E3A Physique et Chimie PSI 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Étienne Thibierge (ENS Lyon) et Tiphaine Weber (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Jérôme Lambert (Enseignantchercheur à l'université), Christelle Serba (ENS Lyon), Vincent Freulon (ENS Ulm) et Laure-Lise Chapellet (ENS Lyon). Ce problème propose d'étudier les glaciers sous plusieurs aspects : leur dynamique, les méthodes modernes utilisées par les glaciologues pour leur suivi, et la structure microscopique de la glace. Il se compose de trois parties, deux portant sur la physique et une sur la chimie. · La partie I modélise la dynamique des glaciers en les considérant comme des fluides newtoniens de très grande viscosité cinématique. L'objectif est d'obtenir la valeur de cette viscosité à partir de relevés expérimentaux de leur avancée annuelle. On commence par dégager certaines caractéristiques des écoulements de fluides très visqueux le long d'un plan incliné infini, avant de passer à un modèle plus réaliste dans lequel l'écoulement est limité à un canal de largeur finie. Les questions sont classiques, de difficulté progressive et habituelle à ce niveau. · On s'intéresse ensuite dans la partie II au projet megator de suivi satellitaire d'un glacier alpin par interférométrie d'ondes radar. On commence par retrouver des résultats sur l'expérience des trous d'Young en lumière visible, puis on présente le dispositif satellitaire et on explique comment une telle technique permet de reconstruire une image tridimensionnelle du glacier. Le début est proche du cours et le saut en difficulté est brutal lorsque l'on aborde la souspartie D, qui demande une compréhension fine d'un dispositif inhabituel et qui peut être qualifiée de difficile. · La troisième partie de ce problème s'intéresse à l'étude chimique de l'eau. Elle aborde sa structure, à l'aide de questions d'atomistique, puis la formation de la glace d'un point de vue thermodynamique et enfin cristallographique. Les questions sur le moment dipolaire de la liaison O-H, la structure cristallographique de la glace diamant et l'utilisation en thermodynamique du diagramme de Clapeyron sont classiques. L'ensemble permet d'évaluer sa connaissance et sa compréhension du cours ; quelques questions plus ouvertes nécessitent une certaine culture scientifique. Pour avancer rapidement, il était utile de connaître les principaux résultats classiques. Indications Première partie A.5. Penser à une invariance par translation de l'écoulement. A.7. Pour un fluide newtonien, la contrainte de cisaillement, qui est une contrainte dvx tangentielle, est proportionnelle au taux de cisaillement . dz A.10. On peut calculer le débit volumique en imaginant que le champ des vitesses de l'écoulement est uniforme, égal à la vitesse moyenne en tout point. A.11. On peut comparer l'énergie cinétique d'un volume de fluide au travail de la force visqueuse. dv v B.3. L'énoncé est imprécis. Il faut lire au lieu de . z dz B.6. La vitesse moyenne mesurée est celle du point le plus rapide du glacier . . . qui ne se déplace pas à v0 . Deuxième partie C.2. Le rapport z/D est un infiniment petit d'ordre 1. D.5. Analyser soigneusement la définition de R en termes de chemins optiques pour pouvoir dégager des analogies avec les trous d'Young. R s'interprète plutôt comme une différence de différences de marche entre un point Q et un point de référence P que comme une simple différence de marche entre deux chemins optiques. D.7. Il peut être utile de remarquer que R1 = R(z = Cte ). D.9. Les photographies représentent les interférences obtenues dans un plan (x, y). La direction horizontale est x, la direction verticale est y. L'axe z sort de la feuille. Troisième partie E.3 Projeter les moments dipolaires des liaisons sur le moment dipolaire total. E.4 Calculer le moment dipolaire d'une liaison purement ionique. F.1 Utiliser un calcul de variance. F.3 À l'équilibre de changement de phase, la relation suivante est vérifiée : g (liq) = g (s) F.6 Attention, une mole de sel se dissocie en deux moles d'ions en se dissolvant. G.3 Le centre d'un tétraèdre régulier se situe aux trois quarts de sa hauteur. G.7 L'utilisation d'un dessin projeté rend beaucoup plus facile le décompte des atomes d'oxygène. G.8 L'agencement local des molécules d'eau est encore tétraédrique. Le contact entre deux molécules se fait donc le long de la grande diagonale. I. Écoulement d'un glacier A. Étude préliminaire (écoulement d'une couche de miel) A.1 Le moteur de l'écoulement est la pesanteur, et dans le repère choisi - g n'a pas - de composante selon ey . Le système étant en outre invariant par translation le long de l'axe Oy, on en déduit que - v (M) est inclus dans le plan (M, - ex , - ez ). Par ailleurs, l'épaisseur de fluide est supposée uniforme (indépendante de x et de y) et constante (indépendante du temps). Il ne peut donc pas y avoir d'écoulement dans la direction z, ce qui permet de dire que - v (M) est inclus dans le plan (M, - ex , - ey ). - - On trouve donc que v (M) est orienté parallèlement à ex . Enfin, l'écoulement se fait dans le sens des x croissants : le fluide ne peut pas remonter la pente spontanément. Les lignes de courant étant tangentes au vecteur vitesse en tout point, on en déduit que Les lignes de courant sont les droites parallèles à l'axe des x et orientées vers les x positifs. A.2 À la question précédente, on a montré que - v (M) = v(x, y, z) - ex Montrons maintenant que v ne dépend ni de x ni de y. Utilisons d'abord l'équation de conservation de la masse, qui s'écrit pour un écoulement incompressible vx vy vz - div v = + + =0 x y z Dans le cas présent, cette équation se simplifie en v =0 x ce qui indique que v ne dépend pas de x. En outre, en supposant le fluide infini le long de la direction y, le problème est invariant par translation dans cette direction. On en déduit que v ne dépend pas non plus de y. Ainsi, il reste seulement - v (M) = v(z) - ex A.3 Écrivons l'équation de Navier-Stokes en explicitant la dérivée particulaire, " # -- - -- - v - + ( v · grad ) v = - grad P + - g + - v t Cette équation se simplifie beaucoup dans le cas présent : · L'écoulement étant stationnaire, la dérivée temporelle est nulle. · Le terme d'accélération convective est nul également. En effet, -- - - - ( v · grad ) v = vx v(z) - ex = 0 x · Le champ des vitesses ne dépendant que de z, son laplacien peut s'écrire comme une dérivée droite. Finalement, l'équation de Navier-Stokes se simplifie en -- - d2 - v - 0 = - grad P + g + dz 2 - A.4 L'accélération de la pesanteur g se projette sous la forme - g = g sin - ex - g cos - ez On peut s'assurer que les signes et les fonctions trigonométriques sont les bons en regardant les cas limites = 0 et = /2. La forme du champ des vitesses trouvée à la question A.2 et l'équation obtenue à la -- question A.3 permettent d'exprimer les composantes de grad P comme P d2 v = g sin + x dz 2 P =0 y P = -g cos z A.5 La pression dépend a priori des trois variables d'espace : P = P(x, y, z). Néanmoins, la nullité de sa dérivée partielle par rapport à y indique que le champ de pression n'en dépend pas. Par ailleurs, la continuité de la pression en z = h impose que pour tout x, P(x, h) = Patm . Par ailleurs, P = -g cos z P(x, z) = -g cos z + P1 (x) donc où P1 (x) est une fonction à déterminer. Or à l'interface avec l'air la pression dans le fluide est égale à la pression atmosphérique Patm pour toute valeur de x. Ainsi, P(x, h) = Patm = - g cos h + P1 (x) On en déduit P1 (x) = Patm + g cos h Ainsi le champ de pression dans l'écoulement ne dépend que de z, et P(z) = Patm + g cos (h - z) Remarquons que ce résultat n'est autre que la loi de l'hydrostatique formulée dans le repère tourné de l'angle . Trois caractéristiques de l'écoulement se combinent pour donner ce résultat : · il est stationnaire ; · aucune différence de pression n'est imposée ; · sa géométrie impose la nullité du terme d'accélération convective, qui pourrait ajouter une composante dynamique à la pression.
