Mines Physique 1 PSI 2008

Thème de l'épreuve Modélisation des dunes de sable
Principaux outils utilisés mécanique du point, physique des ondes
Mots clefs dune, sable, transport éolien, collision

Corrigé

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2008 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PSI (Duree de l'epreuve : 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, Telecom SudParis (ex INT), TPE­EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I -- PSI. L'enonce de cette epreuve comporte 5 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. MODELISATION DES DUNES DE SABLE Ce probleme, dont la source est la these de F. RIOUAL (2002), aborde quelques aspects des proprietes des milieux granulaires. Les differentes parties de cette epreuve sont largement independantes entre elles. Les deux premieres concernent la description microscopique des interactions entre particules de milieux granulaires. La troisieme partie concerne la dynamique de la formation de rides de sable dans les deserts. Dans toute l'epreuve, exprimer signifie donner une expression litterale et calculer signifie donner une valeur numerique. La quantite x designe la derivee totale de x par rapport au temps t. Les - vecteurs sont notes avec un chapeau s'ils sont unitaires ubx , avec une fleche v dans le cas contraire. I. -- Collisions sans perte d'energie : Le modele de Hertz Lors d'un choc frontal entre deux billes spheriques homogenes, l'energie cinetique initiale est d'abord convertie en energie de deformation Ed puis restituee sous forme d'energie cinetique. Lorsque les deux billes sont en compression l'une par rapport a l'autre, un meplat circulaire de diametre a apparait autour du point de contact initial (Fig. 1). On note 2 la longueur d'interpenetration des deux billes que l'on considere identiques de masse m, de rayon R et de masse volumique b = 3m/(4 R3 ). Dans le referentiel du centre de masse, elles se deplacent sur un axe horizontal avec des vitesses de meme module v et de sens opposes. Le contact avec la surface (S) se fait sans frottement et on neglige le mouvement Figure 1 de rotation des billes. MODELISATION DES DUNES DE SABLE Quand la distance entre les deux centres de billes devient inferieure au diametre d'une bille, elles entrent en contact et subissent une deformation elastique, sous l'action d'une force, qui n'a de sens physique que pour 0, dont le module est note Fde . Si l'on note P la pression moyenne agissant sur la surface de contact, la loi de Hooke stipule que P= Fde = 2 4 a a ou est une constante positive appelee module de Young de la bille et qui caracterise son elasticite. Dans cette partie, la collision est supposee etre elastique, c'est-a-dire que l'energie mecanique totale du systeme des deux billes est identique avant et apres le choc (apres que les billes se sont separees). On considere dans toute cette partie que R. 1 -- Verifier que est homogene a une pression. Montrer qu'a l'ordre 1 en /R, le diametre du meplat s'ecrit a = 2 2R . On conservera cette expression dans tout le probleme. 2 -- Donner l'expression du module Fde de la force de deformation en fonction de R, et . En deduire, l'energie potentielle E p dont derive cette force. On prendra E p 0. 3 -- On note x1 et x2 les abscisses respectives des centres des billes (Fig. 2). Quand la distance entre ces centres est inferieure au diametre, donner la relation entre , x1 , x2 et R. En deduire x1 = dx1 /dt en fonction de = d /dt. 4 -- Exprimer l'energie mecanique totale Em des deux billes pendant le choc en fonction de R, , m, et ? 5 -- Pourquoi la quantite de mouvement du systeme constitue par les deux billes est-elle la meme avant et apres et le choc ? Quelle est la relation simple liant les vitesses - w 1 - des billes une fois qu'elles se sont separees ? w 2 Figure 2 - 6 -- Quelle est la relation liant v a la norme des vecteurs w de la question 5 ? 7 -- Determiner la valeur maximale m atteinte par au cours de la collision en fonction de b , v, et R. Que constatez-vous pour la deformation maximale um = m /R ? 8 -- En utilisant l'expression de l'energie mecanique totale Em , determiner la duree de la collision, c'est-a-dire le temps pendant lequel les billes restent en contact. On exprimera en fonction de , m, v, R et de l'integrale Z 1 du p I= 0 1 - u5/2 9 -- Application numerique : calculer et um pour des particules de sable de vitesse v = 3, 00 m.s-1 , de module de Young = 7, 00×1010 Pa et de masse volumique b = 2, 50×103 kg.m-3 dans les deux cas suivants : R = 1, 00×10-4 m et R = 1, 00×10-3 m. On donne I 1, 47. On verifiera que le resultat est exprime en secondes. FIN DE LA PARTIE I II. -- Collisions avec perte d'energie Figure 3 On considere maintenant deux billes deformables inelastiques se deplacant sur un axe horizontal avec - les vitesses v1 = v1 ubx pour la particule a gauche et - v2 = v2 ubx pour la particule a droite. Page 2/5 Physique I, annee 2008 -- filiere PSI = w ub et On considere v1 > v2 : il y a donc collision ; les vitesses apres le choc sont notees - w 1 1 x - = w ub . On suppose que la collision est instantanee ; le coefficient de restitution, note e, est defini w 2 2 x par la relation w2 - w1 e=- v2 - v1 10 -- La quantite de mouvement du systeme constitue par les deux billes est-elle la meme avant et apres le choc ? 11 -- Exprimer, en fonction de v1 , v2 , m et e, la perte d'energie cinetique des deux billes causee par la collision. 12 -- Pour toute la suite de la partie II, on suppose desormais que v1 = -v2 = v (choc de plein fouet). Exprimer la perte d'energie cinetique des deux billes liee au choc, en fonction de m, e et v. 13 -- Au cours de la collision, la deformation rapide de la bille, d'amplitude maximale m , est maintenant source de dissipation. Ce phenomene est associe a une force de module Fd . On suppose que cette force est reliee a la force elastique non dissipative Fde de la partie I par la relation Fd = A Fde Quelle est la dimension de la constante positive A ? Exprimer, sous la forme d'une integrale sur l'intervalle [0, m ], l'energie Ud dissipee au cours de la collision en fonction de A, , R, , et m . 14 -- On suppose que l'energie dissipee est faible devant l'energie cinetique initiale. En ecrivant un bilan energetique, justifier que pendant la collision on puisse ecrire ! 16 2R 2 = v2 1 - 5/2 5mv2 Exprimer en fonction de , R, m , m et y = /m . 15 -- Deduire de la question precedente que l'energie dissipee lors de la collision est de la forme Ud = A v f ( , R, m) ou est une constante a determiner et f une fonction sans interet ici. On verifiera que est voisin de 2. 16 -- La theorie de Kuwabara et Kono prevoit que l'on puisse ramener la collision de plein fouet des deux particules deformables dissipatives, a une collision instantanee avec un coefficient de restitution effectif tres proche de 1 qui depend de la vitesse d'impact de telle maniere que 1 - e soit proportionnel a v1/5 . Justifier cette theorie en considerant que la totalite de la perte d'energie cinetique est dissipee lors de la collision. 17 -- Expliquer qualitativement pourquoi le coefficient de restitution tend vers 1 pour les faibles vitesses. Ce coefficient est-il une propriete des particules ou une propriete de la collision ? FIN DE LA PARTIE II Page 3/5 Tournez la page S.V.P. MODELISATION DES DUNES DE SABLE III. -- Le transport eolien du sable : Le modele d'Anderson Figure 5 Figure 4 Les rides eoliennes sont des motifs qui se developpent, par exemple dans les deserts, a partir d'un sol plat, perpendiculairement a la direction du vent (Fig. 4). On cherche dans cette partie a modeliser leur formation. Regulierement, le desert est soumis a un vent suffisamment fort pour emporter des grains de sable sur des distances importantes : ce mecanisme est appele saltation. Puisque le vent les a tries, on admettra que les grains en saltation sont tous entraines a la meme vitesse, et ont tous a peu pres la meme masse m. Ainsi, ils suivent tous, en moyenne, la meme trajectoire. En particulier, leurs angles d'impact sur la surface sableuse sont en moyenne egaux et de l'ordre de 14 degres. On note cet angle caracteristique (Fig. 5). La collision d'un grain de sable sur le sol produit localement l'ejection de plusieurs particules a des vitesses plus faibles que la vitesse de la particule incidente. Les particules ejectees retombent sur le lit de sable au voisinage du point d'impact ; ce phenomene est appele reptation. La distance caracteristique de parcours des grains en reptation est notee r . On suppose que le lit de sable est forme de rides invariantes par translation dans la direction perpendiculaire au vent de sable. La hauteur du lit de sable ne depend alors que d'une seule variable d'espace notee x et du temps t ; on la note h(x,t). On appelle Q(x,t) la masse de grains transportes a l'abscisse x et a l'instant t par unite de temps et par unite de largeur ; on rappelle que [Q] = [M] [L]-1 [T ]-1 . Ce flux par unite de largeur est la somme de deux contributions, celle des grains en reptation, notee Qr , et celle des grains en saltation, notee Qs . On suppose dans toute cette partie que le flux des grains en saltation est constant et uniforme avec une incidence fixe d'angle . On note enfin la masse volumique du lit de grains, que l'on suppose uniforme et constante. 18 -- En ecrivant la conservation locale de la masse sur une tranche de grains d'extension x et de largeur L, etablir la relation h(x,t) 1 Q(x,t) + =0 t x 19 -- Soit Ne (x,t) le nombre de grains ejectes a l'abscisse x par unite de temps et de surface ; on rappelle que le flux de reptation est donne par Qr (x,t) = m Z x x-r Ne (u,t)du determiner l'equation aux derivees partielles reliant les fonctions h et Ne . Page 4/5 Physique I, annee 2008 -- filiere PSI 20 -- On note No le nombre de grains en saltation arrivant sur une surface horizontale par unite de temps et de surface. Soit n la densite de grains de vitesse v arrivant sur une surface horizontale avec une inclinaison . Le nombre de grains arrivant sur une surface d'aire S pendant le temps dt est donc dN = n d µ (Voir Fig. 6). Exprimer No en fonction de n, v et . En deduire que le nombre Ns de grains en saltation Figure 6 : Saltation sur un lit plat (a), et sur un par unite de surface et de temps entrant en collision lit de pente locale (b). La quantite d µ repreavec le lit a l'abscisse x est donne par la relation -sente un volume elementaire de grains en saltation. tan( ) cos( ) Ns ( ) = No 1 + tan( ) 21 -- Etablir l'equation aux derivees partielles reliant les fonctions (x,t) et h(x,t). 22 -- Le modele d'Anderson consiste a supposer que le nombre de grains ejectes du lit est proportionnel au nombre de grains en saltation Ns : Ne (x,t) = no Ns (x,t) , ou no est le nombre de grains ejectes lors d'une collision. Sous cette hypothese, et en s'appuyant sur le resultat de la question 19, etablir l'equation d'evolution de h(x,t) en fonction de m, no , , Ns (x,t) et Ns (x - r ,t). 23 -- Deduire de cette etude l'equation suivante x mno No h h =- tan( ) + cos( ) t tan( ) x x-r 24 -- Montrer que h(x,t) = ho = cste est une solution possible de l'equation de la question 23 (on la nomme solution triviale). On cherche dorenavant a analyser la stabilite de la solution triviale dans le regime des petites inclinaisons. On considere donc que cos( (x,t)) = cste 1 25 -- Ecrire l'equation aux derivees partielles verifiee par h en faisant apparaitre la constante co = mno No / . Quelle est la dimension de co ? 26 -- On cherche la solution de l'equation de la question 25 sous la forme complexe h(x,t) = ho + h1 exp [i(kx - t] exp( t) avec ho et h1 deux reels tels que |ho | |h1 |, puis k, et trois parametres reels. Determiner les expressions de et en fonction de u = kr et o = co /(r tan( )). 27 -- A quelle condition sur k et r la solution proposee a la question precedente est-elle stable ? 28 -- On note vg et v les vitesses de groupe et de phase des rides eoliennes dans le cadre de la solution triviale perturbee decrite dans les questions 26 et 27. Determiner la relation entre vg , v , et r . 29 -- On dit d'un milieu qu'il est dispersif lorsque la celerite d'une onde en propagation dans ce milieu depend de sa frequence. Le sable vous semble-t-il etre un milieu dispersif ou non ? On justifiera soigneusement sa reponse. FIN DE LA PARTIE III FIN DE L'EPREUVE Page 5/5

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 Mines Physique 1 PSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Gabriel Bousquet (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce problème, consacré à la modélisation des dunes de sable, comporte trois parties. Il fait appel à différents thèmes du programme des deux années de prépa, notamment la mécanique du point et la physique des ondes. · La première partie étudie la collision sans perte d'énergie de deux grains de sable. On y tient compte de la déformation élastique des grains de sables au cours du choc. · La deuxième partie, qui prolonge la première, s'intéresse aux collisions entre grains de sable avec perte d'énergie : la déformation des grains au cours du choc est source de dissipation. · La troisième partie est complètement indépendante des deux précédentes. La formation des rides à la surface d'une étendue de sable y est abordée dans le cadre de la physique des ondes : il s'agit notamment d'établir et d'étudier les solutions d'une équation aux dérivées partielles qui régit la hauteur de sable. Ce problème constitue un ensemble de longueur raisonnable où s'enchaînent des questions de difficulté variable. L'énoncé fournit assez peu de résultats intermédiaires ; ne pas résoudre certaines questions peut ainsi s'avérer très pénalisant. Notons par ailleurs que certaines questions exigent d'accorder une attention soutenue à la conduite des calculs. Ces derniers sont le plus souvent d'une difficulté technique très raisonnable, mais ils peuvent être longs. Cette approche technique prend parfois le pas sur la compréhension physique des phénomènes mis en jeu. Remarquons enfin que les deux premières parties ont pu déstabiliser certains candidats, car l'étude des collisions est hors programme. Cependant, la résolution de ces parties ne fait appel qu'aux connaissances du programme en mécanique. Ces difficultés mises à part, ce problème est l'occasion d'aborder une physique à la fois originale, très concrète, et relativement proche de certains sujets de recherche actuels. Indications Partie I 1 Calculer a par le théorème de Pythagore et ne conserver que le terme dominant en /R. 2 Établir d'abord une relation entre x1 , x2 et (comme demandé à la question 3). Chercher ensuite Ep sous la forme suivante : Ep (x1 , x2 ) = Ep ((x1 , x2 )), et relier cette énergie potentielle aux forces subies par les billes 1 et 2. Montrer enfin que Ep = 32 2 2R 5 5 Le système constitué des deux billes est pseudo-isolé. 7 Utiliser la conservation de l'énergie. d 8 Déterminer en fonction de , puis séparer les variables pour intégrer. dt Partie II 11 La perte d'énergie cinétique est l'opposée de la variation d'énergie cinétique. Pour la calculer, exprimer d'abord w1 et w2 en fonction de v1 , v2 et e (en utilisant la définition de e et le résultat de la question précédente). 12 Montrer que -Ec = m 1 - e2 v 2 . 13 L'énergie dissipée s'écrit en fait comme la somme de deux intégrales. 14 L'expression de 2 comporte une erreur ; il faut lire ! 32 2 R 2 = v2 1 - 5/2 5 m v2 Cette relation a été établie à la question 8. 15 Ne pas chercher à simplifier l'expression de f . Partie III 19 On rappelle que la dérivée de f (x) = Z x g(u) du est f (x) = g(x). a 20 Sur les figures (6a) et (6b), l'angle n'a pas la même valeur, alors que l'énoncé indique que = 14 pour tous les grains (en moyenne). La grandeur Ns correspond à un nombre de grains par unité de surface de la dune et par unité de temps. 21 Noter que tan (x, t) est la pente à la courbe h(x, t). 26 Erreur d'énoncé, sans conséquence pour la résolution du problème : |h1 | h0 . 28 Calculer explicitement v et v g . I. Collisions sans perte d'énergie : le modèle de Hertz 1 Les grandeurs et a sont des longueurs ; ainsi, P et ont même dimension : a la dimension d'une pression. On peut s'étonner de cette définition de la pression. En effet, il aurait pu sembler naturel de la définir comme le quotient de la force par la surface du méplat, soit Fde P= (a/2)2 Cependant, il convient de conserver la formule proposée par l'énoncé. a/2 d R En raisonnant sur le schéma ci-contre, le théorème de Pythagore permet d'écrire a 2 R2 = d2 + avec d=R- 2 dont on déduit a p 2 = R - (R - )2 = 2 R 1 - 2 2R En effectuant un développement limité de (1 - /(2 R)) a = 2 2R à l'ordre 0 en /R, il vient 2 Commençons par déterminer l'expression de Fde Fde = (4 a2 ) = 4 a a Fde = 8 2 R soit Pour les billes 1 et 2, on obtient respectivement - - F 1 = -8 2 R u bx et F 2 = 8 2 R u bx Par ailleurs, l'énergie potentielle Ep dépend des positions x1 et x2 au travers de : Ep = Ep (x1 , x2 ) = Ep ((x1 , x2 )) avec x2 - x1 = 2(R - ) soit =R- x2 - x1 2 Les forces exercées sur les billes 1 et 2 s'en déduisent - -- Ep dEp 1 dEp bx = - u bx = - u bx F1 = - grad 1 Ep = - x u d x1 2 d 1 -- - dEp 1 dEp F2 = - grad 2 Ep = - Ep u bx = - u bx = u bx x2 d x2 2 d Le jury attire l'attention des candidats sur les paramètres par rapport auxquels on dérive l'énergie potentielle. En identifiant les expressions des forces, il vient 1 dEp 2 d dEp Ainsi, = 16 2 R d 32 2 qui s'intègre en Ep = 2R+K 5 où K est une constante d'intégration arbitraire. Choisissons K = 0 ; on obtient ainsi une énergie potentielle positive comme demandé. De plus, l'énergie potentielle est nulle pour = 0, résultat qui se prolonge lorsque les deux billes ne sont plus en contact. Finalement, on retient Fde = Ep = 32 2 2R 5 On peut proposer une démonstration alternative de ce résultat. Pour cela, considérons la bille 1, immobile, et amenons la bille 2 depuis l'infini jusque dans l'état représenté dans la figure 1. On a alors - - W = F2 · d2 Ce travail élémentaire est nul tant que les billes ne sont pas en contact. Quand le contact est réalisé W = (Fde u bx ) · (-2 d u bx ) car quand varie de d, la bille 2 s'est déplacée de 2 d vers les x négatifs. Ainsi, W = -16 2 R d d'où, en intégrant pour variant de 0 à 32 2 W=- 2R 5 Or, W = -Ep ; en prenant Ep = 0 à l'infini, il vient 32 2 Ep = 2R 5 3 De la figure 2 de l'énoncé, on déduit directement la relation x2 - x1 = 2(R - ) qui se dérive en x2 - x1 = -2 . Or, dans le référentiel du centre de masse, on a la relation vectorielle - v = -- v 2 qui donne en projection x2 = -x1 , 1 d'où x1 = 4 L'énergie mécanique Em est la somme des énergies cinétique Ec et potentielle Ep . L'énergie cinétique s'écrit 1 1 2 2 2 Ec = m x1 + m x2 = m 2 2