E3A Physique et Chimie PSI 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Alexandre Hérault (Professeur en CPGE).
Conforme au nouveau programme, ce sujet, composé de trois grandes parties
indépendantes, s'intéresse à quelques aspects de l'isolation.
· Dans la première partie, on étudie l'isolation thermique d'un bâtiment, en
particulier au niveau des murs. Après une étude analytique du mur simple, qui
vise
à redémontrer les résultats essentiels et à réintroduire la notion de résistance
thermique, on s'intéresse à un mur composé de plusieurs couches en vue de
le rendre beaucoup plus isolant. On termine par quelques considérations sur
les transferts radiatifs et conducto-convectifs, qui modifient à la marge les
résultats précédemment obtenus, et par une analyse qualitative de l'intérêt, en
montagne, d'une isolation par l'intérieur ou par l'extérieur du mur.
· L'isolation phonique d'une voie de chemin de fer constitue le thème de la
deuxième partie. On commence par le calcul des coefficients de transmission et
de réflexion en énergie lorsqu'une onde sonore rencontre un obstacle qui peut
osciller. On modélise cet obstacle par une plaque mince qui peut se déplacer
sous l'influence d'une onde sonore. Après avoir validé des simplifications dans
le
calcul théorique, on étudie numériquement les effets d'une barrière anti-bruit.
· La dernière partie s'intéresse à la chimie de la silice, qui est le composant
principal de la « laine de verre », connue pour ses propriétés d'isolation
thermique.
Après quelques considérations sur la structure cristallographique du silicium et
de la silice, on s'intéresse à la thermodynamique des réactions de fabrication
de
la silice ultrapure. Cette partie se termine par une courte approche de
cinétique
chimique.
Ce sujet est long mais contient peu de questions difficiles et présente
l'avantage
d'aborder trois domaines distincts du programme. Soulignons l'importance des
considérations numériques, toutes appuyées sur des exemples concrets et
réalistes, ce qui
en fait un problème de travail agréable.
Indications
Partie I
ZZ
-
-
=
J th · d S
A4 Par définition,
S
A5 L'intensité du courant électrique est le flux du vecteur densité de courant
de
conduction -
à travers une section d'un conducteur.
A6 On a simplement
U=
Jth
T
B2 Vérifier que les résistances thermiques correspondant à chaque partie du mur
sont associées en série.
B4 Appliquer la relation analogue au diviseur de tension en électrocinétique.
C2 Utiliser à nouveau le diviseur de tension.
Partie II
E3 Écrire la forme linéarisée de l'équation d'Euler pour justifier la
proportionnalité,
pour une onde plane progressive harmonique, des champs de pression et de
vitesse.
E5 Petite coquille dans l'énoncé : la vitesse de la paroi est selon (Ox), pas
(Oz).
Prendre en compte le fait que la paroi est à la position xM (t) et non en 0.
E7 Dériver l'expression de la vitesse (obtenue à la question E5) qui fait
intervenir At
puis la dériver par rapport au temps pour obtenir l'accélération. Ne pas oublier
que xM dépend du temps.
E12 L'intensité est algébrique, comptée positivement dans le sens des x
croissants.
F3 Pour déterminer le niveau sonore global, calculer les différentes intensités
sonores
puis les sommer. En effet, il n'y a pas de relation simple entre les L donnés
pour
les différentes octaves et LG .
F5 Le matériau n'étant a priori pas le même, l'utilisation de la relation
approchée
pour T n'est pas garantie. Supposer que l'on peut tout de même l'utiliser et
valider a posteriori ce choix à partir de la fréquence f0 déterminée.
Partie III
G2 La coordinence est le nombre de voisins les plus proches. Dans le cas
présent, il
faut considérer l'atome dans un site tétraédrique et ses quatre voisins.
H2 On rappelle que l'enthalpie libre de réaction r G est liée à l'enthalpie
libre
standard de réaction r G et au quotient de réaction Q par
r G = r G + RT ln Q
H5 La réaction [4] est la même que la réaction [2] mais considérée dans l'autre
sens.
2[SiCl4 ]0 - [Cl2 ](t)
H8 Montrer que ln
est une fonction linéaire du temps t.
2[SiCl4 ]0
H9 Déterminer la durée pendant laquelle les fluides sont chauffés (et donc la
durée
pendant laquelle la réaction d'oxydation peut se produire).
I. Isolation thermique
A.
Étude du mur simple
A1 Soit une tranche de mur de section S et d'épaisseur dx. En l'absence de
source
thermique à l'intérieur du mur, ce système reçoit la puissance Jth (x) S par la
gauche
et cède la puissance Jth (x + dx) S par la droite.
-
Jth (x)
x
-
Jth (x + dx)
x + dx
En régime permanent, l'énergie de ce système est constante donc
dH = 0 = Jth (x) S dt - Jth (x + dx) S dt
dJth
=0
dx
Ainsi,
-
dT -
ex
J th = -
dx
D'après la loi de Fourier
d2 T
=0
dx2
d'où
A2 Une double intégration de cette équation différentielle conduit, en notant A
et B deux constantes d'intégration, à
T(x) = A x + B
Les conditions aux limites s'écrivent
T(0) = Tint
ce qui donne
et
T(x) = Tint -
T(eB ) = Text
Tint - Text
x
eB
On obtient un profil linéaire de température, indépendant des caractéristiques
du mur.
A3 D'après la loi de Fourier,
d'où
-
dT -
J th = -
ex
dx
-
Tint - Text -
J th =
ex
eB
Le flux thermique est orienté selon +-
ex puisque Tint > Text , ce qui est conforme au
second principe de la thermodynamique (le flux thermique est naturellement
orienté
des sources les plus chaudes vers les plus froides).
A4 Par définition,
=
ZZ
-
-
J th · d S
S
Le flux étant uniforme sur toute la surface S, il vient
=
S
(Tint - Text )
eB
A5 En électricité, on définit l'intensité du courant électrique par
ZZ
-
-
I=
· dS
S
- est le vecteur densité de courant de conduction. On peut donc faire une
analogie
où
avec le flux thermique . L'analogue de la différence de température est la
différence
de potentiel V.
I est analogue à et V à Tint - Text .
Pour avoir une analogie valide, il faut que les équations qui lient les
grandeurs
soient de même forme. La question précédente montre que est proportionnel à
Tint - Text , de la même façon que I est proportionnel à V dans un
conducteur ohmique via la loi d'Ohm. De la même façon, on peut définir
la notion de résistance hydraulique puisque le débit d'une canalisation est
(souvent) proportionnel à la différence de pression entre l'entrée et la sortie.
Un des intérêts de la notion de « résistance », c'est de pouvoir raisonner avec
les associations usuelles en électrocinétique (série/parallèle).
Avec la définition proposée,
Rth =
eB
T
=
Jth
D'après l'unité de , on déduit que Rth s'exprime en m2 .K.W-1.
La résistance thermique est définie par
r=
T
et elle s'exprime en K.W-1 . Il ne faut pas se laisser emporter par la
dénomination « surfacique » et affecter un simple m-2 . En effet, à différence
de
température fixée, plus la surface est grande, plus le flux thermique est grand
donc plus la résistance thermique est faible.
A6 Application numérique :
Jth = 298 W.m-2
La déperdition d'énergie est très importante avec du béton brut. Si l'on
considère une maison à un seul étage (2,50 m de haut) ayant pour dimensions au
sol 6 m × 6 m, cela représente presque 18 kW de pertes thermiques pour les
seuls murs latéraux ! Ce n'est évidemment pas tenable (la puissance souscrite
auprès d'un fournisseur d'électricité d'un foyer qui se chauffe à l'électricité
est de 12 ou 15 kW en général, rarement plus.), d'autant que cette « maison »
n'offre au mieux que 36 m2 de surface habitable.
