Mines Physique 1 PSI 2003

Thème de l'épreuve Étude optique et thermodynamique de la surface de la Lune
Principaux outils utilisés optique, conduction thermique, ondes électromagnétiques
Mots clefs atmosphère de la Lune, température, plasma

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique 1 --- Filière PSI L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 6 pages. - Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lors-- que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. La surface de la Lune On se propose d'étudier quelques aspects de la surface lunaire : la température de surface, le sol et l'atmosphère. Les diverses parties sont indépendantes entre elles. .J Important : on trouvera en page 6 un ensemble de données relatives à ce problème ; ces données complètent (ou, à l'occasion, répètent) celles de l'énoncé. Quelques-unes de ces données pourront servir plusieurs fois ; d'autres n'ont de valeur qu'informative. Quand l'énoncé ne les indique pas, il appartient aux candidats de repérer et d'utiliser les données utiles pour la résolution de certaines questions. .J Les questions numérotées avec un astérisque (par exemple Ü 1*) sont de type essentiellement qualitatif ; elles demandent peu de calculs, voire pas du tout. I Détermination expérimentale de la température lunaire _A Mesures On effectue cette détermination à l'aide d'un télescope à a miroir sphérique de rayon R, de diamètre d'ouverture a, 0 : & situé dans un site astronomique privilégié ou en orbite, ter-- 0 0 : """ restre ou lunaire. Ce télescope concentre l'image d'une par- : ' tie de la surface lunaire sur un détecteur qui produit une ten-- ,» R sion proportionnelle à la puissance lumineuse à laquelle il ; Fig. ! éleSCOPEUR est exposé. Ce détecteur est supposé ponctuel. 0 0 Deux mesures sont effectuées, la première avec un filtre qui absorbe l'infra rouge, et la seconde sans filtre. La différence entre les deux mesures per- met d'estimer la température superficielle de la région lunaire étudiée. Cl 1* -- Expliquer en quoi le site astronomique où est situé le télescope doit être « privilégié », ou pourquoi ce dernier est placé dans un satellite. D 2* -- Où doit--on placer le détecteur ? D 3*-- Admettons ceci: la puissance lumi- neuse émise à la température T par un objet en équilibre thermodynamique est maximale pour la longueur d'onde Àm(T), qui dépend de la température comme représenté en Fig. 2. Justi- fier la nécessité de refroidir les télesc0pes ter- restres (par exemple à la température de l'azote liquide, soit environ 77 K) '? D 4* ---- Le diamètre d'ouverture, a, des télescopes observant la surface lunaire est de Fig- 2 -' MÙXÎmum d'émÏS--çÏ0" l'ordre du mètre. Estimer la résolution de la mesure effectuée depuis un télescope terrestre ou en orbite terrestre. On rappelle que la résolution angulaire d'un télescope correspond À au rayon angulaire de la tâche d'Airy, soit 1,22--. a Interprétation des résultats Les températures maximales du sol lunaire sont d'environ 120°C et les températures minimales, lors de la nuit lunaire, d'environ -- 200 °C. On attribue cette grande variation à la durée de la nuit lunaire et à l'absence d'atmosphère lunaire. D 5 -- Déterminer la durée d'une nuit lunaire. Ü 6 -- Décrivez sur un schéma les zones de pénombre et d'ombre relativement au Soleil et à la Terre, lorsque la Terre éclipse le Soleil. Evaluer les durées respectives de pénombre et d'ombre. Cl 7 * -- Des mesures sont effectuées lors d'une éclipse totale ; l'allure des Température résultats est représentée dans la fig. 3. On en rend compte par un modèle à 50 C{ deux couches pour la croûte lunaire : 00 Cl-- une couche supérieure, pulvérulente, 0 É très fine (épaisseur de l'ordre du milli- -- 50 cf mètre), de densité faible et de conduc- _ 1000 CÊ_ , . î tivité thermique très faible, et une cou- '__<___7__--_äi Ombre ' : tem 3 che inférieure plus compacte de pro- Pénombre priétés physiques proches de celles de la roche ordinaire (silicates). Justifier l'accord qualitatif entre la courbe et le Fig. 3 ; cycle de température lunaire ' modele. II Le sol lunaire Modélisations Le sol lunaire est bombardé et réduit en poussière par les météorites et le vent solaire, constitué essentiellement de protons et d'électrons. La composition du sol lunaire est proche de celle des silicates, dont quelques caractéristiques physiques sont indiquées page 6. La couche supérieure, très fine, peut être représentée par un empilement compact de sphères de silicates, de rayon Rsu et de température uniforme (Fig. 4). Le contact entre les sphères est supposé ponctuel. On note c la distance verticale minimale entre deux 2R sphères en positions semblables c=2 RSll zl, 633 R511- Dans une telle structure com- /_\ <: E] 9* -- L'empilement précédent Fig. 4 : Le \plan inférieur de ! 'empilement compact est est maintenant modélisé par un constitué de sphères dont les centres sont notés A. Une ensemble de plans parallèles opa- couche identique de sphères, dont les centres sont à ! 'à--pic des points de type B, est superposée à ce plan. Les centres des sphères de la troisième couche sont en sites de type A, et ainsi de suite (empilement de type ABAB ).... pacte, le volume occupé par les sphères est de l'ordre de 74 % du volume de l'empilement... Cl 8* -- Justifier qu'avec un tel modèle les échanges thermiques entre les sphères doivent se faire par un autre processus que la conduction ou la convexion. \ / ques, placés dans le vide, séparés par la distance c/2. Que pensez- vous de ce modèle '? Cl 10 -- On peut caractériser un tel milieu par un coefficient de conductivité thermique dépendant de la température de la forme À(T) : aT', avec 01 =1,55><10_6 SI. Comparer l'ordre de grandeur de À(Î) obtenu avec ce modèle à la valeur expérimentale de la conductivité des silicates à la température ambiante : Ksu zl,ll W.K"'.mf D 11 -- Comparer la densité d et la capacité calorifique massique c de la couche supé- rieure avec ds,.[ et cs". Cl 12* -- Il est généralement admis que ce sont les couches les plus profondes qui ont les caractéristiques physiques les plus voisines de celles des modèles ci-dessus. Pourquoi '? Influence de l'impact des météorites On admet que les météorites heurtant la surface lunaire ont même composition que le sol lunaire. On rappelle que le référentiel de Copernic, ou référentiel héliocentrique, est lié au centre de masse du système solaire et que ses axes pointent vers des étoiles réputées fixes. Le référentiel de Copernic est supposé galiléen. [] 13 -- Vérifier que la vitesse d'impact d'une météorite frappant la surface lunaire et de vitesse négligeable dans le référentiel de Copernic est de l'ordre de 3 ><1O4 m.s_1 D 14 -- Montrer que l'impact d'une météorite de masse rn1 peut dégager une énergie suffisante pour porter à l'état liquide une masse m2 de la surface de la Lune. Déterminer puis calculer le rapport m2/ml. Cl 15* -- La solidification du matériau en fusion n'est pas sans effet sur la nature des transferts thermiques ultérieurs. Vers quelle valeur se rapproche alors la conductivité thermique calculée précédemment? III Atmosphère lunaire. Absence d'atmosphère gazeuse Un gaz parfait, possédant par unité de volume 11 molécules de masse m, exerce sur une surface une pression P. Les molécules de ce gaz sont homocinétiques, c'est-à-dire de vec- teur vitesse v de norme v constante, mais d'orientation aléatoire. Les molécules de gaz . , . , . . 1 subissent des chocs elast1ques sur la surface. Il s'en dedu1t l'expressmn P : înmvz. D 16 -- L'atmosphère lunaire est majoritairement composée d'atomes d'argon, libéré lors des réactions nucléaires au sein des roches lunaires. Sachant que la masse molaire M de ce gaz vaut 40 g, et en utilisant l'équation des gaz parfaits, calculer U pour T=300 K. Cl 17 -- On note 01 la vitesse de libération lunaire; c'est la vitesse minimale d'un objet pouvant échapper à l'attraction gravitationnelle lunaire. Exprimer puis calculer la vitesse de libération lunaire. En déduire qu'une atmosphère lunaire ne saurait subsister. Étude d'une atmosphère « ionique ». Méthode de l'occultation Radiosource ÊÎË On suit depuis un radiotélescope terrestre le rayonnement émis par une radiosource monochromatique lointaine, sup- posée immobile par rapport à la Terre, et située dans le plan de l'orbite lunaire. Cette source peut être occultée provisoirement par la Lune (Fig. 5). La durée mesurée de l'occultation est supérieure à la valeur attendue pour une Terre /. TrGÏe/f'0ire Lune qui ne possèderait pas d'atmosphère. L'écart At entre \.../ / ces deux valeurs vaut 24 secondes. En l'absence d'atmosphère gazeuse, on examine ici l'hypothèse d'une atmosphère dite ionique, quoique constituée essentielle- ment d'électrons. La figure 6 représente le détail d'une déviation, notée D dans la figure 5. Fig. 5 : Déviation d'un rayon lumineux près de l'occultation La courbure du rayon lumineux est attribuée à une variation continue de l'indice n avec l'altitude ; cette variation d'indice, à son tour, est due à une variation de la concentration électronique de l'atmosphère avec l'altitude. On note nL la valeur de l'indice à la surface de la Lune pour la fréquence d'émission de la radiosource et i l'angle de la tangente au rayon avec la verticale locale. On ne tient pas compte de la courbure du sol lunaire et l'on suppose que, en tout point du rayon, le produit nsin(i)est constant. On note io l'angle d'incidence du rayon non dévié (Fig. 6). Cl 18* -- Justifier, en considérant la courbure du rayon lumi-- neux, que la variation de l'indice avec l'altitude a bien le sens indiqué dans la figure 6. Quelle est, en admettant (comme \\:l / Surface. indiqué Fig. 6) que le rayon rase la surface lunaire, la relation â % lunaire entre sin(i0) et nL '? Quel phénomène terrestre vous suggère io ? grad(n) . . . , . . cette déviation lumineuse due à un radient d'indice ? F tg. 6 Detail de la devzaizon g E] 19 ---- Soit PTL z27,25 jours la période de révolution de la . . , . . At 2D Lune dans son mouvement c1rcula1re autour de la Terre. Etabhr la relat10n --= PTL î? Quelle est la signification de l'angle 6 défini par 9 : 2D ? Calculer sa valeur numérique. 7r , . . . , D2 ---- 10 et _]UStlflêl' la relat10n approchee nL zl------. 2 Cl 20 -- Établir la relation D = 2( 8 Cl 21 -- Dans le domaine hertzien, l'indice d'une atmosphère ionique, constituée d'électrons de charge (---e), de masse m et de concentration ne suffisamment faible 2 7 r - cop \ - - . , , . . \ 2 "662 s ecr1t n(w) = 1-- --2--, ou 80 est la perm1tt1v1te electrique du v1de et ou a) = a) " 17280 est le carré de la pulsation de plasma. Déterminer la valeur numérique de la pulsation de plasma pour la Lune, sachant que la fréquence de la radiosource est f = 0,5 GHz. CI 22 -- Pour la Terre, (wp)Î= 5,65><107 rad.s"1 et (ne)7=1012 m_3. Déterminer la densité volumique (ne)L de l'atmosphère lunaire. On a coutume d'assimiler ces électrons à un gaz parfait ; est-ce légitime ? D 23* -- Comparer la durée de l'occultation dans le domaine du visible et dans le domaine des ondes radio. Pourquoi utilise-t-on préférentiellement le domaine radio pour étudier l'atmosphère lunaire ? D 24* -- La relation admise à la question 21 montre que l'indice est inférieur à 1. Si l'on def1n1t la v1tesse du rayonnement de la radlosource dans ce m111eu par V(w)= ( ) on n co obtient une vitesse supérieure à 0. Que représente V en réalité ? ' . . . Cl) Cl) Cl 25 -- A partir de la défin1t10n de la norme du vecteur d'onde k(w)= n( ) et de c a)2 l'expression, admise plus haut, n2(a))= l---äâ--, établir l'expression de la vitesse de groupe Vg(a)) dans ce milieu, en fonction uniquement de c et de n(oe). Trouver le lien, très simple, entre V(w) et Vg (cu) ; conclure. Fin du problème Données numériques Soleil . Rayon RS = 7><105 km . Température de surface T5 =5800 K . Rayon terrestre RT z6,38><103 km . Distance Terre-Soleil DST z1,5><108 km 0 Masse terrestre MT =6><1024 kg 0 Période du mouvement circulaire autour du Soleil PST z 365,25 jours - Rayon lunaire RL = 1740 km 0 Masse lunaire ML = 7,4 >< 1022 kg - Distance Terre-Lune DLT : 3,84><105 km 0 Période du mouvement circulaire autour de la Terre PTL z27,25 jours (en restant dans le plan de l'orbite terrestre) . Période de rotation propre de la Lune PL =PTL z27,25 jours. La Lune présente ainsi toujours la même face à la Terre. Silicates . Densité d5u 22,51 . Conductivité thermique Ksn =1,11 W.K_l.m_1 . Chaleur spécifique CSile : 860 J.kg_l.K"1 . Ordre de grandeur du rayon Rsu z100 um . Température de fusion du silicate ]} = 1500 K . Chaleur latente de fusion L/ = 130 kJ.kg_1 Constantes physiques . Célérité de la lumière dans le vide c : 3><108 m.s'1 . Constante de la gravitation G z6,67><10'11m3.kg°1.s'2 - Constante de Planck h z6,63><10'34 J.s (ñ= {£- z10'34 1.5) 71" . Constante de Boltzmann kB z1,38><10"23 ].K'1 - Charge électrique élémentaire e = 1,6>< 10'19 C 0 Masse de l'électron me z9,11><10°31 kg 0 Nombre d'Avogadro N =6,02x1023 o Permittivité du vide 80 z 8,85X10"12 F.m"1 . Constante des gaz parfaits R= NkB : 8,311 .mol_1 .K--1

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 Mines Physique 1 PSI 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Langlois (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (ENS Lyon). Ce problème aborde différents aspects de la physique lunaire. Il est court et demande assez peu de développements calculatoires. De très nombreuses questions qualitatives font appel au sens physique attendu des candidats de la filière PSI. · La première partie est essentiellement qualitative. Elle repose sur des considérations d'optique géométrique et ondulatoire élémentaires. · Dans la deuxième partie, on envisage le comportement thermodynamique du sol lunaire. Là encore, des questions qualitatives nécessitent une bonne compréhension physique des phénomènes mis en jeu. · Enfin, la troisième aborde différents aspects de l'atmosphère lunaire. On y explique l'absence d'atmosphère gazeuse en s'appuyant sur le calcul de la vitesse de libération lunaire. Puis, on caractérise l'atmosphère ionique grâce à son indice et à la déviation de rayons d'une radiosource lointaine. La formulation des questions qui, sans être difficile, est parfois laconique, demande une bonne maîtrise du cours et un certain recul de la part du candidat. Cela en fait un bon problème de révision. Indications Première partie 2 Considérer que la lumière lunaire provient de l'infini. 5 Envisager le milieu de la nuit lunaire sur la face cachée quand le Soleil, la Terre et la Lune sont alignés. Faire un schéma représentant deux alignements consécutifs en prenant en compte la rotation de la Terre autour du Soleil et évaluer la période qui les sépare pour en déduire la durée du « jour » lunaire. 6 Tracer sur un schéma les quatre rayons qui sont tangents à la fois à la Terre et au Soleil afin d'y repérer les zones de pleine lumière, de pénombre et d'ombre. Deuxième partie 9 Justifier que le modèle surévalue les transferts thermiques par rayonnement. 13 Décomposer le mouvement de la surface lunaire dans le référentiel de Copernic en trois sous-mouvements et évaluer les vitesses associées. 14 Appliquer Ec + U = Wext + Q au système {Lune + météorite}, supposé isolé pendant l'impact, avec U = H dans le vide. Supposer que la Lune est beaucoup plus massive que la météorite et que la température initiale du sol lunaire est T = 300 K comme à la question 16. Troisième partie 17 Pour calculer v1 , considérer que l'objet s'échappe dès que Em > 0. Comparer v1 à v sans oublier la signification statistique de v. 18 Utiliser l'invariance de n sin i entre le vide avant l'entrée dans l'atmosphère et la surface lunaire. 19 Représenter la position de la Lune sur sa trajectoire quand débute l'occultation en un point M de la Terre, sans et avec atmosphère lunaire. 20 Justifier la symétrie du trajet afin de retrouver i0 sur la figure 6. 21 Avec les questions 19 et 20, évaluer l'indice lunaire nL qui correspond à la radiosource de fréquence f . 22 Donner un ordre de grandeur de l'énergie potentielle d'interaction coulombienne pour une distance r ne-1/3 entre deux électrons, puis la comparer à l'énergie cinétique d'un électron dans le modèle du gaz parfait. 25 Calculer k() puis utiliser la formule Vg () = 1 dk () d I. Détermination expérimentale de la température lunaire 1 D'une part, l'absorption et les turbulences atmosphériques dégradent la qualité de l'image obtenue par un télescope terrestre. D'autre part, l'astronomie terrestre est tributaire de l'absence de couverture nuageuse et de lumières parasites. Un site astronomique « privilégié » répond à ces contraintes. Il est typiquement isolé, en altitude et sous un climat sec. Dans un satellite, on s'affranchit de ces limitations. 2 La distance entre l'objet et le télescope est ici très grande devant la distance focale du miroir, on peut donc considérer que la lumière lunaire provient de l'infini. Si elle arrive parallèlement à l'axe optique, on doit placer le détecteur au foyer image F du miroir sphérique, c'est-à-dire au milieu du segment [OC]. 3 Pour un télescope qui fonctionne dans le domaine visible et dans le proche infrarouge aux longueurs d'onde inférieures à 10 µm, le refroidissement permet de dissocier la lumière observée et le rayonnement thermique parasite, émis par le télescope à une longueur d'onde de 40 µm pour T aux environs de 77 K. 4 Si la résolution angulaire est , alors, avec une distance DLT entre le télescope et la surface lunaire et 0, 6 µm dans le visible, la résolution x est x = DLT soit x = 1, 22 DLT 300 m a En pratique, à cause de la diffraction ou de la turbulence atmosphérique, l'image d'une source ponctuelle n'est jamais ponctuelle. La résolution est la distance minimale (ou le plus petit angle) devant séparer deux sources ponctuelles pour que leurs images soient résolues, c'est-à-dire séparées. 5 La Lune présente toujours la même face à la Terre. Le milieu de la nuit lunaire au centre de la face cachée correspond à l'alignement de la Lune avec la Terre et le Soleil comme sur la position du schéma. Pour atteindre l'alignement suivant, la Lune doit effectuer une rotation complète autour de la Terre à laquelle s'ajoute l'angle dû à la rotation de la Terre autour du Soleil pendant le même temps. Si P est la période qui sépare ces deux alignements, alors P = (2 + ) PTL 2 où = P 2 PST S T T L La durée Pn de la nuit lunaire est la moitié de P, soit Pn = PST PTL = 14, 7 jours 2 (PST - PTL ) L 6 Considérons les quatre rayons lumi neux tangents sur le schéma ci-contre. L Ils délimitent trois zones. La zone est accessible à tous les rayons solaires, c'est S T la zone de pleine lumière. La zone n'est atteinte par aucun rayon solaire, c'est le cône d'ombre. Enfin, seule une partie des rayons solaires parvient dans la zone , d DST c'est la zone de pénombre. Comme DST est très supérieure à RS et à RT , l'ouverture angulaire de la zone de pénombre peut être évaluée par 2RS = = 9, 3.10-3 rad DST et la durée Pp de la pénombre, par PTL Pp = 2 soit Pp = 1, 9 heure 2 La zone de pénombre est traversée en deux étapes, est donc doublé. L'ouverture du cône d'ombre vérifie RT RS tan = = 2 d d + DST 2 RT DST d'où d= = 1, 4.106 km et = 9, 2.10-3 rad RS - RT Cela permet d'évaluer la longueur de l'orbite lunaire dans le cône d'ombre à = (d - DLT ) et la durée P0 de l'ombre par 2DLT = soit P0 = 2, 5 heures P0 PTL On peut faire ici trois remarques : · Puisque DLT < d, la Lune peut bien traverser le cône d'ombre. · La schématisation du problème est ici volontairement simpliste car les mouvements de la Lune et de la Terre ne sont pas coplanaires. La Lune peut ne traverser que partiellement le cône d'ombre (éclipse partielle) ou rester dans la zone de pénombre (éclipse de pénombre). Mais le plus souvent, elle reste dans la zone de pleine lumière et on observe une simple pleine lune sans éclipse. · Au cours d'une éclipse totale, la Lune n'est pas vraiment sombre mais apparaît rougeâtre. Il s'agit d'un éclairage indirect dû à la diffusion de la lumière solaire par l'atmosphère terrestre. 7 En règle générale, il faut d'autant moins d'énergie pour augmenter la température d'un solide que celui-ci est moins dense. Ainsi, la faible densité de la couche supérieure explique que sa température évolue rapidement dès que l'apport d'énergie par rayonnement est modifié. La faible conductivité thermique de cette même couche lui permet, quant à elle, d'isoler la couche inférieure vis-à-vis de ces variations de l'apport d'énergie et explique la lenteur de la diminution de la température pendant la période d'ombre.