires d'un fil conducteur en court-circuit sur lui-meme. On designe respectivement par R et L, la resistance totale et l'inductance propre du circuit induit. z Détail du rotor en perspective B z Bobine plate n i(t) Câble y x n i(t) de Axe tion a rot rotor B O y x Cylindre en caoutchouc F IG . 5 Elements geometriques relatifs au moteur Le rotor est solidaire du cylindre et tourne donc aussi a la vitesse angulaire autour de l'axe Oy. Le - vecteur nb unitaire normal a la surface S, et B sont dans le meme plan xOz. On note i(t) l'intensite algebrique du courant circulant dans le circuit induit oriente sur la figure 5. L'origine des temps est choisie telle qu'a l'instant t = 0, la normale nb coincide avec ubx . - 18 -- Determiner l'expression du flux (t) cree par le champ inducteur B traversant le circuit induit. Page 6/7 Physique I, annee 2011 -- filiere PSI 19 -- Montrer alors qu'en regime permanent, le circuit induit fonctionne dans un regime sinusoidal force dont on deteminera la pulsation. Representer dans ce regime le circuit equivalent et expliciter la representation complexe I de l'intensite i(t) en fonction de la representation complexe du flux (t) et des donnees du probleme. En deduire que l'intensite peut se mettre sous la forme i(t) = I0 sin [( - )t - ] ou l'on exprimera I0 et cos( ) en fonction de N, B0 , S, , , R et L. On supposera que > . - 20 -- Determiner l'expression du moment magnetique M produit par le courant induit i(t). En - deduire celle du moment du couple (t) subi par le rotor. - - 21 -- Determiner la valeur moyenne temporelle m de (t). En deduire la pulsation max qui permet l'obtention d'un couple moyen de module maximal m,max . On exprimera ce dernier en fonction de N, S, L et B0 . 22 -- En se referant aux valeurs numeriques de la question 17, quels sont les problemes techniques qu'engendre la realisation d'un moteur asynchrone developpant la puissance et le couple necessaires au fonctionnement de l'ascenseur spatial ? 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