Mines Physique 1 PSI 2009

Thème de l'épreuve Le rayonnement fossile
Principaux outils utilisés mécanique du point, thermodynamique, électromagnétisme
Mots clefs expansion de l'univers, Hubble, thermodynamique du rayonnement électromagnétique, pression de radiation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2009 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PSI (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE­EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I -- PSI. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. LE RAYONNEMENT FOSSILE Le sujet est compose de quatre parties independantes. Les deux premieres parties etudient l'expansion de l'Univers. La troisieme partie etudie le positionnement d'une sonde d'observation du rayonnement cosmologique. La quatrieme partie approfondit l'etude du rayonnement. Les donnees numeriques - necessaires sont en fin d'enonce. Les vecteurs sont generalement notes avec une fleche, v , sauf s'ils sont unitaires et sont alors surmontes d'un chapeau kb ex k = 1. Les nombres complexes sont soulignes : z C. On notera j2 = -1. I. -- Expansion de l'Univers 1 -- Expliquer brievement la phrase suivante, souvent utilisee dans les revues de vulgarisation scientifique : plus on regarde loin dans l'Univers, plus on regarde dans le passe . On raisonne dans le cadre de la cinematique classique (non-relativiste). Le point O represente un observateur sur la Terre et le point M represente un objet celeste (etoile, galaxie, etc.). On considere le referentiel R ou O est fixe et M est en mouvement. Le milieu interstellaire est assimile au vide pour les ondes electromagnetiques et on note c la celerite de ces ondes dans R. On convient de ne pas tenir compte de l'attenuation de l'amplitude des ondes au cours de leur propagation. Soit sM (t) le signal electromagnetique emis par le point M a l'instant t. Ce signal est recu a l'instant t par le point O. On note sO (t) le signal recu par O a l'instant t. On note OM = r(t). D'apres les hypotheses, sO (t ) = sM (t). 2 -- Exprimer t en fonction de t, c et de la distance r(t). LE RAYONNEMENT FOSSILE - 3 -- L'emetteur M a une vitesse notee v (t), de norme v(t) et -- faisant avec OM un angle (t) (voir figure 1). L'emetteur emet des signaux periodiques de periode T . On suppose que la frequence des signaux est suffisamment grande pour pouvoir negliger les variations - de v et de sur une periode. On suppose egalement qu'a chaque instant t, v(t)T /r(t) 1. Exprimer, au premier ordre, la difference r(t + T ) - r(t). 4 -- En deduire, toujours au premier ordre, la periode T des signaux recus par l'observateur en O. On exprimera T en fonction de T , v, c et . M v r O F IG . 1 ­ Geometrie 5 -- On appelle vitesse radiale de M la quantite vr = v cos . On note la longueur d'onde du signal emis par M et la longueur d'onde du signal recu en O. Donner la relation qui existe entre , , vr et c. On mettra cette relation sous la forme / = 1 + Z. La quantite Z ainsi definie s'appelle le redshift. 6 -- On suppose que M se rapproche de O. Si M emet une longueur d'onde situee dans le jaune ( = 585 nm), la longueur d'onde recue en O est-elle decalee vers le rouge ou bien decalee vers le bleu par rapport a ? On justifiera la reponse. En 1929, le physicien Edwin Hubble a releve le spectre de la lumiere issue des galaxies dont la distance a la Terre etait connue. En comparant ces spectres a ceux d'elements chimiques connus, il en a deduit le redshift Z de ces galaxies. Les points experimentaux pour plusieurs galaxies sont representes sur la figure 2. En notant d la distance Terre-galaxie et vr la vitesse radiale de la galaxie par rapport a la Terre, les mesures suggerent une loi lineaire du type vr = H × d. Cette loi porte le nom de loi de Hubble et H s'appelle la constante de Hubble (le mot constante signifie qu'il s'agit d'une constante par rapport a l'espace et non dans le temps). F IG . 2 ­ Loi de Hubble d Z × 102 0,87 1,05 1,56 1,76 2,11 2,26 2,48 2,77 3,92 4,59 4,30 5,32 6,92 7,21 11,22 14,47 0,71 0,83 1,06 1,23 1,67 1,72 1,92 1,92 2,68 2,93 3,23 3,69 4,55 4,95 7,42 10,00 Donnees experimentales ayant permis la construction de la figure 2, d est exprimee en unite de 1024 m. 7 -- Donner une estimation numerique de H en unites du systeme international, puis en km.s-1 par million d'annees-lumiere. Que signifie cette unite. On ne s'offusquera pas du fait que la loi de Hubble puisse donner des vitesses radiales depassant c pour des galaxies tres eloignees. Cette impossibilite n'apparait pas lorsque les phenomenes relativistes sont pris en compte. 8 -- La loi de Hubble suggere que l'Univers soit en expansion. Le modele du big-bang permet de postuler que cette expansion a commence depuis un temps fini et donc que l'Univers peut se voir attribuer un age. Avec des arguments qualitatifs simples, expliquer pourquoi l'inverse de la constante Page 2/7 Physique I, annee 2009 -- filiere PSI de Hubble est un bon ordre de grandeur de l'age de l'Univers. Estimer numeriquement l'age de l'Univers en milliards d'annees. 9 -- Dans cette question, on veut savoir si l'expansion de l'Univers va un jour s'arreter ou non. Pour cela, on modelise l'Univers par une boule homogene de masse volumique constante et dont le rayon R(t) suit la loi d'expansion de Hubble. On considere une galaxie (supposee ponctuelle) de masse m situee a la surface de la boule et s'eloignant radialement a la vitesse R = dR/dt du centre de la boule. Exprimer l'energie mecanique de cette galaxie. En deduire qu'a partir d'une certaine masse volumique de l'Univers, notee c , la galaxie ne pourra pas s'eloigner indefiniment. Exprimer c en fonction de la constante de gravitation G et de la constante de Hubble H = R/R. 10 -- Donner la valeur numerique de c . Les observations de la matiere visible de l'Univers donnent une masse volumique moyenne 3 × 10-28 kg.m-3 . D'apres cette donnee, l'expansion durera-t-elle indefiniment ? FIN DE LA PARTIE I II. -- Le rayonnement fossile II.A. -- Proprietes generales Des 1948, le physicien Gamow a prevu que le big-bang a du laisser une trace dans l'Univers sous forme de rayonnement electromagnetique, appele rayonnement fossile. Ce rayonnement a ete decouvert en 1962 par Penzias et Wilson (prix Nobel 1978). La densite volumique w d'energie electromagnetique de ce rayonnement par unite de longueur d'onde est representee sur la figure 3. 11 -- Quel type d'ondes electromagnetiques est associe au rayonnement fossile ? On justifiera la reponse en donnant des ordres de grandeur connus. F IG . 3 ­ Spectre du rayonnement fossile La courbe de la figure 3 a exactement la meme forme que celle correspondant a l'emission d'un corps chauffe (braise chaude, interieur d'un four etc.). Pour ce type de rayonnement, la longueur d'onde m au maximum d'emission est liee a la temperature T du corps chauffe par la loi de Wien : m × T = constante 2, 9 mm.K. Par abus de langage, T est appelee temperature du rayonnement. 12 -- Determiner la temperature actuelle du rayonnement fossile. On decide qu'a chaque instant depuis son emission, on peut identifier la temperature de l'Univers a celle du rayonnement fossile. 13 -- Le rayonnement fossile est le resultat d'un processus physique qui s'est deroule pendant une phase tres breve de l'histoire de l'Univers durant laquelle sa temperature T valait environ 3000 K. En admettant que les longueurs d'onde aient subi la meme dilatation que l'Univers, de quel facteur l'Univers s'est-il dilate entre le moment de l'emission du rayonnement fossile et aujourd'hui ? II.B. -- Proprietes thermodynamiques On montre que la densite volumique d'energie electromagnetique par unite de frequence associee au rayonnement contenu dans une enceinte dont les parois sont a la temperature T et reflechissent parfaitement ce rayonnement s'ecrit idealement w ( , T ) = 1 8 h 3 c3 exp h - 1 kB T ou h est la constante de Planck, c la celerite de la lumiere et kB la constante de Boltzmann. Page 3/7 Tournez la page S.V.P. LE RAYONNEMENT FOSSILE 14 -- Quelle est l'unite de w ? Montrer que la densite volumique totale d'energie electromagnetique u du rayonnement se met sous la forme u = aT , ou est un nombre entier que l'on precisera et a une constante que l'on exprimera en fonction de kB , h et c et dont on precisera la valeur numerique. On rappelle que Z x3 4 dx = x 15 0 e -1 L'Univers est assimile a une enceinte spherique de rayon R et de volume V . On admet que le rayonnement fossile est modelisable par un gaz a la temperature T et dont la pression p verifie l'equation d'etat p = u/3, ou u designe toujours la densite volumique totale d'energie electromagnetique introduite a la question 14. Cette hypothese sera justifiee dans la partie IV. A cause de l'expansion de l'Univers, ce gaz subit une detente adiabatique supposee quasistatique. 15 -- Demontrer que, dans ce modele, le rayon R de l'Univers et sa temperature T obeissent a une relation du type R × T = constante. On ne demande pas d'exprimer la constante. FIN DE LA PARTIE II III. -- La sonde Planck Afin d'etudier certaines proprietes du rayonnement fossile, l'Agence Spatiale Europeenne va placer en orbite la sonde Planck dans le courant du mois d'avril 2009 ! De maniere a ce qu'elle ne soit pas eblouie par le soleil lors des mesures, cette sonde a ete placee dans le cone d'ombre de la Terre situe a l'oppose du Soleil, comme indique sur la figure 4 (cette figure ne respecte pas les echelles). F IG . 4 ­ Position de la sonde 16 -- Donner la position du centre de masse du systeme Terre-Soleil. Estimer l'erreur relative que l'on commet si on assimile le centre du Soleil au centre de masse Terre-Soleil. Desormais, on considere que le centre de masse du systeme Terre-Soleil et confondu avec le centre du Soleil. Le referentiel heliocentrique sera considere comme galileen. On assimile la Terre a un point de masse MT se deplacant sur une trajectoire circulaire de rayon r autour du Soleil. On neglige l'influence des astres autres que le Soleil. 17 -- Montrer que la Terre tourne a vitesse constante autour du Soleil. Exprimer la periode T de rotation de la Terre autour du Soleil ainsi que la vitesse angulaire de cette rotation en fonction de la constante de la gravitation universelle G , r et de la masse MS du Soleil. Calculer la valeur numerique de T . La sonde devant toujours etre situee dans le cone d'ombre de la Terre, on travaillera desormais dans le referentiel R centre sur le Soleil S, en rotation a la vitesse angulaire par rapport au referentiel heliocentrique galileen. La Terre est donc fixe dans R . Dans le referentiel R , on choisit un repere - cartesien orthonorme direct (S, ebx , eby , ebz ). Le vecteur rotation = ebz est tel que > 0. Le plan (S, ebx , eby ) est le plan de revolution de la Terre autour du Soleil. Page 4/7 Physique I, annee 2009 -- filiere PSI On ne s'interesse qu'aux cas ou la sonde est dans ce plan. La vitesse de la sonde dans R est supposee toujours assez faible pour que la force d'inertie de Coriolis soit negligee. On note m la masse de la sonde, r la distance Terre-Soleil, rT = T M la distance sonde-Terre, rS = SM la distance sonde-Soleil, et ebr le vecteur unitaire qui pointe du Soleil vers la sonde F IG . 5 ­ Referentiel lie a la Terre 18 -- Montrer que l'equation du mouvement de la sonde dans R s'ecrit - ----- d2 SM m 2 = -grad (E p ) dt ou E p est une energie potentielle dont on donnera l'expression en fonction de , m, MS , MT , rS et rT . Les positions d'equilibre de la sonde dans R correspondent aux extrema de E p , on montre qu'il en existe cinq, toutes contenues dans le plan (S, ebx , eby ). Ces positions sont appelees points de Lagrange. 19 -- Montrer qu'il existe trois points de Lagrange sur l'axe (S, ebx ). Puis, a l'aide d'arguments energetiques, preciser si ces points d'equilibre sont stables ou instables vis-a-vis de perturbations dans la direction ebx . On s'interesse au point de Lagrange L2 , situe sur l'axe (S, ebx ) dans le cone d'ombre a l'oppose du Soleil par rapport a la Terre (voir figure 4). On note la distance entre le centre de la Terre et L2 . 20 -- Donner, sans la resoudre, l'equation algebrique verifiee par . En faisant l'hypothese que r, trouver une expression litterale approximative de , et en deduire sa valeur numerique. Verifier a posteriori l'hypothese sur . Il est possible de montrer que L2 est stable vis-a-vis de perturbations dans les directions eby et ebz . On considerera donc, pour simplifier, que tout se passe comme si la sonde etait astreinte a se deplacer uniquement sur l'axe (S, ebx ), sans frottement . 21 -- La sonde etant placee en L2 , on envisage une petite perturbation de sa position de la forme - (t) = (t)b ex . Ecrire l'equation differentielle verifiee par (t). Lineariser cette equation en supposant qu'a chaque instant t on puisse ecrire r (t). On fera apparaitre dans l'equation linearisee un temps caracteristique dont on donnera l'expression litterale en fonction de r, G et MS . En deduire un ordre de grandeur numerique de l'intervalle de temps separant deux repositionnements consecutifs de la sonde Planck. FIN DE LA PARTIE III IV. -- Pression de radiation Le but de cette partie est de justifier l'expression de l'equation d'etat du rayonnement utilisee dans la partie II.B. Le rayonnement cosmologique peut etre considere comme une superposition d'ondes electromagnetiques planes progressives monochromatiques de frequences et de directions de propagation differentes. On note u l'energie du rayonnement par unite de volume, moyennee en temps et en espace et p la pression de radiation, c'est-a-dire la force par unite de surface, moyennee en temps, qu'exercerait le rayonnement sur les parois parfaitement reflechissantes d'une enceinte qui le contiendrait. Avec ces notations, on veut etablir l'equation d'etat du rayonnement : p = u/3. Pour cela, on commence par etudier la reflexion d'une onde electromagnetique monochromatique en incidence oblique sur un miroir metallique parfaitement conducteur. Page 5/7 Tournez la page S.V.P. LE RAYONNEMENT FOSSILE L'espace est rapporte au repere orthonorme direct (O, B) avec B = (b ex , eby , ebz ). Le demi-espace x < 0 est le vide et le demiespace x > 0 est rempli par un metal de conductivite electrique infinie. L'onde incidente est une onde plane progressive monochromatique de pulsation , de longueur d'onde , polarisee rectilignement dans la direction ebz et se propageant dans la direction - donnee par le vecteur d'onde k i = k cos( ) ebx + k sin( ) eby ou k = 2 / . Figure 6 En un point M de coordonnees (x, y, z) dans B, a l'instant t et en representation complexe, le champ electrique de cette onde incidente s'ecrit : - -- - E i (M,t) = E0i ej( t- k i .OM) ebz ou E0i = cste R+ et j2 = -1. - 22 -- Determiner la representation complexe des composantes du champ magnetique B i de l'onde incidente dans B. Cette onde provient des x < 0. Elle rencontre en x = 0 le miroir metallique parfaitement conducteur et donne naissance a une onde plane reflechie, caracterisee par sa pulsation r , ses champs electrique - - - E r et magnetique B r , ainsi que par son vecteur d'onde k r . La representation complexe du champ electrique associe a cette onde s'ecrit : ( - - - - -- - - E 0r = cste j(r t- k r .OM) E r (M,t) = E 0r e avec - k r = krx ebx + kry eby + krz ebz 23 -- Justifier que le champ electrique est toujours nul dans le metal. En traduisant les conditions aux limites sur le champ electrique en x = 0, montrer que la pulsation de l'onde reflechie est la meme - que celle de l'onde incidente, puis determiner les composantes de k r dans B en fonction de k et . Que constatez-vous ? - 24 -- Montrer que E 0r = -E0i ebz . Donner alors l'expression dans B de la representation complexe - - du champ E r de l'onde reflechie. En deduire, toujours dans B celle de B r dans . 25 -- En utilisant les resultats obtenus precedemment, determiner les expressions reelles du champ - - electrique E et du champ magnetique B resultant de la superposition des ondes incidente et reflechie dans le demi-espace x < 0. On exprimera les resultats dans B. 26 -- Determiner l'expression de u, definie comme la moyenne temporelle et spatiale de la densite volumique d'energie de l'onde resultante. Cette expression fait-elle intervenir ? - 27 -- On note j s l'expression reelle de la densite de courant surfacique qui prend naissance sur la surface x = 0 du miroir. A l'aide des conditions aux limites relatives au champ magnetique en x = 0, - determiner les composantes de j s dans B. 28 -- Un element d'aire dS de la surface x = 0 du miroir est soumis a la force elementaire - - - d F = 12 j s B dS. Preciser ce que represente cette force et justifier la presence du facteur 12 dans l'expression. Calculer la valeur moyenne temporelle p de la quantite - dF .b ex . = dS Cette quantite p = h it est appelee pression de radiation d'une onde sous l'incidence . Page 6/7 Physique I, annee 2009 -- filiere PSI 29 -- L'onde incidente peut arriver de la region x < 0 sur le miroir dans toutes les directions possibles (en trois dimensions). En supposant que toutes les directions sont equiprobables, donner l'expression de la pression de radiation p, qui est definie comme la moyenne sur toutes les directions de p . En deduire l'equation d'etat du rayonnement. 30 -- L'equation d'etat du rayonnement a ete etablie pour un rayonnement monochromatique. Justifier qu'elle reste valable pour un rayonnement polychromatique. Remarque : l'etude de cette partie a traite uniquement le cas ou l'onde incidente etait polarisee perpendiculairement au plan d'incidence. Cependant, le meme resultat final serait obtenu pour une onde dont la direction de polarisation est contenue dans le plan d'incidence. FIN DE LA PARTIE IV FIN DE L'EPREUVE Notations et valeurs numeriques ­ masse du Soleil : MS 1, 99 × 1030 kg ; ­ masse de la Terre : MT 5, 97 × 1024 kg ; ­ distance Terre-Soleil : r 1, 49 × 1011 m ; ­ constante de gravitation universelle : G 6, 67 × 10-11 kg-1 .m3 .s-2 ; ­ celerite de la lumiere dans le vide : c 3, 00 × 108 m.s-1 ; ­ constante de Planck : h 6, 62 × 10-34 J.s ; ­ constante de Boltzmann : kB 1, 38 × 10-23 J.K-1 ; ­ permittivite electrique du vide : 0 8, 85 × 10-12 F.m-1 ; ­ permeabilite magnetique du vide : µ0 = 4 × 10-7 H.m-1 . Page 7/7

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 Mines Physique 1 PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Aymeric Spiga (École Polytechnique) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce problème, constitué de quatre parties indépendantes, est consacré à l'étude du rayonnement fossile. · La première partie étudie l'expansion de l'Univers. Le point de départ est l'effet Doppler et le décalage vers le rouge de la lumière issue des galaxies lointaines. La plupart des questions ne font appel qu'à des notions simples et à des calculs courts ; cependant, elles peuvent déstabiliser par leur originalité. · Le problème s'intéresse dans la deuxième partie à la thermodynamique du rayonnement fossile. Aucune notion de thermodynamique du rayonnement n'est supposée connue (conformément au programme de la filière PSI) ; là encore, c'est l'originalité des questions qui peut déstabiliser, plus que les aspects techniques. · La troisième partie, qui décrit le positionnement de la sonde spatiale Planck, relève de la mécanique du point de première année. Sa résolution fait appel au cours relatif au mouvement keplerien et à la dynamique en référentiel non galiléen. Les calculs, plus ardus, nécessitent rigueur et méthode. · Enfin, la quatrième partie revient sur la thermodynamique du rayonnement électromagnétique ; elle a pour but d'établir l'expression de la pression de radiation utilisée dans la deuxième partie. Elle fait appel au cours sur les ondes électromagnétiques et propose notamment l'étude de la réflexion d'une onde sur un conducteur parfait en incidence oblique. Bien que proche du cours, cette partie s'avère plutôt calculatoire. L'ensemble constitue un problème intéressant, en lien avec des recherches très actuelles dans le domaine de la cosmologie, le tout en mobilisant des connaissances relatives au programme des deux années de prépa. En dépit de l'originalité du thème et de certaines questions, il constitue un bon sujet de révision. Indications Partie I 3 Commencer par exprimer r (t + T), puis faire un développement limité. 4 Calculer les instants de réception de deux signaux successifs émis à t et t + T. 9 La masse volumique de l'Univers est supposée uniforme, mais variable dans le temps. Il faut raisonner sur l'expression de l'énergie mécanique faisant intervenir la masse totale de l'Univers (qui ne varie pas). 2 Partie II 14 Pour déterminer la densité volumique totale d'énergie, il faut intégrer la densité volumique par unité de fréquence sur la fréquence. 15 Appliquer le premier principe à l'Univers et s'inspirer de la démonstration des lois de Laplace pour le gaz parfait en évolution adiabatique quasistatique. Partie III 18 On rappelle que la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielle 1 Ep = - m 2 rS 2 2 19 Commencer par établir l'expression de la dérivée de l'énergie potentielle pour des mouvements sur l'axe (S, ebx ) : dEp G MS m G MT m - =- - + m 2 x dx |x| x |x - r| (x - r) Est-il nécessaire de dériver l'expression de Ep obtenue à la question précédente ? Montrer ensuite qu'il y a trois positions d'équilibre et qu'elles sont instables. 20 Montrer que vérifie MS -MS 2 - MT (r + )2 + 3 (r + )3 2 = 0 r Faire apparaître la variable adimensionnée u = r/, et prendre soin de ne conserver que les termes d'ordre le plus bas en u. 21 À partir du principe fondamental de la dynamique appliqué à la sonde, montrer que l'équation vérifiée par est de la forme - 2 = 0 Partie IV 23 25 26 27 On peut utiliser la continuité de la composante tangentielle du champ électrique. Calculer d'abord le champ total complexe avant de prendre la partie réelle. Montrer que u = 0 E0i2 . On rappelle que sin2 ( t + ) = cos2 ( t + ) = 1/2. Utiliser la condition de passage pour le champ magnétique et la formule du double produit vectoriel. 28 Le champ magnétique, qui intervient dans la force de Laplace, est discontinu dans - le plan x = 0. Il faut remplacer B (x = 0, t) par - 1 - B (x = 0- , t) + B (x = 0+ , t) 2 30 Raisonner sur la superposition de deux ondes de pulsations différentes : calculer u et p comme aux questions précédentes. I. Expansion de l'Univers 1 Quand on observe un objet situé à une distance d, la lumière a parcouru le trajet en une durée d/c. Ainsi, si l'observation a lieu à l'instant t, la lumière a été émise à l'instant t - d/c. Observer à grande distance revient à observer les objets tels qu'ils étaient dans un passé lointain. Ceci n'a d'intérêt que pour des objets suffisamment éloignés, pour que le temps de propagation soit suffisamment grand. La lumière provenant du Soleil met ainsi un peu plus de 8 minutes pour parvenir sur la Terre ; dans le cas de Proxima du Centaure, l'étoile la plus proche du système solaire, le temps de parcours est de l'ordre de 4 ans. Pour la galaxie d'Andromède, l'une des plus proches de la Terre, ce temps de parcours est voisin de 2,5 millions d'années. 2 Compte tenu de la discussion de la question précédente, on a directement t = t + r(t) c 3 Si on peut négliger les variations du vecteur vitesse entre t et t + T, on a -- -- OM(t + T) = OM(t) + - v (t) T - qui donne r2 (t + T) = r2 (t) + 2 r (t) · - v (t) T + v 2 (t) T2 soit " - r (t) · - v (t) T v 2 (t) T2 r(t + T) = r(t) 1 + 2 + 2 2 r (t) r (t) Au premier ordre en v(t)T/r(t), il vient " - r (t) · - v (t) T r(t + T) r(t) 1 + 2 r (t) d'où #1/2 # r(t + T) - r(t) v(t) cos (t) T 4 Supposons qu'un maximum de l'onde est émis à l'instant t ; il est reçu en t , dont l'expression est fournie par un raisonnement analogue à celui de la question 2 : r(t) t = t + c Le maximum suivant de l'onde est émis à l'instant t + T ; il est donc reçu en r(t + T) c La période du signal reçu s'identifie à la durée séparant la réception de deux maxima r(t + T) - r(t) T = t - t = T + c Avec les approximations de la question précédente, on obtient v cos T = T 1 + c t = t + T + Ce phénomène, indépendant du type d'onde considéré, est connu sous le nom d'« effet Doppler ». Dans le cas des ondes sonores, comme T > T si cos > 0, le son reçu est plus grave que le son émis si la source s'éloigne. Inversement, le son reçu est plus aigu si la source s'approche. Ce phénomène est observé couramment avec la sirène d'un véhicule de secours. L'effet Doppler a été traité plus en détail dans le deuxième problème de physique des Concours Communs Polytechniques de la filière PSI en 2007. 5 La relation entre T et T s'écrit en fonction de la vitesse radiale vr T = T 1 + c Or, comme = c T et = c T , il vient vr = 1 + c =1+Z soit avec Z= vr c 6 Si M s'approche, cos est négatif ; ainsi, Z est négatif et est inférieur à . La lumière reçue est donc décalée vers le bleu. On rappelle que le bleu correspond aux petites longueurs d'onde visibles, alors que le rouge correspond aux grandes longueurs d'onde visibles. Le terme anglais « redshift » se traduit justement par « décalage vers le rouge ». Pour la plupart des galaxies, Z est en effet positif. Le jury indique que certains candidats, sans doute induits en erreur par le terme « redshift » ont chercher à justifier un décalage vers le rouge en contradiction avec le résultat de leur calcul. 7 Une régression linéaire effectuée à la calculatrice donne Z=+d avec 1,16.10-3 et 6,68.10-27 m-1 La coefficient de corrélation de 0,998 assure que la modélisation rend très bien compte des données expérimentales. En raison de l'ordre de grandeur de d, on peut écrire Zd au moins pour les galaxies les plus éloignées. La loi de proportionnalité de Hubble ne semble pas bien vérifiée pour les galaxies les plus proches, pour lesquelles le terme d'ordonnée à l'origine dans la régression linéaire n'est pas négligeable. La loi de Hubble fait cependant l'hypothèse implicite que la valeur du décalage vers le rouge observée est entièrement due à l'expansion de l'Univers. Une telle supposition est clairement erronée dans le cas des galaxies les plus proches. En effet, leur mouvement propre par rapport à notre galaxie n'est plus négligeable par rapport à leur mouvement résultant de l'expansion de l'Univers et contribue significativement au redshift. Il est alors possible d'observer des valeurs de Z négatives ; c'est le cas, par exemple, de la galaxie d'Andromède (Z -1.10-3 ).