e3a Physique et Chimie PSI 2015

Thème de l'épreuve Optimisation de rendements thermodynamiques. Conversion d'énergie électrostatique par les phénomènes atmosphériques et nucléaires.
Principaux outils utilisés thermodynamique générale, phénomènes diffusifs, électrostatique, thermodynamique chimique
Mots clefs machines thermiques, cycle de Carnot, éclairs, fission nucléaire, résistances thermiques, rendement à puissance maximale, dihydrogène, pile à combustible, rendement thermodynamique d'une pile, travail électrique d'une pile

Corrigé

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Se plaçant dans le cas pratique d'un fluide caloporteur circulant dans une conduite cylindrique en contact avec la source chaude, on étudie les transferts thermiques mis en jeu. Une conduite cylindrique de cuivre de conductivité thermique A a un rayon extérieur T2 en contact avec le milieu environnant à Tc et un rayon intérieur n en contact avec le fluide à T2. La longueur L du cylindre sera considérée comme très grande devant les autres longueurs du problème. On s'intéresse aux transferts thermiques entre l'intérieur et l'extérieur de la conduite pour évaluer la perte d'énergie thermique due au processus de diffusion, on note (r, 0, 2) les coordonnées cylindriques d'un point, (EUR,-, êg, à)) les vecteurs unitaires correspondants et on se place en régime permanent. BL Rappeler la loi de Fourier reliant le vecteur densité de courant thermique 5} et la température T en précisant l'unité de chaque grandeur présente. Donner un ordre de grandeur des conductivités thermiques de l'eau et du béton. _ Schématiser la géométrie du problème. Justifier que jà(r, 9, z) : jq(r)ê;. _ On note J.,(r) le flux thermique total à travers la surface latérale du cylindre d'axe (Oz), de rayon r et de longueur L. Exprimer J.,(r) en fonction de j.,(r), r et L. _ Justifier que le flux Jq(r) est indépendant de r. En déduire que jq(r) = A/r avec A une constante à déterminer en fonction de Jq. |æ |æ lE _ En déduire l'expression de la différence de température T,; -- Tc. _ Rappeler la définition de la résistance thermique. Donner son unité. Quelle ana-- logie peut--on faire avec l'électrocinétique et sous quelle(s) condition(s) est--elle valide ? _ Déterminer l'expression de la résistance thermique R... de la conduite cylin-- drique. I% !g w 4 C / Rendement à puissance maximale Les résistances thermiques étant décrites, on s'intéresse au fonctionnement général de la machine thermique. Ce travail, réalisé dans la seconde moitié du XX" siècle par F. L. CURZON et B. AHLBORN, a rencontré un fort succès eta depuis été adapté à de nombreuses situations. On présente une version simplifiée des travaux initiaux, le résultat clef étant conservé. On considère le cycle thermodynamique suivant : 0 Une transformation adiabatique menant le fluide de T; à T; ; o une transformation isotherme à. T] associée à. un transfert thermique Q f avec la source froide de température T; ; o une transformation adiabaüque menant le fluide de T; à Té; . une transformation isotherme à Tc', associée à un transfert thermique 62° avec la source chaude de température Tc. On note sa durée Atc et la résistance thermique associée Rth- Toutes les transformations du fluide sont supposées réversibles et la durée totale du cycle est notée At... : aAt... où a est une constante. Le schéma de la figure 3 résume la situation. Rth Qc Qf M---- FIGURE 3 -- Prise en compte d'une résistance thermique. 1_ Exprimer le transfert thermique Qc en fonction notamment de la résistance thermique Rth et de la durée Atc. , Écrire les premier et second principes de la. thermodynamique pour le fluide considéré. O |8 _ À l'aide des questions précédentes, exprimer la puissanoe moyenne fournie par la machine thermique P,... dans un premier temps en fonction de W et At...; puis dans un second temps en fonction de Rth, a ainsi que des différentes tem-- pératures mises en jeu. |8 C4_ Quelle doit être la valeur de T,; pour un fonctionnement à puissance maximale? , Exprimer le rendement dans ces conditions en fonction de T': et T;, puis l'évaluer pour les installations industrielles de la figure 2. Commenter. 9 \ , La machine thermique dans son ensemble ne fonctionne pas de manière réver-- sible. Proposer des sources d'irréversibüité à considérer lors d'une utilisation pratique. IS? RENDEMENT THERMODYNAMIQUE DES PILES (m1h20) Les réactions de combustions sont principalement utilisées dans les moteurs à explosion. Cependant, elles peuvent aussi produire de la lumière, comme le montrent les couleurs bleues des flammes {issues de la reoembtnoisons de radicauæ), ou encore de l'électricité via des réactions électrochimiques. C'est à cette dernière forme de transformation d 'éneryz'e que l 'on s'intéresse ici, en étudiant un équivalent pour les piles du rendement d'un moteur thermique. On s'intéresse à un système 8 siège d'une réaction chimique et on définit le rendement thermodynamique par 17 : W,',.../Q, où : . --Q est le transfert thermique fourni au milieu extérieur lorsqu'aucun travail élec-- trique n'est tiré de la réaction. Q est, dans ces conditions, le transfert thermique algébrique reçu par le système 8 ; . --W{nax est le travail électrique maximal fourni au milieu extérieur lorsqu'un travail électrique est tiré de la réaction. W,'mm est le travail électrique algébriquement reçu par 8 . ' On s'intéressera successivement à l'évaluation de ces différents termes en s'appuyant sur la réaction de combustion de l'hydrogène, puis on discutera le sens physique du rendement thermodynamique. D / Expression du transfert thermique On modélise l'évolution chimique du système lors de la combustion de l'hydrogène par la réaction suivante : 1 Hm) + 502... _) H20(g) Cette réaction a lieu à l'air libre de température To = 300 K et de pression Po et on note { son avancement. D1_ Dans quel but cette réaction peut--elle être utilisée en travaux pratiques? D2_ Citer une application industrielle la mettant en jeu. _ Rappeler la définition d'une grandeur de réaction et de l'enthalpie H. _ Estimer numériquement ArH ° à. partir des énergies de liaison fournies. A,H° sera par la suite supposé indépendant de la température. _ Établir que Q : EURA,H ° dans le cas présent. _ Dans quelle(s) condition(s) la température atteignable au cours de cette com-- bustion (la température de flamme) est--elle maximale? le |æ le le le _ Déterminer dans ce cas la valeur de cette température maximale. On se placera dans le cas d'un milieu contenant uniquement du dihydrogène et du dioxygène en proportions stoechiométriques et on détaillera avec soin le raisonnement utilisé. E / Expression du travail électrique 11 est possible de générer un travail électrique via cette réaction chimique en séparant spatialement les deux réactifs : on parle de pile à combustible Une membrane échangeuse de protons mais de résistance électrique élevée sépare alors l'anode de la cathode, où ont lieu des réactions d'oxydo-réduction différentes menant au même bilan global que précédemment. L'évolution est supposée isobare (à pression Po) et isotherme (à température To : 300 K). _ Le dihydrogène joue--t-il le rôle d'oxydant ou de réducteur? Écrire la demi-- équation d'oxydoréduction associée. _ Le dioxygène joue--t--il le rôle d'oxydant ou de réducteur ? Écrire la demi--équation d'oxydoréduction associée. _ Quelle est la. définition d'un potentiel thermodynamique et de l'enthalpie libre G ? _ Sous quelle condition l'enthalpie libre est--elle un potentiel thermodynamique? Quelle contrainte cela impose--t--il sur le signe de A,G dans le cas présent ? IË !% % IË Pour la suite de l'étude, on se placera dans les conditions standard. E5. En partant des premier et second principes de la thermodynamique, montrer que le travail électrique maximal fourni par la pile ----W,Çmx vaut --£A,G° . À quel cas correspond la limite W' : W,'mm ? On donne A...S'° : --163 J .K"1.mol"l. Justifier le signe de cette quantité. Évaluer numériquement le travail maximal fourni par la réaction d'une mole de dihydrogène. lÈ--'3 lî'z lä Les contraintes environnementale: actuelles ont entraîné le développement de la filière hydrogène : on remarque que la combustion étudiée ici ne génère pas de dioxyde de carbone. Eg_ Comment est-il possible de synthétiser du dihydrogène de manière « verte », c'est--à--dire notament sans produire de dioxyde de carbone ? E10. Quelle est la principale limite à. son utilisation massive comme vecteur d'énergie ? F / Rendement thermodynamique Dans cette partie, comme dans la fin de la précédente, nous travaillons dans les condi-- tions standard. F1. Quefle(s) analogie(s) et difiérence(s) existe--t--il entre la définition du rendement thermodynamique pour une pile et pour une machine thermique ditherme ? F2. Exprimer le rendement thermodynamique à partir des grandeurs de réaction standard relatives à l'enthalpie et l'entropie et l'évaluer numériquement dans le cas de la réaction étudiée. F3. Dans les situations proposées suivantes, déterminer si la réaction chimique est thermodynamiquement possible, auquel cas donner une limite inférieure au ren-- dement thermodynamique : 1.A,H>OetA,SO. Pour certaines piles, notamment les piles de concentration, la réaction associée est, en l'absence de travail autre que celui des forces de pression, athermique. F4. Y a--t--il transformation d'énergie de liaison en travail électrique lors du fonc-- tionnement d'une telle pile ? Évaluer dans ce cas la variation d'enthalpie AH au cours de la transformation : d'où provient l'énergie électrique débitée par la pile? Peut--on parler de rendement thermodynamique dans ce cas ? En conclusion, le rendement thermodynamique pour une pile est--t--il associé à des contraintes similaires à celui d'un moteur ditherme? Quel peut--être son intérêt pratique ? |?" |? |? SECONDE PARTIE Conversion d'énergie électrostatique par les phénomènes atmosphériques et nucléaires L'utilisation des phénomènes électriques comme ressource énergétique peut être envisa- gée dans deux domaines très difiérents de la physique dont nous cherchons à évaluer les ordres de grandeur. D'une part, lors des orages, ou suite aux travaux pionniers de Ben-- jamin Franklin le lien entre électricité et foudre a été démontré. D'autre part en physique nucléaire, où le moteur d'une réaction de fission est essentiellement électrostatique. ÉNERGIE DES ÉCLAIRS (...30 min) Document 1. Panorama de la physique, Édition Belin, 2007 : On est souvent étonné d'apprendre l'existence d'un champ électrique permanent dans l'at-- mosphère. Entre la haute atmosphère, vers 50 km, et la surface terrestre, la différence de potentiel est de 300 kV. [...] Quel est le générateur capable de maintenir 300 kV entre la surface et l'électrosphère malgré [l'existenoe d'un] courant de fuite ? Il a. fallu attendre 1920 pour que C.T.R Wilson, prix Nobel de physique, l'identifie. Il s'agit des nuages, très déve-- loppés pendant un orage, les cumulom'mbus, qui sont chargés positivement dans leur partie haute et froide, et négativement dans leur partie basse et chaude. Ces charges électriques apparaissent en même temps que les chutes de grêle, signe que leur formation est liée à. ces précipitations. [.] Lors du développement du nuage, la charge électrique de sa base induit une forte différence de potentiel avec le sol. Dès que [le champ électrique] atteint quelques 300 kV.m"', valeur inférieure au [champ] de claquage de l'air (2 MV.m_l), une décharge apparaît. Document 2. Atmosphère, océan et climat, Édition Belin, 2007 : Description d'un cumtflonünbus -- Hauteur basse : 400 m à 1 km -- Epaisseur : Plusieurs km -- Composition : liquide et glace -- Précipitations : Forte pluie, parfois grêle -- Aspect : Nuage dense à extension verticale considérable se développent à partir de cumulus congætus. Sa partie supérieure s'étale souvent en forme d'enclume. C'est le nuage d'orage. Document 3. Donnée issue de Météo--France : Nombre moyen d'impacts de foudre au sol par km2 et par an : en France intérieure, varie suivant les régions entre 1 et. 2. Document 4. La vie du rail - Hors série -- Le TGV Nord Europe, 1993 : Fiche technique du TGV Réseau -- Vitesse maximale en service commercial : 300 km.h"1 -- Puissance aux arbres des moteurs de traction sous 25 kV : 8800 kW -- Puissance aux arbres des moteurs de traction sous l, 5 kV : 3 680 kW -- Puissance unitaire des moteurs de traction : 1 100 kW -- Nombre de moteurs de traction : 8 G / Résolution de problème 1_ Combien de temps pourrait--on faire avancer un TGV en récupérant durant un au toute l'énergie issue des éclairs frappant une grande ville française ? Cette résolution de problème devra présenter de manière claire une démarche scientifique détaillée et basée, d'une part sur les documents fournis, et d'autre part sur les connaissances du candidat. Toute tentative de réponse pertinente, même incomplète, sera prise en compte lors de la notation. ÉNERGIE D'UN NOYAU (N4o min) La filière nucléaire représente actuellement près de 75% de l'énergie électrique produite en France Bien que la physique mise enjeu lors d'une réaction de fission puisse s'avérer très complexe, une modélisation simple du noyau sufi'it pour saisir l'essentiel du problème : on parle du « modèle de la goutte liquide ». Nous nous intéressons uniquement à sa composante électrostatique pour retrouver l'ordre de grandeur de l'énergie libérée par une réaction de fission. Le noyau atomique est modélisé par une boule de rayon R uniformément chargée en volume et on note p la. densité volumique de charge électrique. H / Champ électrostatique Nous utilisons les coordonnées sphériques (r, 9, gb), où le centre du noyau constitue l'origine 0 du repère. Æ: Lister les invariances de la distribution volumique de charge. Qu'en déduit--on pour le champ électrostatique? H2, Par l'utilisation de symétries, montrer que le champ créé en un point M à une distance r du centre 0 peut s'écrire Ë(M ) : E(r)Î,. H3_ Déterminer ce champ en un point M à. l'extérieur du noyau (r > R). H4_ Déterminer ce champ en un point M à l'intérieur du noyau (r 5 R). I / Énergie électrostatique Il, Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie liée au champ électrique. 12 Montrer que dans le cas présent, l'énergie électrostatique totale 8 peut s'écrire comme la somme de deux intégrales, portant respectivement sur l'intérieur et l'extérieur du noyau. 13_ En déduire que _ Q2 8 : fl47OE'0R où Q est la charge totale du noyau et B un coeflîcient numérique de l'ordre de l'unité à. déterminer. J / Réaction de fission De nombreuses réactions de fission difl'érentes mettant en jeu l'uranium 235 se passent au sein d'un réacteur nucléaire. Nous nous intéressons à l'une d'entre elles, dont le bilan est : ËÊ5U+ân-->5Ê1Ba+sKr+3ân. Cette réaction libère une énergie de l'ordre de 200 MeV. Les données situées àla fin du sujet comprennent la constante de Coulomb ainsi que la densité volumique de nucléons dans le noyau. Quels noyaux peuvent être concernés par une réaction de fission ? Évaluer le rayon R des difiérents noyaux impliqués. mum FF!" En déduire l'énergie électrostatique libérée lors de la réaction de fission et com-- parer sa valeur à celle annoncée. Cette approche permet--elle d'expliquer le phénomène de fusion nucléaire ? L| !.» DONNÉES . Énergies de liaison : -- «DH--H = 436 kJ.mol"1 -- DO=O = 498 k.].moY1 -- DH_0 = 463 kJ.mol"l . Capacités thermiques molaires à pression constante, supposées indépendantes de la température : -- Cp,m(H20(g)) = 34 J.K"1.mol_l. -- ,...(H2oe) = CP,...(02(9,) = 29 J.K--l.mol--l. . Gradient et divergence en coordonnées cylindriques : 3f4 lôfë. ôfs gäf='ä--EURf+ 'I'ôÛe a+ô--ez. lao--A,) 16A,, aA, d"X= ,» a,-- +?Ê+ ôz' . Constante de Coulomb : (41rcm)'1 = 9 - 109 N.m'l.C_2. . Densité volumique de nucléons dans le noyau : u = 0,14fm'3. Fin de l'épreuve

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 e3a Physique et Chimie PSI 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Cyril Jean (ENS Ulm) et Claire Besson (Docteur en chimie) ; il a été relu par Tom Morel (Professeur en CPGE), Anna VenancioMarques (ENS Lyon), Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Alexandre Hérault (Professeur en CPGE). Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants qui s'intéressent chacun à quelques aspects de la conversion d'énergie. Le premier problème traite de l'optimisation de rendements thermodynamiques. Il comporte une partie de physique et une autre de chimie. · La partie de physique concerne les machines thermiques et les phénomènes de résistance thermique. L'approche par un cycle ditherme réversible ne rendant pas correctement compte des rendements des centrales électriques, on affine le modèle en tenant compte de résistances thermiques entre la source chaude et le fluide. On calcule alors le rendement à puissance maximale, qui est à nouveau comparé aux rendements des diverses centrales thermiques. · La partie de chimie traite du rendement thermodynamique des piles, en s'attachant spécifiquement au cas de la pile à combustible, fondée sur la réaction du dihydrogène et du dioxygène. L'outil principal de cette étude est la thermodynamique chimique. À côté de plusieurs questions de cours concernant les définitions de diverses grandeurs thermodynamiques, on trouve un certain nombre de calculs classiques (énergies de liaison, application des premier et deuxième principes de la thermodynamique, calcul d'une température de flamme). Il est assez fréquent que les résultats d'une question soient réemployés par la suite, ce qui impose une résolution linéaire. Notons la présence d'un grand nombre de questions incitant à une discussion relativement ouverte. Le second problème, d'électrostatique, commence par une « résolution de problème » qui permet de mettre en regard l'énergie électrique de la foudre et l'énergie nécessaire à la propulsion d'un TGV. On modélise ensuite les réactions de fission nucléaire d'un point de vue électrostatique grâce au « modèle de la goutte liquide » : on considère que les noyaux sont des boules uniformément chargées en volume. Ce modèle permet d'estimer l'énergie libérée lors d'une réaction de fission. Bien guidé, ce sujet n'est ni particulièrement difficile, ni très original. Seule la dernière sous-partie, consacrée à une approche électrostatique des réactions de fission nucléaire, peut dérouter puisque les réactions nucléaires ne sont étudiées qu'en terminale. Cependant en dehors d'une question « culturelle », aucune connaissance spécifique n'était requise. Indications Premier problème A.4 Ne pas oublier d'utiliser des températures en kelvins. B.5 Intégrer la loi de Fourier. C.1 Commencer par relier Qc , Jq et tc . Utiliser ensuite le résultat de la question I.B.6. C.3 Utiliser la question I.C.1, le premier principe et le second principe. C.4 Étudier la dérivée de la puissance moyenne Pm . D.4 Attention aux signes ! D.5 Le seul travail est celui des forces de pression : W = -P0 dV. D.7 Décomposer le processus en deux étapes : réaction à température fixée puis échauffement des différents composants du milieu. E.5 Le travail total est maintenant la somme du travail électrique et du travail des forces de pression. L'application du deuxième principe donne une limite pour la valeur de la quantité de chaleur échangée. F.1 Le rendement thermodynamique d'une pile est défini par l'énoncé au début de la partie D, celui d'une machine ditherme fait l'objet de la question A.2. F.3 La réponse à la question E.4 est utile ici. F.4 Dans une pile de concentration, la même demi-équation électronique prend place aux deux pôles de la pile. Second problème G.1 Assimiler l'ensemble constitué par le nuage et le sol à un condensateur plan. H.1 Les invariances de la distribution de charge sont les invariances d'une boule. H.3 Appliquer le théorème de Gauss. J.2 Utiliser la densité volumique de nucléons dans le noyau µ. J.4 Quels noyaux peuvent être concernés par une réaction de fusion ? Optimisation de rendements thermodynamiques Rendement à puissance maximale A.1 Le moteur fournit du travail à l'extérieur. Par conséquent, W<0 Par ailleurs, pour un moteur, le système reçoit un transfert thermique de la source chaude (combustion de l'essence) et en cède à la source froide (l'extérieur), d'où Qf 6 0 et Qc > 0 Dans un moteur ditherme, la source chaude apporte l'énergie thermique nécessaire au fonctionnement de la machine. La source froide permet d'évacuer le surplus de chaleur, ce sont des pertes thermiques. A.2 Le rendement de ce moteur est le rapport de l'énergie mécanique fournie à l'extérieur sur l'énergie thermique nécessaire, soit = -W Qc Le rendement maximal max est obtenu pour un cycle réversible et s'écrit max = 1 - Tf Tc A.3 Lors d'une transformation isotherme, l'équilibre thermique est toujours réalisé : les transferts thermiques sont donc infiniment lents, ce qui implique une machine thermique de puissance nulle. En outre, pour que le fluide et le thermostat soient à la même température lors des phases isothermes, il faut que les transferts thermiques soient parfaits. En d'autres termes, les parois de l'échangeur thermique entre le fluide et le thermostat doivent être parfaitement diathermanes : elles ne doivent pas présenter de résistance thermique, ce qui n'est pas raisonnable industriellement. En effet, il est très difficile de concevoir une paroi qui présente à la fois une résistance thermique nulle (donc infiniment fine) et une bonne résistance mécanique. A.4 Calculons le rendement maximal max de ces trois centrales électriques. Centrale Tf Tc obs max charbon 298 K 838 K 0,36 0,64 nucléaire 298 K 573 K 0,3 0,48 géothermique 353 K 523 K 0,16 0,33 On constate que le rendement effectivement observé est près de deux fois inférieur au rendement maximal pour un cycle réversible. De nombreuses sources d'irréversibilité sont présentes dans ces installations industrielles : les transferts thermiques et les frottements mécaniques notamment. Par ailleurs, le rendement maximal est atteint à puissance nulle ce qui est en contradiction avec l'objectif d'une centrale électrique. B.1 La loi de Fourier est une relation de proportionnalité entre la densité de courant thermique et le gradient de température. Elle s'écrit -- - q = - grad T La température s'exprime en kelvins (K), la densité de courant thermique est une puissance par unité de surface, elle s'exprime en W.m-2 . On en déduit la dimension de la conductivité thermique : - -2 q P L = -- = = P L-1 T-1 -1 TL grad T L'unité de la conductivité thermique est le W.m-1.K-1 . De plus, l'eau et le béton ont une conductivité thermique de 0,6 et 1 W.m-1 .K-1 respectivement. B.2 On représente la canalisation dans le plan yOz et dans le plan xOy : Tc - ey - e - er r2 Tc r1 Tc - ex Tc z=0 z=L La longueur L du cylindre est grande devant les autres dimensions du problème, ce qui revient à considérer que les grandeurs physiques sont indépendantes de la coordonnée z. Par ailleurs, l'invariance par rotation d'angle de la géométrie cylindrique du problème permet d'établir que la distribution de température T(r) est purement radiale. On montre ainsi que -- - q (r, , z) = - grad T(r) = - d'où dT(r) - er dr - q (r, , z) = j q (r) - er