E3A Physique et Chimie PSI 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Alexandre Hérault (Professeur en CPGE). Conforme au nouveau programme, ce sujet, composé de trois grandes parties indépendantes, s'intéresse à quelques aspects de l'isolation. · Dans la première partie, on étudie l'isolation thermique d'un bâtiment, en particulier au niveau des murs. Après une étude analytique du mur simple, qui vise à redémontrer les résultats essentiels et à réintroduire la notion de résistance thermique, on s'intéresse à un mur composé de plusieurs couches en vue de le rendre beaucoup plus isolant. On termine par quelques considérations sur les transferts radiatifs et conducto-convectifs, qui modifient à la marge les résultats précédemment obtenus, et par une analyse qualitative de l'intérêt, en montagne, d'une isolation par l'intérieur ou par l'extérieur du mur. · L'isolation phonique d'une voie de chemin de fer constitue le thème de la deuxième partie. On commence par le calcul des coefficients de transmission et de réflexion en énergie lorsqu'une onde sonore rencontre un obstacle qui peut osciller. On modélise cet obstacle par une plaque mince qui peut se déplacer sous l'influence d'une onde sonore. Après avoir validé des simplifications dans le calcul théorique, on étudie numériquement les effets d'une barrière anti-bruit. · La dernière partie s'intéresse à la chimie de la silice, qui est le composant principal de la « laine de verre », connue pour ses propriétés d'isolation thermique. Après quelques considérations sur la structure cristallographique du silicium et de la silice, on s'intéresse à la thermodynamique des réactions de fabrication de la silice ultrapure. Cette partie se termine par une courte approche de cinétique chimique. Ce sujet est long mais contient peu de questions difficiles et présente l'avantage d'aborder trois domaines distincts du programme. Soulignons l'importance des considérations numériques, toutes appuyées sur des exemples concrets et réalistes, ce qui en fait un problème de travail agréable. Indications Partie I ZZ - - = J th · d S A4 Par définition, S A5 L'intensité du courant électrique est le flux du vecteur densité de courant de conduction - à travers une section d'un conducteur. A6 On a simplement U= Jth T B2 Vérifier que les résistances thermiques correspondant à chaque partie du mur sont associées en série. B4 Appliquer la relation analogue au diviseur de tension en électrocinétique. C2 Utiliser à nouveau le diviseur de tension. Partie II E3 Écrire la forme linéarisée de l'équation d'Euler pour justifier la proportionnalité, pour une onde plane progressive harmonique, des champs de pression et de vitesse. E5 Petite coquille dans l'énoncé : la vitesse de la paroi est selon (Ox), pas (Oz). Prendre en compte le fait que la paroi est à la position xM (t) et non en 0. E7 Dériver l'expression de la vitesse (obtenue à la question E5) qui fait intervenir At puis la dériver par rapport au temps pour obtenir l'accélération. Ne pas oublier que xM dépend du temps. E12 L'intensité est algébrique, comptée positivement dans le sens des x croissants. F3 Pour déterminer le niveau sonore global, calculer les différentes intensités sonores puis les sommer. En effet, il n'y a pas de relation simple entre les L donnés pour les différentes octaves et LG . F5 Le matériau n'étant a priori pas le même, l'utilisation de la relation approchée pour T n'est pas garantie. Supposer que l'on peut tout de même l'utiliser et valider a posteriori ce choix à partir de la fréquence f0 déterminée. Partie III G2 La coordinence est le nombre de voisins les plus proches. Dans le cas présent, il faut considérer l'atome dans un site tétraédrique et ses quatre voisins. H2 On rappelle que l'enthalpie libre de réaction r G est liée à l'enthalpie libre standard de réaction r G et au quotient de réaction Q par r G = r G + RT ln Q H5 La réaction [4] est la même que la réaction [2] mais considérée dans l'autre sens. 2[SiCl4 ]0 - [Cl2 ](t) H8 Montrer que ln est une fonction linéaire du temps t. 2[SiCl4 ]0 H9 Déterminer la durée pendant laquelle les fluides sont chauffés (et donc la durée pendant laquelle la réaction d'oxydation peut se produire). I. Isolation thermique A. Étude du mur simple A1 Soit une tranche de mur de section S et d'épaisseur dx. En l'absence de source thermique à l'intérieur du mur, ce système reçoit la puissance Jth (x) S par la gauche et cède la puissance Jth (x + dx) S par la droite. - Jth (x) x - Jth (x + dx) x + dx En régime permanent, l'énergie de ce système est constante donc dH = 0 = Jth (x) S dt - Jth (x + dx) S dt dJth =0 dx Ainsi, - dT - ex J th = - dx D'après la loi de Fourier d2 T =0 dx2 d'où A2 Une double intégration de cette équation différentielle conduit, en notant A et B deux constantes d'intégration, à T(x) = A x + B Les conditions aux limites s'écrivent T(0) = Tint ce qui donne et T(x) = Tint - T(eB ) = Text Tint - Text x eB On obtient un profil linéaire de température, indépendant des caractéristiques du mur. A3 D'après la loi de Fourier, d'où - dT - J th = - ex dx - Tint - Text - J th = ex eB Le flux thermique est orienté selon +- ex puisque Tint > Text , ce qui est conforme au second principe de la thermodynamique (le flux thermique est naturellement orienté des sources les plus chaudes vers les plus froides). A4 Par définition, = ZZ - - J th · d S S Le flux étant uniforme sur toute la surface S, il vient = S (Tint - Text ) eB A5 En électricité, on définit l'intensité du courant électrique par ZZ - - I= · dS S - est le vecteur densité de courant de conduction. On peut donc faire une analogie où avec le flux thermique . L'analogue de la différence de température est la différence de potentiel V. I est analogue à et V à Tint - Text . Pour avoir une analogie valide, il faut que les équations qui lient les grandeurs soient de même forme. La question précédente montre que est proportionnel à Tint - Text , de la même façon que I est proportionnel à V dans un conducteur ohmique via la loi d'Ohm. De la même façon, on peut définir la notion de résistance hydraulique puisque le débit d'une canalisation est (souvent) proportionnel à la différence de pression entre l'entrée et la sortie. Un des intérêts de la notion de « résistance », c'est de pouvoir raisonner avec les associations usuelles en électrocinétique (série/parallèle). Avec la définition proposée, Rth = eB T = Jth D'après l'unité de , on déduit que Rth s'exprime en m2 .K.W-1. La résistance thermique est définie par r= T et elle s'exprime en K.W-1 . Il ne faut pas se laisser emporter par la dénomination « surfacique » et affecter un simple m-2 . En effet, à différence de température fixée, plus la surface est grande, plus le flux thermique est grand donc plus la résistance thermique est faible. A6 Application numérique : Jth = 298 W.m-2 La déperdition d'énergie est très importante avec du béton brut. Si l'on considère une maison à un seul étage (2,50 m de haut) ayant pour dimensions au sol 6 m × 6 m, cela représente presque 18 kW de pertes thermiques pour les seuls murs latéraux ! Ce n'est évidemment pas tenable (la puissance souscrite auprès d'un fournisseur d'électricité d'un foyer qui se chauffe à l'électricité est de 12 ou 15 kW en général, rarement plus.), d'autant que cette « maison » n'offre au mieux que 36 m2 de surface habitable.
