E3A Physique et Chimie PSI 2013

Thme de l'preuve tude et observation de l'coulement d'un glacier. Mouvement d'un glacier.
Principaux outils utiliss mcanique des fluides, viscosit, interfrences deux ondes, cristallographie, atomistique, potentiel chimique, thermodynamique, diagrammes de phases
Mots clefs interfrences, satellite, glacier, liaison hydrogne, glace diamant, glace hexagonale, eau

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc complet

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Rapport du jury

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


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Qmmo...m...m ......Em :: .c...m=. 3m...m m.mms...m Qmm S lie  la propagation du signal de 8 jusqu' 8 aprs rtrodiffusion en P, en fonction de d : SP, XR et (Dpropoe. L'interfromtrie radar est base sur l'utilisation d'un couple d'images radar acquises simultanment sur une mme zone et sous des incidences trs proches par deux satellites ER81 et ERSZ {Figure 6bl. La premire image acquise est appele image matresse tandis que la seconde est l'image esclave. L'interfromtrie utilise la diffrence de phase entre ces deux images de la mme zone. L'interfrogramme est une figure d'interfrence (voir figure 7) ; c'est l'image des diffrences de phase existant en chaque pixel entre l'image matresse et l'image esclave. Lorsque la phase propre OEprop,e est constante, les dphasages obtenus par soustraction et observs sur l'interfrogramme sont fonction uniquement de la distribution et du relief des points au sol. D_2= Montrer que, ds lors que .moe.mw bmw OEm && oem$oeoe @: 5333 mmoe .... & mmoe  QE. m::m_ $Em ...: Q@x oooevom3  c: ...:83msom. Om am:=m_... mm_ ooBvoezm mmoe ....8OE %.ooe 9..Qoeoeoeo:m Qu=$oe 3 Sbwmoe $oe S....oe8meEoeoe 833...m m. 5  b:.mm % <=m @ Q.oe oo=m m=moessm .. 33 5 Qm.oe0&... \_moeomwmm oum> nm b8b8 ...... E no=oe oe... om. 853... m: m2 SS mS.oS % $ oo=m. Um. Em:OE ooem o:o:mm...  __m...am am _fi._m 01=m Um _|> Qr>0m _... \ MAWCOAC_Nm Um r...m>OE ECC--Um 5 505.025 Q...oem: boeS mbbB3m:.mOEo: Qm. :oe m.mOEo: 3fi8:oe. ml...h _u_do...oemq $ 839103 a...mx...oe$:noe a.c:m $:oe =m...mo:... m...:...... ncm moa 0333 a.mozo= 9 mm a=mo::mm. O=OE amoe oczmoe o:...nmoe m.... U:102 Um r.m>: rm OE.m%oz % mooeoe: % \.oemz m.oe...o .. I...O " IMO@ . mE mo...m9 m... 025 mo: m.oeooe  333588 oo:oe$2m oc :o: ... ...:ac2 _m 9835 pc... oo:a=...o=:m om:m ....m3n9mE. 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 E3A Physique et Chimie PSI 2013 -- Corrig Ce corrig est propos par tienne Thibierge (ENS Lyon) et Tiphaine Weber (Enseignant-chercheur  l'universit) ; il a t relu par Jrme Lambert (Enseignantchercheur  l'universit), Christelle Serba (ENS Lyon), Vincent Freulon (ENS Ulm) et Laure-Lise Chapellet (ENS Lyon). Ce problme propose d'tudier les glaciers sous plusieurs aspects : leur dynamique, les mthodes modernes utilises par les glaciologues pour leur suivi, et la structure microscopique de la glace. Il se compose de trois parties, deux portant sur la physique et une sur la chimie.  La partie I modlise la dynamique des glaciers en les considrant comme des fluides newtoniens de trs grande viscosit cinmatique. L'objectif est d'obtenir la valeur de cette viscosit  partir de relevs exprimentaux de leur avance annuelle. On commence par dgager certaines caractristiques des coulements de fluides trs visqueux le long d'un plan inclin infini, avant de passer  un modle plus raliste dans lequel l'coulement est limit  un canal de largeur finie. Les questions sont classiques, de difficult progressive et habituelle  ce niveau.  On s'intresse ensuite dans la partie II au projet megator de suivi satellitaire d'un glacier alpin par interfromtrie d'ondes radar. On commence par retrouver des rsultats sur l'exprience des trous d'Young en lumire visible, puis on prsente le dispositif satellitaire et on explique comment une telle technique permet de reconstruire une image tridimensionnelle du glacier. Le dbut est proche du cours et le saut en difficult est brutal lorsque l'on aborde la souspartie D, qui demande une comprhension fine d'un dispositif inhabituel et qui peut tre qualifie de difficile.  La troisime partie de ce problme s'intresse  l'tude chimique de l'eau. Elle aborde sa structure,  l'aide de questions d'atomistique, puis la formation de la glace d'un point de vue thermodynamique et enfin cristallographique. Les questions sur le moment dipolaire de la liaison O-H, la structure cristallographique de la glace diamant et l'utilisation en thermodynamique du diagramme de Clapeyron sont classiques. L'ensemble permet d'valuer sa connaissance et sa comprhension du cours ; quelques questions plus ouvertes ncessitent une certaine culture scientifique. Pour avancer rapidement, il tait utile de connatre les principaux rsultats classiques. Indications Premire partie A.5. Penser  une invariance par translation de l'coulement. A.7. Pour un fluide newtonien, la contrainte de cisaillement, qui est une contrainte dvx tangentielle, est proportionnelle au taux de cisaillement . dz A.10. On peut calculer le dbit volumique en imaginant que le champ des vitesses de l'coulement est uniforme, gal  la vitesse moyenne en tout point. A.11. On peut comparer l'nergie cintique d'un volume de fluide au travail de la force visqueuse. dv v B.3. L'nonc est imprcis. Il faut lire au lieu de . z dz B.6. La vitesse moyenne mesure est celle du point le plus rapide du glacier . . . qui ne se dplace pas  v0 . Deuxime partie C.2. Le rapport z/D est un infiniment petit d'ordre 1. D.5. Analyser soigneusement la dfinition de R en termes de chemins optiques pour pouvoir dgager des analogies avec les trous d'Young. R s'interprte plutt comme une diffrence de diffrences de marche entre un point Q et un point de rfrence P que comme une simple diffrence de marche entre deux chemins optiques. D.7. Il peut tre utile de remarquer que R1 = R(z = Cte ). D.9. Les photographies reprsentent les interfrences obtenues dans un plan (x, y). La direction horizontale est x, la direction verticale est y. L'axe z sort de la feuille. Troisime partie E.3 Projeter les moments dipolaires des liaisons sur le moment dipolaire total. E.4 Calculer le moment dipolaire d'une liaison purement ionique. F.1 Utiliser un calcul de variance. F.3  l'quilibre de changement de phase, la relation suivante est vrifie : g (liq) = g (s) F.6 Attention, une mole de sel se dissocie en deux moles d'ions en se dissolvant. G.3 Le centre d'un ttradre rgulier se situe aux trois quarts de sa hauteur. G.7 L'utilisation d'un dessin projet rend beaucoup plus facile le dcompte des atomes d'oxygne. G.8 L'agencement local des molcules d'eau est encore ttradrique. Le contact entre deux molcules se fait donc le long de la grande diagonale. I. coulement d'un glacier A. tude prliminaire (coulement d'une couche de miel) A.1 Le moteur de l'coulement est la pesanteur, et dans le repre choisi - g n'a pas - de composante selon ey . Le systme tant en outre invariant par translation le long de l'axe Oy, on en dduit que - v (M) est inclus dans le plan (M, - ex , - ez ). Par ailleurs, l'paisseur de fluide est suppose uniforme (indpendante de x et de y) et constante (indpendante du temps). Il ne peut donc pas y avoir d'coulement dans la direction z, ce qui permet de dire que - v (M) est inclus dans le plan (M, - ex , - ey ). - - On trouve donc que v (M) est orient paralllement  ex . Enfin, l'coulement se fait dans le sens des x croissants : le fluide ne peut pas remonter la pente spontanment. Les lignes de courant tant tangentes au vecteur vitesse en tout point, on en dduit que Les lignes de courant sont les droites parallles  l'axe des x et orientes vers les x positifs. A.2  la question prcdente, on a montr que - v (M) = v(x, y, z) - ex Montrons maintenant que v ne dpend ni de x ni de y. Utilisons d'abord l'quation de conservation de la masse, qui s'crit pour un coulement incompressible vx vy vz - div v = + + =0 x y z Dans le cas prsent, cette quation se simplifie en v =0 x ce qui indique que v ne dpend pas de x. En outre, en supposant le fluide infini le long de la direction y, le problme est invariant par translation dans cette direction. On en dduit que v ne dpend pas non plus de y. Ainsi, il reste seulement - v (M) = v(z) - ex A.3 crivons l'quation de Navier-Stokes en explicitant la drive particulaire, " # -- - -- - v - + ( v  grad ) v = - grad P + - g + - v t Cette quation se simplifie beaucoup dans le cas prsent :  L'coulement tant stationnaire, la drive temporelle est nulle.  Le terme d'acclration convective est nul galement. En effet, -- - - - ( v  grad ) v = vx v(z) - ex = 0 x  Le champ des vitesses ne dpendant que de z, son laplacien peut s'crire comme une drive droite. Finalement, l'quation de Navier-Stokes se simplifie en -- - d2 - v - 0 = - grad P + g + dz 2 - A.4 L'acclration de la pesanteur g se projette sous la forme - g = g sin - ex - g cos - ez On peut s'assurer que les signes et les fonctions trigonomtriques sont les bons en regardant les cas limites = 0 et = /2. La forme du champ des vitesses trouve  la question A.2 et l'quation obtenue  la -- question A.3 permettent d'exprimer les composantes de grad P comme P d2 v = g sin + x dz 2 P =0 y P = -g cos z A.5 La pression dpend a priori des trois variables d'espace : P = P(x, y, z). Nanmoins, la nullit de sa drive partielle par rapport  y indique que le champ de pression n'en dpend pas. Par ailleurs, la continuit de la pression en z = h impose que pour tout x, P(x, h) = Patm . Par ailleurs, P = -g cos z P(x, z) = -g cos z + P1 (x) donc o P1 (x) est une fonction  dterminer. Or  l'interface avec l'air la pression dans le fluide est gale  la pression atmosphrique Patm pour toute valeur de x. Ainsi, P(x, h) = Patm = - g cos h + P1 (x) On en dduit P1 (x) = Patm + g cos h Ainsi le champ de pression dans l'coulement ne dpend que de z, et P(z) = Patm + g cos (h - z) Remarquons que ce rsultat n'est autre que la loi de l'hydrostatique formule dans le repre tourn de l'angle . Trois caractristiques de l'coulement se combinent pour donner ce rsultat :  il est stationnaire ;  aucune diffrence de pression n'est impose ;  sa gomtrie impose la nullit du terme d'acclration convective, qui pourrait ajouter une composante dynamique  la pression.