E3A Physique et Chimie PSI 2011

Thème de l'épreuve Étude d'une turbine à gaz
Principaux outils utilisés thermodynamique, électrocinétique, thermochimie, déplacement d'équilibres
Mots clefs cycle de Brayton, turbo-alternateur, rotor, stator, tension efficace, diagramme de Watt, diagramme entropique, cycle de Carnot, bilans, échangeur thermique, combustion du méthane, diagramme d'Ostwald

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 e 3 & CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE Épreuve de Physique - Chimie PSI Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est autorisé. A rendre avec la copie 1 document-réponse non plié Le problème, consacré au fonctionnement d'un générateur à turbine, se décompose en quatre volets : > la première partie, introductive, est consacrée à l'étude du cycle idéal de Carnot ; > la deuxième partie traite d'un générateur à turbine à gaz fonctionnant sur un cycle de Brayton ; l'énergie thermique des gaz sortant de la turbine est réutilisée pour améliorer le rendement de la turbine, c'est la régénération ; > les gaz d'échappement sont encore exploités pour une production combinée d'énergie thermique et d'énergie mécanique: c'est la cogénération en troisième partie; > la quatrième partie concerne, d'un point de vue chimique, la combustion de gaz naturel dans la turbine. Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que : . les explications des phénomènes étudiés intewiennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés ; . tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions ; - tOut résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, même s'il n'a pas été démontré par le(la) candidat(e) ; . les données numériques de chimie sont regroupées àla fin dela partie chimie ; . un document--réponse (en partie chimie) devra être complété puis remis avec la copie. Les industries, les hôpitaux et les villes sont des sites qui ont besoin d'un apport d'énergie très important : les consommations d'électricité, de chaleur ou de froid y sont nécessaires conjointement. De petites turbines à gaz intégrées à de grands immeubles, à des quartiers administratifs, à des centres commerciaux ou à des usines assurent la stabilité et le contrôle local de leurs productions. La cogénération a l'avantage d'exploiter la chaleur dégagée par les gaz d'échappement, habituellement dissipée dans l'environnement, pour délivrer de façon combinée de l'énergie thermique et de l'énergie mécanique. L'une peut être utilisée pour le chauffage des immeubles, alors que l'autre produit de l'électricité par couplage avec un alternateur. " PREMIERE PARTIE CYCLE DE CARNOT A I Diagramme de Watt Le cycle réversible de Carnot décrit parle fluide est constitué des quatre transformations : > deux isothermes (1-->1') et (2--+2') de températures respectives T1 et T2 ( T2 < T, ) au cours desquelles sont échangés les transferts thermiques respectifs Q1 et Q2 ; > deux adiabatiques (1 '---->2) et (2'--> 1) joignant les deux isothermes. Ce cycle moteur est représenté dans le diagramme de Watt (P, V), visual/sant la pression P du gaz en fonction du volume V qu'il occupe. A1_. Comparer qualitativement les pentes des tangentes aux courbes représentant une isotherme et une adiabatique réversible en un point commun du diagramme (P,V). Cette propriété étant indépendante de la nature du fluide, exprimer, dans le cas du gaz parfait, le rapport de ces deux pentes en fonction du rapport y de ses capacités thermiques à pression et volume constants. Ag, En déduire la représentation du cycle moteur de Carnot en précisant son orientation, les états 1, 1', 2 et 2' du fluide, les isothermes T1 et T2. Que représente l'aire du cycle ? & Définir le rendement n de ce cycle puis l'exprimer en fonction des températures T1 et T2. Calculer sa valeur pour "l', = 1300 K et T2 : 300 K. A4. Ce rendement dépend--il de la nature du fluide considéré ? Justifier que la valeur du rendement de Carnot ne peut être dépassée par aucun moteur réel fonctionnant entre les deux mêmes sources de chaleur. B I Diagramme entropique Le diagramme entropique ( T, S) est la représentation de la température T en fonction de l'entropie S du système étudié. _B_L Montrer que, lorsque la transformation subie par le fluide thermique est adiabatique et réversible, son entropie est conservée. _B_A Représenter le cycle de Carnot dans le diagramme (T,S) en précisant son orientation, les états 1, 1', 2 et 2' du fluide, les températures T, et T2 ainsi que les entropies maximale et minimale du système, notées respectivement Smax et S....... 83. Exprimer AS1_,1» et ASZ_.2-- en fonction de S...ax et S......, puis en fonction de Q1, Q2, T, et T2. _B__£_I_= Comparer, en le justifiant, l'aire de ce cycle réversible à l'aire du cycle visualisé en diagramme de Watt. Retrouver l'expression du rendement de Carnot par une méthode graphique. DEUXIEME PARTIE ETUDE D'UN GENERATEUR A TURBINE A GAZ Le schéma simplifié du générateur à turbine (figure 1 ) est représenté ci--dessous : carburant éthane) prise d'air . . évacuation des gaz atmosphenque 4 alternateur Figure 1 arbre de transmission L'énergie thermique est fournie dans la chambre de combustion et l'énergie mécanique est récupérée sur l'arbre de transmission de la turbine pour entraîner le compresseur et actionner l'alternateur. Les éléments de la turbine à gaz (compresseur, chambre de combustion, turbine, échangeurs thermiques) traversés parle fluide en écoulement sont des systèmes ouverts. C I Premier principe pour un système ouvert Les hypothèses suivantes seront adoptées tout au long du problème : > le régime de fonctionnement de la machine est permanent ; > les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur du fluide traversant chaque partie du dispositif sont négligeables devant les autres formes d'énergie. Schéma de principe : (figure 2) titilî+dî> -----9--MF' ... 2 ï:(t+dti Le volume de contrôle A'BCD' définit le système machine ouvert 20. La masse de fluide gazeux contenue dans ce volume est notée mo (t) àla date t et mo (t + dt) a la date t+ dt. Le fluide s'écoule du réservoir de pression Pe au réservoir de pression Ps ( Pe > PS ) : pendant la durée dt, une masse 5mê {contenue dans le volume AA 'D'D) entre par l'ouverture de section 89 et une quantité de matière de masse 5ms (contenue dans le volume BB'CC') sort par l'ouverture de section 85. Le système fermé 2 considéré pour cette étude occupe à l'instant t le volume ABCD puis à l'instant t + dt le volume A'B'C'D'. Pour les fluides entrant et sortant, u, b et v désignent respect/vement l'énergie interne massique, l'enthalpie massique et le volume massique du fluide. L'indice « e » est relatif aux grandeurs d'entrée du secteur AA 'D 'D et l'indice « s » aux grandeurs de sortie du secteur BB'C'C. Les grandeurs d'échange massiques entre ce système et le milieu extérieur sont : o le transfert thermique massique q ; - le travail massique d'écoulement ou de transvasement W,, qui est exercé par les forces pressantes a l'entrée et a la sortie dela machine ; o le travail massique utile Wu fourni à l'intérieur de la machine par des pièces mobi/es (ai/ettes ou pistons). C1 Etablir un bilan de masse pour le système 2 entre les instants t et t+dt. En déduire une relation simple entre ôm$ et âme. CZ Déterminer en fonction de Pe, Ps, v8 et vs le travail massique de transvasement Wp exercé par les forces de pression sur le système 2 entre les instants t et t+ dt. C3. En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système 2 entre les instants t et t+dt , montrer que: h5 --h9 =wu +q. D [ Cycle de Brayton idéal Le fluide utilisé dans les générateurs à turbine à gaz est l'air atmosphérique. Les étapes successives du cycle de Brayton réversible décrit par l'air sont les suivantes : 1-->2 : l'air atmosphérique s'engage en ( 1 ) dans le compresseur où il est comprimé de façon isentropique. 2---->3 : l'air frais est ensuite admis dans la chambre de combustion où le gaz naturel est injecté et s'enflamme. Le fluide est porté à des températures très élevées de façon isobare, sans apport de travail. Sa composition n'est pas modifiée. 3---->4: le gaz chaud subit dans la turbine une détente isentropique. Cette détente est utilisée pour produire un travail mécanique dont une partie sert a faire fonctionner le compresseur alors que l'autre actionne l'alternateur. A la sortie (4) de la turbine, les gaz d'échappement sont évacués vers l'atmosphère. 4---->1 : le gaz chaud qui s'échappe subit un refroidissement sans apport de travail au contact de la source froide (l'air atmosphérique). Le transfert thermique est isobare. La puissance fournie par la turbine est modulée grâce au débit d'air envoyé dans le compresseur à l'entrée ( 1 ) du dispositif et à la quantité de gaz naturel injecté dans la chambre de combustion. L'air atmosphérique, le mélange initial {air--gaz naturel} et les gaz brûlés d'échappement sont assimilés à un même gaz parfait. Le rapport de ses capacités thermiques à pression et volume constants est supposé constant et égal à : 7 = 1,4. Sa capacité thermique massique à pression constante est : cp : 1 kJ.kg".K". Le cycle de Brayton est représenté (figure 3) dans le diagramme entropique, où T est la température du gaz ets son entropie massique : ............................................................... T,:3OOK P1=1bar _, T3=1300K P2=1Obars teobare * i3entwpique Posons pour simplifier: 4 ï--f1 T. l' 2 7L : EZ-- ét 2' = L'--. isobartæ P1 T1 L'air est aspiré dans le compresseur à la pression P, =1 bar et à la température T, = 300 K pour y être comprimé àla pression P2 = 10 bar. _'_l_. Démontrer la loi de Laplace relative au couple (P,T) en précisant ses conditions d'utilisation. En déduire T2 et T4 en fonction de k, t et T,. Applications numériques. DZ. Exprimer puis calculer le travail massique de compression w1z absorbé par le gaz (fourni au gaz par le compresseur) au cours de la transformation adiabatique 1---->2, en fonction de Cp, T1 et >». A l'issue de la combustion (étape 2--->3), la chambre fournit au gaz une énergie thermique massique de combustion q23 qui amène la température de celui-ci à la valeur T3 : 1300 K. Exprimer q23 en fonction de cp, T1, k et 'l.'. Réaliser l'application numérique. D4 Exprimer puis calculer le travail massique WT récupéré par la turbine (fourni à la turbine par le gaz) au cours de la transformation 3--->4, en fonction de op, 7», T1 et r. Le travail wC fourni au compresseur par la turbine est intégralement transféré au gaz par le compresseur au cours de la transformation 1---+2 : WC : w12. lU ." D5. Ecrire le travail utile wa fourni par la turbine pour actionner l'alternateur, puis l'exprimer en fonction de cp, À, T1 et t ; effectuer l'application numérique. Pour quelle valeur x,... de ?» (fonction de 1) ce travail wa est-il maximal ? Comparer x,... à la valeur numérique de % adoptée pour la turbine. DG. Calculer le rapport R =--VÏî qui évalue la répartition entre le travail wC que fournit la turbine Wa au compresseur et le travail utile wa qu'elle fournit à l'alternateur. Commenter. D7. Définir le rendement thermique n du générateur à turbine et l'exprimer en fonction du paramètre 7». Calculer Tl pour le travail wa fourni par la turbine à l'alternateur et le comparer à celui d'un cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures extrêmes. D8. Exprimer puis calculer le transfert thermique massique @... reçu par le gaz au cours de la phase d'échappement 4--+1, en fonction de cp, À, T1 et 13. Cette énergie thermique est-elle une énergie récupérable ? Commenter. E I Cycle de Brayton réel En réalité, des phénomènes irréversibles tant au niveau du compresseur qu'au niveau de la turbine se produisent et des chutes de pression apparaissent dans les conduits et dans la chambre de combustion. Le cycle réel décrit par la turbine diffère alors du cycle idéal décrit précédemment. Il est représenté (figure 4) dans le diagramme entropique par le cycle 1--+2'--+3--+4'-->1 comme schématisé ci--dessous : 3 _ _ Les irréversibi/ités dans le compresseur et dans la ÎïÊïf'äî turbine sont prises en compte grâce aux rendements isentropiques : isobare P2»_,3 : 10 bars , h -- h h , -- h 4 77C=--2----1=O,80 et nT=--'ï----î=0,85 2 , h2' _ h1 h4 _ h3 ?ÊÊZÎËOEÏÊË isobare . 1 --+ 2' et 3--> 4': adiabatiques irréversibles . P.;... =1 bar . 2' --> 3 et 4' --9 1 : isobares 5 Figure 4 E1. Déterminer la température réelle de sortie du compresseur T2 ', puis la température réelle à la sortie de la turbine T4 ', en fonction de k, T1, r, 'le et 'lT- Applications numériques. E2. Exprimer puis calculer le travail massique de compression w12» absorbé par le gaz en fonction de cp, T1, k et Tic- E3. Déterminer l'énergie thermique massique de la combustion réelle q2»3, puis le travail réel WT' récupéré par la turbine au cours de la transformation 3--+4', en fonction de cp, ?... T1, 1:, Tic et TlT- Applications numériques. E4. Le travail WC' fourni au compresseur par la turbine est intégralement transféré au gaz par le compresseur au cours de la transformation 1->2'. Déterminer, en fonction de cp, k, T1, 't, Tic et m, le travail utile wa' fourni par la turbine pour actionner l'alternateur. Application numérique. Pour quelle valeur Xmax de k (fonction de r, "'le et Th)» ce travail wa' est-il maximal '? Comparer cette valeur numérique km a la valeur k adoptée pour la turbine. Wc' Wa' turbine pour actionner le compresseur et le travail wa' qu'elle destine à la rotation de l'alternateur. Calculer le rendement thermique n' du générateur à turbine pour le cycle réel. Comparer R' au rapport idéal R et n' au rendement n du cycle théorique. Commenter. E5. Calculer le rapport R'= qui évalue la répartition entre le travail wc" : w12» que fournit la F I Régénérateur La température des gaz d'échappement a la sortie de la turbine est considérablement plus élevée que la température de l'air comprimé admis dans la chambre de combustion. Une partie de la chaleur des gaz d'échappement peut ainsi être avantageusement récupérée pour le préchauffage de l'air de combustion. Le rendement du générateur à turbine, de faible valeur dans le cas du cycle de Brayton réel, en est ainsi amélioré. Le « régénérateur » est un échangeur de chaleur intercalé entre le compresseur et la chambre de combustion. En traversant le régénérateur, les gaz d'échappement échauffent l'air comprimé en écoulement vers la chambre de combustion, moins de chaleur issue de la combustion du carburant est donc requise et moins de combustible se révèle nécessaire. Régénérateur prise d'air atmosphérique alternateur Compresseur Figure 5 Les travaux et la chaleur q2'3 échangés restent les mêmes que dans le cas précédent sans régénération, seul l'apport de chaleur que doit fournir la combustion est modifié Le régénérateur fonctionne de manière isobare. Le coefficient d'efficacité a de l'échangeur est défini comme le rapport entre le transfert 4} thermique reçu par le gaz et celui que l'on pourrait recueillir au maximum : isobare Pau.,3 m 10 bars régénérateur ZR , 'f--'i ':g isobare h __ h F......" ... bar a : --Æ------Z'-- : 0,95. 8 Figure 6 ha _ h2' F1. Préciser la valeur numérique de la température de sortie du régénérateur TZR . F2. Calculer Ie transfert thermique massique q2--2R reçu parle gaz en sortie de l'échangeur. E:}; Conclure sur la valeur du rendement "R du cycle de Brayton réel avec régénération. TROISIEME PARTIE COGENERATION D'ENERGIES Le générateur à turbine alimente en électricité une usine située à proximité : le travail fourni par la turbine fait tourner le rotor d'un turbo--alternateur couplé à son arbre de transmission. Mais le dispositif ne génère que peu d'électricité alors qu'une importante énergie thermique est perdue. Cette chaleur excédentaire des gaz de combustion très chauds peut être une ressource énergétique à valoriser, par exemple dans l'alimentation d'un réseau de chauffage urbain. Cette production conjointe d'énergie mécanique et d'énergie thermique constitue la « cogénération ». G ! Production d'énergie électrique : le turbo--alternateur Cette partie traite de la production d'électricité nécessaire à l'alimentation en énergie d'une entreprise de transformation de métaux. Le turbo--alternateur est équivalent à un rotor a deux pôles en rotation devant un bobinage fixe (stator) sous l'action de l'arbre dela turbine (figure 7). stator arbre de la turbine :-. ;. .... Figure 7 Le rotor, qui tourne à n tours par minute, est équivalent à un aimant produisant un champ magnétique d'intensité constante Bo tournant à la vitesse angulaire co devant une bobine comportant N spires de section Sb. g1_= Exprimer la force électromotrice (f.e.m.) e induite dans le stator en fonction du temps t, de N, Bo, Sb et co, vitesse angulaire de rotation du rotor. En déduire sa valeur maximale Em ainsi que sa valeur efficace E. G2. L'alternateur doit fournir un courant électrique sinusoi'dal de fréquence f = 50 Hz, quelle doit être la vitesse de rotation de l'axe de la turbine en tr.min'1 ? Le produit A : NSb /\/2 rend compte des caractéristiques du bobinage du stator. G3. Calculer A pour E = 5000 V et Bo : 0,8 T. Pour son fonctionnement courant, l'entreprise a besoin d'une puissance P =1 MW. G4. En admettant que la tension efficace aux bornes du bobinage reste égale à la fem. induite, quelle intensité efficace l fournit l'alternateur débitant sur une installation de facteur de puissance cosoe : 0,8 '? En réalité, du fait des enroulements de fils et des pertes magnétiques, le stator est assimilable à une fem. e en série avec une inductance {' de résistance interne r. Ce stator est placé aux bornes d'une installation, modélisée par une inductance L de résistance interne R, qui reçoit la totalité du courant fourni par le turbo-alternateur. g_5_. Proposer le schéma équivalent de ce montage. Q_6_. Exprimer la tension efficace U aux bornes de l'installation en fonction de R, L, r, 2, w et E. Calculer la valeur de U pour un courant débité l = 250 A. La puissance reçue par l'installation est-elle suffisante ? Données : r = 1 Q ; l'a) : 7 Q et cosça : O, 8. Les machines des ateliers étant conçues pour fonctionner sous une tension U = 220 V, il convient donc d'utiliser un transformateur pour ramener la tension aux bornes de l'alternateur de 5000 V a 220 V efficace. H I Production d'énergie thermique : l'échangeur de cogénération Le générateur à turbine fournit de la puissance électrique mais il rejette également des gaz de combustion très chauds. Cette puissance thermique sert à réchauffer un fluide pour le chauffage de locaux de l'usine. Un échangeur thermique, dispositif dans lequel le gaz rejeté et l'eau domestique échangent de l'énergie thermique sans se mélanger, est placé en sortie de la ' turbine. wars ta cheminée % @ l _ , entrée de l'eau Fi r ' M ' Echangsur ' entree du thermique 93 aarburant , eau chaude entrée de l'air 4 - Gr.-m chaud ,_ aiternatæaur Çcmprssseur « D... est le débit massique du fluide en régime permanent, %, et % les puissances respectivement thermique et utile qu'il échange avec le milieu extérieur. l_-l_1= Reprendre la question _Ç_Ci et, en appliquant le premier principe de la thermodynamique au système 2 fermé entre les instants t et t+ dt, montrer que : Dm (hs -- he) = È%h + %. L'échangeur thermique de cogénération est parfaitement calorifugé ; il fonctionne de manière isobare et ne reçoit aucune puissance mécanique autre que la puissance des forces de pression. Une vanne de régulation permet d'adapter le débit mass/que dm de l'eau aux besoins de son réchauffement. Le gaz d'échappement, de débit massique D..., est évacué (point 4) parla turbine à une température 94 : 400°C, il sort par la cheminée (point 6) à une température de l'ordre de 96 =150°C. Ccnjointement, l'eau entre dans l'échangeur thermique à la température He : 5 °C et en sort à la température 95 = 60°C. _le Calculer le rapport dm /D... des débits des deux circuits correspondant à une telle élévation de la température de l'eau. Données : capacité thermique massique du gaz d'échappement : cp : 1 kJ.kg".K" capacité thermique massique de l'eau : ce : 4,18 kJ.kg"'.K"'. QUATRI EME PARTIE COMBUSTION DU METHANE l I Combustion totale et complète Considérons la réaction de combustion stoechicmétrique du gaz naturel (assimilé à du méthane) dans le dioxygène : CH4(g) + 2 Og(g) : COM + 2 H20... [ 1 ] _l_1_._ Préciser la nature de cette réaction, ainsi que les rôles joués par le méthane et le dioxygène. Dans cette combustion, quel est le combustible et quel est le comburant ? I2. Discuter, aprés avoir écrit la variation relative du quotient réactionnel dQIQ, l'effet d'une augmentation isotherme de la pression sur le déplacement de l'équilibre [1]. KB. Procéder de même pour étudier l'effet de l'introduction d' un constituant inactif gazeux (NZ par exemple), à pression et température constantes. M. A l'aide des données thermodynamiques fournies en annexe, calculer I'enthalpie standard A,HÎ de la réaction [1] à 298 K. l5. Calculer le pouvoir calorifique du méthane, représentant l'énergie libérée par la combustion complète d'un volume d'un mètre--cube de méthane, initialement à 298 K, sous la pression p°=1 bar ? (l'exprimer en MJ et en kWh) L'air sec renferme 20,95 % de dioxygéne, 78,09 % de diazote et 0,96 % d'argan {pourcentages molaires) et autres gaz rares. Afin de simplifier l'ensemble des calculs qui suivront, les proportions suivantes seront retenues : 20 % pour le dioxygéne et 80 % pour le diazote. !_6_. Quel est le volume d'air nécessaire à la combustion complète d'un mètre--cube de méthane (à T = 298 K et p° =1 bar)? [& Calculer la masse de méthane dont la combustion (à T = 298 K et p° =1 bar) peut libérer une énergie équivalente à une tep (tonne équivalent pétrole), soit l'énergie libérée par la combustion d'une tonne de pétrole : 1 tep : 42.109 J. Intéressons nous maintenant la réaction de combustion incomplète résultant du mélange non stoechiométrique CH4@ + 3/2 Ozrg). _I_ë_= Ecrire cette réaction, notée [2], puis calculer l'enthalpie standard A H° qui lui est associée. Analyser le résultat obtenu en termes de rendement énergétique et de fiabilité par rapport à la réaction de combustion [1]. J I Etablissement du diagramme d'Ostwald Dans la pratique industrielle, le bilan d'une combustion peut être représenté par un diagramme représentant l'évolution de la fraction molaire en COZ en fonction de celle en 02, avec la fraction molaire en C0 comme paramètre variable {représentation approchée ne tenant pas compte de toutes les espèces - telles les atomes et radicaux - présentes dans le mélange). Etudions la combustion du méthane dans l'air, décrite parla relation suivante (en fin de réaction, les fumées ne contiennent ni suie, ni hydrocarbures imbrûlés) : CH4 + 21 (02-- + 4 N2) =(1--k)cog +k co + 2 Hgo +[2(Â--1)+k/2]OZ + sa N2 [3] Cette réaction, non stoechiométrique, peut être définie de plusieurs manières : généralement par son excès d'air e (air en excès par rapport a la réaction stoechiométrique}, ou son défaut d'air ( -- e), ou bien sa richesse R (rapport du nombre de moles de combustible dans un mélange donné, au nombre de mo/es de combustible d'un mélange stoechiométrique}, ou son inverse le facteur d'air &. Il en résulte les équivalences suivantes : /l = 1 + e : 1/R . L'analyse des fumées sèches (aprés condensation et élimination de l'eau) fournit alors les fractions molaires partielles du mélange. 1. Etude des courbes d'isoconcentration en monoxyde de carbone Notons respect/vement x : [Oz] , y : [CGJ et z : [CO], les fractions molaires des espèces 02, 602 et C0 dans les fumées. _J_L Montrer que la somme ): des fractions molaires partielles des différents produits obtenus aprés élimination de l'eau, vérifie la relation : E : et + kl 2 , et identifier on. _J_g_. Exprimer y puis 2 en fonction de k et 2, ainsi que x en fonction de ?|, k et Z ; en déduire l'expression de y, puis de y + z en fonction de k et z. J3. Ecrire X en fonction de k et Z ; réinjecter 7h dans l'expression de x. En déduire que les fractions molaires [02] et [COQ] vérifient la relation algébrique : 5x + 9y : f(z) où la fonction f(z) devra être explicitée. J4. Reporter, sur le document réponse, la courbe (zo) image de la relation précédente, dans le cas particulier où la fraction molaire [C0] est nulle ; préciser la signification de cette courbe (dite de Grebel) ainsi que les coordonnées des points A et B, intersections respectives de (zo) avec Ox et Oy, ainsi que la signification de ces points. Positionner le point correspondant à une combustion stoechiométrique. J5. Tracer, de façon comparable, les courbes (ZZ) associées au paramètre 2, quand ce dernier prend les valeurs suivantes : z = 0,04, 2 = 0,08. J6. Analyser l'intérêt de ces courbes, dés lors qu'une analyse annexe permet de connaître le pourcentage de dioxygène dans les fumées sèches. 2. Etude des courbes d'isofacteur d'air En utilisant les résultats obtenus précédemment (J_L et =I__2_.), il est aisé de montrer que les fractions molaires [02] et [CGJ vérifient la relation algébrique : x + ,B(Â) y = 7701) où les grandeurs 8£+1 4Â--3 t 1 = . 201-1 8 "" 201-1 JL Reporter, sur le document réponse, la courbe (A,) image de la relation précédente, dans le cas particulier où le facteur d'air ?» vaut l'unité. Préciser son intersection P avec l'axe des x, ainsi que le domaine du dessin où la combustion est réalisée avec un excès d'air. [? et 77, fonctions du facteur d'air Â, s'écrivent : ,B(À) : gg_. Compléter le tracé précédent, en y ajoutant les courbes (A,) associées au paramètre À, quand ce dernier prend les valeurs suivantes : X = 0,8 , k = 1,5. Les résultats de l'analyse des fumées sèches (capteur électrochimique pour 02 et capteur infrarouge pour C02) fournissent, pour une combustion étudiée, les valeurs suivantes de fractions molaires :x =[02] : 8,83 % ety =[COJ =3, 15 %. g_9_. Placer le point R correspondant à ces mesures sur le diagramme d'Ostwald. Décrire et analyser les conditions de la combustion. Préciser l'intérêt majeur de ce type de diagramme. DONNÉES NUMÉRIQUES Données numériques générales : Masses molaires atomiques (en g.mol"1) : H : 1,0 ; C : 12,0 ; N : 14,0 ; O : 16,0 Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.K".mol'1 Données thermodynamiques à 298 K : Elément Enthalpie standard Entropie molaire ou de formation (298 K) standard (298 K) composé AfH° en kJ.mol"1 8° en J.K".mol"1 205,0 191,6 186,2 197,6 213,6 N2 CO(9) C02(g> --- 74,4 -- 110,5 - 393,5 -- 285,8 -- 241,8 I e e a I N H 9 188,7 FIN DE L'EPREUVE EmËm0.u wEEEmED ..........o 85 9.0 9.0 ...o.o @ ......0Tx . o mod vo...o mod oeo.o oño N_._o « ......00T> o...noo «. oo>m 83.2 3 ..39ano « mm.--03: ËmE:000

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 E3A Physique et Chimie PSI 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (ENS Cachan) et Tiphaine Weber (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Élodie Bonnaud-Morin (Professeur agrégé), Olivier Frantz (Professeur agrégé en école d'ingénieur), Mickaël Profeta (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce problème, constitué de quatre parties indépendantes, porte sur l'étude d'un générateur à turbine à gaz. · Dans la première partie, proche du cours, on étudie le cycle moteur de Carnot dans le diagramme de Watt puis dans le diagramme entropique. · Le cycle thermodynamique de Brayton est au coeur de la deuxième partie. Après avoir obtenu une écriture adaptée du premier principe, on étudie ce cycle, d'abord dans un cas idéal, puis en prenant en compte le caractère irréversible de certains phénomènes. On termine en regardant les conséquences de l'ajout d'un régénérateur. · Dans la troisième partie, on s'intéresse à la production d'électricité par une turbine alimentée par le cycle moteur de Brayton. On y retrouve des raisonnements classiques d'induction. · La quatrième partie, divisée en deux sous-parties indépendantes, s'intéresse d'un point de vue chimique à la combustion du méthane dans la chambre de combustion. La première sous-partie étudie tout d'abord l'équilibre chimique associé à cette réaction ainsi que ses déplacements. Elle se poursuit avec le calcul des quantités de chaleur fournies par les réactions de combustion. La deuxième sous-partie, la plus longue, s'attache quant à elle à la construction et l'exploitation du diagramme d'Ostwald associé à cette combustion. Les calculs demandés sont assez simples mais une attention particulière doit être apportée à l'explication du sens physique des courbes tracées. Le rapport du jury précise d'ailleurs que le but de cette partie était d'évaluer « l'ingéniosité du candidat, son niveau d'acuité de raisonnement face à une problématique différente, son sens pratique voire critique quant à la technique utilisée. » D'une longueur et d'une difficulté raisonnables, ce sujet est une bonne occasion de réviser la thermodynamique et l'induction. Très peu de résultats intermédiaires sont donnés, ce qui impose de soigner les premières questions. Notons également que de nombreuses applications numériques sont demandées par l'énoncé. Conseils du jury Le rapport du jury rappelle que « traiter un problème de Physique-Chimie, c'est exposer la solution de façon claire et concise » et regrette « l'absence de rédaction observée dans un grand nombre de copies, alors qu'un ingénieur, dans sa vie professionnelle, passe beaucoup plus de temps à expliquer et à communiquer qu'à développer des équations ». Il souligne enfin que « le concours à mis en place un système de bonus récompensant par un nombre significatif de points une rédaction soignée, mais aussi les parties de problèmes traitées de façon complète et ponctuées de remarques physiques pertinentes afin de lutter contre les stratégies de grappillage de points adoptées par bon nombre de candidats. » Indications Partie I A.1 Exprimer les différentes fonctions P = f (V) pour les deux transformations et calculer la pente en dérivant cette fonction par rapport à sa variable V. A.3 Penser à l'inégalité de Clausius. B.1 Décomposer l'entropie totale et utiliser les hypothèses de l'énoncé. Partie II C.3 Reprendre la démonstration de la détente de Joule-Kelvin. D.1 Écrire la deuxième identité thermodynamique faisant intervenir l'enthalpie. D.2 Utiliser la question C.3. D.4 Faire attention au signe. D.5 La turbine reçoit wT mais fournit wc . D.7 Quelle est la grandeur valorisée et quelle est la grandeur coûteuse ? E.1 Écrire c en fonction des températures puis isoler T2 dans l'expression de c . F.3 Comprendre que le régénérateur diminue la quantité de combustible nécessaire. Partie III G.1 Penser à la loi de Faraday. G.2 Attention aux unités. G.4 Donner le lien entre la puissance, la tension efficace, l'intensité efficace et le facteur de puissance. G.6 Passer en notation complexe et écrire la formule du diviseur de tension. H.2 Utiliser la question H.1 pour l'eau et le gaz. Partie IV I.2 Exprimer Q en fonction de P, puis dQ pour une variation de pression dP, toutes les autres variables restant constantes. Comparer Q et K. I.3 Exprimer de même Q en fonction de ngaz . I.5 1 Wh = 3, 6 kJ. I.8 Seule l'oxydation du carbone n'est pas complète. Elle conduit à la formation de monoxyde de carbone. J.1 est la quantité de matière en phase sèche par mole de combustible introduit, nsec . c'est-à-dire n0 J.4 Dans quelles conditions peut-on avoir [CO] et [CO2 ] nulles ? De même, que veut dire pour la combustion [CO] = [O2 ] = 0 ? J.7 Que vaut e pour = 1 ? I. Cycle de Carnot A. Diagramme de Watt A.1 Pour comparer les pentes des tangentes aux courbes, on doit calculer la dérivée de P par rapport à V dans chacune des transformations en un même point (P, V). · Pour une isotherme, PV = nRT = Cte 1 donc la pente vaut P nRT P =- 2 =- V V V · Pour une adiabatique réversible, utilisons l'équation de Laplace PV = Cte 2 , P Cte 2 P = - +1 = - V V V Ainsi, Le rapport des deux pentes vaut . Or, > 1 donc une adiabatique réversible est plus pentue qu'une isotherme. P A.2 Le cycle de Carnot est représenté dans le diagramme de Watt ci-contre. Les traits en pointillés sont des isothermes et les traits pleins les transformations du cycle. L'aire du cycle correspond à -W où W est le travail reçu par le fluide sur un cycle. 1 1 2 T1 T2 V 2 P Considérons un cycle simplifié, à deux transformations. Le travail entre 1 et 2 s'écrit Z 2 W12 = - P dV 1 2 1 V Or une petite aire dA vaut P(V) dV donc le travail 1 2 correspond à l'aire sous la courbe 1 2. Par conséquent, dans le cas choisi, le travail est négatif (V2 > V1 ). Or, il y a deux aires à prendre en compte ici : celle en dessous des courbes 1 2 et 2 1. Ces deux aires ne sont pas égales car le travail dépend du chemin suivi. Dans ce cas, le travail W12 est bien l'opposé de l'aire sous la courbe 1 2 et celui W21 est en revanche égal à l'aire sous celle 2 1. Ainsi, le travail total W vaut W = W12 + W21 = -A12 + A21 = -Atot Le travail est donc égal à l'aire du cycle. A.3 Dans le cas général, le rendement est défini comme = ce qui intéresse ce qui coûte Un moteur a pour but de créer du travail (ici W < 0). Pour cela, on lui fournit un transfert thermique (ici Q1 > 0). Le rendement s'écrit donc ici =- W Q1 Écrivons le premier principe sur le cycle, U = 0 = W + Q1 + Q2 Remplaçons cette égalité dans l'expression du rendement =1+ Q2 Q1 D'après l'inégalité de Clausius, qui est dans ce cas une égalité car le cycle de Carnot est composé de transformations réversibles, Q1 Q2 + =0 T1 T2 soit d'où T2 Q2 =- Q1 T1 =1- T2 = 0,77 T1 Pour avoir le rendement le plus élevé, il faut des températures T1 et T2 les plus éloignées possibles. Rappelons la démonstration de l'inégalité de Clausius pour une machine M en contact avec N thermostats (de température constante), N Q P i 60 i=1 Ti Comme S est une fonction d'état alors S = 0 sur un cycle. Or la variation d'entropie totale de M s'écrit S = Scréée + Séch = 0 Le second principe stipule que Scréée > 0. Ainsi pour équilibrer la valeur nulle de l'entropie totale, l'entropie échangée doit être inférieure ou égale à 0. A.4 La nature du fluide décrivant le cycle de Carnot n'est intervenue à aucun moment. Par conséquent, Le rendement est indépendant de la nature du fluide. Pour un moteur réel, les transformations ne sont plus réversibles donc l'entropie créée n'est pas nulle. Écrivons alors l'inégalité de Clausius, Q2 Q1 + <0 T2 T1