Mines Physique 1 PSI 2007

Thème de l'épreuve Le bain de bébé
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, induction, mécanique des fluides, électrocinétique
Mots clefs cristaux liquides, diffraction, interférences, couche limite, détection synchrone

Corrigé

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A 2007 PHYS. I PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUS SEES, ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE LESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNIÇATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNIÇATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2007 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE--BNP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I -PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d' énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques qui vous sembleront perti-- nents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. LE BAIN DE BÉBÉ Le bain est une activité quotidienne très appréciée du jeune enfant. Le bien-être de ce dernier lors du bain est, selon toute vraisemblance, lié au caractère aquatique de sa vie intra-utérine. Les jeux qu 'il y pratique sont très dfiérents de ceux qu 'il efiectue durant le reste de la journée. Le problème étudie, en deux parties indépendantes A et B, d'une part le thermomètre utilisé pour contrôler la température, d'autre part le principe de fonctionnement d'un débitmètre électromagnéfique mesurant le débit lors du remplissage de la baignoire. Les parties B] et B2 sont largement indépendantes. Dans toute l'épreuve, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique. PARTIE A : TIOERMOMÈTRE A CRISTAUX LIQUIDES Page 1/5 Physique 1 2007 : filière PS1. Le thermomètre utilisé est en matière plastique, en forme de poisson (Fig. 1). Il possède une bande rectangulaire contenant des zones à cristaux liquides. Celles--ci dessinent les températures comme par exemple 34°C, 36°C, 40°C et OKBaby pour 37°C. Le principe de fonctionnement est le suivant: si l'eau est à 36°C, seule l'inscription 36°C apparaît visible sur la bande rectangulaire sensible du thermomètre. Il est ainsi possible de contrôler rapidement la température du bain. On considère un miroir de longueur @, placé dans l'air assimilé au vide, éclairé par une onde lumineuse monochromafique de longueur d'onde _ dans le vide k (Fig. 2). La lumière incidente fait un angle @ avec le plan "--°' li A " du miroir; on étudie la diffraction à l'infini dans l'angle d'émergence i, """""""" comme indiqué Fig. 2. Bien noter le choix de repérage des angles, par rapport au plan du miroir. __ D 1 -- Établir, a partir des expressions des amplitudes complexes des on-- *° fi--ä- 3 -- Üâfff'f" '""" F..." "" "" """ "'Ë des lumineuses, que l'intensité lumineuse diffractée est donnée par n"r'n:ma.flmaflufe gar-rh... une d£rer'fi'un. _ ( ) 7ze sm u . 2 . \ . 11 = 10s1nc --(cos9 -- cosz) , ou s1nc(u) = --. À M _ D 2 -- Tracer l'allure de l'intensité diffractée en fonction de l'angle i dans les cas ' .Hr'm ,-,-- =!"Ü suivants : (cas a), la longueur 6 du miroir est légèrement supérieure a la longueur d'onde (EUR > À, e % Â) et (cas b), e est très grand devant k. On ne manquera Ë'ËPI I' r' Æ T D 3 -- On étudie maintenant les interférences entre les ondes diffractées a l'infmi \ __H______________ 533 ___, par deux miroirs identiques à celui des questions précédentes. L'étude s'effectue : ' pour un angle d' émergence i. Ces deux nnr01rs, toujours disposés dans l' air, sont p., __ \L séparés par la distance d. Ils sont éclairés de façon cohérente par la même source ' (Fig. 3). Pour les besoins de la modélisation, on ne se préoccupera pas d'une Æ éventuelle « interception >> du rayon (2) par le miroir (1). Montrer que la différence de marche entre les deux ondes passant par P1 et P2 est 8 = d (sin 9 + sin i). En déduire l'expression suivante de l'intensité lumineuse pas de commenter ces résultats. résultant des interférences et de la diffraction de ces deux ondes d'amplitude Fjg_ _% -- Deux Hi'Ù'HÙ'Æ' _ _ identique : ln"cnfigæw3 m' Hïfit.ïp...'tüfiï ." 11.2 = âlmaX sinc2 {C(«9,i)] >< {1+ cos{S(â,i)]}, ... c(æ) =fiî[oes(a)_cos(i)] et S(6',i) = zfi%[sin(a)+sin(i)] E! 4 -- Vérifier que la fonction de diffraction par un miroir est maximale dans le cas où i = 9 . Comment alors choisir d pour que la fonction d'interférence entre les deux miroirs soit elle aussi maximale ? Réciproquement, i = 9 étant l'un et l'autre fixés, donner l'allure de l'intensité lumineuse 11,2 en fonction de la distance d. [_| 5 -- La relation i = 9 étant toujours satisfaite, on utilise maintenant un nombre N (grand devant 2) de miroirs identiques tous disposés àla distance d les uns des autres. Indiquer, par une représentation graphique ou par une phrase claire, comment évolue la courbe donnant l'intensité lumineuse en fonction de d . La bande sensible du thermomètre utilisé pour le contrôle de la température du bain est composée de << cristaux liquides >> présentant une structure hélicoïdale stable, dite cholestéfique. Les molécules constituant les cristaux li-- quides sont des molécules aflongées, représentées par des ellipsoides sur la Fig. 4, et qui sont disposées dans des plans perpendiculaires à un axe Oz ; chaque molécule fait un angle fixe par rapport àla précédente, les extrémités forment donc une double structure hélicoidale, de période spatiale L . Cette période dépend de la température T du milieu (et bien sûr de la molécule constituant le cristal liquide). Lorsque l'on utilise comme cristal liquide un mé-- lange binaire de deux cristaux liquides, la période spatiale L de l'hélice dépend de la composition du binaire. Page 2/5 Optique Fig. 4 -- Vue d'artiste d'une structure hélicoïa'ale et modélisation du comportement optique. sin(9') = Fig. 5 : Üifiëronro n'o nnnoho on Physique 1 2007 : filière PSI. On admet que le comportement optique du cristal fï liquide est identique a celui des deux miroirs étudiés @ dans les questions 1 a 4, ces miroirs étant alors plon-- gés dans un milieu d'indice nb de l'ordre de 1,50. nh d L i Z D 6 -- Montrer que l'entrée dans le milieu d'indice -------------- y ! ru, des deux rayons lumineux correspondant aux X .»: rayons (1) et (2) de la Fig. 3 n'introduit pas de diffé-- rence de marche supplémentaire. Pourquoi en est--il de même à l'émergence lorsqu'ils repassent dans l'air ? Soit (Fig. 5) 9 ' l'angle, dans le cristal, entre le rayon et le miroir cos2 (EUR) _ _ , 1-- 2 ; expnmer, en fonction de 9 , nh et a' , la rt h différence de marche entre ces deux rayons dans le cas où i = 9 ' . E! 7 -- L'éclairage incident est désormais normal («9 = (9' = 7t/ 2) et mono-- chromatique de longueur d'onde  . Exprimer les valeurs possibles de a' pour lesquelles on obtient un maximum de lumière réfléchie. Même question pour un minimum de lumière réfléchie. ntronn flr" diontro : DE _ ...ïà3_ D 8-- Rappeler l'étendue du spectre visible ainsi que les couleurs associées aux limites  = 555 nm. On convient désormais que a' = du spectre, puis justifier le choix de la longueur d'onde L , avec 260 nm S L S 500 nm. Calculer les valeurs de L correspondant respectivement à un maximum ou a un minimum de lumière réfléchie. On les notera L1 (pour un maximum), É1 et EUR 2 (pour les minima) et l'on vérifiera que É1 < L1 < EUR 2. Il s'agit maintenant de déterminer la nature du matériau utilisé pour l'indicateur 40°C et pour l'indicateur OK Baby (37°C). L'indicateur 40°C doit apparaître à 40°C sans que l'autre soit visible et réciproquement. Pour ce but, on dispose de deux mélanges binaires ab et a 'b' des molécules (a, b) pour le premier et (a ', b ') pour le second. Pour chacun des deux mélanges, la période spatiale L de l'hélice vérifie 4nn '.: LU..." ( 37°Ë13ÏÜH1 "( {nb} ':Ïï {n'lo'} . __ ann ' " = ' 25 31] 35 40 45 50 Fig. «5 .' Période sontinio !. on_iononon of:? in r:'onoonnnnon on n (on on n'). Composé ab : L40°C = 0,68 L <=> L = 1,4 L 37°C 37°C 40°C Composé a'b' : L40°C = 0,74 L37°C <=> L37°C = 1,35 L40°C E] 9 -- La Fig. 6 montre comment, a 37 °C, L évolue en fonction du pourcentage molaire de a ou de a ' dans le domaine des mé-- langes réalisables (tous les pourcentages ne sont pas représentés). Pour l'indicateur a 37 °C (par exemple), on doit avoir un maxi-- mum de lumière réfléchie correspondant a 37 °C et un minimum correspondant a 40 °C. Quel mélange utiliser pour ce but, et en quelle proportion ? Quel est le meilleur choix pour l'indicateur 40 °C ? D 10 -- La loi d'évolution de la période de l'hélice en fonction de la température T au voisinage de T1 = 310 K (37°C) estL(T) = LO exp (--ocT) , où LO est une constante; calculer ocab et aa . b. . La valeur de oz est extrêmement variable d'un matériau à l'autre et elle peut atteindre jusqu'à 100 °C"1 ! Pour quel(s) genre(s) d'appfication(s) une telle sensibilité peut--elle être utile ? Page 3/5 Physique 1 2007 : filière PSI. PARTIE B : DÉBITMÈTRE ÉLECTROMAGNÊTIQÙE BI Débitmêtre - ' Le principe du débitmètre élecüomagnéfique (Fig. 7) s'appuie sur le phénomène d'induction électromagnéfique. Les bobines de Helmholtz sont disposées de part et d'autre du tuyau d'alimentation en eau (chaude ou froide) de la baignoire. Le rayon du tuyau esta : 5 mm. On consi-- dère que le champ magnétique créé par les bobines est uniforme dans toute la région de l'écoulement et on le note B1 = B1 }? . On suppose que le tuyau et le fluide qu'il contient ne modifient pas la structure des lignes du champ B1 . Sur la Fig. 7, on utilise une base cylindrique adap- "'Ë1'" " tée àla description de l'écoulement de l'eau. Cette base n'a rien a voir avec celle qui nous a permis d'étudier le champ magnétique dans les questions précédentes. Il suffit que le fluide circulant dans le tuyau soit très légèrement conducteur pour que le débitmètre fonctionne correctement. C'est a travers la mesure de la force Fig. ? -- .-'*.-'umrfwu ,rmnr le ::.l'éhiæ'më'fi'E. électromotfice induite entre les deux électrodes C et D (isolées électriquement du tuyau), eCD , que l'on peut mesu-- rer le débit. On suppose que l'écoulement se fait en régime permanent. La vitesse de l'eau en un point M (r, 0) est donnée par 9 = VO f (r) 2 où le profil de vitesse f (r) est une fonction qu'on n'expficite pas pour l'instant mais qui satisfait l'inégalité 0 S f (r) 51 dans l'intervalle [O, a]. Pratiquement, le débitmètre électromagnéfique n'est utilisable que pour les fluides en écoulement possédant un nombre de Reynolds Re supérieur a 2000. E! 11 -- Établir l'expression suivante du débit volumique DVol. : Dm. = 27zv0 [: r f (r) dr. La vitesse débi-- débit moy tante, notée v , est la vitesse fictive telle que, si tous les points de l'écoulement possédaient cette vitesse, le débit débit moy volumique serait D ' exprimer v Vol_ , en faisant intervenir une intégrale dans laquelle figure la fonction f (r). On note enfin vmoy la moyenne des vitesses le long d'un rayon d'une section droite du tuyau. Exprimer vmoy en faisant intervenir une intégrale dans laquelle figure la fonction f (r) . D 12 -- En réalité, le champ magnétique, tout en restant uniforme, est sinuso'r'dal, de fréquence fo = 600 /27z = 40 Hz; on le note Br = E... cos(æ0t)x, où B... = 0,1 T. Vérifier que le champ É au point M (F, (9) du plan Oxy peut dériver du potentiel vecteur K = B... rcos(9) cos(æ0t) î = AZ (r, «9, t) î . 1 ÔA A ÔA A = -- ' r -- Z 0. r @@ Ôr Les composantes utiles du rotationnel en coordonnées cylindriques sont ici rot (Â) . --> , . , . . . _) _) ÔA _) Cette expressron de A permet d'etabhr que la force electromotnce 1ndurte eCD = V /\ B -- ô_ - dl peut se t ramener à eCD = LCD] (? /\ fi) - dl , l'intégrale étant calculée le long du segment [CD] . En d'autres termes, le problème se ramène à un phénomène d'induction concernant un conducteur mobile (le fluide) dans un champ magnétique statique, bien que celui--ci soit (lentement) variable. E! 13-- Établir la relation eCD = 2vay aBlm cos(æ0t) = eM cos(æ0t) , où vmoy = (l/a)Jf (r)dr . Cette () force électromotfice est--elle proportionnelle au débit volumique ? Calculer eM pour vmoy = 5 m. s'1 . D 14 -- Pourquoi ne pas utiliser un champ magnétostafique ? Pourquoi ne pas alimenter les bobines avec une ten-- sion alternative de 50 Hz ? Page 4/5 Physique 1 2007 : filière PSI. D 15 -- On modélise l'écoulement du fluide par la relation empirique P r représentée Fig. 8 f (r) = l -- (--J , avec [) > 0. Rappeler la défini-- a tion de la couche limite de fluide. Proposer une évaluation de son épais-- seur, 5 , en fonction de a et p (on pourra, par exemple, définir le domaine \ OU. dr >> -- , ou considérer les abscisses des points A p de la Fig. 8). a Fig. H -- Trm'.u pmfie'r .:.fiï '|«'i'ÏË.HÏË. E] 16 -- Établir les expressions de vmoy et de vâ'îÇ' en fonction de V0 et de p. À partir de quelle valeur de p peut--on confondre les deux vitesses à mieux que 1% près ? Cette évaluation est- elle cohérente avec le domaine d'utilisation du débitmètre évoqué plus haut (Re > 2000) ? Pour cette question, on admettra que des considérations qualitatives conduisent à l'estimation 5 = 61 (Re) 2 . E! 17 -- Admettons maintenant que l'on puisse confondre vmoy et vâË' . Établir alors l'expression de la force électromoüice induite eCD en fonction du débit volumique DV0l. . La valeur maximum de la tension mesurée entre les électrodes C et D est 7 mV. Combien faut-il de temps pour que la baignoire contienne 100 L d'eau ? BZ Mesure Dans la suite de cette étude, on s'intéresse à la mesure de la force électromoüice, que l'on écrira désormais eCD = ,BDVOl_ cos (a)0t) . Dans la pratique, le signal détecté Ve (I) se présente comme la somme de cette force électromoüice et d'une tension de bruit Vb (t) : Ve (t) = eCD + Vb (t) . Le spectre de la tension de bruit comporte une multitude de fréquences f ,, > f0 . Afin de réduire l'influence du bruit, on utilise la méthode de détection synchrone dont le principe est décrit sur la Fig. 9. L' amplificateur opérationnel, supposé idéal, fonctionne en régime linéaire. le circuit mulüpheur >< , en grisé ft": sur la Fig. 9, est lui aussi idéal. Sa tension de sortie est VX = le (t)V2 (t). La tension V2 (t) = Acos(wot) est synchrone avec eCD . En sortie, on dispose un filtre RC dont la fré- quence de coupure est fc = 1 Hz . if" I" ,... [|_ 18 -- Quelle est la relation liant V1 (t) et V6 (t) ? Quelle est la nature du filtre utilisé en sortie ? Proposer des valeurs de R et de C. Don-- ner, sans calcul, l'allure du diagramme de Bode asymptotique pour le gain de ce filtre. F {g. 9 -- Prùær.fer de &: d&Ufï'.f}'fHæ ,ï_1'Hf'hf'üflfî D 19 -- Montrer que, en ce qui concerne la tension de bruit Vb (t) , le dispositif est quasiment équivalent à un passe--bande centré en fo et de facteur de qualité Q = 40. Conclure quant à l'intérêt du montage et donner l'expression de la tension de sortie Vs en fonction du débit volumique. FIN DU PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE Page 5/5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 1 PSI 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Corentin Coulais (ENS Lyon) ; il a été relu par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon). Ce problème aborde la « physique du bain » à travers deux parties très distinctes. La première propose d'étudier le fonctionnement d'un thermomètre à cristaux liquides, qui présentent des propriétés de diffraction et dont le pas varie avec la température. Dans le sujet, ils sont modélisés par des miroirs parallèles. On établit les propriétés optiques d'un tel système dès les premières questions, qui sont proches du cours. Il s'agit ensuite de choisir les mélanges de cristaux liquides adaptés aux contraintes d'un affichage sensible à des variations de température. La seconde partie étudie le principe du débitmètre électromagnétique. · Dans un premier temps, il s'agit de mettre en évidence l'existence d'une f.é.m. induite au sein d'un fluide conducteur traversant une zone où règne un champ magnétique uniforme, puis de calculer la variation de cette f.é.m. en fonction du mouvement du fluide. Dans un deuxième temps, on montre que dans certains régimes d'écoulement, cette vitesse est proportionnelle au débit volumique que l'on cherche à mesurer. À l'aide de la notion de couche limite, on étudie le profil de vitesse de l'écoulement dans la canalisation, ce qui permet de justifier le domaine de fonctionnement du débitmètre. Cette partie nécessite du recul vis-à-vis du cours, qui est utilisé hors de son cadre habituel. · La dernière sous-partie propose d'étudier un dispositif de détection synchrone, utilisé pour mesurer la f.é.m. induite dans le débitmètre. Son fonctionnement est fondé sur un composant multiplieur et sur un filtre que l'on caractérise. Ce problème permet de réviser la diffraction optique, l'induction et les filtres en électrocinétique. C'est un problème intéressant qui permet en outre d'aborder ­ à un niveau raisonnable ­ quelques questions originales sur les propriétés thermiques des cristaux liquides et la caractérisation de régimes d'écoulement. Cependant, le nombre limité de questions oblige à conduire des raisonnements légèrement différents de ceux du cours, le tout avec peu d'indications de la part de l'énoncé. Indications Partie A 1 On est ici dans le cadre de la diffraction de Fraunhofer. Exploiter le principe d'Huygens-Fresnel et faire l'hypothèse que le miroir diffractant est de dimension infinie dans la direction perpendiculaire au plan d'incidence. 2 Dans quel cas peut-on retrouver les lois de l'optique géométrique ? 3 Ce dispositif est analogue à celui des fentes d'Young. Du calcul de la différence de marche, on déduit le déphasage entre les amplitudes complexes des deux rayons. 5 Quel est l'effet d'un réseau plan ou d'un Fabry-Pérot sur la dispersion angulaire d'un rayon lumineux ? 6 Injecter la relation entre et , déduite des lois de la réfraction de Snell-Descartes, dans le calcul de la différence de marche entre les deux rayons réfractés en A et C. 8 L'oeil n'a pas la même sensibilité à toutes les longueurs d'onde. 9 En remarquant que L diminue si T augmente, on voit qu'il faut comparer · L à 1 et L1 pour avoir un maximum de réflexion à 37 C et un minimum à 40 C ; · L à L1 et 2 pour avoir un maximum de réflexion pour 40 C et un minimum à 37 C. 10 On trouve en calculant le rapport des pas du réseau à différentes températures. Partie B 11 Le débit volumique est le volume de liquide traversant une section de la canalisation par unité de temps dt : D = dV/dt. 13 Effectuer un changement de coordonnées pour conduire ce calcul. 14 Un champ statique permettrait-il de séparer une éventuelle composante continue de la tension de la force électromotrice que l'on cherche à mesurer ? 15 Pour la première méthode de caractérisation de l'épaisseur de la couche limite, il s'agit d'introduire un critère arbitraire - mais crédible - traduisant la condition df /dr 1/a - par exemple df /dr(rc ) = 10/a. Ce critère permet d'intégrer la longueur caractéristique rc qui fait défaut ici. 16 On utilise ici le résultat de la question 12 et les critères définissant les frontières de la couche limite, introduites à la question précédente. 19 Quelles sont les composantes du bruit présentes avant, puis après le filtrage par le circuit RC ? Le bain de bébé A. Thermomètre à Cristaux Liquides 1 Il y a diffraction si la taille caractéristique de l'objet diffractant est de l'ordre de la longueur d'onde du rayon incident. On suppose que le miroir est infini dans la direction (Oz). Le problème peut donc se ramener à l'étude de la diffraction dans le plan (xOy). Le système étudié satisfait les conditions de diffraction de Fraunhofer ; en notation complexe, l'amplitude de l'onde mesurée en M situé à l'infini dans la direction i s'écrit alors Z A (M) = A (M, P) dS S où est une constante, et A (M, P) l'amplitude de l'onde plane en M de l'onde émise par l'élément de surface dS entourant le point P de l'ouverture diffractante. Cette formule découle du principe d'Huygens-Fresnel, qui stipule qu'un élément de surface dS d'un objet diffractant, atteint par une onde monochromatique de pulsation , se comporte comme une source secondaire d'onde sphérique de même pulsation et de même phase que l'onde incidente. La constante est proportionnelle à 1/(i PM). On ne s'en préoccupe plus car le terme PM, grand devant OP dans le cadre de diffraction de Fraunhofer, peut être approximé par OM. - - - (1) (2) - k En outre, les vecteurs d'onde k et k k des ondes incidentes et diffractées forment des angles et i avec le plan du mi- y H K roir. Considérons deux rayons incidents en x - i O(0, 0) et P(x, 0), portés par k , et diffrac e e O P - - tés dans la direction portée par k . 2 2 D'après la figure ci-dessus et en vertu du théorème de Malus, le déphasage entre le rayon (1) et le rayon (2) est donné par - 2 - - = ( k - k ) · OP = , qui est la différence de marche entre (1) et (2), s'exprime par = HP - OK Or, donc HP = x cos et OK = x cos i = x (cos - cos i) Exprimons A (M, P) en fonction de A (M, O). Le choix du point O étant tout à fait arbitraire, on aurait aussi bien pu placer l'origine de l'axe x en -e/2. Cependant, la convention choisie permet d'aboutir plus directement au résultat demandé. Les deux amplitudes sont déphasées de , ce qui s'écrit A (M, P) = A (M, O) e i Z Finalement, A (M) = A (M, O) e/2 dx e i 2x(cos - cos i)/ -e/2 e i e(cos -cos i)/ - e -i e(cos -cos i)/ i 2 (cos - cos i)/ e A (M) = A (M, O) e sinc (cos - cos i) = A (M, O) Puisque I1 (M) A (M) A (M) I1 (M) = I0 sinc 2 e (- cos cos i) I0 2 |A (M, O)| 2 e2 avec On voit que I0 est proportionnel à e2 . 2 Le tracé de I1 en fonction de i est représenté ci-dessous. On a choisi e = 3 pour le cas a, et e = 50 pour le cas b. Il y a un maximum global d'intensité lumineuse lorsque i = dans les deux cas. Cependant, la courbe est moins piquée dans le cas a, ce qui s'explique par le fait qu'un objet de la taille de la longueur d'onde de la lumière incidente crée une diffraction importante. On voit que dans le cas b, on retrouve quasiment un résultat d'optique géométrique, à savoir la loi de réflexion de SnellDescartes. 3 On considère deux rayons (1) et (2) arrivant avec un angle respectivement en P1 et P2 , et repartant avec un angle i par rapport au plan des miroirs (voir la figure ci-contre). Les distances Q2 P2 et P2 R2 sont respectivement données par d sin et d sin i. Comme = Q2 P2 + P2 R2 il vient I1 /I0 1 cas a cas b 2 i (2) (1) d i P1 O1 Q2 R2 P2 O2 = d(sin + sin i) Soit A (M, P1 ) (respectivement A(M, P2 )) l'amplitude au point M, diffractée en M par le point P1 (respectivement P2 ). Ainsi, A (M, P2 ) = A (M, P1 ) e -i 2/ D'après la question 2 , l'amplitude diffractée par le premier miroir est e A 1 (M) = A (M, O1 ) sinc (cos - cos i) e Donc A 2 (M) = A 1 (M) sinc (cos - cos i) e -i 2/