Mines Physique 1 PSI 2000

Thème de l'épreuve Étude des inducteurs en métallurgie
Principaux outils utilisés électrocinétique, électromagnétisme, diffusion de la chaleur

Corrigé

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A 00 PHYS. I , ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2000 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PH Y S] Q UE 1 -PSI L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 7 pages. - Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. - Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. - Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Notations : vecteur --> A (gras) ;vecteur unitaire pour la coordonnée et: ua UTILISATION DES INDUCTEURS EN MÉTALLURGIE La production d'un champ magnétique variable à l'aide d'un inducteur est très répan- due en métallurgie ; elle intervient dans des phases très diverses telles que la circulation, le brassage, la fusion ou la confection des lingots. Ce problème concerne principalement la fusion d'un alliage d'aluminium et sa confection en lingots. Il comprend deux parties, lar- gement indépendantes entre elles, pour ce qui est de leur traitement. La relation vectorielle suivante sera utile pour la résolution : lâA 8 3 âA 13rA9 & ......... (.; ;) (; ,)... < >---; r âr 99 u, Fusion du métal à l'aide d'un four à induction à creuset Le four est constitué (figure 1) d'un creuset cylindrique (rayon RC, hauteur hc) qui con- tient l'alliage à fondre et d'un inducteur composé d'un solénoïde monocouche (considéré comme infiniment long) parcouru par un courant d'intensité variable i(t). L'action du champ magnétique variable sur le métal consiste d'une part en un effet thermique (fusion puis maintien à l'état liquide de l'alliage), d'autre part en un effet mécanique (mise en mouve- ment du bain métallique). Inducteur z| H u(t ) E200 O-Q-O-Q-QQ-QO-Q Ô'Ô'Ô'Ô'Ô'Ô'Ô--Ô'O-- Fig. 1 : four à induction Fig. 2 : schéma équivalent de ! 'inducteur 1ère partie : Étude de l'alimentation de l'inducteur à vide. Alimentation directe par une source de tension alternative " symétrique " L'inducteur est équivalent à un circuit série composé d'une inductance L = 7 x 10"' H et d'une résistance R = 0,02 Q ; afin de diminuer l'impédance du circuit on ajoute en série un condensateur decapacité C = 5 >< 10" F. La tension u(t) appliquée est un créneau alternatif " symétrique ", d'amplitude E = 200 V et de fréquence 1000 Hz ( figure 2). Le développement en série de Fourier de la tension u(t) est u(t) : îê sin(a>t) + ___--""i3w') +...Sïn(5Wl + .. n' 3 5 D 1 -- Calculer les valeurs efficaces U. et U; de l'harmonique l, u,(t) = %sin(oet) et @ sin(3wt) de l'harmonique 3, u3(t) = de la tension u(t). 7'L' D 2 -- Calculer les modules des impédances de l'inducteur, 21 et Z3, relatives aux har- moniques 1 et 3 ; en déduire les valeurs efficaces Il et 13 des intensités des courants corres- pondants et montrer que l'intensité :( t) dans l'inducteur est pratiquement sinusoïdale. Alimentation de l'inducteur par un onduleur La tension u(t) est fournie par un onduleur, alimenté par un générateur continu de f.e.m E , constitué de quatre interrupteurs électroniques K], Kz, K3 et K... Chaque inter- rupteur est constitué par un thyristor et une diode suppo- sés parfaits et montés en antiparalléle (figure 3). Le thy- ristor (fig. ci-contre) est un interrupteur commandé qui laisse passer le courant uniquement lorsque l'intensité qui le traverse est positive (sens direct) et qui bloque le cou- ' ' < . . , , . . '(t) > 0 [(l) 0 rant lorsque l'mtensrte est negat1ve (sens inverse) sens direct sens inverse Les quatre interrupteurs fonctionnent simultanément deux à deux c'est-à-dire que pen dant une demi-période de fonctionnement les interrupteurs K1 et K4 sont fermés alors que les interrupteurs Kg et K3 sont ouverts ; la demi--période suivante K] et K4 sont ouverts alors que les interrupteurs K; et K3 sont fermés. Conventions pour le thyristor } Ki ? Kz ÿ- Î ! lnducteur ' E K] K2 , :: @ --l {_ Inductmr \ '--u(f) l l i l @ E 10 K4 sur une demi--période L-,... l Fig. 3 : onduleur D 3 -- On suppose que le courant i(t) dans l'inducteur est sinusoïdal et de la forme LCÙ--_l' i(t) : 10 sin(oet + (p), avec 10 = 2000 A et tan((p) = -TCOE-- La tension u(t) est identique à celle qui est représentée à la figure 2. Représenter les intensités i(T1), i(Dl) et ig, qui traversent respectivement le thyristor Tl, la diode D] et le générateur de f.e.m E, en fonction du temps. Ü 4 -- Calculer les valeurs moyennes de ces trois intensités. E] 5 -- En déduire la puissance moyenne fournie par la source de tension. 2è'"e partie : Étude des paramètres électromagnétiques à l'intérieur du métal fondu. 3 6 -- Décrire les phénomènes dont le métal est le siège et qui permettent éventuelle- ment sa fonte. ] 7 -- On suppose dans cette 2e... partie que l'inducteur est parcouru par un courant . * CO . . d'intensité i(t) = 20005m(oet + (0)avec une fréquence f = a = 1000 Hz. On utilise la base relative aux coordonnées cylindriques (r, 0, z), (u,, u,,, u.). La masse de l'alliage d'aluminium est le siège de courants induits dont le vecteur complexe densité de courant _] au point M du métal, à la distance r de l'axe Oz est de la forme j= jl(r)exp(jcot)u9 (j2 = --l)_ Dans l'hypothèse où le champ magnétique à l'intérieur du métal n'est fonction que de la variable r, justifier cette orientation du vecteur densité de courant j E] 8 -- L'alliage d'aluminium étudié est considéré comme un conducteur, électrique- 10-9 367: ' vité )! = 5 >< 106 Q".m"'. On admettra que la vitesse locale u du bain métallique est suffisam- ment neutre, défini par les constantes du vide 80 = #0 = 471? ><10'7 et par sa conducti- ment petite pour que l'on puisse négliger le terme u A B dans la relation liant la valeur locale de la densité de courant aux champs électrique et magnétique : j = 7/( E + u A B). Montrer alors que, pour la fréquence utilisée, on peut négliger le courant de déplacement. _+ D 9 -- Notant A l'opérateur laplacien vectoriel, montrer que le vecteur densité de cou- 31 _) rant j vérifie l'équation différentielle Aj = rot[rot(j)] = yoyä et en déduire l'équation différentielle du second ordre vérifiée par la fonction complexe jl(r); ce sera l'équation (1). 2 r et u = -- (ce sera (D)/[10 D 10 -- Exprimer (l) en termes des grandeurs réduites 5 = l'équation l'), calculer la valeur numérique de 5. D 11 -- On se propose d'exprimer une solution approchée de l'équation (l') pour une épaisseur de bain métallique de l'ordre de 5 au voisinage de la périphé-- . R . F (u) ne u = uc = --52 >>1 . Posant dans (l') ]l(u) : \/-- , admettant que, dans l'équation u différentielle relative à la fonction F (u) ainsi obtenue il soit légitime de négliger le terme en 1 --2, admettant enfin que la fonction F (u) est paire, établir une forme approchée de la solu- u tion au voisinage de la périphérie du creuset. Préciser la signification de 5. D 12 -- Exprimer la puissance moyenne < P > dissipée par effet Joule à l'intérieur du volume du bain métallique ; quelle donnée faudrait-il connaître pour déterminer complète- ment la solution ? Pour améliorer l'efficacité calorifique du four vaut--il mieux utiliser un courant d'alimentation de l'inducteur de fréquence faible ou de fréquence élevée ? Confection des lingots d'alliages légers : "coulée électromagnéfique" Au cours d'une coulée classique on utilisait jusqu'en 1973 une lingon'e're pour donner sa forme au lingot (métal solide). Ce procédé a été abandonné au profit de la coulée électro-- magnéfique, inventée en URSS. par Getselev & al : dans ce procédé, le maintien réalisé jadis par la paroi matérielle de la lingotière est assuré par des forces élecüomagnétiques de volume. Ces forces sont produites par une spire inductrice alimentée par un courant électri- que sinusoïdal de forte intensité (de l'ordre de 5 000 A) et de fréquence voisine de 2 000 Hz (figure 4). Le refroidissement qui permet le changement d'état de l'alliage d'aluminium est assuré par un jet d'eau dirigé sur la paroi latérale du lingot. Arrivée du métal fondu A x Métal liquide (zone 1) --\ Métal liquide Inducteur _, ._ Z A _.> -_ one pateuse % (zone 2) _, _. _ Refroidissement _, Zone pateuse Métal solide _» (zone 3) _» J' Métal solide \/ . V= vitesse de Descente du lrngot descente du lingot Fig. 4 : principe de la coulée électromagnétique Fig. 5 : modèle de la coulée 1"°partie : Étude des transferts thermiques. Afin de pouvoir effectuer une étude plus aisée des transferts thermiques on adopte le modèle simplifié (fig. 5) où les formes des différentes phases du métal dans le lingot (liquide, pâteuse, solide) sont considérées comme cylindriques, et de rayon RL. La conducti- vité thermique du métal liquide est notée ÂL, celle du métal solide est notée ÀS ; ces gran- deurs sont supposées indépendantes de la température. Par l'intermédiaire d'une goulotte non représentée sur la figure 5, le métal, fondu au préalable dans un four à creuset, arrive en A avec une vitesse négligeable. Sa température TA est uniforme et très largement supérieure à la température YZ, du jet de refroidissement latéral. On appelle P(x) le flux thermique qui traverse la section S à l'abscisse x ; on pose 9(x) = T(x) -- 73. On fera l'hypothèse que la vitesse du métal (liquide ou solide) est nulle (ce qui est pratiquement le cas lorsque la vitesse de descente V du lingot ainsi que la vitesse de brassage à l'intérieur du bain métallique sont très faibles). D 13 -- Écrire la loi de Fourier qui traduit le transfert thermique par conduction dans les zones (1) et (3) (direction Ax). Déduire une relation entre P(x) et les paramètres ÀL, S et d9/dx pour la zone (1) ; on aura une relation identique pour la zone (3). D 14 --Les pertes thermiques dues au refroidissement sont supposées pro portionnelles à la surface d'échange entre le métal et le milieu extérieur ainsi qu'à l'écart de température entre le métal et le milieu extérieur; on appelle h le coefficient de proportionnalité (ce coef- ficient est considéré comme constant quel que soit l'état du métal). En considérant le bilan thermique sur une longueur dx infiniment petite du métal, trouver une relation entre dP/dx et 9(x). Cl 15 --Déduire des questions (13) et (14) les équations différentielles en 9(x) et P(x) ; ÂLRL on posera a = . 2h Ü 16 -- Les fonctions 9(x) etP(x) seront labellées 91(x) et R(x) dans la zone 1 (métal liquide) et 93(x), P3(x) dans la zone 3 (métal solide). Le changement d'état du métal se fait dans la zone pâteuse (zone 2) ; la hauteur HL de la colonne de métal liquide est H L = 0,1 m. Donner les expressions femelles puis numériques de 91(x) et deE(x). Repré- senter sommairement la fonction 91(x). RL : 0,2 m a, = 100 W.m"'_K--1 Às = 100 W.m_l.K_l T,, = 820 °C 73 = 15 °C h =100 w.m--2.K'1 D 17 -- La vitesse de descente du lingot est notée V ; la hauteur de la zone pâteuse est notée H p et la température T p dans cette zone est uniforme. La masse volumique du métal est notée p,, et sa chaleur latente de fusion Lg Donner, formellement puis numériquement, l'expression de P3 (x), sachant que, la longueur du lingot étant très grande, la fonction P3 (x) , . . , , . -- --1 ne diverge pas lorsque x tend vers l'infini. Donnees numenques : V = 10 4 ms H =10-2 m T, =660 °C p,, =2500 kg.m'3 LF=3OO kJ.kg" P D 18 --On suppose dans cette question que l'on façonne, toujours par la méthode de coulée élec tromagnétique, un lingot de petit diamètre DL = 2.104 m , la vitesse de descente du lingot par rapport au repère du laboratoire n'est plus négligeable : V = 5.10"2 m.s' '. La capacité thermique massique du métal solide est c' = 9 >< 102 J.kg "' .K'1 , sa masse volumique est p" = 2700 kg.mÎ'). Ces deux grandeurs sont considérées comme indépendantes de la température. Écrire pour la zone (3) c'est-à--dire la zone du métal solide, l'équation tradui- sant le bilan thermique local en régime stationnaire, les conditions de refroidissement étant inchangées (on fera ce bilan sur une tranche de métal d'épaisseur dx et d'abscisse x. E] 19 -- Déduire le champ de températures T(x) de la zone (3) en régime stationnaire si . ' 'VD on admet que llm T(x) = 73 et que la longueur du lingot est grande devant 61 = pcî--L--. 4 À'h pc DL U 20 --Simplifier l'expression de T(x) dans le cas où V >> ; calculer numé- riquement cette condition sur V. D 21 -- Calculer la puissance thermique perdue par la partie solide du métal (on consi- dérera que la longueur L du lingot est grande devant a). Commenter le résultat et effectuer l'application numérique. 2ème partie : Étude des paramètres électromagnétiques. Cl 22 -- On désire mesurer la valeur locale du champ magnétique à l'intérieur du métal liquide à l'aide d'un capteur; quel type de capteur utiliseriez-vous ? quel en serait son prin- cipe? D 23 --On désire mesurer la valeur du champ électrique à l'intérieur du bain métallique à l'aide d'un capteur ; quel type capteur utiliseriez-vous? quel en serait son principe? D 24 -- Si l'on considère que les vitesses locales du métal fondu sont pratiquement nul-- les, quelles autres grandeurs physiques les mesures précédentes permettent--elles d'atteindre? FIN DU PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE

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 Mines Physique 1 PSI 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Wawresky (Mines de Paris) ; il a été relu par François-Xavier Bor (École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris) et Jany Keochkerian (École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris). Le problème, qui se compose de trois parties indépendantes (plus trois questions, formant un embryon de quatrième partie), traite de la fusion d'un alliage d'aluminium et de sa confection en lingot à partir d'un dispositif produisant un champ électrique variable : l'inducteur. ­ Dans la première partie, on étudie l'alimentation magnétique à vide de l'inducteur. ­ Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la fusion du métal à l'aide de l'inducteur produisant un champ magnétique dépendant du temps. Il sera question de phénomènes d'induction et de calcul de puissance moyenne dissipée par effet Joule à l'intérieur du métal participant à sa fusion. ­ Dans la troisième partie, enfin, on étudie les phénomènes de transfert de chaleur à l'intérieur d'un lingot dont on considère qu'il est constitué d'une partie liquide en fusion, d'une partie pâteuse au niveau de laquelle se fait le changement d'état, et enfin d'une partie solidifiée. Indications Premier problème 1 Se rappeler la définition de la valeur efficace. 2 Ne pas oublier la capacité dans le calcul des intensités efficaces. 3 Étudier globalement le montage et faire attention aux commutations des thyristors actionnés par une gachette, dont la période est la même que celle de l'intensité donnée dans l'énoncé (qui comporte d'ailleurs une erreur). Penser au thyristor T2 , actionné sur la demi-période suivante, pour l'étude de iD1 . 7 Raisonner à partir des plans de symétrie et d'antisymétrie. 9 Passer outre l'erreur d'énoncé. 11 Remplacer l'expression proposée dans une équation déjà légèrement simplifiée. Deuxième problème 14 Égaliser la quantité de chaleur gagnée et celle perdue par l'élément de longueur dx pendant le temps dt, étant donné que l'on est implicitement en régime permanent. 16 Dans les valeurs numériques, remplacer S par TP étant donné que l'on a besoin de deux conditions initiales. 17 Déterminer la forme de P3 (x) puis déterminer la constante à partir d'un bilan HL . énergétique global au niveau de la zone (2) pendant le temps V 18 Faire un bilan enthalpique entre les abscisses x et x + dx. 19 Résoudre l'équation obtenue à la question précédente. 20 Faire un développement limité au premier ordre. 21 Intégrer les pertes latérales entre 0 et L. Fusion du métal à l'aide d'un four à induction à creuset Première partie : Étude de l'alimentation de l'inducteur à vide 1 Les valeurs efficaces se calculent par la formule : U2eff = U(t)2 = L'expression de u1 (t) étant (4E/) sin(t) , on obtient : s 2Z T 4E 4E (sin t)2 dt = U1 = 2 0 De la même façon, U3 = Z T u(t)2 dt. 0 4E 3 2 2 L'inducteur est constitué d'une résistance et d'une inductance en série ; son impédance vaut donc Z = R + j L i . i vaut pour l'harmonique 1, et 3 pour l'harmonique 3. On en déduit que Z1 et Z3 , les module des Z pour la première et la troisième harmoniques, valent : Z1 = R2 + L2 2 Z3 = R2 + 9 L2 2 Pour déterminer les valeurs efficaces des intensités, il faut maintenant considérer tout le montage, c'est-à-dire qu'il faut considérer en plus la capacité qui est en série avec l'inducteur. Si on appelle Ztot l'impédance totale du circuit, Ztot = R + j L i + donc |Ztot | = s R2 1 j C i + L i - 1 C i 2 Pour la première et la troisième harmoniques, on obtient s s 2 2 1 1 2 2 |Z1 tot | = R + L - et |Z3 tot | = R + 3 L - C 3C On en déduit 4E I1 = q 2 R2 + (L - 1/(C))2 4E I3 = q 3 2 R2 + (3 L - 1/(3 C ))2 Pour montrer que l'intensité i(t) dans l'inducteur est pratiquement sinusoïdale, il suffit de comparer les valeurs efficaces des intensités des courants correspondants aux différentes harmoniques. Numériquement, I1 30 I3 I1 apparaît bien supérieur devant I3 , et même plus généralement devant toutes les harmoniques qui suivent. En conclusion, i(t) est pratiquement sinusoïdale. 3 L'énoncé comporte une erreur au niveau du schéma représentant les conventions pour le thyristor. Lorsqu'il reçoit un courant de commande par sa gachette, ce dernier laisse passer le courant à condition qu'il soit positif. Par contre, lorsqu'il ne reçoit pas de courant de commande, il se comporte comme un interrupteur ouvert quel que soit le sens de parcours du courant. On suppose que T1 est alimenté de 0 à T/2 et T qu'il ne l'est pas entre et T (T étant la période des oscillations de l'intensité dont 2 l'expression est fournie par l'énoncé). Entre 0 et T/2, T1 laisse passer le courant tant que ce dernier est positif. Dès qu'il s'annule, T1 se bloque. Entre T/2 et T, le thyristor ne laisse passer aucun courant car il n'est pas alimenté. étant positive avec les valeurs de R, C, L et données dans l'énoncé, on a ainsi le dessin ci-contre. i (t) T1 T/2 T t La diode D1 , quant à elle, ne laisse passer le courant que lorsque la différence de potentiel à ses bornes est positive (avec les conventions habituelles), c'est-à-dire quand i(t) est négative et le thyristor T2 ne conduit pas. En effet, quand T2 est alimenté (donc de T/2 à T) et i(t) est négative, le courant passe par le thyristor T2 et non plus par la diode D1 ; en effet, dès que T2 conduit, la différence de potentiel aux bornes de la diode est négative (puisque i(t) va dans le sens des potentiels décroissants). On en déduit le comportement ci-contre. i (t) D1 T/2 T t i (t) E Pour ce qui est de l'intensité aux bornes du générateur, on a soit i(t), soit -i(t), selon le chemin emprunté par le courant. On en déduit l'allure cicontre. T/2 T t 4 Pour connaître la valeur moyenne de iT1 , on intègre la fonction iT1 (t) entre 0 et T, puis on divise par T. La première annulation de iT1 a lieu pour t + = , - c'est-à-dire en t1 = : Z 1 t1 hiT1 i = I0 sin(t + ) dt T 0 d'où hiT1 i = I0 (1 + cos ) 2