Mines Physique 1 PSI 2010

Thème de l'épreuve Éléments d'astrophysique
Principaux outils utilisés thermodynamique, ondes électromagnétiques, mécanique, optique ondulatoire
Mots clefs théorème du viriel, fusion thermonucléaire, pression de radiation, ondes électromagnétiques dans les plasmas, problème à deux corps, réseau échelette, mécanique céleste

Corrigé

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2010 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PSI (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I -- PSI. L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. ELEMENTS D'ASTROPHYSIQUE Ce probleme se propose d'etudier dans un premier temps la formation et l'evolution d'une etoile et de s'interesser ensuite a differents objets celestes tels que les cometes, les pulsars et les exoplanetes. Toutes les sous-parties sont independantes entre elles. Les donnees necessaires aux applications numeriques sont rassemblees a la fin du sujet. Les vecteurs sont notes avec un chapeau s'ils sont - unitaires ub, avec une fleche v dans le cas general. Hormis i2 = -1, les nombres complexes sont soulignes : z C. I. -- Etude physique des etoiles Dans toute cette partie on considere qu'une etoile est une boule de masse M, de rayon R, de masse volumique supposee constante et entouree de vide. I.A. -- Energie potentielle d'une etoile spherique, theoreme du viriel 1 -- On considere deux particules ponctuelles notees Q1 et Q2 de masses m1 et m2 separees par - une distance r. Donner l'expression la force d'interaction gravitationnelle f 12 exercee par Q1 sur --- Q2 . On utilisera le vecteur unitaire ub = Q1 Q2 /r. En deduire l'expression de l'energie potentielle de gravitation E p associee a cette force en fonction de m1 , m2 , r et de la constante de gravitation G. On fixera l'origine du potentiel de telle maniere que E p = 0 lorsque r +. On souhaite exprimer l'energie potentielle de gravitation d'une boule homogene de masse M, de centre O, de rayon R et de masse volumique supposee constante. Cette energie correspond a l'energie de constitution de la boule en amenant successivement depuis l'infini des couches spheriques concentriques d'epaisseur dr. Elements d'astrophysique 2 -- On considere un etat intermediaire Br de la boule dans lequel elle possede un rayon r tel que 0 < r < R et une masse mr telle que 0 < mr < M. Justifier le fait que l'interaction entre Br et un corps ponctuel massif K situe hors de Br est equivalente a celle entre une particule ponctuelle situee en O de masse mr et K . On ajoute a Br une couche spherique Cr de masse dm et d'epaisseur dr. Determiner l'energie potentielle de gravitation dE p entre Br et Cr . On exprimera dE p en fonction de r, dr et de . En deduire que l'energie potentielle de gravitation de la boule de rayon R s'ecrit E p = GM 2 /R ou est une constante numerique que l'on determinera. On considere a present que l'etoile est constituee d'un gaz parfait , chaque particule de ce gaz etant un atome d'hydrogene d'energie cinetique ec = 32 kB T ou kB = R/N est la constante de Boltzmann, R est la constante des gaz parfaits et N le nombre d'Avogadro. La pression donnee par la loi des gaz parfaits est ici uniquement d'origine cinetique et on ne tient donc pas compte de la pression de radiation. Dans ce modele, la pression P et la temperature T sont des fonctions de la seule coordonnee radiale r, enfin le nombre de particules par unite de volume n est constant a l'interieur de l'etoile. On suppose de plus que l'etoile est entouree de vide, ainsi P (R) = 0. 3 -- Exprimer l'energie cinetique totale Ec des particules constituant l'etoile sous la forme d'une integrale faisant intervenir la pression P (r). En ecrivant l'equation d'equilibre hydrostatique, et en effectuant une integration par parties, montrer que l'on obtient la relation 2Ec = E p ou est un facteur numerique que l'on determinera. Cette relation constitue le theoreme du viriel, il est tres utilise en astrophysique pour decrire les proprietes d'objets tels que les etoiles ou les galaxies. I.B. -- Pression et temperature dans une etoile, reactions de fusion 4 -- En integrant l'equation d'equilibre hydrostatique, determiner la pression P (r) au sein de l'etoile en fonction de M, G, R et r. Pour quelle valeur de r cette pression est-elle maximale ? Exprimer cette valeur maximale Pmax en fonction de G, M et R ainsi que la temperature maximale Tmax correspondante en fonction de G, M, R, R et de la masse molaire de l'hydrogene MH . Calculer numeriquement Pmax et Tmax dans le cas du Soleil. 5 -- On considere qu'au sein de l'etoile, chaque atome d'hydrogene occupe une petit cube d'arete . Exprimer en fonction de MH , N et , en deduire une expression de R en fonction de MH , N , M et . Montrer alors que l'on peut mettre la masse de l'etoile sous la forme : M = K( Tmax )3/2 (1) ou la constante K ne depend que de constantes fondamentales. Calculer la valeur numerique de K. Pendant une grande partie de leur existence, les etoiles tirent leur energie de reactions de fusion thermonucleaire entre des atomes d'hydrogene qui produisent des atomes d'helium. Pour que ces reactions puissent s'amorcer au centre de l'etoile, il faut que l'energie d'agitation thermique des atomes surpasse l'energie potentielle de repulsion coulombienne. La temperature qui regne au centre des etoiles permet de supposer que les atomes d'hydrogene qui fusionnent sont completement ionises. On considerera ici que l'energie d'agitation thermique d'un de ces atomes est egale a son energie cinetique ec = 23 kB T . 6 -- Determiner l'energie potentielle electrostatique d'interaction u pp entre deux protons separes d'une distance , on fixera l'origine du potentiel de telle maniere que u pp = 0 lorsque . En utilisant le resultat (1) de la question 5, determiner la valeur limite M de la masse de l'etoile pour que les reactions de fusion puissent avoir lieu. On exprimera M en fonction de K, kB , 0 et de la charge elementaire e. Verifier que la masse du Soleil est bien suffisante pour permettre la fusion de l'hydrogene. L'homme a-t-il deja realise des reactions de fusion nucleaire ? Page 2/6 Physique I, annee 2010 -- filiere PSI FIN DE LA PARTIE I II. -- Quelques problemes d'astrophysique II.A. -- Orientation de la queue d'une comete Une particule spherique de rayon µ de masse volumique c situee dans l'espace interstellaire a la distance r du Soleil recoit de la part de cette etoile une energie W pendant l'intervalle de temps - dt. Si l'on considere que toute cette energie est absorbee par la particule, celle-ci subit une force F radiale repulsive, due a la pression de radiation, dont le module s'ecrit F = 1c dtW ou c est la celerite de la lumiere dans le vide. 7 -- Determiner l'expression de F en fonction de µ , r, c et de la puissance PS emise par le Soleil. A quelle condition sur µ cette force est-elle superieure a la force de gravitation exercee par le Soleil sur la particule ? La valeur limite µ sera exprimee en fonction de PS , G, MS , c et c. Calculer la valeur numerique de µ pour une valeur de la masse volumique c = 3, 0 × 103 kg.m-3 . 8 -- Une comete est constituee d'un noyau, d'une chevelure et de plusieurs queues dont l'une, constituee de fines poussieres, est toujours situee a l'oppose du Soleil par rapport au noyau. Comment interpretez-vous ces observations ? II.B. -- Mesure de la distance d'un pulsar par la methode de dispersion Axe de rotation ma Axe gn éti que jet électromagnétique Étoile à neutron F IG . 1 ­ Schema d'un pulsar. Apres avoir consomme tout leur carburant nucleaire, la plupart des etoiles massives s'effondrent et forment une structure tres compacte composee de neutrons. On parle d'etoile a neutrons. La conservation du moment cinetique impose une rotation tres rapide a ce type d'etoile, de l'ordre d'un tour par seconde. La structure dipolaire du champ magnetique intense regnant autour des etoiles a neutrons, permet l'emission d'ondes electromagnetiques par les regions polaires du champ magnetique. Si l'axe de rotation de l'etoile a neutrons n'est pas aligne avec l'axe de symetrie du champ magnetique, on peut alors observer un pulsar (voir figure 1) depuis la Terre. Cette onde est associee a un champ electrique ~E dont la representation complexe ~ s'ecrit ~E = ~E0 ei( t-k.~r) ou ~E0 est un vecteur constant. Cette onde se propage dans le milieu interstellaire que nous assimilerons a un plasma homogene globalement neutre et constitue de N electrons par m3 et N ions par m3 libres de se deplacer. Les ions sont supposes immobiles et les electrons ne sont soumis qu'a la force imposee par le champ electromagnetique de l'onde emise par le pulsar. 9 -- Pourquoi cette onde est-elle recue sur Terre sous la forme d'un signal impulsionnel periodique ? Quelle est la frequence de ces impulsions ? 10 -- En appliquant le principe fondamental de la dynamique, ecrire l'equation verifiee par la - vitesse ve d'un electron du plasma interstellaire. Dans quelle condition la force magnetique est-elle negligeable ? Etablir la relation de dispersion de l'onde dans le plasma liant k = ~k et . On fera intervenir la pulsation plasma p telle que p2 = Ne2 /(me 0 ). Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Elements d'astrophysique - vg , a pour module 11 -- Si > p , la vitesse de propagation de l'energie, ou vitesse de groupe d vg = dk . Exprimer vg en fonction de c, et p . Donner une forme approchee a l'ordre 2 de cette expression dans le regime p . 12 -- Une partie du signal emis par le pulsar se decompose en la superposition de 2 ondes electromagnetiques de frequences differentes f1 et f2 . On considere que ces ondes sont emises au meme instant dans notre direction pendant un intervalle de temps tres bref. Apres avoir parcouru la distance d dans le plasma interstellaire, elles arrivent sur Terre avec un decalage dans le temps t. En conservant l'hypothese p , exprimer d en fonction de t, f1 , f2 , p et c. 13 -- La densite moyenne d'electrons dans le plasma interstellaire est N = 1, 0×104 electrons.m-3 . Dans le cas du pulsar PSR0950+08, on observe un decalage t = 0, 05 s entre des signaux de frequences f1 = 234 MHz et f2 = 405 MHz. Apres avoir verifie l'hypothese de la question 12, calculer sa distance d en annees-lumiere. II.C. -- La planete Osiris En 1999, des astrophysiciens ont observe une baisse periodique de la luminosite de l'etoile HD 209458 situee dans la constellation de Pegase a 150 annees-lumiere de la Terre. Cette chute de luminosite dure quelques heures puis la luminosite reprend sa valeur habituelle, le phenomene se reproduit avec une periode T = 3, 5 jours. On interprete cette variation par l'existence d'une planete, baptisee Osiris, tournant autour de l'etoile et dont on admettra que le plan de l'orbite passe par la Terre. La luminosite de la planete est supposee negligeable par rapport a celle de l'etoile. On supposera egalement dans la suite que la masse m2 de la planete Osiris est tres inferieure a la masse m1 de l'etoile HD 209458 et qu'Osiris est l'unique planete de cette etoile. 14 -- Pourquoi la baisse periodique de luminosite peut-elle s'interpreter comme l'existence d'une planete ? Sachant que la baisse periodique de luminosite observee est de 1, 7% , exprimer le rayon R2 d'Osiris en fonction du rayon R1 de HD 209458. Par des mesures spectrometriques, on peut determiner le type de l'etoile HD 209458 ce qui permet d'obtenir (en utilisant un modele d'etoile) son rayon, on trouve R1 = 1, 1 RS . En deduire la valeur numerique de R2 que l'on exprimera en fonction du rayon moyen de Jupiter RJ . 15 -- Les effets de maree conduisent rapidement a l'annulation de l'excentricite de l'orbite de la planete dans ce type de configuration. Preciser, dans ces conditions, le type de mouvement suivi par Osiris autour de son etoile. Pendant l'intervalle de temps necessaire aux diverses mesures, on - peut considerer que le systeme HD 209458-Osiris est en translation a la vitesse vt dans le referentiel geocentrique. La composante radiale de cette vitesse est mesurable depuis la Terre en utilisant l'effet Doppler-Fizeau. On remarque que cette vitesse radiale varie periodiquement entre les valeurs extremes vr- = 14, 68 km.s-1 et vr+ = 14, 85 km.s-1 . Determiner le module v1 de la vitesse orbitale de l'etoile HD 209458 dans le referentiel RB barycentrique du systeme HD 209458-Osiris. 16 -- On note v2 le module de la vitesse orbitale de la planete Osiris dans RB suppose galileen. Quelle relation existe-t-il entre m1 , m2 , v1 et v2 ? Exprimer m2 en fonction de v1 , m1 , T et de la constante de gravitation G. On pourra negliger m2 devant m1 . 17 -- Sachant que m1 = 1, 1 MS , calculer la valeur numerique de m2 en fonction de la masse MJ de Jupiter. Page 4/6 Physique I, annee 2010 -- filiere PSI II.D. -- Le reseau echelette La detection d'exoplanetes de petites dimensions necessite de pouvoir mesurer la variation de la vitesse radiale d'une 3 etoile avec une grande precision. Le telescope HARPS (High Accuracy Radial Velocity for Planet Research) situe a l'observatoire de La Silla au Chili mesure la vitesse radiale d'une etoile avec une precision de l'ordre de 1 m.s-1 ce qui lui a permis en avril 2007 de 2 decouvrir la premiere petite exoplanete nommee G LIESE 581c. Ce telescope utilise un reseau echelette qui permet d'obtenir une tres bonne luminosite dans un ordre d'interference eleve. Ce type de reseau est constitue d'un grand nombre n de petites facettes parfaitement reflechissantes inclinees d'un 1 angle par rapport au plan du reseau et separees d'une distance a. Chaque facette, de largeur = a cos , est eclairee en incidence normale par une onde plane monochromatique F IG . 2 ­ Le reseau echelette. de longueur d'onde . On observe l'onde reflechie « a l'infini » dans la direction grace a une lunette. Les centres des facettes notes Ok pour k = 1, · · · , n sont donc distants de a, on notera M un point quelconque d'une facette. Le dispositif est represente sur la figure 2. O ° a O M µ O 18 -- Rappeler le principe d'Huygens-Fresnel. 19 -- On note x la distance entre un point M situe sur la deuxieme facette et O2 . Exprimer, en fonction de x et , la difference de marche « a l'infini » (M/O2 ) entre les rayons issus des sources secondaires situees en O2 et en M. De meme, exprimer, en fonction de a, et , la difference de marche « a l'infini » (O2 /O1 ) entre les rayons issus de O1 et O2 . Le dephasage entre ces deux rayons sera par la suite note . 20 -- Exprimer l'amplitude totale de l'onde emise due aux n facettes. En deduire l'intensite totale I observee « a l'infini ». Montrer que celle-ci peut etre mise sous la forme " # n sin a cos sin 2 Fn ( ) avec Fn ( ) = I = I0 sin2c sin 2 ou la fonction sinc (u) = (sin u) /u designe le sinus cardinal de l'angle u, et est une constante que l'on determinera. Comment s'interprete physiquement chacun des facteurs intervenant dans l'expression de I. 21 -- Quelle est la periode de la fonction Fn ( ) ? Tracer l'allure de la fonction Fn ( ) pour n 1. 22 -- Pour quelle valeur m de la fonction sin2c [ a cos ( ) sin ( ) / ] admet-elle un maximum global ? On remarque que m correspond aux rayons qui se sont reflechis selon les lois de SnellDescartes de la reflexion. On souhaite que, pour = m qui correspond a un maximum d'intensite, la fonction Fn ( ) ait un maximum correspondant a l'ordre d'interference p = 140. Ce reseau echelette permettra donc d'avoir un ordre d'interference 140 tres lumineux pour une longueur d'onde donnee. Determiner l'angle correspondant, calculer sa valeur si = 431 nm et si le reseau contient 32 facettes par millimetre. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Elements d'astrophysique 23 -- La source d'une onde electromagnetique plane de longueur d'onde o possede une vitesse radiale v dans un referentiel galileen d'origine O. Du fait de l'effet de l'effet Doppler-Fizeau, un observateur fixe en O mesure, pour la longueur de cette meme onde, une valeur = o (1 - v/c). En deduire l'expression de la variation en fonction de o , c et de la variation v. Pour l'etoile HD 209458, on veut pouvoir distinguer la variation de vitesse radiale v lorsque la vitesse passe de 14, 68 km.s-1 a 14, 85 km.s-1 . On observe dans l'ordre deux la longueur d'onde = 431 nm avec le reseau echelette precedent. Determiner l'expression de la variation de l'angle a la sortie du reseau associee a la variation v observee pour HD 209458. Calculer numeriquement la valeur de . 24 -- Lorsqu'on se place a un ordre eleve, on a un risque de chevauchement d'ordres. Quelles sont les longueurs d'onde et qui correspondraient a la meme deviation que la longueur d'onde = 431 nm dans l'ordre 140 mais avec des ordres 139 et 141 ? FIN DE LA PARTIE II Pour les applications numeriques, on utilisera les donnees suivantes Masse molaire de l'hydrogene : MH = 1, 0 × 10-3 kg.mol-1 Constante de gravitation : G = 6, 67 × 10-11 N.m2 .kg-2 Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.K-1 .mol-1 Vitesse de la lumiere dans le vide : c = 3, 0 × 108 m.s-1 Permittivite du vide : 0 = (36 )-1 × 10-9 F.m-1 Permeabilite du vide : µ0 = 4 × 10-7 H.m-1 Constante d'Avogadro : N = 6, 02 × 1023 mol-1 Charge elementaire : e = 1, 6 × 10-19 C Masse de l'electron : me = 9, 1 × 10-31 kg Puissance d'emission du Soleil : PS = 3, 8 × 1026 W FIN DE L'EPREUVE Page 6/6 Masse du Soleil : MS = 2, 0 × 1030 kg Rayon solaire moyen : RS = 7, 0 × 108 m Masse de Jupiter : M j = 1, 9 × 1027 kg Rayon de Jupiter : R j = 7, 0 × 107 m Masse de la Terre : M = 6, 0 × 1024 kg Rayon terrestre moyen : R = 6, 4 × 106 m

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 Mines Physique 1 PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet aborde plusieurs thèmes d'astrophysique : les étoiles, les comètes, les pulsars et les exoplanètes. Ses six sous-parties sont indépendantes. · On commence par étudier la vie d'une étoile. Une approche énergétique reliant énergie potentielle, énergie cinétique et pression du gaz constituant l'étoile aboutit au théorème du viriel pour les systèmes soumis à des forces centrales en 1/r2 . · Puis on établit un critère sur la masse de l'étoile pour déterminer si des réactions de fusion sont possibles : il faut que l'agitation thermique l'emporte sur la répulsion coulombienne. · On s'intéresse ensuite aux comètes. Si leurs trajectoires sont déterminées par l'interaction gravitationnelle, leurs queues de poussières sont, elles, dues à la pression de radiation. · On passe aux pulsars, dont on cherche à estimer la distance à la Terre. Pour cela, on utilise la propagation d'ondes électromagnétiques dans les plasmas et le caractère dispersif de ces milieux. · Ensuite, on aborde une méthode de détection des exoplanètes dite méthode du transit. Lorsqu'une planète passe entre son étoile et la Terre, on constate en effet une diminution de la luminosité de l'étoile, ce qui permet de calculer le rayon de la planète. D'autres caractéristiques (masse, vitesse) sont ensuite étudiées. · La dernière sous-partie, qui débute par l'étude de l'intensité diffractée par un réseau échelette, traite d'une méthode de détermination de la vitesse radiale d'une étoile par décalage Doppler de raies d'émission spectrale. De nombreuses parties du programme sont abordées ; remarquons que les questions 1 à 6 (ainsi que 14 à 17) ne font appel qu'aux connaissances de sup. Sous réserve que le cours soit bien maîtrisé, la difficulté de ce sujet est très raisonnable. Indications - -- 1 Utiliser f 12 = - grad Ep . 2 Le théorème de Gauss permet de justifier l'équivalence. Calculer dEp à l'aide de l'expression obtenue à la question 1, en posant m2 = dV (où dV est un élément de volume de la coquille sphérique) et m1 = mr . Sommer sur tous les dV de la coquille et exprimer sa masse dm en fonction de dr puis intégrer. 3 Écrire dEc pour les molécules situées dans la coquille sphérique de rayon r et d'épaisseur dr. Relier kB T à la pression à l'aide de l'équation des gaz parfaits. Projeter l'équation de l'hydrostatique et relier dEp à dP/dr. 4 Intégrer entre r et R ; P(R) est fourni par l'énoncé. L'équation des gaz parfaits permet de relier Pmax à Tmax . 5 Exprimer la densité d'atomes dans l'étoile en fonction de . Relier la masse de l'étoile à sa masse volumique. Utiliser le résultat de la question 4. 6 upp est l'énergie coulombienne d'interaction entre les deux protons. Pour que la réaction de fusion puisse se produire, il faut (d'après l'énoncé) ec > upp . Cette inégalité doit être vérifiée pour T = Tmax . Utiliser alors le résultat de la question 5. Partie II 7 Exprimer la puissance surfacique en r en fonction de P. Quelle est alors la puissance interceptée par la particule ? Cette force est supérieure à la gravitation si F > Fgravitation . - - 10 L'équation de Maxwell-Faraday permet de comparer k- ve B k à k E k. Relier la - densité volumique de courant d'électrons au champ électrique. Éliminer B de l'équation de Maxwell-Ampère. 11 Différentier l'équation de dispersion. Effectuer un développement limité de la racine carré. 12 Montrer que t = d 1 1 - vg2 vg1 14 Les intensités rayonnée et interceptée sont proportionnelles au rayon au carré. 15 La vitesse de l'étoile est - v +- v . Relier cette quantité à v + , puis v à v + . t 1 r- 1 r- - 16 Utiliser 0 = m1 - v1 + m2 - v2 . Le théorème de la résultante dynamique permet d'exprimer la distance étoile-planète. 20 Pour un point M de la facette k, la différence de marche s'écrit (M/Ok ) + (Ok /O1 ) Intégrer l'amplitude diffractée par une facette et sommer sur toutes les facettes. 21 C'est (sin(/2))2 qui détermine la périodicité de Fn . 22 sin m = 0 ; en déduire la valeur de m . L'expression de obtenue à la question 21 permet de conclure. 23 Différentier 0 = (sin + sin( + m ))/, puis utiliser 0 et m = 0. 24 Utiliser l'expression de obtenue question 21. Éléments d'astrophysique I. Étude physique des étoiles I.A Énergie potentielle d'une étoile sphérique, théorème du viriel 1 La force d'interaction gravitationnelle s'écrit - G m1 m2 f 12 = - u b r2 Q2 - De plus, l'énergie potentielle Ep est reliée à f 12 par - -- f 12 = - grad Ep d'où Ep = - u b Q1 G m1 m2 dEp = dr r2 Ainsi, - f 12 G m1 m2 r La constante d'intégration est nulle pour que Ep tende vers 0 lorsque r tend vers l'infini. - 2 Considérons un point P quelconque et notons G (P) le champ gravitationnel en P dû à la distribution de masse de la boule Br de centre O. Cette distribution étant à symétrie sphérique, la norme de la résultante des interactions gravitationnelles est indépendante des coordonnées angulaires et ainsi G qui lui est proportionnelle ne dépend que de la distance OP ; de plus, tout plan contenant la droite (OP) est plan de symétrie pour la distribution de masse. Or, la résultante des interactions gravitationnelles est un vecteur polaire donc elle est selon l'intersection de tous ces plans de symétrie : la résultante des interactions gravitationnelles entre la boule et - K (et donc également G ) est selon la droite passant par les centres de masse de K et Br , notons - er son vecteur directeur orienté de Br vers K . Appliquons le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel à la sphère S de centre O, de rayon OP > r (le point P est alors situé en dehors de la boule), il s'écrit ZZ - - G · d S = - 4 G mr S - où d S est selon - er pour une sphère et orienté vers l'extérieur de la sphère. - Comme G est radial, il vient 4 r2 G = -4 G mr donc - G mr G =- 2 - er r (1) Le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel est semblable au théorème de Gauss pour le champ électrostatique. On peut aisément le retrouver en comparant l'expression du champ électrostatique à la distance r d'une particule ponctuelle de charge Qint - Qint - er E élec = 4 0 r2 - avec celle du champ gravitationnel G à la distance r d'une particule ponctuelle de masse mint - G mint - er G =- r2 - 4 0 - G E élec = - Formellement, Qint G mint ZZ - Qint - Or, E élec · d S = 0 S (où l'intégration est effectuée sur une surface fermée) alors la forme gravitationnelle du théorème de Gauss est ZZ - - G · d S = - 4 G mint S - - On passe donc d'une forme à l'autre en échangeant E avec G , Qint avec mint et 1/0 avec - 4 G. La force exercée par Br sur K est - G mr mK - f Br K = - er r2 La force exercée par Br sur K est donc équivalente à celle due à une particule ponctuelle située en O et portant la masse mr . Comme la masse volumique est indépendante de r, tous les éléments de volume dV qui constituent la coquille sphérique Cr portent la même masse dV. Puisqu'ils sont tous situés à la même distance de O, ils possèdent la même énergie potentielle -G mr dV/r. Sommons sur toutes les directions angulaires pour obtenir l'énergie potentielle dEp de la coquille sphérique Cr de masse dm, dans le champ gravitationnel dû à Br de masse mr , G mr dm r 2 3 mais dm = 4 r dr et mr = 4 r /3, si bien que dEp = - dEp = - (2) 16 2 G 2 4 r dr 3 Il suffit alors d'intégrer entre r = 0 et R pour obtenir Ep = - 16 2 2 G R5 15 Comme M = 4 R3 /3, on en déduit que Ep = G M2 R avec =- 3 5