Mines Physique 1 PSI 2004

Thème de l'épreuve Quelques aspects de phénomènes intervenant dans le fonctionnement du corps humain
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, acoustique, diffusion
Mots clefs échographie

Corrigé

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECI--INIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparenté sur la première page de la copie : Physique 1 -- Filière PSI L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 6 pages. Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Notations : Les vecteurs sont notés en gras : A ; vecteur unitaire ---> â. Norme de A : "A" QUELQUES ASPECTS DE PHÉNOMÈNES INTERVENANT DANS LE FONCTIONNEMENT DU CORPS HUMAIN Le fonctionnement des organismes vivants met en jeu des phénomènes physiques et biochi- miques complexes. L'étude de ces phénomènes a donné naissance à la biophysique. On aborde dans ce problème une modélisation simplifiée de certains phénomè nes physiques mis en jeu dans la dynamique du corps humain et dans certaines techniques exploratoires. Le problème comporte deux parties indépendantes. Partie I : quelques aspects de la circulation sanguine Le sang joue un rôle moteur dans le transport de l'oxygène et des nutriments vers les organes du corps et le transport des déchets produits par ces organes vers des organes spécialisés dans le traitement des déchets. Le coeur joue le rôle d'une pompe faisant circuler le sang vers les organes. Le sang arrive en contact avec les organes en passant par des artères, puis des artérioles et finalement des capillaires. Il revient au coeur en partant des capillaires, transitant par les veinules pour aboutir aux veines. Le sang est un fluide visqueux, considéré comme incompressible. Les notations étant stan- dard (la masse volumique est notée p et le coefficient de viscosité dynamique est noté n), l'équation de Navier--Stokes, donnée ci--dessous, est une forme du théorème de la résultante dynamique, appliqué à une particule de fluide : ÊV-+p v.grad v=--grad p +pg+nAv. Pa Toujours avec les notations standard, voici des relations utiles d'analyse vectorielle, pour des phénomènes à symétrie cylindrique (-- = ) : 89 à A,. 1 2 grad(f)=äf'+äî, div(A)=l r aAZ ----È( %) âf_ Ôr âz r âr +--â?' --râr Cl 1 -- Quelle est votre estimation du volume sanguin d'un adulte '? Définir les termes sui- vants : particule fluide, fluide incompressible, écoulement incompressible, écoulement lami-- naire, écoulement turbulent, nombre de Reynolds R, ; préciser la nature de l'écoulement (laminaire ou turbulent) selon la valeur de R,, comparée au nombre de Reynolds critique Rec = 2000. D 2 -- On modélise l'écoulement (supposé stationnaire) du sang dans un tuyau cylindrique d'axe Oz par un champ de vitesses de la forme V : vz(r, 9,z)î. Montrer que le champ des vitesses ne dépend que de la variable r. Cl 3 -- On néglige l'effet de la pesanteur. Montrer, à partir de l'équation de Navier--Stokes, que la pression p ne dépend que de z , puis que les équations différentielles vérifiées par les d}? 1 d (Ïd»u(r)) k champs de pression et de vitesse sont, respectivement, ---- = k et ---- = -- , où dz r d r d r 7] k est une constante. Cl 4 -- Le tuyau cylindrique est rigide, horizontal, de longueur L et de rayon R. On note les pressions moyennes aux sections d'entrée et de sortie du tuyau par p(0)= p,, p(L)= p,... Exprimer k en fonction de ces données. Déterminer v:(r) , compte--tenu de la condition à la nmæv4m=q Cl 5 -- Exprimer le débit volumique Q en fonction de Ap : p, --- p,, R, L et n ; en déduire A . . . . la loi de Hagen--Poiseuille, Q= ÎP , en exprimant la ré51stance hydraulique R,, en fonction h de R, L et 1]. Déterminer par analyse dimensionnelle la dimension de R7 en fonction des symboles M,L,T ayant respectivement les dimensions d'une masse, d'une longueur et d'un temps. D 6-- L'expérience donne la relation Q : A(p,---- p,)" où n est un exposant dépendant de l'organe irrigué et A une constante dépendant de facteurs géométriques. Au vu de l'expérience, quelles sont les hypothèses du modèle qui vous semblent les plus critiquables '? Cl 7---- En utilisant la loi de Hagen--Poiseuille, déterminer (V:), vitesse moyenne de l'écoulement du sang dans un capillaire où 1]: 4,5.10"3Pl, R=lO"5 m, L= 10_3m et pe --p_,= 103 Pa. La masse volumique du sang étant p= l,05.103 kg.m"', déterminer la nature, laminaire ou turbulente, de l'écoulement dans ce capillaire. El8-- La vitesse moyenne du sang dans une artère où R=2mm etL= 10cm est vm : 2,6 ms"1 . Calculer le débit volumique et le gradient de pression régnant dans l'artère. Déterminer la nature, laminaire ou turbulente, de l'écoulement dans cette artère. Cl 9 ---- La connaissance de la vitesse du sang est une aide au diagnostic. La mesure peut se réaliser par vélocimétrie Doppler ultrasonore. Une sonde émet une onde périodique ultraso- nore de célérité cz 1500 ms'1 dans le corps et de fréquence f : 4MHZ . Un globule rouge, assimilé à vf @ une sphère de rayon r= lOum, rétrodiffuse une 66'% """ partie de l'onde qu'il reçoit. Doit-- on tenir compte de Récepteur la diffraction de l'onde ultrasonore par le globule rouge '? Cl 10 -- L'effet Doppler consiste en ce que la fréquence f ' d'une onde, perçue par un récep-- teur de vitesse v,, est différente de la fréquence f de cette onde, émise par un émetteur de 1--fl.cos< 10"5 m2 .s .Estimer le temps de diffusion d'une molécule d' oxygène par ce mécanisme, en convenant que c'est la somme du temps de diffu-- sion dans l'air (alvéole) et du temps de diffusion en milieu aqueux (capillaire). Montrer que l'échange d'air entre l'alvéole et le sang a maintenant le temps de s'établir. Cl 14 -- L'alimentation d'un organe en un nutriment transporté par le sang s'effectue par échange entre le sang et l'organe, à travers les parois des capillaires. Ces capillaires sont des tubes cylindriques de rayon R et de longueur L, joignant Sens de circulation du sang _ une artériole à une veinule. On note Cc(z) la concentra-- ----> tion molaire ( mol.m"3) d'un nutriment dans le capillaire î / l et C org (z) celle du nutriment dans l'organe à proximité de M % la surface du capillaire. Le capillaire cède à l'organe le Capillaire __, Oz nutriment avec une densité de courant molaire (flux sur-- ? * facique) j=y C.(z)--C (z) où }! est un paramètre % W , (EUR °? ). . , / ' constant. Determmer la d1mensron de 7. On consrdere le régime stationnaire ; effectuer le bilan de matière en nutriment, exprimant l'équilibre dynamique des flux entrant et sortant entre les tranches de cotes z et z+ dz et en déduire l'équation vérifiée par Cc(z), en supposant que le sang a une vitesse d'écoulement constante, vs. Cette équation fait intervenir la fonc- tion C0,g (z) Artériole ' Veinule Cl 15 ---- On admet ici que Co,g(z)= K, une constante; déterminer alors Cc(z) en fonction de K, C C(O) et de la , . . RV _ ' dn(z) j dn(z+d Z) lonngueur caractenst1que L0-- 27/ . On consrdere que . , , CC(L)--K l'organe est correctement alimente Si 2 30%, CC(O)--K Sachant que vs =2,8 >< 10"3 ms", R = 10"5 m et L : lmm, déterminer la valeur maximale du coefficient y pour que la relation précédente soit satisfaite. PARTIE II : UNE TECHNIQUE EXPLORATOIRE (imagerie) Imagerie par onde ultrasonore Cl 16 -- On considère la pr0pagation isentropique et unidimensionnelle (axe Ox) d'une onde acoustique dans un milieu aqueux de masse volumique au repos #0. La célérité de l'onde est notée co. On pose aussi : ° P(x,t) : PO + p(x,t) , avec 15 pression à l'équilibre et p<< PO surpression acoustique, ' ,u(x,t)= ,u0 + ô,u(x,t) , avec #0 masse volumique à l'équilibre et 5u << #0 sa variation, ' v(x,t) << co, avec v vitesse vibratoire dans le milieu. La condition d'équilibre du milieu s'exprime par grad(H,) : ,uog . Montrer que, au premier ô'V ordre, l'équation d'Euler s'écrit [JO--î: gô,u--grad(p). Donner l'équation locale de _ _ 1 au . . , . conservation de la masse. Avec la relation 15 :_}:l-- -à-- , qui traduit le caractere isen- 0 p p=0 tropique de l'évolution du fluide, nous disposons maintenant de trois équations. E] 17 ---- Déterminer l'équation de propagation vérifiée par la surpression p. Donner l'expression de la célérité co en fonction de #0 et du coefficient de compressibilité isentro- pique %s du milieu. Dans toute la suite, nous négligerons d'une part gôu devant grad(p) d'autre part div(gôu) devant Ap. Que devient sous ces hypothèses l'équation de propaga-- tion vérifiée par la surpression p '? Cl 18 -- L'onde acoustique est supposée désormais sinusoïdale, de pulsation ca; on note res-- pectivement p... , 5um et v... les amplitudes maximales de la surpression, de la variation de masse volumique et de la vitesse vibratoire ; par exemple, p(x,t)= pm exp[j(kx -- an)] avec, comme déduit de l'équation de propagation, &) =cOk. Définir et déterminer l'expression de . _ Pl X, t ) l'mpédance acoustique complexe Z : v(x,t) . Cl 19 --- On rappelle que l'intensité est [ =(pv)£, la moyenne étant prise dans le temps. Exprimer [ en fonction de p,... #0 et co, et en fonction de pm et de Z . Exprimer "gäum " , "grad( p) " ; et en déduire l'expression de "_gli°äâ£(£%fi en 1 El 20 -- On donne [JO 2103 kg.m"3 ; dans les conditions de l'expérience, co =1470m.s-- ; fonction de g, a) et co. (0 l'intensité de l'onde est 1 : O,l>< 10"3 W.m--2, sa fréquence est f= ---- = 0,3 MHZ. On pren-- 272: dra enfin g x lOm.s "2 et 15 : 105 Pa. Évaluer numériquement llgôum ", "grad( p) " , ô'u'" , #0 v _ . , . . . % , --"l et XS ; vérifier au passage que deux de ces quantrtes sont identiques. Les hypothe- 0 Co ses de l'acoustique linéaire sont--elles satisfaites '? Cl 21 -- On modélise le pied par un os d'épaisseur -8 = 10 cm------> " 5 = 3,1 cm, d'impédance ZOS et dont les tissus mous ont une impédance Zea" égale à celle de l'eau. On se propose de mesurer la masse volumique de la matière osseuse des os du pied à l'aide du dispositif suivant : l'émetteur E émet une onde ultrasonore de fréquence f ajustable et d'intensité IE ; le récepteur R récep-- tionne l'onde et en mesure, d'une part le temps de traversée dans le milieu intermédiaire, d'autre part l'intensité IR. On néglige dans l'analyse tout phénomène de réflexion multiple. Dans une première expérience, le milieu séparant E et R est aqueux ; le temps de traversée de la distance EUR est [A. Dans une seconde expérience, on insère le pied entre E et R et on mesure le temps de traversée tp. Exprimer la célérité CO,. de l'onde ultrasonore dans {la matière osseuse en fonction de celle de l'eau ca..., de 5 et de T= tA --tP . Calculer numé-- 1 riquement ca, pour c... = 1470 ms" et T =1,4us. Cl 22 -- On admet ici, (ce n'est qu'un modèle) que, à la différence de la matière osseuse, l'eau et les tissus mous n'atténuent pas l'onde. La diminution de l'intensité acoustique [(x) dans la matière osseuse en fonction de x , épaisseur de matière osseuse parcourue par l'onde, est exponentielle : [(x) : l(0)exp(--ax) , où a = Vf est un coefficient proportionnel à la fré- quence f de l'onde ( V est une constante). Donner l'expression de l'intensité [R, en fonction de [E, de Vf5 et du coefficient de transmission en énergie, T , entre le milieu aqueux et le milieu osseux. E] 23 ---- Une surface plane S fixe et perpendiculaire à un axe Ox sépare deux milieux homo- gènes, d'impédances acoustiques respectives Z] et &. Une onde acoustique plane se pro- page parallèlement à l'axe Ox et travers S sous incidence normale. Rappelons alors que le . Z Z coefficient de transmission en énergie de cette onde est T : Tl_,2 : T2_91 : 4Î--J--J--Y . Z1 + 22 Les résultats de mesure ci--dessous font intervenir une intensité de référence, [... qui ne joue pas de rôle dans l'interprétation des données. Déduire de ces dernières et des analyses précédentes la valeur numérique de la constante V. lnl 80Ë83 88 80â57 . : 3 9 9 a 9 10 a . El 24 -- Calculer la masse volumique de la matière osseuse analysée, #05-- . Comparer .Uas- à la masse volumique ,u1=2,0g.cm'3 pour un sujet sain. Le coefficient T étant connu à AT 1--A"_a_«; près, estimer ,uOE AT l'imprécision relative du résultat obtenu. FIN DE L'ÉPREUVE

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 Mines Physique 1 PSI 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par Daniel Jost (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet est divisé en deux parties totalement indépendantes dont le fil conducteur est l'étude physique de quelques phénomènes biologiques. · La première partie traite du sang et d'une modélisation des écoulements dans les veines, puis de l'approvisionnement d'un organe ; on y trouvera aussi bien des raisonnements par ordre de grandeur que des calculs plus poussés. Cette partie permet de faire un bilan de ses connaissances sur la viscosité et de réviser les bilans de matière. · La deuxième décrit une méthode utilisant des ultrasons pour détecter une pathologie osseuse du pied. Elle comporte quelques calculs et surtout beaucoup d'évaluations numériques. C'est une bonne révision du cours sur les ondes sonores. Le sujet dans sa globalité est tout à fait accessible et ne devrait pas poser trop de problèmes. Les questions sont dans l'ensemble bien guidées et proches du cours. Cette épreuve peut tout à fait être résolue dans le temps imparti et constitue par suite un bon entraînement à la rédaction en temps limité. Indications Partie I - 2 Utiliser l'hypothèse d'un fluide incompressible : div v = 0. 3 Après simplification de l'équation de Navier-Stokes, remarquer que l'on peut séparer ses termes en un membre ne dépendant que de z et un autre ne dépendant que de r. 4 Dans l'intégration de la relation amenant à vz , éliminer la constante d'intégration donnant lieu à un terme logarithmique grâce à une considération physique. 7 Remarquer que Q est précisément la section multipliée par la vitesse moyenne. 10 Appliquer deux fois la formule donnée dans l'énoncé, en faisant bien attention aux orientations pour les angles. 11 dn est la quantité de molécules émettant une fréquence comprise entre f et f +df . Le spectre est quant à lui la quantité d'énergie reçue pour une fréquence comprise entre f et f + df . 12 L'énoncé annonce une valeur largement surestimée. Partie II 17 Calculer la divergence de l'équation d'Euler et linéariser l'équation locale de conservaton de la masse. 18 Utiliser l'équation d'Euler. 20 Utiliser la question 19 pour obtenir pm , puis exprimer tout le reste en fonction de pm . 22 On peut démontrer (ou simplement regarder à la question suivante) que le coefficient de transfert en énergie ne dépend pas du sens dans lequel on traverse l'interface. 23 Il est facile d'établir une relation linéaire entre les différents paramètres. Faire ensuite une régression linéaire sur les données de l'énoncé. 24 Utiliser la dérivée logarithmique pour obtenir l'erreur relative. I. Quelques aspects de la circulation sanguine 1 Le volume sanguin d'un adulte est de l'ordre de 5 litres. Une particule de fluide est un petit élément de fluide qu'on considère homogène et dont on peut suivre l'évolution. Un fluide est dit incompressible si sa masse volumique est constante indépendamment des conditions qui lui sont imposées. Un écoulement est dit incompressible s'il vérifie div - v = 0 en tout point. Il faut bien comprendre qu'un écoulement peut être incompressible sans que le fluide en question le soit ; c'est une contrainte moins forte. Par exemple, un écoulement qui modéliserait du vent est incompressible car l'air n'y change pas de densité, alors que l'air n'est pas un fluide incompressible. Un écoulement laminaire est un écoulement qui présente des variations spatiales et temporelles modérées correspondant à une distribution de vitesses bien ordonnée. En revanche, un écoulement turbulent est un écoulement qui présente une structure macroscopique mais aussi de fortes variations temporelles et spatiales aux petites échelles. La notion de champ de vitesse est délicate dans le cas d'écoulements turbulents, tout d'abord parce qu'il n'est pas possible de mesurer un champ de vitesse avec une résolution spatiale arbitraire ; on n'a donc pas toujours accès aux petites échelles ­ ou plus difficilement. De plus, dans certains cas, on doit recourir à une description statistique du champ de vitesse. Le traitement le plus rigoureux possible fait intervenir la probabilité pour qu'une particule (au sens atomique) du fluide ait une position et une quantité de mouvement données. Le nombre de Reynolds mesure l'importance des effets convectifs par rapport aux effets diffusifs. Il vaut vd Re = où est la masse volumique du fluide, d est une dimension caractéristique « transverse » au champ de vitesse, v est la vitesse caractéristique de ce champ et est la viscosité dynamique du fluide. Il convient de remarquer que le nombre de Reynolds est adimensionné et constitue en ce sens une réelle caractérisation de l'écoulement. Les physiciens essaient toujours d'extraire des nombres adimensionnés des problèmes, pour pouvoir aboutir à des classes de solutions ou du moins de méthodes de résolution. Par exemple, un écoulement à bas nombre de Reynolds ne se traitera pas du tout de la même façon qu'un écoulement à haut nombre de Reynolds. On considère qu'un écoulement est laminaire si son nombre de Reynolds est inférieur à une valeur proche de 2 000, et turbulent dans le cas contraire. La véritable valeur de transition est un peu floue et dépend énormément de la géométrie du problème, mais 2 000 est une bonne estimation. 2 L'écoulement du sang dans un vaisseau est de la forme - v = vz (r, , z)b z . Puisque le système considéré est invariant par rotation autour de l'axe (Oz), - v est nécessairement indépendant de . On écrit la conservation de la masse, div (- v)+ =0 t et, comme on est en régime permanent et que le fluide est incompressible ( est constant), elle se simplifie en vz =0 z - v est donc également indépendant de z, ce qui laisse - b v = vz (r) z 3 Réécrivons l'équation de Navier-Stokes en tenant compte des hypothèses : -- -- 1 d dvz b (- v · grad ) vz (r)b z = - grad p + r z r dr dr Rappelons que, puisque l'écoulement est stationnaire, les dérivées temporelles sont nulles. Ainsi, -- grad p = -- 1 d dvz b r - (- v · grad ) vz (r) z r dr dr -- b, grad p l'est Puisque le second membre de cette équation est porté uniquement par z aussi. On peut alors écrire, en projetant sur b r, p =0 r En conséquence, p ne dépend que de z. Puis, en écrivant p = p(z), on aboutit, b, à l'équation suivante : en projetant sur z -- dp 1 d dvz = r - (- v · grad )vz (r) dz r dr dr -- b et son gradient est selon b Comme - v est selon z r, le terme (- v · grad )vz (r) est nul. Une preuve plus mathématique de cette affirmation serait de passer en coordonnées cartésiennes, les seules où cet opérateur a une forme simple. On sait b et ne dépend que de x et y. Par conséquent, alors que - v est porté par z -- - - - - ( v · grad ) v = vz v (x, y) = 0 z dp 1 d dvz = r dz r dr dr Or, le terme de gauche ne dépend que de z et le terme de droite ne dépend que de r ; ils sont donc tous deux égaux à une constante k. On obtient bien dp 1 d dvz k =k et r = dz r dr dr On aboutit finalement à