Mines Physique 1 PSI 2006

Thème de l'épreuve Énergie hydraulique
Principaux outils utilisés mécanique, dynamique des fluides parfaits, bilans, champ et dipôle magnétiques

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2006 PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de la calculette est autorisé Sujet mis à disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE 1 - PS] L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Notations : vecteur ----> A (gras) ; norme du vecteur V --> V (italique) ; vecteur unitaire --> â. ÉNERGIE HYDRAULIQUE On étudie le principe de fonctionnement d'une microcentrale hydraulique. Ce type de centrale permet une production souple et une adaptation rapide en période de pointe. L'épreuve comprend trois problèmes indépendants entre eux, et que l'on pourra traiter dans l'ordre de son choix. Dans toute l'épreuve, exprimer signifie donner l'expression littérale et calcu- ler signifie donner la valeur numérique. Description La centrale est alimentée par une conduite d'eau cylindrique de diamètre cons- tant D, dite conduite forcée, issue du barrage (Fig. 1). La capacité de ce bar- rage est suffisamment importante pour que l'on considère l'eau qu'il contient comme immobile. L'extrémité aval de la conduite, notée A, est reliée a une tubulure de section décroissante, appelée injecteur. L'axe vertical repérant l'altitude z est orienté vers le haut. L'altitude du point A est, par convention, nulle ; on note H la dénivellation entre la surface libre de l'eau et l'axe de l'injecteur et h la différence de niveau entre l'entrée de la conduite et la sortie, en A (la différence de niveau entre la surface libre et l'entrée de la conduite est donc h'=H--h). L'eau est considérée comme un fluide parfait, incompressible et de masse volumique # ; elle sort de l'injecteur à l'air libre, sous la pression atmosphériquefl, supposée indépendante de l'altitude. Le jet est cylindrique d'axe horizontal et de section circulaire de dia- mètre D dans la conduite puis d dans l'injecteur. Ce jet frappe la turbine et l'anime d'un mouvement de rotation. On considère les écoulements commeper° manents et irrotationnels. On néglige tout frottement. On néglige les variations avec l'altitude de l'accélération de la pesanteur g . Fig. 1 - Reten ue et conduite forcée pour installa tion hydroélectrique. L'injecteur, en A, est schéma tisé dans le rectangle en pain tillés. Donnéesï PO =lO5 Pa,g=lO m.s"2, D=60 cm, H=300m et ,u=lO' kg.m_'. I -- Conduite forcée D 1--- Dans cette question ---- et dans cette question seulement -- on suppose que l'extrémité aval de la conduite n'est pas reliée à l'injecteur ; l'eau sort à l'air libre au point A. En justifiant l'utilisation de la Pression (atm_) Courbe relation de Bernoulli entre le point A et un point de , . . . ; vaporJSatj'on\A// quelconque de la canahsatmn et en cons1derant la / conservation du débit, exprimer la pression P] (2) / à l'intérieur de la conduite sous la forme 2 P R(Z)=PO 1------- ,avec Z() =------"----. 20 lug Calculer zo . \ La pression de vapeur saturante de l'eau a la 0 100 Diagramme de phase de l'eau température ambiante est P z 3 >< 103 Pa. Sût Montrer qu'au-delà d'une certaine altitude, à préciser, ce modèle de pression n'est plus applicable. Le phénomène qui intervient alors (cavitation) engendre toutes sortes de perturbation (attaque des matériaux, bruits ...). D 2 --- Pour pallier cet inconvénient, on visse en A sur la partie finale horizontale de la conduite un injecteur (encart de la Fig. 1) de section décroissante et de diamètre de sortie d < D. Montrer que la vitesse en sortie de l'injecteur, notée c, est c = JZgH (relation de Torricelli). Calculer c. 2 Établir que la vitesse en A est V : (%) J2gH. D 3 -- Exprimer la pression P2 (2) à l'intérieur de la conduite munie d'injecteur. On admet que l'entrée de la conduite est pratiquement à l'altitude H. Montrer que les phénomènes de cavitation disparaissent dans toute la conduite si d est inférieur à un certain do dont on établira l'expression en fonction de D , PO, H, g et ,u . Vérifier que do % 26 cm. D 4 ---- Le diamètre de sortie de l'injecteur est d = 12 cm. La vitesse du jet mesurée en sortie de l'injecteur est c'=74 m.s"'. A quelle dénivellation, notée H ', cette vitesse correspondrait-elle ? Exprimer et calculer le coefficient de contraction H ' . , . . , . . Cc : î{--. Donner quelques raisons de l'écart a l'un1te de ce coefficient. D 5 -- Exprimer et calculer le débit volumique q de l'injecteur sans pertes, puis le débit massique Dm (en litres par seconde) en fonction de d , de c et de /.1. Exprimer et calculer la puissance cinétique réelle PC du jet en sortie (énergie cinétique par unité de temps, pour la vitesse de sortie c' et le débit associé q'). D 6--Justifier que l'on nomme puissance potentielle la quantité PP... : ngH . C P po! Exprimer et calculer le rendement de la conduite 77 = en fonction de CC. II-Étude de la turbine Pelton La turbine Pelton est constituée par une roue munie d'augets. Un auget Pelton est une sorte de double godet avec une cloison au milieu (penser à deux coquil- les de noix contiguës), qui dédouble le jet en deux parties identiques (Fig. 2). Les deux parties s'écoulent latéralement. L'eau, en provenance d'un injecteur identique à celui du paragraphe précédent, est propulsée sur ces augets et met la roue en mouvement. La vitesse du jet d'eau, de section s : 7rd2/4, est notée c : 032. La section de chacun des deux demi--jets est s' : S/2. On néglige l'effet de la pesanteur sur les jets. Cl 7 -- Quel intérêt y a-t-il à dédoubler le jet qui heurte l'auget ? Le référentiel du laboratoire, {L}, est galiléen; on note {L'} le référentiel lié à l'auget frappé par le jet. La Fig. 3 présente schématiquement les paramètres de fonctionnement d'une turbine Pelton. Le rayon R du rotor est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler le déplacement des augets, dans {L}, à une transla- tion suivant l'axe OX dans la zone d'action du jet. Sous l'action du jet, de l'air et de la force du bâti, l'auget se déplace donc à la vitesse uniforme u : uî. Fig. 3 ' Portion de roue et un auget iles vitesses sont représentées dans{ L } ; dans Je référen tie] lié à ]'a uget, la vitesse du jet incidth serait c -- u . Cl 8 --- Justifier que l'écoulement est permanent dans {L'}. Exprimer, dans {L'}, d'une part la vitesse du jet incident, notée c d'autre part celle des jets déviés dans la direction opposée à celle du jet incident, notée CZ,. On suppose bien entendu que la puissance du jet est conservée. Quel est le sens physique de la quantité D; = ,us(c -- u) ? Cl 9 -- En considérant un système fermé 2 de fluide, évaluer dans {L'}, la variation de quantité de mouvement dp' du fluide entre les instants t et t+dt, en fonction de (c ----- 11), S, ,u et dt. En déduire la composante selon OX de la force Fb du bâti sur Pauget en fonction de c, u, /1 et du débit volumique Q' du jet dans {L'} ; remar- quer que Q' = q' de la question 5, débit réel. Ü lO--Et maintenant, une subtilitéî si l'auget était unique, une partie de la puissance du jet serait perdue en raison de l'éloignement de l'injecteur et du volume croissant du jet ; en réalité, placé sur le bâti en rotation, l'auget en ques- tion est remplacé par l'auget suivant et tout se passe comme si les augets étaient placés à distance fixe de l'injecteur tout en se déplaçant à la vitesse u. Pour exprimer le couple F du jet sur le rotor, il est donc acceptable de remplacer Q' par Q. Exprimer I' dans ces conditions. Cl 11 ----- Déterminer la puissance mécanique P reçue par le rotor dans {L}. Le jet apporte une puissance cmet1que 7{ = --2-- ,uch (cf question 5) ; definir et calculer le . . u rendement ?]...t de la turbine en fonction de c et u. Pour quelle valeur de -- le c rendement est-il maximum '? Calculer ce rendement maximum. El 12--Quelle est alors, pour ce rendement maximal, la vitesse C,. de sortie de l'eau dans le référentiel {L} ? En déduire la puissance cinétique de l'eau sortant de la turbine. Commenter le résultat obtenu d'un point de vue énergétique. Cl 13 --- Le rotor tourne à la vitesse angulaire de 750 tours par minute et la vitesse de sortie du jet vaut c = 74 m.s"1 . Calculer le rayon R du rotor pour atteindre le rendement maxi- mum. Le résultat est-il réaliste? Pour un débit de 1500 litres par seconde, calculer la puissance maximale P max ' Ü 14--Le rendement réel de la turbine est égal à 0,87. Calculer la puissance réelle P de la turbine. Quelles sont les raisons permettant d'expliquer pourquoi on n'atteint pas le rendement maximum ? Photo 1 -- Une roue grandeur nature. \ III- Étude de l'alternateur La turbine, dont les caractéristiques sont identiques à celles de la partie Il, entraîne le rotor d'un alternateur à la vitesse angulaire [2 = 750 tours par minute ( f =12,5 Hz). Ce rotor est assimilé à une bobine alimentée par un courant continu ] créant un champ magnétique tournant bipolaire (deux pôles magnétiques). Le stator est constitué de trois enroulements identiques E1, E2 et E3 décalés l'un par rapport à l'autre de 2%. On note û, (i=l,2,3) le vecteur unitaire de l'axe porté par la bobine n° 1'. On admet que le flux de B à travers chacune des trois bobines est sinusoïdal @, (t) : @ cos([2t -- H,) , avec 9, = 0 . Le champ B est donc dirigé selon û,, porté par l'axe OX à l'instant initial t = 0. La A convention d'orientation des bobines du stator est définie par les vecteurs u. ! correspondant à CDO positif. E] 15 --Déterminer les forces électromotrices 61 (t), ez(t) et e3(t) dans les trois enroulements. Exprimer leur valeur efficace commune E en fonction de CDG. Cl 16 --À quelle vitesse angulaire .Ô le rotor devrait-il tourner pour que l'on puisse coupler directement cet alternateur au réseau EDF ? Montrer que cela est hors de question, ne serait-ce que parce que la vitesse de translation de chaque auget serait supérieure à la vitesse de l'eau du jet. Fig. 4 - Stator de l'alternateur :la phase à t = 0 du flux tra versant la bobine 1' est 6]. : 2n(1'-- 1)/3. D 17 ---- Quelle modification faudrait-il apporter au rotor, de taille donnée, pour réaliser le couplage avec le réseau '? Cl 18 ---- Les trois enroulements ont une borne commune N, appelée neutre (Fig. 5). Les trois autres bornes, appelées phases, sont reliées par des fils identiques de résistance R,, à une charge formée de trois impédances identiques ZC mon- tées en étoile. L'impédance équivalente à l'association série (R,...ZC) est notée Z : Zc + RF : ZO exp(jçp). Le neutre est relié au centre O de l'étoile par un fil de résistance RR. On suppose d'abord que RF est négligeable. Exprimer en notation complexe les intensités i1 , i2 et i3 dans chacune des impédances. En déduire l'expression du courant iN (t) dans le fil ON. Quel est l'avantage de ce montage par rapport à un montage où les impédances seraient reliées indépen- damment à chaque enroulement (sans neutre) ? Fig. 5 ' Symboles et conventions pour enroulement et charge tr1bbasés. D 19-- On ne néglige plus la résistance RF. Exprimer les relations liant cha-- \ cune des intensités i1 , i2 et i3 a Z et à R,, . En déduire la nouvelle expression de iN (t). Commenter le résultat et exprimer les courants i1 (t), i2 (t) et i3 (t) dans chacune des phases. Cl 20 -- Exprimer la puissance électrique moyenne PC., fournie par l'alternateur, en fonction de E, Z() et ça. La turbine fournit une puissance de 3,5 >< 106 W, le rende- ment de l'alternateur est égal à 0,95, E = 5000 Vet ZO = 18 Q ; calculer le cos(ça) . Ü 21--Chaque bobine 1' induit au niveau du rotor le champ magnétique uni- forme IB, = az} (t) ûi, où a est une constante positive. Exprimer le champ magnéti- A A que résultant B..., en séparant les calculs des composantes selon ux et selon u y. Quelles sont les caractéristiques de ce champ magnétique (axe, sens et vitesse angulaire de la rotation) ? Exprimer en particulier l'angle qu'il fait avec le champ magnétique B du rotor. Ü 22--La bobine du rotor peut être représentée par son moment magnétique M = Mû . Préciser la direction de ce moment magnétique. Exprimer le couple F...; exercé par le champ magnétique induit sur la bobine. Exprimer la puissance P l'O! reçue par le rotor. En considérant un bilan de puissance, retrouver que la puis- EZ sance électrique est proportionnelle à Îcos(ç0). 0 FIN DU PROBLÈME FIN DE L'ÊPREUVE brevet Pe] ton (1889) ier les du prem gUÏGS 01"1g1113 Fi

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 Mines Physique 1 PSI 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Cette épreuve a pour thème l'énergie hydraulique. Elle est composée de trois parties très largement indépendantes les unes des autres. · Dans la première partie, on étudie l'énergie cinétique qui peut être récupérée en sortie d'une canalisation placée en aval d'un barrage. Cette partie de dynamique des fluides est courte et très simple : elle repose uniquement sur la relation de Bernoulli et sur la conservation du débit volumique d'un écoulement incompressible. · Un type particulier de turbine, la turbine Pelton fait l'objet de la deuxième partie. C'est principalement une étude mécanique qui est conduite dans un référentiel mobile lié à un auget de la turbine et dans le référentiel terrestre. Les questions sont assez directives mais on peut regretter des choix de notations peu judicieux et quelques explications qui manquent de clarté. · La troisième partie, quant à elle, combine des notions élémentaires d'électrocinétique et d'électromagnétisme. Une petite erreur d'énoncé vient obscurcir les questions 18 et 19, dans lesquelles il n'est par ailleurs pas évident de comprendre quelle démarche était attendue. L'ensemble de ce problème forme un sujet relativement proche du cours et qui n'est pas très long. Différents domaines du programme sont abordés, de façon simple et souvent directive, ce qui en fait un sujet facile d'approche. Indications Partie I 1 Si, quelque part dans la canalisation, la pression atteint la valeur Psat alors il y a formation de vapeur d'eau. 4 Penser à l'influence de la viscosité. 6 Utiliser la relation de Torricelli pour faire apparaître le coefficient de contraction. Partie II 8 Dire que la puissance du jet est conservée, c'est considérer que le choc est supposé élastique, c'est-à-dire que la vitesse du jet par rapport à l'auget après le contact est opposée à la vitesse incidente. 9 Il s'agit d'un système ouvert en régime permanent. Vérifier que la masse dm qui entre et celle qui sort du système ouvert pendant dt sont les mêmes puis faire un bilan de quantité de mouvement. Utiliser le débit volumique pour éliminer le paramètre s afin d'obtenir l'expression - cherchée de Fb · x b. Ne pas tenir compte de la remarque finale de l'énoncé pour cette question. 10 Le caractère permanent de l'étude permet de remplacer le débit volumique Q mesuré dans le référentiel de l'auget par le débit mesuré dans le référentiel terrestre Q = cs. Partie III 17 Pour multiplier la fréquence du champ du rotor sans changer sa vitesse angulaire, on peut envisager plusieurs bobinages indépendants. 18 Petite erreur dans l'énoncé : c'est ici RR qu'il convient de négliger. - - 22 Un dipôle magnétique permanent M placé dans un champ magnétique B subit - - - un couple = M B . Énergie hydraulique I. Conduite forcée 1 L'eau est considérée comme un fluide parfait incompressible. L'écoulement est donc a fortiori incompressible. En outre, l'écoulement est supposé permanent et irrotationnel et on l'étudie dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Toutes les conditions sont donc remplies pour pouvoir utiliser la relation de Bernoulli entre le point de sortie A et un point M d'altitude z quelconque de la canalisation où la pression est P1 (z), ce qui s'écrit : P1 (z) vM 2 PA vA 2 + + gz = + µ 2 µ 2 Pour être parfaitement complet pour l'application de la relation de Bernoulli, on pourrait ajouter que le fluide n'est soumis qu'aux forces de pression et à la pesanteur (champ de pesanteur uniforme). Or, on a un jet libre en sortie de canalisation donc PA = P0 On sait également que la section de la canalisation est constante. Puisque l'écoulement est incompressible, la relation de conservation de la masse permet d'affirmer que le débit volumique se conserve. La vitesse étant uniforme sur une section droite S de la canalisation, on en déduit vM S = vA S d'où vM = vA En reportant ces deux relations dans la relation de Bernoulli, on trouve µg P1 (z) = P0 1 - z P0 Ainsi z P1 (z) = P0 1 - z0 avec z0 = P0 = 10,0 m µg On retrouve bien la hauteur maximale qu'on peut faire monter dans une fontaine comme celle de Torricelli à Florence. Les données numériques de l'énoncé ont des nombres de chiffres significatifs variables sans réelle cohérence. On décide, arbitrairement, de faire toutes les applications numériques avec trois chiffres significatifs. Si l'écoulement n'était pas supposé irrotationnel, il faudrait se placer impérativement le long d'une ligne de courant pour pouvoir appliquer la relation de Bernoulli. Profitons de cette question pour souligner une différence importante : il convient de ne pas confondre la notion de fluide incompressible et la notion d'écoulement incompressible. On peut qualifier d'incompressible la plupart des liquides car, quelles que soient les conditions de pression imposées (à moins de pressions gigantesques), leur masse volumique est constante. Les gaz quant à eux sont facilement compressibles. En revanche, la notion d'écoulement incompressible est une caractéristique de l'écoulement. Usuellement, un écoulement peut être considéré comme incompressible si les vitesses au sein de cet écoulement restent faibles devant la célérité du son dans ce fluide. En mécanique des fluides, c'est le caractère incompressible de l'écoulement qui est utile et on constate que cette approximation est très couramment réalisée. Ce calcul repose sur le fait que l'eau reste liquide. Or, la pression de vapeur saturante représente la pression minimale sous laquelle l'eau liquide peut exister. Si P1 (z) atteint la valeur Psat pour une altitude z donnée, alors il y aura formation de vapeur et équilibre diphasé. Dans ce cas, où il y a cavitation, le raisonnement précédent ne s'applique plus. La condition de validité du calcul s'écrit donc P1 (z) > Psat soit z < z max Psat z max = z0 1 - = 9,70 m P0 avec 2 Appliquons la relation de Bernoulli entre un point B de la surface libre de la retenue d'eau et la sortie de l'injecteur : vB 2 P0 c2 PB + + gH = + µ 2 µ 2 Or, au niveau du point B, la pression est P0 et la vitesse est quasi nulle (surface de la retenue d'eau très grande devant la section de la canalisation). On en déduit bien la relation de Torricelli : c = 2gH = 77,5 m.s-1 Pour déterminer la vitesse V de l'écoulement en A, il suffit d'utiliser la conservation du débit volumique. Au niveau de l'injecteur, on peut en effet écrire V et ainsi D2 d2 =c 4 4 V= d D 2 2gH 3 Écrivons une nouvelle fois la relation de Bernoulli entre un point M quelconque situé à l'intérieur de la conduite et la sortie de l'injecteur : P2 (z) vM 2 P0 c2 + + gz = + µ 2 µ 2 On a toujours et ainsi vM = V " P2 (z) = P0 - µg z - H 1 - ou encore, en introduisant z0 , P2 (z) = P0 " z H 1- + z0 z0 1- d D 4 !# d D 4 !#