ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINTETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM
INT, TPEEIVP
Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page
de la copie :
PHYSIQUE I -- PSI.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement.
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.
TRANSPORTS PLANETAIRES
Ce probleme etudie divers aspects physiques du voyage a l'echelle planetaire.
Il est compose de
deux parties independantes, la premiere envisage le deplacement d'un train dans
un tunnel creuse
dans la sphere terrestre, la seconde etudie la montee d'un ascenseur le long
d'un cable vertical fixe a
l'equateur. Dans tout le probleme la Terre est assimilee a un corps spherique
homogene de rayon rT ,
de centre OT et de masse volumique homogene µT .
Pour les applications numeriques on prendra µT = 5, 50·103 kg.m-3 , rT = 6,
38·106 m , et on utilisera
3 chiffres significatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de
gravitation de Newton
G = 6, 67 · 10-11 m3 .kg-1 .s-2 . Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau
s'ils sont unitaires ubx ou
-
d'une fleche dans le cas general OP. Une quantite surmontee d'un point designe
la derivee totale par
d
rapport au temps de cette quantite =
. Les nombres complexes sont soulignes z C, a l'exception
dt
de j tel que j2 = -1.
I. -- Le metro gravitationnel
Dans toute cette partie on neglige tous les effets de la rotation de la terre
sur elle-meme et on se place
dans le referentiel geocentrique que l'on supposera galileen.
I.A. -- Etude preliminaire
--
-- -
On considere un point P situe a l'interieur de la sphere terrestre. On note OT
P =
r = r ubr et g (P)
le champ gravitationnel cree par la terre en P.
Transports planetaires
--
1 -- Justifier que g (P) est porte par ubr et que son module ne depend que de
r, on notera donc
--
g (P) = g (r) ubr . En utilisant le theoreme de Gauss gravitationnel,
determiner l'expression de g (r) en
4
fonction de 2 = GµT et r.
3
2 -- Deduire de la question precedente que la force de gravitation s'exercant
sur un point de masse
m situe en P derive de l'energie potentielle
1
E p (r) = E p0 + m 2 r2
2
ou E p0 est une constante qui depend de la reference choisie et que l'on ne
demande pas d'expliciter.
Quelle est la dimension de ?
I.B. -- Le tunnel droit
On relie deux points A et B de l'equateur terrestre par un tunnel cylindrique
traversant la Terre selon
le schema de la figure 1 qui presente egalement les notations utilisees.
F IG . 1 Le tunnel droit
On considere un mobile ponctuel P de masse m se deplacant dans le tunnel sous
l'effet du champ
gravitationnel terrestre. La position du mobile est reperee sur le segment [AB]
par la coordonnee x
-
-
telle que PH = x ubx ou le vecteur unitaire ubx est colineaire a AB et de meme
sens et H est la projection
orthogonale de OT sur [AB]. On note finalement h = OT H.
Dans toute la partie I, on suppose que le point P reste en permanence dans
l'axe du tunnel grace a un
systeme de confinement. Il n'y a donc pas de contact avec les parois et donc
pas de frottement avec
celles-ci. Un tel confinement est envisageable en utilisant des parois
magnetiques ! On suppose enfin
qu'un vide suffisament pousse a ete cree dans le tunnel. Sous toutes ces
hypotheses, on considerera
que la seule force qui s'applique au mobile est la force de gravitation
qu'exerce sur lui la terre.
A l'instant t = 0, on abandonne le mobile au point A sans vitesse initiale.
3 -- Determiner l'equation differentielle (lineaire) du second ordre verifiee
par x (t). En deduire
l'expression de x (t) en fonction de h, rT , et t.
4 -- Determiner la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point P sur le
trajet. En quel point
cette vitesse est-elle atteinte ?
5 -- Exprimer la duree 0 du trajet entre AB et calculer sa valeur numerique.
I.C. -- Projet de metro
Pour desservir plusieurs points sur l'equateur, on considere un systeme de
tunnels representes sur la
figure 2.
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Physique I, annee 2011 -- filiere PSI
F IG . 2 Le systeme de tunnels
Un tunnel circulaire est perce a une distance rH du centre de la Terre dans le
plan de l'equateur et l'on
creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remontee A1 H1 A2 H2 , etc...
Ces tunnels se raccordent
au tunnel circulaire interne en des points H1 , H2 , · · · . Chaque jonction
est tangentielle, c'est-a-dire que
--- --- --- ---
A1 H1 .OT H1 = A2 H2 .OT H2 = · · · = 0. Les points H1 , H2 , ... sont equipes
d'un systeme d'aiguillage
assurant la continuite du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs
lors du transfert entre
le tunnel de descente ou de remontee et le tunnel circulaire.
On assimile cette rame a un point materiel P de masse m astreint a circuler
dans l'axe du tunnel et
sans contact avec ses parois grace au systeme de confinement. A l'instant t =
0, on laisse tomber une
rame du point A1 et sans vitesse initiale.
6 -- Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire
interne H1 H2 . Determiner
la vitesse de la rame sur cette portion, en deduire que la duree 1 du transfert
de H1 vers H2 se met
sous la forme
1 =
f (y)
ou y = rT /rH et f est une fonction que l'on determinera.
7 -- Determiner la duree totale du voyage de A1 vers A2 en fonction de , et
y. Determiner la
valeur numerique de pour un voyage tel que = /3 avec rH = rT /2. Comparer
les caracteristiques
de ce voyage avec son equivalent a la surface de la terre.
8 -- Avec un diametre moyen de 7 m, evaluer la quantite de deblais a evacuer
pour creuser le
tunnel circulaire, ainsi qu'un tunnel radial. Commenter le resultat obtenu.
L'une des nombreuses hypotheses necessaires a la realisation d'un tel projet
est la creation et le
maintien d'un vide suffisant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut etre que
partiel sur un tel volume
et le tunnel contient de l'air de densite volumique de masse maintenu a la
pression p et a la
temperature ambiante. Ce dernier point serait a discuter dans le cadre d'une
etude plus complete que
nous ne menerons pas ici. On supposera que p et sont constantes dans
l'enceinte du tunnel et que
l'air s'y comporte comme un gaz parfait. Pour cette etude on se place dans le
cas du mouvement dans
le tunnel circulaire.
Des experiences d'aerodynamique montrent que le mouvement d'un solide dans un
gaz au repos est
soumis a une force de frottement, dite trainee. Cette trainee depend de la
taille caracteristique L et de
la vitesse v du solide ainsi que de la densite du gaz dans lequel s'effectue
le mouvement.
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Tournez la page S.V.P.
Transports planetaires
9 -- En effectuant une analyse dimensionnelle, determiner l'expression de cette
force de frottement.
10 -- On note P la puissance developpee par la trainee subie par la rame de
metro lorsqu'elle
circule dans la portion circulaire du tunnel. Determiner la pression qu'il faut
maintenir dans le tunnel
afin que P soit comparable a la puissance que developpe la force de trainee
dans le cas d'une rame
de TGV circulant a la vitesse de 360 km.h-1 a la surface de la terre. On
supposera qu'en dehors
de la vitesse la rame de metro et la rame de TGV possedent les memes
carateristiques physiques.
Commenter le resultat obtenu.
FIN DE LA PARTIE I
II. -- Ascenseur spatial
Ce probleme etudie certains aspects physiques de la realisation d'une idee
recurrente dans de nombreux contextes « l'ascenseur spatial ». Il s'agit d'un
mecanisme permettant de s'extraire du champ
de pesanteur terrestre sans utiliser de fusee. On suppose pour cela qu'un cable
realise par filage de
nanotubes de carbone, de plus de 100 000 km de long, inextensible, a pu etre
dresse a la verticale d'un
point de l'equateur de la Terre. Ce cable possede une masse lineique = 1, 00
kg.m-1 extremement
faible et une resistance mecanique extremement forte par rapport a un cable en
acier, qui le rend capable de supporter de tres fortes tensions sans casser.
Dans cette partie, le referentiel terrestre est en
rotation uniforme autour de l'axe des poles par rapport au referentiel
geocentrique suppose galileen. Il
effectue un tour en un jour sideral de duree T = 8, 62 · 104 s. La terre est
toujours supposee spherique
et homogene de masse mT = 34 rT3 µT = 5, 98 · 1024 kg.
II.A. -- Etude de l'equilibre du cable
Les notations sont celles de la figure 3 : Le point d'ancrage E du cable est un
point de l'equateur
terrestre, rT est le rayon de la Terre et OT son centre. L'altitude d'un point
M du cable est notee z,
r = rT + z est le rayon OT M et h est la hauteur totale du cable. Le point H
represente l'extremite
haute du cable : zH = h et rH = rT + h. Ce point est libre. On pourra enfin
utiliser le vecteur unitaire
---
ubr = OT M/r.
rT
OT
z
M
E
H
r
h
F IG . 3 Vue generale de la Terre et du cable
11 -- Rappeler la definition de l'orbite geostationnaire terrestre. Etablir
l'expression litterale du
rayon rs correspondant a cette orbite en fonction de la masse mT de la terre,
de G et de la pulsation
2
siderale terrestre =
.
T
Dans toute la suite du probleme, on considerera un cable de longueur totale h =
4rs - rT , on a donc
OT H = rH = 4rs . On note gs le module du champ de gravitation en r = rs ,
c'est-a-dire la quantite
telle que fs = mgs ou fs est le module de la force de gravitation subie par un
corps de masse m situe
en r = rs . Enfin, on note g le module du champ de gravitation en r = rT .
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Physique I, annee 2011 -- filiere PSI
12 -- En ecrivant que le cable est en equilibre, montrer que la derivee de la
tension du cable en M
verifie la relation
2
dT
rs
r
= 2-
dr
r
rs
ou est un parametre que l'on exprimera en fonction de et gs . En admettant
que T (rH ) = 0,
determiner l'expression de la tension T (r) en fonction de , r et rs .
13 -- Determiner les valeurs numeriques de rs , gs de la tension du cable au
point d'ancrage notee
TE = T (rT ), ainsi que la valeur maximale Tmax de T (r). Commenter le resultat
obtenu, on pourra par
exemple se « servir » de la question 8, on donne aussi le module d'Young de
l'acier a = 210 GPa et
d'un cable en nanotubes de carbonne c = 1 TPa.
II.B. -- Montee de la cage d'ascenseur le long du cable
Le systeme de propulsion de la cabine est modelise sur la figure 4. La montee
est assuree par la rotation
en sens inverses de deux gros cylindres de caoutchouc identiques, chacun de
rayon Rc = 1, 00 m, de
masse mc = 2, 00 · 103 kg, de moment d'inertie par rapport a son axe J = 21 mc
R2c . Ces cylindres sont
mus par un moteur electrique exercant sur chacun un couple. Le moment resultant
de ce couple est
-
-
g = +0 uby pour le cylindre de gauche et d = -0 uby pour le cylindre de droite.
Les deux cylindres
serrent le cable grace a un ressort reliant leurs centres. La longueur a vide 0
= Rc et la constante de
raideur k du ressort permettent d'assurer un roulement sans glissement au
contact du cable. On prend
fs = 0, 5 pour le coefficient de frottement statique entre le caoutchouc des
cylindres et le cable. On
neglige les masses de la cabine, de ses occupants et des moteurs par rapport a
celle des cylindres.
F IG . 4 Vue generale des cylindres assurant la montee de la cabine
On negligera toute action de l'air (frottement et vent) sur le systeme.
Dans le referentiel (E, ubx , uby , ubz ) avec ubz = ubr la cabine, reperee par
le point M, est en E a t = 0.
La montee de z = 0 (ou la vitesse est nulle) a z = h dure au total tm = 4 jours
et se decompose en
une phase d'acceleration constante d'intensite a = 1 m.s-2 pendant une duree t0
suivie d'une phase a
vitesse constante de module v0 .
14 -- Calculer les valeurs numeriques de la duree t0 , de la vitesse v0 et de
l'altitude z0 atteintes a
la fin de la premiere phase. On verifiera que z0 h.
15 -- Justifier le fait que l'on puisse considerer que pendant la premiere
phase, la force de
gravitation exercee par la Terre sur le systeme est sensiblement constante et
negliger une des forces
par rapport a celle-ci.
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Transports planetaires
16 -- Expliquer comment la montee du systeme le long du cable peut affecter sa
verticalite au
cours de la montee. Proposer un moyen technique de remedier a ce probleme.
Dans toute la suite de cette partie, on supposera que le cable reste
parfaitement immobile, vertical,
tendu et on negligera la ou les forces susceptibles d'affecter la verticalite
du cable.
II.C. -- Etude du moteur electrique
Dans cette derniere sous partie, on s'interesse a la montee de la cabine a la
vitesse constante v0 dans les
premiers instants de la deuxieme phase. L'altitude reste donc faible,
l'acceleration de la cabine dans
le referentiel terrestre est nulle. On admet que pendant cette montee, le
moteur electrique exerce sur le
-
cylindre de caoutchouc represente sur la figure 5, un couple moteur constant de
moment d = -0 uby .
Le cylindre tourne alors a une vitesse angulaire constante de module = v0 /Rc .
17 -- Montrer qu'un moment de module 0 = mc Rc g est compatible avec les
resultats de la
question 15. Calculer la valeur numerique de 0 ainsi que celle de la puissance
fournie par le moteur
s'il delivre ce couple lors de la phase de montee a vitesse constante.
Le moteur est de type asynchrone, les notations sont indiquees sur la figure 5,
il est constitue par :
un stator, non etudie dans ce probleme, qui genere un champ magnetique
inducteur que l'on
considerera comme uniforme dans la zone d'evolution du rotor, au voisinage du
point O represente
sur la figure 5. Ce champ a pour expression
-
B = B0 cos( t)ubx + B0 sin( t)ubz
la pulsation imposee par l'alimentation du stator est a priori differente de
la vitesse de rotation
du cylindre ;
un rotor portant le circuit induit, assimile a une bobine plate de centre O,
de section S, sur laquelle
sont enroulees N spires d'un fil conducteur en court-circuit sur lui-meme. On
designe respectivement par R et L, la resistance totale et l'inductance propre
du circuit induit.
z
Détail du rotor
en perspective
B
z
Bobine
plate
n
i(t)
Câble
y
x
n
i(t)
de
Axe tion
a
rot
rotor
B
O
y
x
Cylindre en
caoutchouc
F IG . 5 Elements geometriques relatifs au moteur
Le rotor est solidaire du cylindre et tourne donc aussi a la vitesse angulaire
autour de l'axe Oy. Le
-
vecteur nb unitaire normal a la surface S, et B sont dans le meme plan xOz. On
note i(t) l'intensite
algebrique du courant circulant dans le circuit induit oriente sur la figure 5.
L'origine des temps est
choisie telle qu'a l'instant t = 0, la normale nb coincide avec ubx .
-
18 -- Determiner l'expression du flux (t) cree par le champ inducteur B
traversant le circuit
induit.
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Physique I, annee 2011 -- filiere PSI
19 -- Montrer alors qu'en regime permanent, le circuit induit fonctionne dans
un regime sinusoidal
force dont on deteminera la pulsation. Representer dans ce regime le circuit
equivalent et expliciter la
representation complexe I de l'intensite i(t) en fonction de la representation
complexe du flux (t)
et des donnees du probleme. En deduire que l'intensite peut se mettre sous la
forme
i(t) = I0 sin [( - )t - ]
ou l'on exprimera I0 et cos( ) en fonction de N, B0 , S, , , R et L. On
supposera que > .
-
20 -- Determiner l'expression du moment magnetique M produit par le courant
induit i(t). En
-
deduire celle du moment du couple (t) subi par le rotor.
-
-
21 -- Determiner la valeur moyenne temporelle m de (t). En deduire la
pulsation max qui permet l'obtention d'un couple moyen de module maximal m,max
. On exprimera ce dernier en fonction
de N, S, L et B0 .
22 -- En se referant aux valeurs numeriques de la question 17, quels sont les
problemes techniques
qu'engendre la realisation d'un moteur asynchrone developpant la puissance et
le couple necessaires
au fonctionnement de l'ascenseur spatial ?
FIN DE LA PARTIE II
FIN DE L'EPREUVE
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