Mines Physique 1 PSI 2005

Thème de l'épreuve Étude d'un transformateur
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les milieux, électrocinétique

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2005 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours EN STIM, INT, TPE-BNP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE [ -PSI L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 6 pages. 0 Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. - Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. ÉTUDE D'UN TRANSFORMATEUR Les trois parties de ce problème sont largement indépendantes. La première partie concerne les non--linéarités du circuit magnétique, la deuxième partie concerne le fonctionnement pro-- prement dit du transformateur chargé par un montage redresseur et la troisième partie, pro- che du cours, concerne des aspects énergétiques. Les notations principales et des valeurs numériques utiles sont indiquées dans les tableaux en fin d'énoncé (page 6). La perméabilité magnétique du vide vaut ,u0 : 472: >< 1.0"7 H.m"l . 1 Étude d'un circuit magnétique Ce problème porte sur l'étude de transformateurs utilisés en régime permanent en électro- nique de puissance, tels que représenté à la figure 1, page 2. Le circuit est constitué de quatre tronçons (l, 2, 3 et 4) d'un matériau ferromagnétique ; ces tronçons sont séparés par quatre entrefers identiques, de longueur e. Les tronçons 1 et 3, de même section S], sont entourés par des bobinages, qualifiés de << primaire » pour le tronçon 1 et de << secondaire » pour le tronçon 2 ; ces tronçons sont parcourus par des courants d'intensités respectives i p et Ï_<-- La section commune des tronçons 2 et 4 est notée 52 . La caractéristique b(h) idéalisée dans le matériau magnétique est représentée figure 2. Elle est symétrique par rapport au point 0, linéaire pour |h|.<.H...r et affine pour |h|ZH... Le régime saturé commence dès que IhIZH néglige les pertes par hystérésis et par courants de Foucault. Les autres hypothèses d'étude sont les suivantes : On note ha et ba les grandeurs magnétiques usuelles au niveau des entrefers. On Sîlt ' - toutes les lignes de champ sont canalisées par le circuit magnétique ; - le champ magnétique est uniforme séparément dans chacune des pièces ferromagnétiques et dans les entrefers ; - pour le calcul de circulation du champ excitation magnétique H, on prend, pour chaque tronçon, la longueur de la ligne de champ moyenne. Fig. ] : Circuit magnétique. Les sections 1 et 3, Fig-- 2 -' Caractéristique magnétique du matériau. de section S 1, sont entourées de bobinages. Pour fixer les idées, H* = 5300 A.m"1 et B* = l, 6 T. E] 1 ---- La conservation du flux du champ magnétique entraîne d'une part l'égalité bl : be, d'autre part une relation entre bl, b2, S1 et 52- Donner cette dernière relation. Ü 2 -- Déduire du théorème d'Ampère la relation liant hlël, h2EUR 2, ehe et 8 = N pi }, ----N .i .\ .\'° Dans la suite, la grandeur 8 sera nommée force magnétomotrice du circuit. D 3 -- Sachant que le tronçon 1 commence à se saturer pour b=Bsat =B££, donner . , . 2 \ l'expressmn et la valeur numer1que de b : B( ) pour lesquels le tronçon 2 commencera a se sat B... -- --1--'3--= 2><10"3 T.m.A" ? H _600 saturer lui aussi. Que représente le rapport A : Silt D 4 -- Donner, en fonction de A, EUR,, EUR 2, e, SI, S , #0 et (p = 19151, l'expression littérale de 8 sat en régime non saturé (O 5 19 S B... ). Cette expression définit R par 8 : R(p ; R est appelée re'luctance équivalente à l'ensemble du circuit magnétique lorsque celui-ci n'est pas saturé, Vérifier que R s'exprime en H"1 (inverse de henry) et calculer sa valeur numérique. D 5 -- On suppose ici que BSM] S 195 Bsat2 ; préciser l'état de saturation de chacune des par- ties. Lorsque lh|Z H Donner l'expression littérale de EUR en fonction de (p. Les valeurs numériques des constantes C et D se déduisent des données de la Fig. 2 et l'on trouve 8 z1,06X106(p -- 4860. Sata on pose [7 : Ch+ D. Préciser les dimensions respectives de C et D. D 6 -- On suppose maintenant que 19 2 BS Donner l'expression littérale de £(ç0). Numéri- at2' quement, on trouve 8 z (1,60 >< 106 )ço -- 8370. Cl 7 ---- Quelle est, formellement, l'analogie électrocinétique de la caractéristique ç0(8) '? tra-- . , . . _3 ,. cer sommairement cette caracteristique pour |£|S 8><10 Wb. Rassembler dans le meme tableau les relations numériques £(ç0) et ç0(8) correspondant aux trois états de saturation du circuit magnétique. Préciser les valeurs numériques des coordonnées des points anguleux de 2 cette caractéristique. On les notera i£(ll,i(p(ll,i£( ) et i(pl2) . D 8 -- On pose ç0=--çomax cos(oet)=--çomax cos(9), où ça,... =8,O> <(pSCD sa! _ CçD _ d (p 2 (DS... sa! ' oùe=Npip--N_Yix, a=91,0x10'H"', c=2,14><106 H°' et d=10,7><10" A. Le transformateur alimente un mon- tage redresseur (Fig. Sa) imposant un courant secondaire i. de valeur .\ moyenne dans le temps l'...... non nulle. L'interrupteur à semi-conduc-- teur T1 est idéalisé (Fig. 5b) : chute de tension u nulle à l'état passant, _ courant de fuite i nul à l'état bloqué. F1g. 5a 5 Montage redresseur. L'enroulement primaire est alimenté par une source de tension sinusoïdale Fig. 5b : caractéristique de i "p...: \ÆV,> sin(æt) ! 'interrupteur électronique T]. | On constate que la valeur moyenne dans le temps de ça, (DM,, n'est pas nulle et l'on relève expérimen-- talement la relation (p(t) : --a cos(oet)+®mm... E] 10 -- Quelle est la valeur moyenne, 1 du courant primaire ? ;) ,nzu)' ' E] 11 ---- Exprimer 8 valeur moyenne de EUR, en fonction de [ nm)' ' s, 1710)" ' E] 12 -- Sachant que ÇÛ(f1)= --(D..., pour 91 : cor] : %, calculer (I)... et (Du. Ü 13 -- Etablir les expressions littérales de £(t) pour DS oet.<. 27r, en fonction de a, c, d, (I) et (Du. nw_v E] 14 -- Exprimer 8 en fonction de CD CD et 61 ; numériquement, on trouverait que muy mu_\' , max 8 est de l'ordre de (et inférieur à ) --1500 A. Donner l'expression et la valeur numérique nm_\' de [ en convenant que 8 = --1500 A. .s.mu_v ' muy . , 7î , . Cl 15 -- L'mterrupteur commande est passant pour -- S au S 7r. Donner la valeur numérique 6 de] .\',maX' 3 Etude énergétique On précise ici quelques--unes des propriétés énergétiques du circuit magnétique. La tension appliquée au primaire du transformateur est sinusoïdale : i) p ( t) = V}, «5 cos(oet). Cl 16 -- Expliquer pourquoi le flux (p dans le circuit magnétique est lui aussi sinusoïdal. D 17 -- Le transformateur est refermé sur une charge résistive. Que peut-on dire, dans ces conditions, sur le courant secondaire i_,'? Le courant primaire est-il sinusoi'dal ? D 18 -- Donner l'expression générale de la puissance instantanée absorbée par le transfor- mateur. Montrer que la valeur moyenne de la puissance fournie ne fait intervenir que l'harmonique d'ordre 1, appelée fondamentale, du courant primaire. CI 19 -- Le circuit secondaire du transformateur est ouvert. Il n'y a ni perte par hystérésis ni perte joule, ni perte par courant de Foucault. Quelle est dans ce cas la puissance absorbée par le transformateur '? Quel est le déphasage entre la tension primaire et l'harmonique ] du cou- rant primaire '? D 20 -- Une caractéristique b(h) du milieu magnéti-- que est représentée ci--contre, en unités relatives. Préciser les notions de champ coercitif et d'aimantation rémanente. Quel est l'ordre de grandeur de la valeur minimale du champ coercitif dans un matériau dit dur ? Faut--il, pour un transformateur, préférer un fer dur ou un fer mou ? Pour quelle raison ? Remarque : le cycle ci-dessus est représenté par B: p0[,u,H i a(HÎ, -- H Z)], avec u, = 1000. Mesure du rendement On considère désormais que les pertes énergétiques ne sont plus négligeables, c'est--à-dire que l'on tient compte des pertes fer et des pertes joule. La puissance nominale du transfor- mateur est de 2,2 kVA. . Essai & vide .' le secondaire est ouvert On applique au primaire du transformateur sa tension nominale V,, = 230 V. La valeur effi-- cace du courant appelé au primaire est I}) =] A ; la puissance mesurée est R0 = 80 W. E] 21 ---- A quoi correspond cette puissance fournie au transformateur ? Quel est le déphasage entre l'harmonique l du courant primaire et la tension appliquée au primaire ? 0 Essai en court--circuit : le secondaire est en court-circuit On applique au primaire une tension VI,". (tension primaire de court--circuit) telle que le cou- rant secondaire [... soit égal à la valeur nominale du courant que peut débiter le transfor- mateur. Dans ces conditions, la tension au primaire est nettement plus faible que la tension nominale de fonctionnement. La puissance fournie au primaire est P.... = 75 W. D 22 -- A quoi correspond cette puissance fournie au primaire du transformateur ? 0 Essai sur charge résistive D 23 ---- Dans les conditions nominales de fonctionnement, on fournit à la charge une puis- sance P, = 2 kW. Déduire de l'ensemble des résultats précédents le rendement du transfor-- mateur dans les conditions de l'essai réalisé. Voir page suivante les tableaux de valeurs numériques. Notations et valeurs numériques pour la partie 1 Longueur commune de la ligne de champ moyenne dans les tronçons 1 et 3. Section commune des tronçons 1 et 3. Champ magnétique commun aux sections 1 et 3. Variable Excitation magnétique commune aux sections 1 et 3. Variable Nombre de spires de l'enroulement primaire. N ,) = 1000 Intensité du courant dans l'enroulement primaire (secondaire). 5 Longueur commune de la ligne de champ moyenne dans les tronçons 2 et 4. = 13 cm Ê2 Notations et valeurs numériques pour la partie 2 @... = ... """ Wb Section du circuit magnétique S1 = 43,6 cm2 Valeur efficace de la tension d'alimentation du primaire V,, = 230 V Fréquence de la tension d'alimentation ; on pose &) = 271f . f = 50 Hz Nombre de spires de l'enroulement primaire. N ,) = 188 Intensité du courant dans l'enroulement primaire (secondaire). Nombre de spires de l'enroulement secondaire. Fin du problème " l\.) ' l\) 2 2 Fin de l'épreuve

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 Mines Physique 1 PSI 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Langlois (ENS Lyon) ; il a été relu par Julien Tailleur (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Cette épreuve porte sur les aspects magnétiques, électrocinétiques et énergétiques d'un transformateur : · dans la première partie, on étudie dans un cas très général le comportement d'un circuit magnétique de transformateur en se fondant sur les propriétés des matériaux ferromagnétiques ; · la caractéristique du noyau magnétique est ensuite simplifiée dans la deuxième partie, où l'on s'intéresse à un montage complet comportant un transformateur idéalisé et un redresseur ; · enfin, dans la troisième partie, on aborde les aspects énergétiques du transformateur : conversion de puissance, étude de rendement en présence de pertes fer et pertes Joule. Le sujet n'est pas très long et les trois parties sont largement indépendantes. Il fait appel à des résultats simples de l'électromagnétisme dans les milieux ferromagnétiques, ainsi qu'à l'électrocinétique, tout en traitant de notions à la limite du programme, notamment la prise en compte des non-linéarités intervenant dans le fonctionnement du transformateur. En revanche, il est dommage que l'énoncé ne propose pas de réel objectif pour chaque partie : il n'y a pas vraiment de progression au fil du sujet. Ce problème est dans l'ensemble relativement abordable, mais comporte quelques imprécisions ou ambiguïtés, ainsi que de petites erreurs d'énoncé qui peuvent déstabiliser le candidat. En particulier, la formulation du problème dans la deuxième partie est très laconique et nécessite de bien connaître le cours sur les convertisseurs électroniques. Indications 2 Le schéma de l'énoncé ne donnant pas le sens d'enroulement des bobinages, il faut en choisir un pour appliquer le théorème d'Ampère. De plus, pour obtenir l'expression de , il faut que les deux enroulements soient de même sens. 3 C'est en fait la valeur numérique de b1 pour laquelle le tronçon 2 sature qu'il faut chercher. Pour retrouver la dimension de R, utiliser le fait qu'un flux magnétique est le produit d'une inductance par un courant. 5 La formule trouvée à la question 2 reste valable, mais l'expression de h1 a changé en raison de la saturation des tronçons 1 et 3. 7 Il faut plutôt tracer la caractéristique pour || 6 8.10-3 Wb. 9 Le flux magnétique restant le même que celui de la question 8, la force magnétomotrice est également inchangée. 12 Utiliser la loi de Faraday pour trouver a avant de calculer moy . 14 La moyenne temporelle de (t) est moy 1 = T Z T (t) dt 0 Utilisez les expressions de (t) trouvées à la question 13 et scinder l'intégrale suivant l'état (saturé ou non) du transformateur. 15 Montrer que la diode D1 est non-passante quand l'interrupteur commandé est passant. Le courant is est donc celui délivré par le générateur de courant quand T1 est fermé. Un montage redresseur agit comme un convertisseur entre une source alternative et une charge continue. Le générateur de courant doit donc être continu. 18 Développer ip en série de Fourier pour calculer la puissance moyenne. Utiliser ensuite le fait que Z T T cos(1 ) si k = 1 cos (t) cos (kt + k ) dt = 2 0 0 sinon 19 En l'absence de pertes, le transformateur doit restituer au secondaire toute la puissance moyenne absorbée par le primaire. 22 La tension fournie au primaire étant très faible devant sa valeur nominale, le flux magnétique et le courant primaire sont négligeables. 1. Étude d'un circuit magnétique 1 La conservation du flux magnétique entre les tronçons 1 et 2 se traduit par ZZ ZZ - - - - 1 = B · d S 1 = 2 = B · dS 2 On peut tracer une des lignes de champ dans le circuit magnétique, sachant qu'elles sont supposées être parfaitement canalisées par celui-ci. Avec les conventions d'orientation du schéma, ZZ - - 1 = B · dS 1 Comme le champ magnétique est supposé uniforme dans chaque segment du circuit, dans le tronçon 1 on a - B =b - n - n 2 S2 - n 1 S1 - B 1 1 Et par conséquent 1 = b1 - - · d n S 1 = b1 S1 1 ZZ En faisant de même pour le flux à travers le tronçon 2, on obtient finalement b1 S1 = b2 S2 2 Dans un milieu magnétique, le théorème d'Ampère relie la circulation du champ - excitation magnétique H au courant enlacé : I - - H · d = I enlacé Le sens d'enroulement des bobinages n'est pas indiqué par l'énoncé ! Il est par conséquent impossible d'appliquer rigoureusement le théorème d'Ampère. Pire encore, si le sens d'enroulement n'est pas le même sur les deux bobines, on ne peut pas trouver la relation demandée. Il faut donc faire soi-même une hypothèse sur l'orientation. L'incertitude sur le signe n'aura cependant pas de conséquence sur la suite puisque la caractéristique b(h) du matériau est symétrique. - On calcule la circulation de H sur la courbe C orientée dans le sens trigonométrique et on suppose que les bobines sont enroulées dans le même sens, comme l'indique la figure suivante. Les tronçons étant identiques deux à deux, on a h3 = h1 et h4 = h2 . L'intensité enlacée par la courbe C est alors I enlacé = Np ip - Ns is = - d ip C is C - Le champ H est partout parallèle à l'élément de lon - gueur d définissant la courbe C et, avec la convention choisie, orienté dans le même sens. Par conséquent, le théorème d'Ampère se traduit par I - - H · d = 21 h1 + 22 h2 + 4ehe = C 3 D'après le résultat de la question 1, le champ magnétique dans le tronçon 2 est b2 = b1 S1 /S2 < b1 (car S1 < S2 ). Ce matériau commence donc à saturer quand S1 = Bsat b1 S2 (2) soit b1 = Bsat = S2 Bsat = 1,5 T S1 L'énoncé n'est pas très clair quand il mentionne la valeur de « b » : en effet, celle-ci n'est pas uniforme dans le circuit magnétique. Ainsi, le champ magnétique dans le tronçon 2 quand celui-ci sature est bien sûr b2 = Bsat . Il faut alors comprendre que la question porte sur le champ imposé par la tension primaire, c'est-à-dire b1 . Les valeurs numériques données par l'énoncé manquent de cohérence, comme souvent, quant au nombre de chiffres significatifs. La plupart des données en comportent deux, mais certaines applications numériques fournies par l'énoncé en ont trois ou un seul ! Pour les applications numériques demandées, nous en donnerons deux, sauf mention contraire. Le rapport A = Bsat /Hsat est le coefficient de proportionnalité entre le champ magnétique B et l'excitation magnétique H en régime linéaire. Ainsi, par définition A est la perméabilité magnétique du matériau. (1) 4 Si 0 6 b 6 Bsat , aucun des tronçons n'est saturé. On peut donc écrire b1 = Ah1 et b2 = Ah2 De plus, on a dans l'entrefer, c'est-à-dire dans l'air, be = µ0 he . La formule de la question 2 devient alors 22 b2 4e be 21 b1 = + + A A µ0 Or, par définition, b1 = /S1 . D'après la question 1, on a aussi, d'une part, be = b1 , et d'autre part S1 b2 = b1 = S2 S2 1 2 2e = 2 + + D'où finalement AS1 AS2 µ0 S1 Par conséquent, la réluctance équivalente du circuit peut s'écrire 21 22 4e R= + + AS1 AS2 µ0 S1 Sachant que = Np ip - Ns is est un courant et que = R, la dimension de la réluctance est I [R] = [] Or on sait qu'une inductance est homogène à un flux divisé par un courant, ainsi 1 [R] = L La réluctance magnétique a bien la dimension de l'inverse d'une inductance : c'est pourquoi elle s'exprime en H-1 . Application numérique : R = 1, 37.105 H-1