E3A Physique et Chimie PSI 2006

Thème de l'épreuve Cellule à effet Peltier. Épitaxie des alliages Si1-xGex sur silicium.
Principaux outils utilisés thermodynamique, électrocinétique, cristallographie, thermodynamique, cinétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                   

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE Epreuve de Physique - Chimie PSI durée 4 heures Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de la calculatrice est autorisé Ce problème illustre le fonctionnement d'une cellule à effet Peltier et comporte deux volets indépendants : le fonctionnement de la cellule et sa régulation en température (première partie), l'épitaxie des alliages Si...Gex sur silicium, matériaux constitutifs de la cellule Peltier (seconde partie). Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que : > les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les calculs ; les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés. > dans tous les calculs, les gaz sont assimilés à des gaz parfaits (leurs pressions partielles sont notées en caractères italiques). Seront utilisés les indices suivants : (s) pour un solide et (g) pour un gaz. On notera En, le logarithme népérien et log, le logarithme décimal.- » les schémas relatifs à la cellule Peltier et les données numériques relatives à I'épitaxie sont rassemblés à la fin du problème. Les systèmes de refroidissement classiques ont un rendement limité et fonctionnent avec des fluides frigorifiques comme les hydrochlorof|uorocarbures ou les hydrof|uorocarbures qui contribuent au réchauffement climatique et à la destruction de la couche d'ozone. Parmi les dispositifs réfrigérants alternatifs recherchés, une technique datant des années 1960 et basée sur un effet thermoélectrique présente bien des avantages en dehors de son aspect écologique. Tournez la page S.V.P. 2 La Cellule à Effet Peltier (CEP) ou module Peltier (figure 1) est un assemblage d'éléments semi--conducteurs placés entre deux semelles électriquement iso/antes, mais conductrices de la chaleur. Dès lors qu'un courant électrique continu traverse un tel montage, il apparaît une "face froide" qui absorbe de la chaleur et une "face chaude" qui dégage de la chaleur. La CEP est donc une pompe a chaleur qui prend de l'énergie thermique à une source froide pour la restituer à une source chaude. Elle est entièrement statique car elle ne possède ni piéce métallique en mouvement (en dehors d'un ventilateur), ni fluide réfrigérant (il est remplacé ici par le courant électrique et ce sont les électrons qui jouent le rôle du fluide frigorifique). C'est le procédé de réfrigération le plus compact, sa petite taille (8,8 mm >< 8,8 mm >< 2,8 mm) permet un refroidissement très localisé qui ne perturbe pas le reste du système. Ce micro réfrigérateur et l'état solide a de nombreux domaines d'application et trouve son utilité partout où l'emploi de pompes à chaleur thermodynamiques pose des problèmes d'encombrement, de fiabilité ou de coût pour des applications de faible puissance. PREMIERE PARTIE: CELLULE A EFFET PELTIER AI L'EFFET PELTIER > L'étude qui va suivre s'effectue à une dimension suivant l'axe Ox et en régime permanent. Les paramètres utilisés pour décrire les systèmes sont donc indépendants du temps et ne dépendent que du paramètre d'espace x. Les conductivités thermique  et électrique 0 sont supposées indépendantes dela température et uniformes dans le conducteur. Dans un conducteur cylindrique (??/° ), homogène, d'axe Ox, de section 8, de longueur 6, les inhomogénéités de température et de potentiel électrique induisent les vecteurs densités volumiques de courant électrique Jél et de courant (ou flux) thermique J.... 1. Conductivité électrique isotherme Le conducteur, à la température uniforme T, est limité à ses extrémités par deux sections droites portées aux potentials électriques V1 (en x = O) et V2 (en x = EUR) avec V1 > V2. Il est parcouru dans la direction de l'axe Ox par un courant électrique continu d'intensité / uniformément répartie sur la section 8 (figure 2). A1. Ecrire la loi d'Ohm sous sa forme locale. Démontrer que la résistance électrique RC du cylindre, comprise entre x = 0 et x = t', peut s'écrire, en fonction de sa conductivité électrique 6, de EUR et de 8, sous la forme : R = --------------- . C o 8 2. Conduction thermique en présence de courant électrique Le conducteur est en contact a ses extrémités avec deux sources idéales de chaleur : d'un côté, une source chaude de température TC (en x = O) et de l'autre une source froide de température T.: (en x = EUR ). Sa surface latérale est parfaitement calorifugée (figure 3). A2*a. Rappeler la loi de Fourier. Déduire de l'analogie électrocinétique l'expression de la conductance thermique G...( %" ) du cylindre en fonction de k, t et S. 3 A2*b. En appliquant le premier principe de la thermodynamique à une tranche élémentaire du conducteur comprise entre x et x + dx (figure 3), établir l'équation différentielle vérifiée par la température T(x) au sein du conducteur : A2*c. La solution de cette équation s'écrit T(x) = A x2 + B x + C. Déterminer A, B et C en fonction de TC, TF, 7\., 8, EUR , RC et |. La répartition de la température dans le conducteur dépend-elle du sens du courant | ? A2*d. Exprimer la puissance thermique P (x) transportée à travers la section 8 du conducteur à l'abscisse x et dans le sens des x positifs. En déduire les puissances thermiques algébriques PC et PF respectivement reçues par la source chaude et par la source froide, en fonction de la conductance thermique G...( %) du cylindre, de sa résistance électrique RC et en faisant apparaître deux termes dont l'un est proportionnel à l2 et l'autre à l'écart de température (TC - T.:). Que représentent--ils ? Calculer PC + PF et commenter le résultat. 3. Les effets thermoélectriques Ces phénomènes résultent du couplage entre la conduction thermique et la conduction électrique, qui sont simultanément présents dans les milieux conducteurs, métaux ou semi-- conducteurs. Trois effets ont été établis expérimenta/ement : l'effet Seebeck (1821), l'effet Peltier (1834) et l'effet Thomson (184 7). Nous n'évoquerons que l'effet Peltier dans ce texte. > Effet PELTIER : c'est l'effet thermique, autre que l'effet Jou/e, qui résulte du passage d'un courant électrique à travers la jonction J (ou interface) entre deux conducteurs A et B différents et à la même température T. Deux conducteurs (ou semi--conducteurs) différents A et B, de pouvoirs thermoélectriques (ou coefficients Seebeck) respectifs 8A et 85 sont associés dans la configuration A -- B - A - B. .. et joints en J1, J2, J3,... (figure 4). L'association est parcourue par un courant électrique continu d'intensité I et maintenue àla température uniforme T par contact avec une source de chaleur. > La puissance thermique P ..., pe. (J1, A _» B) due à l'effet Peltier est reçue par la [onction orientée A ----> B et prélevée au corps extérieur (12 en contact avec elle. Elle s'exprime de la façon suivante : Pth,pei(J1, A --> 5) : (SA-SB) T | : SAB T |. > Le pouvoir thermoélectrique SAB = SA -85 du couple de conducteurs (ou semi-- conducteurs) A --+ B est positif et supposé constant, il ne dépend que de la nature de A et de B. A3 En déduire la puissance thermique P..., pg. (J2, B ----> A) reçue par la jonction suivante B -> A et prélevée au corps extérieur (2) en contact avec elle. A partir des signes des puissances calorifiques, conclure quant aux effets de refroidissement et de réchauffement des jonctions J1 et J2 sur les corps extérieurs placés à leur contact. Qu'advient-il en cas d'inversion du sens du courant '? BI LE RÉFRIGÉRATEUR THERMOÉLECTRIQUE Le "motif élémentaire" de la CEP est un couple thermoélectrique ou pavé (figure 5) constitué de deux thermo éléments semi--conducteurs cylindriques de géométries identiques, asymétriques de types N et P, connectés thermiquement en parallèle et électriquement en série par l'intermédiaire d'un pont de cuivre constituant une soudure métallique M. Tournez la page S.V.P. 4 Le semi--conducteur de type P a une résistance électrique Rp, une conductance thermique G... (p), un coefficient Seebeck Sp, le semi--conducteur de type N admet R..., G... ...) et eN, avec W = eN - Sp > O. Le métal M, de coefficient SM, a des résistances électrigue et thermique négligeables. Dans le sens du courant I alimentant le montage, les deux jonctions successives N ---> M et M -> P sont en contact avec la soudure froide a la température T,: de la source froide (le corps à refroidir), les deux jonctions M ----> N et P --+ M sont en contact avec la soudure chaude à la température T,,-- de la source chaude (le radiateur). Les deux faces externes en céramique réalisent l'isolement électrique et assurent une conductibi/ité thermique supposée parfaite. Les surfaces latérales des semi-conducteurs sont parfaitement adiabatiques. L'efficacité de la CEP dépend fortement du dispositif d'évacuation de la chaleur sur la plaque chaude, l'énergie thermique transférée sur cette plaque devant être impérativement évacuée pour ne pas réchauffer la plaque froide ou endommager le module. La CEP est donc fixée sur un radiateur à ai/ettes de refroidissement dont les capacités de transfert de chaleur sont renforcées par un ventilateur (figure 5). Un tel "puits thermique ", surdimensionné, peut dissiper une puissance beaucoup plus élevée que nécessaire et limite la température TC de la face chaude. 1. Bilan des puissances mises en jeu dans le pavé B1*a. A partir des résultats établis dans les questions A2*d et A3, exprimer les puissances thermiques P... ...(F) et P... ...(C) fournies par le pavé respectivement à la face froide et à la face chaude en fonction de l'intensité |, du pouvoir thermoélectrique eNp = eN -- Sp, de T.:, de TC, de (TC -- T.:), de la résistance électrique du pavé R = RN + R,: et de sa conductance thermique Gth : G... (p) + G... (N)- B1*b. Calculer P... ...(F) + P... ...(C) ; en déduire la puissance électrique Pé.... fournie au couple thermoélectrique par le circuit extérieur auquel il est connecté. 2. Du pavé thermoélectrique à la Cellule à Effet Peltier > La CEP est constituée de n = 69 pavés montés en série (figure 6). BZ En déduire la puissance électrique P é, prélevée au circuit extérieur par la cellule et les puissances thermiques P... ...(F) et P... ...(C) fournies par le module respectivement à la face froide et à la face chaude. 3. Performances théoriques d'une CEP > La température TC est définie lors de la conception du circuit, elle est fixée par le mode de dissipation dela puissance thermique dela face chaude. > La puissance frigorifique P, est la puissance prélevée par le module au composant à refroidir et absorbée sur la face froide. BS*a. Exprimer P, en fonction de n, e...: , R, |, G..., T,: et (TC - T.:). A la température T,: imposée sur la soudure froide, pour quelle valeur de | notée |max cette puissance est--elle maximale ? Exprimer alors la puissance frigorifique maximale du module (P,)...ax. > Le coefficient de performance froid COP, ou rendement énergétique est défini comme le rapport entre la puissance thermique absorbée sur la face froide et la puissance électrique transmise au module. B3*b. Donner son expression en fonction des paramètres de P,. 5 > Le différentiel de température entre les deux faces du module AT = TC -- TF est appelé "delta". B3*e. Ecart maximum de température AT,... = TC - T... Montrer que, pour une intensité | imposée parle circuit extérieur, AT est maximal lorsque la puissance P, est nulle, c'est-à--dire lorsque la face froide de la cellule est parfaitement isolée thermiquement. Quelle est alors l'expression de la température minimale théorique T.:... que permet d'atteindre le module ? B3*d. Optimisation de l'écart de température Quelle valeur optimale de l'intensité du courant I... permet d'abaisser au maximum T.:... et d'atteindre le AT...ax de la CEP ? La valeur de T...... pour l = |... étant notée T..., montrer qu'elle est proportionnelle à |... et vérifie : R T __ £NP opt opt ' B3*e. Afin d'évaluer la qualité thermoélectrique du matériau utilisé dans la réalisation du couple Peltier, les constructeurs ont défini son facteur de mérite noté Z, tel que : 1 AT max : TC "" Topt : 5 z T02pt . Donner son expression en fonction des trois caractéristiques du matériau thermoélectrique : 8NP , R et G.... 4. Application au refroidissement d'un capteur CCD L'acquisition de l'information en astronomie revêt une importance capitale. L'univers étant dans sa grande partie inaccessible à l'analyse directe, tous les renseignements qu'il nous dévoile sont essentiellement véhiculés par la lumière qu'il nous envoie. Un récepteur CCD (en français DTC pour Dispositif a Transfert de Charges) associé à un collecteur de lumière permet de disposer d'une image électronique constituant le point de départ d'une reconstitution numérique par les outils de traitement et d'analyse de l'image. Afin de minimiser le bruit thermique généré par l'agitation thermique et d'améliorer le rapport signal/bruit de l'image initiale, le capteur CCD doit être refroidi a -- 40°C par un module Peltier. Pour Tc = 298 K et AT = TC --- T,: = 65°C, le constructeur fournit l'évolution de la puissance frigorifique P, (figure 7) et du rendement COP; (figure 8) du module en fonction de I. Celui-ci est constitué de n = 69 pavés de caractéristiques : g...: = 592.10"6 V.K" R : 4,6.10'2 (2 G... : 1,4.10'3 WK". B4*a. Analyser les phénomènes qui limitent le fonctionnement en réfrigérateur de la CEP, et préciser dans quels domaines d'intensité l ? Expliquer pourquoi le capteur est placé dans un boîtier étanche à l'humidité. B4*b. Que se passe--HI en cas d'inversion du sens du courant ? Quel phénomène observe-t-on lorsque le module est installé sur une plaque chauffante en l'absence de son alimentation électrique externe ? B4*c. Analyser le choix du point de fonctionnement du module : l = 2,2 A. Déterminer dans ce cas la puissance frigorifique du module Pf, son rendement COP;, la puissance électrique Pé. prélevée au circuit extérieur et la puissance thermique PC qu'il est nécessaire d'évacuer. Commenter le rapport PC / P,. B4*d. Calculer le facteur de mérite Z du semi--conducteur thermoélectrique et le AT,--flex. Tournez la page S.V.P. 6 CI LA RÉGULATION EN TEMPÉRATURE La température du capteur CCD doit être maintenue à la température T,: constante indépendamment de toute variation de la température extérieure T,. La CEP est alors utilisée en thermostat, un circuit extérieur de régulation permettant de stabiliser la température T,: de la face froide. Le module est traversé par un courant électrique continu I. Sa face froide est en contact thermique parfait avec le boîtier du capteur à thermostater. Pour une meilleure conduction thermique, le boîtier est constitué de cuivre pur de capacité thermique C = 3, 9 J. K. La face chaude est en contact thermique pan'ait avec l'atmosphère de température T. _ç_*_l_._ En distinguant les phénomènes qui la composent, justifier l'équation d'évolution de la température T.:(t) du boîtier : CÊa-I_ÏÎE =Û[Gth(Ta--TF)- 8NPTFI+% R|2]. C2 Alors que la température T, reste constante et égale à 293 K, exprimer T.:(t) en adoptant la condition initiale T.: (t = 0) = T,. Déterminer la durée caractéristique T de cette phase transitoire en fonction de C, n, G..., a...: et l. Quelle est la température extrémale T,, atteinte parle boitier '? C3 Quelles conditions sur | assurent le refroidissement du capteur? Effectuer l'application numérique. C4 L'intensité ! est fixée à 2,2 A. Calculer "E, T,, et la durée 1, nécessaire au refroidissement du capteur à la température 0, = -- 40°C. C5 Alors que T; = T,,, T,] subit à l'instant t = t, un saut brutal de température ATa = 5 K de durée "CT. Suivant les cas 15 << n et 1 >> "CT, décrire comment évolue la température TF (t). Pour contrôler la température du capteur, la CEP est complétée par un circuit électronique d'assewissement (figure 9) où tous les amplificateurs opérationnels sont supposés idéaux. R2: R3: R8=1,8 kQ R7=1OO Re R5=10R4 Vréf=15V. Une thermistance est en contact thermique parfait avec l'espace à thermostater. Sa résistance RT est une fonction décroissante de la température 0 et, dans un intervalle de température compris entre - 50°C et - 30°C, elle évolue selon la loi (sachant que R, est exprimée en kg ete en °C) : RT=R,(1-a0), où R,=2Q et a=2,5.10'2. C6*a. Déterminer la tension v, = Vp --- VN en fonction de Vréf, R1, R2, R3 et RT. fonction de R4, R5, R6, R7, R8 et v,. C6*c. Quelle condition doivent satisfaire les résistances R1, R2, R3 et RT pour que le pont soit équilibré (v,, = 0) ? C6*d. Comment choisir la résistance R, pour que l'équilibre du pont s'établisse à la température 0, = - 40°C du capteur ? > Cette valeur de R, sera conservée pour la suite. 7 C6*e. Quelle est la valeur de l'intensité l (t = 0) à l'instant initial où le boîtier est à la température ambiante T3, et RT = 1 kg ? Quel est alors le comportement du module Peltier ? Comment I(t) varie--t--il ensuite '?Justifier votre réponse en précisant le signe de la dérivée 9--'- d9' C6*f. Comment ce dispositif permet-il la stabilisation de la température à 90 = - 40°C ? Expliciter l'influence du pont et le rôle de la CEP. Pour que la chaîne de contrôle de la température soit efficace et réduise l'influence des fluctuations de la température atmosphérique, comparer son temps de réponse "CR à la durée 1. DEUXIEME PARTIE: ÉPITAXIE DES ALLIAGES Si1.xGex SUR SILICIUM Les matériaux utilisés pour la conversion thermoélectrique sont des composés intermétalliques comme les tel/urures de plomb (Pb Te) ou de bismuth (Bi2Te3) et plus récemment l'a/Iiage Si1.xGex. L'épitaxie désigne le procédé selon lequel une couche monocrista/Iine de l'a/"age Si1.xGex est déposée puis croît sur un substrat de silicium avec des relations structurales précises. La composition de la couche étant différente de celle du substrat, les paramètres de mailles doivent s'accorder AI ANALYSE STRUCTURALE DE Si1_xGex > Le german/um et le silicium purs possèdent tous deux une structure cristalline de type cubique analogue à celle du carbone diamant: leurs atomes occupent simultanément toutes les positions d'un réseau cubique à faces centrées et la moitié de ses sites tétraédriques. Les centres de deux atomes au contact sont distants de ds,, = 241 pm {respectivement ds,-- = 235 pm). 1. Structure cristalline du germanium A1*a. Donner la configuration électronique des atomes de carbone, de silicium et de germanium dans leur état fondamental. Quelle est leur configuration électronique externe ? A quelle colonne de la classification périodique ces éléments appartiennent--ils ? A1*b. Représenter la maille élémentaire du germanium en perspective et matérialiser la liaison Ge-Ge. Le cristal est-il ionique ou covalent ? (réponse à justifier) A1*c. Exprimer le paramètre aGe de cette maille en fonction de (168 et calculer sa valeur. Déterminer le nombre d'atomes de germanium par maille élémentaire; en déduire le nombre d'atomes Me,, par unité de volume et la masse volumique pGe du germanium. > Le germanium et le silicium, de structures identiques, constituent un alliage non ordonné où les atomes prennent des positions aléatoires dans une structure de type diamant, de formule Si1_xGex où x représente la concentration atomique de l'ail/age en germanium, telle que : 0 sx : 1. 2. Structure cristalline de l'alliage Si1_xGex A2*a. Expliquer pourquoi Si1-XGeX possède la même structure que le silicium et le germanium. > La loi de Vegard, applicable pour une association d'atomes qui cristallisent dans le même système, indique que le paramètre de maille a(x) de l'alliage est égal à la combinaison linéaire des paramètres de maille des différents constituants pondérés par leurs concentrations respectives. Tournez la page S.V.P. 8 A2*b. Exprimer a (x) en fonction de x et des paramètres de maille aGe et as,. Calculer sa valeur pour x = 0,25. L'alliage Sio_75Geo,25 est-il en accord de maille avec le silicium ? Commenter. A2*c. Calculer le nombre d'atomes de germanium N'Ge et le nombre d'atomes de silicium N'S, dans un mètre cube de Sio,75Geo,25 . En déduire la masse volumique pas,, de cet alliage. BI DÉPÔT DE L'ALLIAGE Si1-xGex SUR DU SILICIUM La technique d'épitaxie utilisée est le dépôt chimique en phase vapeur réalisé dans un réacteur de volume constant, et la température T = 800 K et à la pression P = P° = 1 bar. > Les calculs seront effectués dans les conditions de l'approximation d'El/ingham. Les débits de SM,, GeH.,, Hz et d'argan sont constants, les gaz sont supposés parfaits. 1. Préparation du substrat, le silicium Le silicium est naturellement recouvert d'une couche de silice SIG,? de réaction de formation (à T<1683 K) : Si [R7] B1*a. Déterminer l'enthalpie libre standard MC? de la réaction en fonction de T. B1*b. En supposant que les constituants sont à l'équilibre thermodynamique, calculer la variance du système. Que peut-on en déduire ? B1*c. Déterminer la pression de corrosion du silicium à T = 800 K. Quelle est la signification de cette grandeur. Conclure quant à la nécessité de nettoyer la plaque de silicium. 2. Croissance d'une couche de Si sur un substrat de Si Le silane SIH4 est introduit dans le réacteur et soumis a un flux continu d'argon (gaz vecteur qui ne sera pas pris en compte d'un point de vue thermodynamique), selon la réaction: SiH4(g) : S|(S) + 2 H2(g) [R2] BZ*a. Déterminer l'enthalpie libre standard ArGg de la réaction en fonction de T. En déduire sa constante d'équilibre Kg (800 K) à la température de dépôt T = 800 K. Conclure. La vitesse de croissance V(3i/Si) de l'épaisseur du film de Si ainsi formé sur le substrat de Si obéit dans l'intervalle [ 700 K, 1000 K] à une loi de type Arrhenius : Ea(Si/Si)) V(Si/Si) : Vo 9XP ("' R T où V,, est une constante, R la constante des gaz parfaits et T la température de dépôt. Le tableau suivant décrit l'évolution de V(S,ySü en fonction de T. ... 0,106 0,837 5,232 15,70 BZ*b. Déterminer, en kJ.mol", l'énergie d'activation Ea (Si/Si) liée à la croissance du silicium. 723 9 3. Croissance d'une couche de Ge sur un substrat de Si Le germane GeH., est introduit à 800 K dans le réacteur et soumis au flux continu d'argon : GeH., (g) : Ge (s) + 2 Hz (9) [R3] B3*a. L'enthalpie libre standard de la réaction est ArGg= - 90800 --- 65,2 T (en J.mol"). Comparer le caractère quantitatif du dépôt de Ge sur Si à celui du dépôt de Si sur Si. B3*b. La vitesse de croissance V La fraction x de Ge incorporée dans l'alliage est définie par l'équation suivante : X = " lCGe,Ge X +CGe,Si(1- X)] avec f= "Ge _ (1-f) [CSi,Ge X +CSi,Si (1--Xll +f [Coe,oe X +CGe,Si (1 --X)] "Si + "Ge Les quantités de matière de SiH4 et de GeH4 introduites par unité de temps sont notées "Si et "6e Ca b est le coefficient de collage du précurseur «a» sur une surface d'atomes «b» et vaut : B5*b. Si1_xGex est obtenu par ajustement des débits en SiH4 et GeH4. Comment choisir le rapport r = "Si l "Ge pour obtenir l'alliage Si0_75Geo_z5 ? B5*c. A T = 800 K, compte tenu de la complexité de la formation de Sio,75Geo_z5 et de son dépôt, la constante d'équilibre de la réaction de formation de l'alliage ne vaut que 1,4. Calculer les pressions partielles p(SiH4), p(GeH4) et p(H;_) alors que le mélange gazeux est constitué à 90% d'argon et que le dépôt s'effectue à la pression P = P° = 1 bar. Tournez la page S.V.P. 10 DONNÉES NUMÉRIQUES Pression standard : P° = 1 bar = 105 Pa Température : T (K) = 8 (°C) + 273 Données numériques générales : Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K".mol'1 Constante d'Avogadro : o/1fi = 6,02.1023 mol"1 Numéro atomique : C : 6 Si : 14 Ge : Masse molaire (g.mol'1) : Si : 28,1 Ge Rayon ionique (pm) : Si : 40 Ge : Rayon covalent (pm) : Si : 118 Ge 32 : 72,6 53 : 122 Données thermodynamiques : (à 298 K) supposées indépendantes de la température Elément, un u 55 02 H2(g> 80 205,2 130,6 188,7 ANNEXE source froide (8,8 mm >< 8,8 mm >< 2,8 mm) semelles Absorption de chaleur face froide - semi-conducteurs " " f""' face chaude ' Dégagement de chaleur source chaude Figure 1 GeH4(g) 90,8 217,0 11 paroi adiabatique source froide source chaude | . . | | | | X 0 --+ x x + dx { ex Figure 3 Corps extérieur ( 1 ) source froide Corps extérieur (2) source chaude Figure 4 Utilisation (composant à refroidir) r--' ...................... ................................................................ ......... _ . FACE FROIDE TF ' soudure froude en cunvre . M en céramique paroi adiabatique semi-conducteur N semi-conducteur P FACE CHAUDE Tc _ en céramique soudure chaude en cuuvre : M | | Puits thermique : radiateur à ailettes + ventilateur Figure 5 Tournez la page S.V.P. n = 69 pavés en série (partiellement représentés) 12 Composant à refroidir ................................................................................................................................................................ _..,.....,. F A C E F ROI D E : TF 4---- paroi adiabatique FACE CHAUDE : Tc EÀQHOEË î'äl'rËkæ E_igg£e_& P R7 .! Espace à | "T-- ê'.ZI:ë.?I"."..jî.äà:'.'3 - 4 thefm08ta ter , Fig ure 9 FIN DE L'EPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 E3A Physique et Chimie PSI 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) et Cyril Jean (ENS Ulm) ; il a été relu par Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE), Éric Vernier (ENS Ulm), Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Mickaël Profeta (Professeur en CPGE). Cette épreuve est composée de deux problèmes indépendants. Celui de physique étudie l'asservissement en température d'un capteur CCD par un dispositif du type cellule à effet Peltier. · Dans une première partie, on rappelle quelques principes élémentaires de la conduction électrique et thermique, puis on décrit un effet thermoélectrique bien connu, l'effet Peltier. · La deuxième partie décrit comment ce principe peut être utilisé pour refroidir un système physique. Ces quesions demandent beaucoup de soin, car une erreur de signe dans un bilan de transfert d'énergie peut avoir des répercussions jusqu'à la fin du problème. · Enfin, dans une troisième partie, on étudie un circuit d'asservissement qui permet de contrôler la température du dispositif à refroidir : on décrit une chaîne de contre-réaction, et on regarde précisément le rôle des différentes constantes de temps. Il est nécessaire d'être extrêmement soigneux pour traiter ce type de problème : pour chaque grandeur thermodynamique calculée, il faut prendre le temps de comprendre quel est le sens du transfert d'énergie considéré, et penser à des lois de conservation entre différentes parties du système étudié afin de vérifier la cohérence des résultats. Le problème de chimie s'intéresse aux alliages de germanium et de silicium ainsi qu'à leur dépôt sur un substrat de silicium. Le matériau obtenu est utilisé dans la réalisation de la cellule Peltier étudiée dans le problème de physique. · On étudie d'abord le germanium et les alliages SiGe par la cristallographie. On vérifie notamment que les deux éléments ont des structures cristallographiques voisines, permettant la formation d'un alliage et une bonne adhésion à la surface. · Dans la suite, on s'intéresse au dépôt de ces métaux sur un substrat de silicium du point de vue thermodynamique et cinétique. On cherche quelles sont les conditions à adopter pour contrôler la proportion de chaque élément lors de la croissance de l'alliage à la surface du substrat. Indications Première partie A.2.b Penser à utiliser le fait que la paroi latérale est parfaitement calorifugée. A.2.d Bien réfléchir au sens du transfert de chaleur selon que l'on considère la face froide ou la face chaude. A.3 Le pouvoir thermoélectrique AB du couple de conducteurs A/B est positif. B.3.a Noter que Pf est la puissance prélevée par le module à la face froide. B.3.d Écrire l'expression de Topt en injectant l'expression de Iopt dans celle de TFmin établie à la question B.3.c, puis exprimer Gth TC en utilisant l'équation du second degré vérifiée par Iopt . B.4.a Comment doit se situer l'effet Peltier par rapport à l'effet Joule et au transfert thermique conductif pour que la cellule fonctionne efficacement ? C.1 Utiliser le premier principe de la thermodynamique. C.2 Mettre le résultat sous la forme TF (t) = (Ta - T ) e -t/ + T C.6.a Penser à la loi associée à un diviseur de tension. C.6.b Utiliser le fait que les amplificateurs opérationnels (AO) sont supposés idéaux, et fonctionnent en régime linéaire. Justifier l'importance de la fonction suiveur des AO 1 et 2, ainsi que du rôle de convertisseur tension-courant de l'AO 5. C.6.d L'énoncé comporte une erreur : en fait R0 = 2 k. C.6.e Utiliser les résultats des questions C.6.a et C.6.b. Seconde partie A.1.a La place d'un élément dans la classification périodique dépend du remplissage de sa sous-couche externe. A.1.b Pour matérialiser les bonnes liaisons Ge-Ge, garder à l'esprit la valence du germanium. A.2.b Traduire mathématiquement l'énoncé. Attention cependant pour l'application numérique à ne pas confondre distance interatomique et paramètre de maille. B.1.a Attention aux unités de r H1 et r S1 . B.2.b Linéariser l'expression de la vitesse puis effectuer une régression linéaire. B.3.b Si les facteurs pré-exponentiels sont du même ordre de grandeur, la relation sur les Ea permet d'avoir une idée de la relation sur les vitesses. B.4.c Écrire les lois expérimentales appropriées et en déduire les variations de paramètres intensifs qui déplacent l'équilibre dans le sens direct. B.5.c Bien faire le décompte du nombre d'inconnues et d'équations. Autant d'inconnues que d'équations sont nécessaires pour résoudre le système. Le rapport du jury mentionne que « la résolution du sujet ne nécessitait qu'un minimum de technicité calculatoire », et que cette épreuve « privilégiait la réflexion, le sens physique et l'analyse des phénomènes ». Les correcteurs insistent aussi sur l'importance de rédiger « de façon simple et compréhensible ». Il semble que la stratégie consistant à « survoler le sujet dans le seul objectif de compiler un maximum de points » irrite quelque peu le jury. Rappelons qu'une copie est appréciée dans son ensemble : une rédaction claire, une présentation soignée et une attitude honnête du candidat face à une question qu'il ne sait pas résoudre sont très appréciées par les jurys si l'on se réfère aux rapports des dernières années. Cellule à effet Peltier A. L'effet Peltier A.1 La loi d'Ohm sous sa forme locale relie la densité volumique de courant élec - - trique J él au champ électrique E selon - - J él = E où est la conductivité électrique du conducteur considéré. La loi d'Ohm relie quant à elle la différence de potentiel V aux bornes du conducteur de résistance RC au courant I qui parcourt ce dernier V = (V1 - V2 ) = RC I Or en s'appuyant sur la loi d'Ohm locale et la conductivité électrique étant uniforme V1 dans le conducteur, le courant électrique à - ex travers une section (S) du conducteur s'écrit ZZ ZZ - - - - O I= J él · d S = E · dS (S) (S) - J él V2 (S) Le conducteur C étudié étant cylindrique et homogène, tout plan contenant l'axe (Ox) - est plan de symétrie de la distribution de charges. Comme le champ électrique E est un vrai vecteur, on en déduit qu'en tout point du conducteur, il est orienté parallèlement à l'axe (Ox). - E = E- ex - En régime stationnaire, le champ électrique E étant l'opposé du gradient du potentiel électrique V, on trouve -- - (V2 - V1 ) - E = - grad V = - ex Par conséquent, l'expression du courant électrique I est (V1 - V2 ) S I= La résistance électrique RC du cylindre est donc reliée à sa conductivité selon RC = S - A.2.a La loi de Fourier relie la densité volumique de flux thermique J th au gradient du champ de température. Si désigne la conductivité thermique du conducteur, -- - J th = - grad T On peut dresser une analogie entre la conduction électrique et la conduction thermique : le gradient de température est l'analogue du gradient de potentiel électrique, et le courant celui du flux thermique th : (V2 - V1 ) (TF - TC ) - - ZZ ZZ - - - - th = J th · d S I = J él · d S (S) (S) Par analogie avec la résistance électrique calculée à la question A.1, la conductance thermique s'écrit Gth = S A.2.b On considère un élément de volume du cylindre compris entre x et (x + dx). D'après le premier principe de la thermodynamique, la variation infinitésimale de son énergie interne du est la somme des énergies dissipée par effet Joule q Joule et échangée avec l'extérieur du cylindre q diff par diffusion thermique : du = q Joule + q diff L'énergie dissipée dans cette section de longueur dx par effet Joule s'écrit dx q Joule = (RC I2 ) dt La surface latérale du conducteur étant parfaitement calorifugée, l'énergie thermique q diff échangée par diffusion thermique est la différence de flux thermique à travers les parois de la section considérée en x et (x + dx) : ZZ ZZ - - - - q diff = J th · d S - J th · d S dt (S)x = - S (S)x+dx dT dT (x) - (x + dx) dt dx dx d2 T dx dt dx2 Comme l'on considère le régime permanent, la température en tout point du conducteur est indépendante du temps. Par conséquent, l'énergie interne de la section de conducteur considéré ne varie pas (du = 0), soit RC I2 d2 T dx dt + S 2 dx dt = 0 dx Le champ de température T(x) dans le conducteur vérifie donc l'équation différentielle q diff = S d2 T RC 2 =- I 2 dx S A.2.c La double intégration par rapport à x de l'équation différentielle vérifiée par le champ de température T(x) conduit à RC 2 2 te T(x) = - I x + Cte 1 x + C2 2S