E3A Physique et Chimie PSI 2008

Thème de l'épreuve Moteur de maquette d'avion. Métallurgie du cobalt.
Principaux outils utilisés électronique, conversion de puissance, thermochimie, électrochimie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 .:'fJ::: """""" "î'î:ï" 5:;:; ................ ._. ............... . ... e 3 a CONCOURS ENSAM -- ESTP -- ARCHIMEDE Epreuve de Physique -- Chimie PSI Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est autorisé. 010R ...... e 3 a CONCOURS ENSAM -- ESTP -- ARCHIMEDE Epreuve de Physique -- Chimie PSI Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. W L'usage de calculatrices est autorisé. Ce problème est constitué de deux parties, totalement indépendantes: fonctionnement d'un moteur à courant continu, sa commande par un hacheur et le contrôle de sa vitesse (1ère partie), métallurgie du sulfure de cobalt puis obtention du cobalt par électrolyse (2ème partie). Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que . les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés ; . tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème ; 0 dans les calculs, les gaz sont assimilés à des gaz parfaits et les phases solides sont non miscibles ; ln désigne le logarithme népérien et log le logarithme décimal ; . les schémas relatifs au moteur sont rassemblés à la fin de la première partie, les données numériques relatives à la partie « Chimie » sont répertoriées àla fin dela deuxième partie ; les données thermodynamiques ont servi à calculer les enthalpies libres standard de réaction fournies dans le texte. . deux documents--réponse référencés ( 1 ) pour la partie « Physique » et (2) pour la partie « Chimie » devront être remplis puis remis avec la copie. Le cobalt --- découvert en 1735 par G. BRANDT --- entre dans la composition de nombreux alliages utilisés dans les industries électrique, aéronautique et automobile, ou d'alliages très durs pour coupe rapide. Il est employé pour la fabrication d'aimants permanents pour moteurs, d'alliages réfractaires, de pigments pour le verre, les céramiques et l'industrie des peintures. Tournez la page S.V.P. PREMIERE PARTIE : MOTEUR DE MAQUETTE D'AVION La majorité des moteurs utilisés en modélisme et en robotique amateur sont des moteurs à courant continu à aimant permanent qui transforment l'énergie électrique fournie par les accumulateurs en énergie mécanique. Nous nous intéresserons, dans le problème qui suit, à la mise en mouvement de l'hélice d'un modèle réduit d'avion et au contrôle de sa vitesse de rotation. Tous les composants électroniques sont supposés parfaits. Les amplificateurs opérationnels (AO) utilisés sont idéaux. Si un amplificateur opérationnel fonctionne en régime de saturation, sa tensuon de sortie sera egale a +USAT ou --USAT avec USAT=12V. Lorsqu un composant est utilisé en commutation (diode, transistor ou A0), le passage d'un état à l'autre s'effectue de façon instantanée. La résistance des fils de conduction électrique est nulle. A I LE MOTEUR ÉLECTRIQUE A COURANT CONTINU L'hélice est entraînée par un moteur à courant continu et aimant permanent (noté M. C. C. ) possédant, au point nominal de fonctionnement, les caractéristiques suivantes : - tension nominale d'induit : UNOm : 12 V, . intensité du courant dans l'induit : anm = 2,50 A, - fréquence de rotation : Nnom : 3000 tr. min'1 . Le rotor ou induit du M. C. C. (figure Q1 ) est constitué de n spires rectangulaires enroulées sur un cylindre de rayon a et de longueur b. L'ensemble tourne a la vitesse angulaire [2 autour de son axe 22' (figure 92) en restant dans l'entrefer d'un aimant permanent (stator ou inducteur) --- réalisé à partir d'un alliage cobalt--samarium --- qui crée un champ magnétique radial Ë : Br ë, dont la composante Br est représentée sur la figure p_3. Les spires sont connectées à l'extérieur par le systéme balai--collecteur en restant dans la configuration dela figure p2. Le rotor est équilibré pour minimiser les vibrations. Le moment d'inertie de l'ensemble ramené sur l'axe du moteur est J ==--10""5 kg.m2 ; les pertes fer {dans le circuit magnétique) et mécaniques (frottements solides) sont négligées. Lors de sa rotation, le cylindre est soumis à une force de frottement fluide, de couple : Ôf : --- ,8 Î2 : --- C,: él (avec C,: > 0 et ,B==10"'5 kg.m2.s"1 ). L'induit posséde une résistance R=0,24 [) et une inductance L supposées constantes. Un générateur de tension constante VA -- VC : U (avec U > 0 ) alimente le moteur. A l'instant t, la branche MN est située dans l'intervalle --7r/2 < 0 < 7z/2 et la branche PQ dans l'intervalle rr/2 <9 < 37r/2. A1. Démontrer les expressions de la force électromotrice du moteur E= (DO Q (E est reliée à la force électromotrice induite e par la relation E=--e) et le couple des forces ---O électromagnétîques Ôem =Cem eZ =i (DO ë,_, i étant l'intensité du courant dans I'induit et Q la vitesse de rotation du rotor. Exprimer le flux inducteur utile (DO en fonction de a, b, n et 80. Le schéma électrique équivalent de l'induit en régime dynamique est proposé ci--dessous : L E=OEOQ - R ' ' - A. _ - 'C IË IË lä l.ä 3 En déduire l'équation électrique reliant les grandeurs E, U, R, L et i. ...--. Ecrire l'équation mécanique reliant J, Q, le couple utile C,,=---Cu ez (avec Cu>0 et supposé constant), imposé au moteur lorsqu'il entraîne la charge mécanique, le couple de frottement Cf et le couple électromagnétique C.... En déduire la projection de cette équation mécanique suivant l'axe ez. Expliquer qualitativement comment freiner le moteur. Quel est le comportement du moteur lorsqu'il tourne en roue libre, c'est--à-dire non alimenté ? Fonctionnement en régime nominal Calculer la valeur de la force électromotrice du moteur E ; en déduire la constante (bo et préciser son unité. En négligeant la chute de tension aux bornes de la bobine, déduire des équations mécanique et électrique couplées, l'équation différentielle vérifiée par la vitesse angulaire Q en utilisant (Do, B, C... J, R et U. Déterminer le temps 1: caractéristique de la "mise en vitesse" du moteur. Exprimer la vitesse angulaire limite Q,im. Combien de temps est-il nécessaire pour atteindre cette vitesse à 1 % près ? Calculer le moment du couple utile Cu en régime nominal et Qu... (en tr.min"). Quel est le courant id dans l'induit au démarrage, si la tension d'induit est égale à la tension nominale ? Commenter. Quelle est, au démarrage, la tension minimale Ud...... nécessaire pour entraîner le moteur ? BI COMMANDE DU M.C.C. PAR UN HACHEUR Le moteur est alimenté par un hacheur, la tension et le courant d'induit ne sont plus continus ; u(t)=vA(t)--vc(t) et i(t) sont des fonctions périodiques du temps. Leurs valeurs moyennes respectives sont notées  et (i(t)). L'hé/ice tourne à vitesse constante. L'induit du M. C. C. représenté figure 94 est alimenté par l'intermédiaire d'un hacheur série connecté a une source de tension idéale de valeur U =12 V. L'interrupteur électronique H, est commandé de manière périodique et la période T... par un signal rectangulaire ou créneau de rapport cyclique a et de fréquence de hachage N... =2 kHz généré par un circuit non représenté : 81 mm $"!" l'interrupteur H, est fermé entre les instants 0 et aT..., l'interrupteur H1 est ouven' entre les instants aT... et T..., à l'état passant, la diode D, est assimilée à un interrupteur fermé, à l'état bloqué, elle est assimilée à un interrupteur ouvert. Le rapport cyclique est réglé à a = 0,6. Montrer qu'un interrupteur idéal ne consomme pas de puissance et que les interrupteurs H, et D, ne peuvent être ni fermés, ni ouverts simultanément. Quel est le rôle de la diode D1 dite "de roue libre" '? Représenter sur deux périodes le chronogramme de la tension u(t), c'est-à-dire son évolution au cours du temps. Préciser sur le graphe l'amplitude de u(t) et les instants ch... et TH1. La différence de potentiel aux bornes de la résistance de l'induit est négligée. Calculer la valeur moyenne (u(t)) de la tension u(t). En déduire la force électromotrice E et la vitesse Tournez la page S.V.P. 4 de rotation Q de l'induit en tr.min". Montrer que la vitesse de rotation Q du moteur est proportionnelle au rapport cyclique oz. Calculer la valeur de Q pour on =0,6. B5. Justifier l'évolution au cours du temps de l'intensité du courant i(t) représentée sur le graphe figure p_5. Etablir l'expression de l'onduiation du courant AI = 1 max - I ...... en fonction de U... L, on et T.... Pourquoi est--il intéressant de diminuer l'ondulation du courant ? Préciser le rôle d'une bobine supplémentaire de lissage qui peut être placée en série avec le moteur. A partir du graphe, calculer l'inductance L de l'induit. BG. Déterminer la valeur moyenne (i(t)) de l'intensité du courant. Vérifier que la chute de tension aux bornes de R est négligeable. Expliquer l'intérêt du courant moyen (et de la tension moyenne) pour un moteur à courant continu. C ! RÉALISATION DES SIGNAUX DE COMMANDE DU HACHEUR Un générateur de tension est représenté sur la figure Q6. Il comporte un condensateur de capacité C1 et un interrupteur électronique Hz commandé par de brèves impulsions périodiques de période TH2 : . à t = O, l'interrupteur idéal H2 se ferme pendant un bref instant sur une première impulsion, - il est ensuite ouvert pendant la durée TH2 jusqu'à l'impulsion suivante. USAT 1:12 V ,' R1=1kQ ,' C1 =1IJF ,' TH2 = 0,5 ms. C1. Exprimer l'intensité du courant 1. Quelle est la fonction de l'A01 dans le circuit électronique ? Préciser le rôle de l'AOZ et de l'AO;,. C2. Déterminer la tension u...(t) dans l'intervalle de temps [O, TH2] en fonction de US", R1, C1 et t. Représenter le chronogramme u...(t) sur deux périodes. Préciser la valeur maximale UCMAX et la période de u...(t). C3. Quelle est la fonction de l'A04 ? En déduire la tension uo(t) appliquée à l'entrée inverseuse de l'amplificateur opérationnel AO5. C4. Expliquer le rôle de l'A05 et tracer le chronogramme u,(t) sur deux périodes pour une tension de consigne VCONS réglable entre 0 et UCMAX. Conclusion : CS. Exprimer le rapport cyclique oc du signal obtenu en fonction de VCONS, USAT, TH2, R1 et C1. Montrer que VCONS permet le contrôle de la vitesse de rotation Q du moteur. Pour quelle valeur de VCONS obtient-on un rapport cyclique de 0,6 pour le signal u1(t) ? A quelle vitesse de rotation du moteur (exprimée en tr.min") cette valeur correspond-elle ? D I LE CAPTEUR DE VITESSE Le transducteur utilisé est un capteur optoélectronique qui délivre une tension variable proportionnelle à la fréquence de rotation du moteur. Il est associé à un convertisseur fréquence-- tension (figure 27). Pour accéder à la fréquence de rotation N du M. C. C., il est possible de fixer sur son rotor une roue dentée dont les 30 dents empêchent le rayon lumineux émis par une diode fixe Dz de rencontrer la base du phototransfstor T : . le phototransist0r T est passant et se comporte comme un interrupteur fermé lorsqu'il est exposé au faisceau lumineux, . inversement, T est bloqué et se comporte comme un interrupteur ouvert lorsque le faisceau lumineux est interrompu (30 fois par tour). 5 Ce phototransistor est sensible et rapide ; il permet de détecter les flashs de durée tD très brève (de l'ordre de la microseconde) par rappon' à la période TD des éclairs lumineux. Le rapport tD / TD dépend des dimensions relatives des fentes et des dents de la roue dentée liée au rotor. Vo=1V ; USAT=12V ; Ro=10k[2 ; C7=12,5,uF _Q_L_ Le moteur tournant à 2000 tr.min", calculer la fréquence ND (en Hz) ou la période TD des éclairs détectés par le phototransistor. Q_2_._ Lorsque le montage est dans un état stable, les potentiels sont constants. Préciser dans ce cas uT, v ", v , a = (v + ---- v ), U; et uC7 pour le phototransistor T passant puis bloqué. Recopier et compléter le tableau suivant : - ° s- ' 55 ,, à. '" îrïï ;.l=' ; =. L'analyse des rôles du générateur de tension V, et de la diode D3, montre que l'A 06 permet d'obtenir les brèves impulsions reproduites sur le chronogramme de v" suivant : (avec tD << TD ) " T passant T passant T passant Exprimer la tension v+ en fonction de V0, Ro, C7 et däÎ7 puis uC7 en fonction de u2 et v"'. 22». Qi Lorsque le système est instable et que u; est constant (car il a basculé instantanément), établir l'équation différentielle vérifiée par v'(t) en fonction de V0 et d'une constante de temps 't que vous exprimerez et calculerez. DS. Quelles sont les grandeurs électriques continues relatives à un condensateur? Justifier votre réponse. A l'instant t = 0, le phototransistor Tpasse d'un état bloqué a un état passant. QQ. Ecrire la condition initiale v"'(O) juste après le passage de T à l'état passant ; en déduire les expressions de v"(t) et de uC7(t) lorsque t > O. Le phototransistor contrôle l'entrée inverseuse de l'A07 : v" bascule instantanément alors que v+ évolue au cours du temps. Q_Z_._ A quel instant to la tension uz bascule--t-elle ? Exprimer to en fonction de 1:, Vo et USAT puis calculer sa valeur. Quelle est alors l'expression de uc7(to) ? En déduire v+(t) lorsque t > to. La tension uz peut--elle à nouveau basculer en l'absence d'une nouvelle impulsion? Justifier le nom de "monostable" qualifiant un tel dispositif. l8 Compléter les chronogrammes 1 et 2 de v +(t) et u2(t) sur le document--réponse (1) ; noter sur les graphes les amplitudes de ces tensions. DS. Le montage monostable effectue une temporisation. Analyser pourquoi. Tournez la page S.V.P. 6 Considérons uniquement la partie du circuit électronique de la figure Q7 notée (A) et délimitée par des pointillés. Elle admet la tension d'entrée u2(t) et u3(t) est le signal de sortie. 010. Réaliser un schéma équivalent de ce montage à basse fréquence, puis à haute fréquence en indiquant pour chaque cas l'opération réalisée entre l'entrée et la sortie. 11. Déterminer la fonction de transfert _H(joe)=gî en supposant le régime harmonique de g2 pulsation oe. Représenter l'allure asymptotique des courbes de gain GdB : 20 log |_H_let de déphasage entrée-sortie (p = arg (_H_) en fonction de la pulsation on du signal d'entrée. En déduire le type de filtrage réalisé et préciser sa fréquence de coupure NC sachant que : R8=R7=1MQGÏC8=1UF. Reprenons maintenant l'influence de ce filtre dans l'application envisagée : le filtre est "attaqué" parla tension u2(t) périodique et de rapport cyclique a, décrite en 22. Sa décomposition de Fourier en notation réelle est : u2(t) :  et CoSO4(S) , puis calculer la pente de la frontière C°SZ(g) / COSO4(S) (droite J). A11. En opérant par continuité, terminer le tracé des différentes frontières. Placer dans chaque domaine l'espèce stable correspondante. Ce diagramme n'est valable qu'à la température de 950 K et pourra donc évoluer si la température augmente. Sans pour autant retracer le diagramme, l'étude portera plus particulièrement sur l'évolution de la droite B séparant l'oxyde de cobalt du sulfate de cobalt, pour quelques températures. Des calculs analogues à ceux réalisés en A6 et A7 fournissent : température T = 900 K équation de B : log p(SOz)éq : ----- 5, 6 --- 0,5 log p(O2 )éq , température T = 1050 K équation de B : log p(SOZ)éq == --- 2,7 ---- 0,5 log p(02)éq, température T = 1100 K équation de B : log p(SOz)éq : ---- 1,9 -- 0,5 log p(02)éq . A12. Représenter sur le document-réponse (2) (sous forme de traits discontinus) les nouveaux tracés de la droite B pour les trois températures mentionnées. Tournez la page S.V.P. 10 Sur le document--réponse (2), comme sur les figures 01 et c2, apparaît une zone hachurée qui correspond aux domaines de variation des pressions partielles de dioxygène et de dioxyde de soufre, telles qu'elles sont rencontrées dans les fours de grillage, soit plus précisément : --2an".....oo .ooaauuulcccooooui.........s-......C...s....laoa.us.s 'OIIICOU . . . . . . . . . . . . 0 O . . . l 0 ! . l . ! v v . . . . . . . . . . . I : . o . . | . . . . '.......0\.......au.......amvuauvraam.ouvu..H.ouv..a ! l l I ! . . . A . . u . . . . . l . . . . . . . . . . . . o v . . . . . v 0 l l l . v . . . . I.!!IOÛIC"'...IU'......llllnl'..liimllioltifll!..... . . | . . I . . . . . . l . . . . ! . . l . . ! . . . . . . . . . . . l . . . . . l . . . . I . wvv...........«...!...0...ba......ofl...lt.o?..olfl.o . . . . l . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . l . . . . . 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I I . 6 « SII Document régonse (2) à compléter et à rendre avec la cogie Diagramme Co-O-S ,_ . 65" Il % 5 III-IIIIIIIIII-IIII %" III-IIIIIIIIIIIIIII --- III-IIIIIIIIIIIIII- IIIIIIIIIIIIIIIIIII I'll-IIIIIIIIIIIII- 0IIIIIIIIIIIIII'I'I' Eliliällläällä% Il.llllllllllllll - Il.....lll'l'l'l'l' -5 Il......llll'l'l'l' I'll-IIIIIIIIIIIIII Il....lIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII _... IIIIIIIIIIIIIIIIIII --02 --1 5 --1 0 0 |09 P(02)

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 E3A Physique et Chimie PSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Alban Sauret (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet se compose de deux parties complètement indépendantes, l'une de physique, l'autre de chimie. La partie de physique présente quelques aspects du fonctionnement d'un moteur de maquette d'avion. · On commence par étudier le moteur à courant continu faisant tourner l'hélice de l'avion. On traite ensuite du dispositif de commande par un hacheur. Ces deux parties sont assez proches du cours de conversion de puissance et permettent d'en vérifier la bonne assimilation. Le jour du concours, elles doivent être rédigées avec le plus grand soin, le jury précisant qu'il sanctionne les questions de cours non assimilées. · Les deux dernières parties traitent de l'étude de circuits électroniques permettant de réaliser les signaux de commande du hacheur et de mesurer la fréquence de rotation du moteur. Peu de connaissances directes du cours sont mises en jeu, mais il faut un bon recul sur les montages à amplificateur opérationnel. Le jury s'étonne du peu de succès de la quatrième partie, mais l'énoncé comporte une erreur qui rend le dispositif proposé inutilisable ! La partie de chimie discute de la métallurgie du cobalt. · On commence par travailler sur le procédé industriel permettant d'isoler le sulfate de cobalt des minerais renfermant l'élément cobalt. On trace alors progressivement un diagramme p(SO2 )/p(O2 ) pour l'ensemble des réactions possibles, diagramme qui est ensuite exploité pour analyser le procédé de séparation. Cette partie de thermochimie est bien détaillée et de difficulté progressive. Il faut néanmoins une bonne compréhension de la construction des diagrammes d'Ellingham pour pouvoir mener à bien ce tracé original. · Enfin, on étudie le procédé d'électrolyse visant à récupérer le cobalt. Les résultats obtenus sont interprétés en utilisant les courbes intensité-potentiel. Cette partie, bien que relativement courte et ne présentant pas de difficulté majeure, n'a été que peu abordée par les candidats. Certains points de la partie de physique de ce sujet sont spécifiques à la filière PSI. En revanche la chimie est entièrement accessible aux étudiants des autres filières (en particulier de MP) qui peuvent la traiter pour s'entraîner. Le jury du concours reconnaît lui-même que l'épreuve est longue : face à ce type de sujet, il est recommandé d'aller le plus loin possible dans chaque partie plutôt que de chercher à grappiller des points en traitant les différentes parties de manière superficielle. Une lecture complète du sujet en début d'épreuve permet alors de commencer par ce avec quoi on est le plus à l'aise. Indications Partie I A.1 Quels sont la force électromotrice et le couple associés aux bras NP et QM ? Calculer le couple et la f.é.m. induite sur le bras MN puis utiliser la symétrie du dispositif. A.3 Appliquer le théorème du moment cinétique en un point de l'axe de rotation. A.6 Éliminer le courant i des équations électrique et mécanique en négligeant l'effet de l'inductance L. A.7 Le moteur ne démarre que s'il est soumis à un couple moteur. B.2 Quel est le risque associé à l'ouverture brutale d'un circuit inductif ? B.5 Utiliser la question A.7 pour établir i(t = 0). Intégrer ensuite l'équation électrique entre t = 0 et t = TH , puis entre t = TH et t = TH . C.4 L'AO5 est un comparateur simple. L'ensemble {r, D1 } est un redresseur de tension. D.6 Utiliser la continuité de la tension aux bornes du condensateur lorsqu'il y a basculement. D.7 Montrer qu'il n'y a jamais basculement si T est passant. Combien y a-t-il d'états stables lorsque T est bloqué ? D.8 Il faut supposer TD contrairement aux valeurs fournies par l'énoncé : l'AO7 bascule alors à chaque impulsion. Partie II A.1 Quel est le signe de r HA ? A.2 Utiliser la loi d'action des masses et la relation r G (T) = -R T ln K (T). A.4 Une affinité positive signifie un déplacement de l'équilibre chimique dans le sens direct, jusqu'à élimination du réactif limitant. A.8 Utiliser la loi de Hess et les données du formulaire. A.10 Équilibrer successivement le cobalt, le soufre et l'oxygène. Ramener ensuite le nombre stoechiométrique du dioxygène à un. A.11 Pour avoir trois espèces simultanément, il faut que les trois droites caractérisant chaque équilibre aient une intersection commune. Utiliser la question A.4. A.13 Analyser la position relative de la zone hachurée par rapport à la droite H, dont la pente ne change pas. B.1 Appliquer la formule de Nernst à chaque couple oxydoréducteur. B.3 Écrire les potentiels d'électrode dans la limite d'une intensité nulle. B.4 Négliger la réduction de l'eau. I. Moteur de maquette d'avion A. Le moteur électrique à courant continu A.1 Déterminons la force électromotrice induite dans une spire de contour MNPQ, - en mouvement par le Ichamp magnétique permanent B = Br - er : - - e1 = (- v B ) · d = eMN + eNP + ePQ + eQM MNPQ L'expression de la force électromotrice (f.é.m.) induite est basée sur les formules de transformation classique des champs par changement de référentiel - - - - - E = E +- v B et B = B S e S S où l'indice S fait référence au champ électromagnétique évalué dans le réfé rentiel lié aux sources et - v e est la vitesse d'entraînement du référentiel lié au conducteur par rapport à celui lié aux sources. On démontre cette relation en utilisant l'invariance de la force de Lorentz par changement de référentiel. - - Le terme - ve B S = - v e B , appelé champ électromoteur, est analogue au - terme - A /t obtenu lors de l'étude d'un circuit fixe soumis à un champ magnétique variable. Le déplacement élémentaire en tout point des contours NP et QM est colinéaire au champ magnétique régnant en ces points. En conséquence eNP = eQM = 0 La force électromotrice induite le long du contour MN s'écrit, en adoptant les conventions de la figure p2 de l'énoncé, Z - - eMN = (- v B) · d MN Le long du contour MN, vérifions - - - - d = d - ez v = a e et B = B0 - er Z b On trouve alors eMN = (a - e B0 - er ) = -a b B0 0 Le long du contour PQ - - d = -d ez En conséquence - - v = a e et - B = -B0 - er ePQ = eMN et donc e1 = -2 a b B0 Le rotor du moteur étant constitué de n spires, la force électromotrice du moteur E = -n e1 s'écrit finalement E = 0 avec 0 = 2 n a b B 0 Le rotor d'un moteur d'avion est plus complexe qu'un ensemble de spires carrées. Toutefois on peut toujours écrire la force électromotrice du moteur sous la forme E = 0 , le flux inducteur utile 0 est alors une grandeur caractéristique du moteur étudié, qui dépend de sa géométrie. La résultante des forces de Laplace subie par un circuit indéformable est nulle : l'action se réduit à un couple. Sur une portion élémentaire de circuit filiforme de - longueur d , la résultante élémentaire des forces de Laplace s'écrit pour une spire parcourue par l'intensité i - - - dFL = i d B - - - Le long des segments NP et QM, d B = 0 : seuls les segments MN et PQ ont une contribution non nulle. Le long du bras PQ, la force de Laplace est opposée à celle le long de MN et est dirigée suivant - e . Chaque bras contribue alors de la même façon au couple, qui, par symétrie, est dirigé suivant l'axe z z et s'écrit - C em = Cem - ez Le long du segment MN, le couple élémentaire s'écrit - - - dC = a- er (i d e z B0 - er ) = a i B0 d ez En intégrant sur la longueur du bras, MN apporte une contribution au couple total CMN = a b i B0 Le bras PQ apporte la même contribution que MN. Ainsi, concluons, en tenant compte des n spires du rotor, que Cem = 0 i avec 0 = 2 n a b B 0 A.2 L'additivité des tensions conduit à la relation U = E + Ri + L di dt A.3 Appliquons le théorème du moment cinétique au système constitué par les n spires en un point O de l'axe de rotation zz . - - - d- O = Cu + Cf + Cem dt L'axe de rotation étant axe de symétrie du problème, on a - - O = J Le moment d'inertie J est constant. On conclut J - - - - d = Cu + Cf + Cem dt Par projection sur l'axe zz , on trouve, en utilisant le résultat de la question A.1, J d = -Cu - + 0 i dt A.4 Les couples utile et de frottement sont tous deux résistants. Pour freiner simplement le moteur, ouvrons le circuit électrique, ce qui impose i = 0. Pour rendre le freinage plus efficace, notons que la nature du couple électromagnétique dépend du sens du courant circulant dans le circuit. On peut alors