Mines Physique 1 PSI 2003

Thème de l'épreuve Étude optique et thermodynamique de la surface de la Lune
Principaux outils utilisés optique, conduction thermique, ondes électromagnétiques
Mots clefs atmosphère de la Lune, température, plasma

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique 1 --- Filière PSI
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 6 pages.

- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que
des qualités de rédaction de la copie.

La surface de la Lune

On se propose d'étudier quelques aspects de la surface lunaire : la température 
de surface,
le sol et l'atmosphère. Les diverses parties sont indépendantes entre elles.

.J Important : on trouvera en page 6 un ensemble de données relatives à ce 
problème ;
ces données complètent (ou, à l'occasion, répètent) celles de l'énoncé. 
Quelques-unes
de ces données pourront servir plusieurs fois ; d'autres n'ont de valeur
qu'informative. Quand l'énoncé ne les indique pas, il appartient aux candidats 
de
repérer et d'utiliser les données utiles pour la résolution de certaines 
questions.

.J Les questions numérotées avec un astérisque (par exemple Ü 1*) sont de type
essentiellement qualitatif ; elles demandent peu de calculs, voire pas du tout.

I Détermination expérimentale de la température lunaire

_A Mesures

On effectue cette détermination à l'aide d'un télescope à

a miroir sphérique de rayon R, de diamètre d'ouverture a,
0 : & situé dans un site astronomique privilégié ou en orbite, ter--

0
0

: """ restre ou lunaire. Ce télescope concentre l'image d'une par-
: ' tie de la surface lunaire sur un détecteur qui produit une ten--
,» R sion proportionnelle à la puissance lumineuse à laquelle il
; Fig. ! éleSCOPEUR est exposé. Ce détecteur est supposé ponctuel.

0
0

Deux mesures sont effectuées, la première avec un filtre qui

absorbe l'infra rouge, et la seconde sans filtre. La différence entre les deux 
mesures per-
met d'estimer la température superficielle de la région lunaire étudiée.

Cl 1* -- Expliquer en quoi le site astronomique où est situé le télescope doit 
être
« privilégié », ou pourquoi ce dernier est placé dans un satellite.

D 2* -- Où doit--on placer le détecteur ?

D 3*-- Admettons ceci: la puissance lumi-
neuse émise à la température T par un objet en
équilibre thermodynamique est maximale pour

la longueur d'onde Àm(T), qui dépend de la

température comme représenté en Fig. 2. Justi-
fier la nécessité de refroidir les télesc0pes ter-
restres (par exemple à la température de
l'azote liquide, soit environ 77 K) '?

D 4* ---- Le diamètre d'ouverture, a, des
télescopes observant la surface lunaire est de
Fig- 2 -' MÙXÎmum d'émÏS--çÏ0" l'ordre du mètre. Estimer la résolution de la
mesure effectuée depuis un télescope terrestre

ou en orbite terrestre. On rappelle que la résolution angulaire d'un télescope 
correspond

À

au rayon angulaire de la tâche d'Airy, soit 1,22--.
a

Interprétation des résultats

Les températures maximales du sol lunaire sont d'environ 120°C et les 
températures
minimales, lors de la nuit lunaire, d'environ -- 200 °C. On attribue cette 
grande variation

à la durée de la nuit lunaire et à l'absence d'atmosphère lunaire.
D 5 -- Déterminer la durée d'une nuit lunaire.

Ü 6 -- Décrivez sur un schéma les zones de pénombre et d'ombre relativement au 
Soleil
et à la Terre, lorsque la Terre éclipse le Soleil. Evaluer les durées 
respectives de pénombre
et d'ombre.

Cl 7 * -- Des mesures sont effectuées
lors d'une éclipse totale ; l'allure des
Température résultats est représentée dans la fig. 3.
On en rend compte par un modèle à

50 C{ deux couches pour la croûte lunaire :
00 Cl-- une couche supérieure, pulvérulente,

0 É très fine (épaisseur de l'ordre du milli-

-- 50 cf mètre), de densité faible et de conduc-

_ 1000 CÊ_ , . î tivité thermique très faible, et une cou-
'__<___7__--_äi Ombre ' : tem 3 che inférieure plus compacte de pro- Pénombre priétés physiques proches de celles de la roche ordinaire (silicates). Justifier l'accord qualitatif entre la courbe et le Fig. 3 ; cycle de température lunaire ' modele. II Le sol lunaire Modélisations Le sol lunaire est bombardé et réduit en poussière par les météorites et le vent solaire, constitué essentiellement de protons et d'électrons. La composition du sol lunaire est proche de celle des silicates, dont quelques caractéristiques physiques sont indiquées page 6. La couche supérieure, très fine, peut être représentée par un empilement compact de sphères de silicates, de rayon Rsu et de température uniforme (Fig. 4). Le contact entre les sphères est supposé ponctuel. On note c la distance verticale minimale entre deux 2R sphères en positions semblables c=2 RSll zl, 633 R511- Dans une telle structure com- /_\ <: E] 9* -- L'empilement précédent Fig. 4 : Le \plan inférieur de ! 'empilement compact est est maintenant modélisé par un constitué de sphères dont les centres sont notés A. Une ensemble de plans parallèles opa- couche identique de sphères, dont les centres sont à ! 'à--pic des points de type B, est superposée à ce plan. Les centres des sphères de la troisième couche sont en sites de type A, et ainsi de suite (empilement de type ABAB ).... pacte, le volume occupé par les sphères est de l'ordre de 74 % du volume de l'empilement... Cl 8* -- Justifier qu'avec un tel modèle les échanges thermiques entre les sphères doivent se faire par un autre processus que la conduction ou la convexion. \ / ques, placés dans le vide, séparés par la distance c/2. Que pensez- vous de ce modèle '? Cl 10 -- On peut caractériser un tel milieu par un coefficient de conductivité thermique dépendant de la température de la forme À(T) : aT', avec 01 =1,55><10_6 SI. Comparer l'ordre de grandeur de À(Î) obtenu avec ce modèle à la valeur expérimentale de la conductivité des silicates à la température ambiante : Ksu zl,ll W.K"'.mf D 11 -- Comparer la densité d et la capacité calorifique massique c de la couche supé- rieure avec ds,.[ et cs". Cl 12* -- Il est généralement admis que ce sont les couches les plus profondes qui ont les caractéristiques physiques les plus voisines de celles des modèles ci-dessus. Pourquoi '? Influence de l'impact des météorites On admet que les météorites heurtant la surface lunaire ont même composition que le sol lunaire. On rappelle que le référentiel de Copernic, ou référentiel héliocentrique, est lié au centre de masse du système solaire et que ses axes pointent vers des étoiles réputées fixes. Le référentiel de Copernic est supposé galiléen. [] 13 -- Vérifier que la vitesse d'impact d'une météorite frappant la surface lunaire et de vitesse négligeable dans le référentiel de Copernic est de l'ordre de 3 ><1O4 m.s_1 D 14 -- Montrer que l'impact d'une météorite de masse rn1 peut dégager une énergie suffisante pour porter à l'état liquide une masse m2 de la surface de la Lune. Déterminer puis calculer le rapport m2/ml. Cl 15* -- La solidification du matériau en fusion n'est pas sans effet sur la nature des transferts thermiques ultérieurs. Vers quelle valeur se rapproche alors la conductivité thermique calculée précédemment? III Atmosphère lunaire. Absence d'atmosphère gazeuse Un gaz parfait, possédant par unité de volume 11 molécules de masse m, exerce sur une surface une pression P. Les molécules de ce gaz sont homocinétiques, c'est-à-dire de vec- teur vitesse v de norme v constante, mais d'orientation aléatoire. Les molécules de gaz . , . , . . 1 subissent des chocs elast1ques sur la surface. Il s'en dedu1t l'expressmn P : înmvz. D 16 -- L'atmosphère lunaire est majoritairement composée d'atomes d'argon, libéré lors des réactions nucléaires au sein des roches lunaires. Sachant que la masse molaire M de ce gaz vaut 40 g, et en utilisant l'équation des gaz parfaits, calculer U pour T=300 K. Cl 17 -- On note 01 la vitesse de libération lunaire; c'est la vitesse minimale d'un objet pouvant échapper à l'attraction gravitationnelle lunaire. Exprimer puis calculer la vitesse de libération lunaire. En déduire qu'une atmosphère lunaire ne saurait subsister. Étude d'une atmosphère « ionique ». Méthode de l'occultation Radiosource ÊÎË On suit depuis un radiotélescope terrestre le rayonnement émis par une radiosource monochromatique lointaine, sup- posée immobile par rapport à la Terre, et située dans le plan de l'orbite lunaire. Cette source peut être occultée provisoirement par la Lune (Fig. 5). La durée mesurée de l'occultation est supérieure à la valeur attendue pour une Terre /. TrGÏe/f'0ire Lune qui ne possèderait pas d'atmosphère. L'écart At entre \.../ / ces deux valeurs vaut 24 secondes. En l'absence d'atmosphère gazeuse, on examine ici l'hypothèse d'une atmosphère dite ionique, quoique constituée essentielle- ment d'électrons. La figure 6 représente le détail d'une déviation, notée D dans la figure 5. Fig. 5 : Déviation d'un rayon lumineux près de l'occultation La courbure du rayon lumineux est attribuée à une variation continue de l'indice n avec l'altitude ; cette variation d'indice, à son tour, est due à une variation de la concentration électronique de l'atmosphère avec l'altitude. On note nL la valeur de l'indice à la surface de la Lune pour la fréquence d'émission de la radiosource et i l'angle de la tangente au rayon avec la verticale locale. On ne tient pas compte de la courbure du sol lunaire et l'on suppose que, en tout point du rayon, le produit nsin(i)est constant. On note io l'angle d'incidence du rayon non dévié (Fig. 6). Cl 18* -- Justifier, en considérant la courbure du rayon lumi-- neux, que la variation de l'indice avec l'altitude a bien le sens indiqué dans la figure 6. Quelle est, en admettant (comme \\:l / Surface. indiqué Fig. 6) que le rayon rase la surface lunaire, la relation â % lunaire entre sin(i0) et nL '? Quel phénomène terrestre vous suggère io ? grad(n) . . . , . . cette déviation lumineuse due à un radient d'indice ? F tg. 6 Detail de la devzaizon g E] 19 ---- Soit PTL z27,25 jours la période de révolution de la . . , . . At 2D Lune dans son mouvement c1rcula1re autour de la Terre. Etabhr la relat10n --= PTL î? Quelle est la signification de l'angle 6 défini par 9 : 2D ? Calculer sa valeur numérique. 7r , . . . , D2 ---- 10 et _]UStlflêl' la relat10n approchee nL zl------. 2 Cl 20 -- Établir la relation D = 2( 8 Cl 21 -- Dans le domaine hertzien, l'indice d'une atmosphère ionique, constituée d'électrons de charge (---e), de masse m et de concentration ne suffisamment faible 2 7 r - cop \ - - . , , . . \ 2 "662 s ecr1t n(w) = 1-- --2--, ou 80 est la perm1tt1v1te electrique du v1de et ou a) = a) " 17280 est le carré de la pulsation de plasma. Déterminer la valeur numérique de la pulsation de plasma pour la Lune, sachant que la fréquence de la radiosource est f = 0,5 GHz. CI 22 -- Pour la Terre, (wp)Î= 5,65><107 rad.s"1 et (ne)7=1012 m_3. Déterminer la densité volumique (ne)L de l'atmosphère lunaire. On a coutume d'assimiler ces électrons à un gaz parfait ; est-ce légitime ? D 23* -- Comparer la durée de l'occultation dans le domaine du visible et dans le domaine des ondes radio. Pourquoi utilise-t-on préférentiellement le domaine radio pour étudier l'atmosphère lunaire ? D 24* -- La relation admise à la question 21 montre que l'indice est inférieur à 1. Si l'on def1n1t la v1tesse du rayonnement de la radlosource dans ce m111eu par V(w)= ( ) on n co obtient une vitesse supérieure à 0. Que représente V en réalité ? ' . . . Cl) Cl) Cl 25 -- A partir de la défin1t10n de la norme du vecteur d'onde k(w)= n( ) et de c a)2 l'expression, admise plus haut, n2(a))= l---äâ--, établir l'expression de la vitesse de groupe Vg(a)) dans ce milieu, en fonction uniquement de c et de n(oe). Trouver le lien, très simple, entre V(w) et Vg (cu) ; conclure. Fin du problème Données numériques Soleil . Rayon RS = 7><105 km . Température de surface T5 =5800 K . Rayon terrestre RT z6,38><103 km . Distance Terre-Soleil DST z1,5><108 km 0 Masse terrestre MT =6><1024 kg 0 Période du mouvement circulaire autour du Soleil PST z 365,25 jours - Rayon lunaire RL = 1740 km 0 Masse lunaire ML = 7,4 >< 1022 kg - Distance Terre-Lune DLT : 3,84><105 km 0 Période du mouvement circulaire autour de la Terre PTL z27,25 jours (en restant dans le plan de l'orbite terrestre) . Période de rotation propre de la Lune PL =PTL z27,25 jours. La Lune présente ainsi toujours la même face à la Terre. Silicates . Densité d5u 22,51 . Conductivité thermique Ksn =1,11 W.K_l.m_1 . Chaleur spécifique CSile : 860 J.kg_l.K"1 . Ordre de grandeur du rayon Rsu z100 um . Température de fusion du silicate ]} = 1500 K . Chaleur latente de fusion L/ = 130 kJ.kg_1 Constantes physiques . Célérité de la lumière dans le vide c : 3><108 m.s'1 . Constante de la gravitation G z6,67><10'11m3.kg°1.s'2 - Constante de Planck h z6,63><10'34 J.s (ñ= {£- z10'34 1.5) 71" . Constante de Boltzmann kB z1,38><10"23 ].K'1 - Charge électrique élémentaire e = 1,6>< 10'19 C 0 Masse de l'électron me z9,11><10°31 kg 0 Nombre d'Avogadro N =6,02x1023 o Permittivité du vide 80 z 8,85X10"12 F.m"1 . Constante des gaz parfaits R= NkB : 8,311 .mol_1 .K--1