e3a Physique et Modélisation PSI 2021

Corrigé

(c'est payant, sauf le début) : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                   

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2021 EUR y PSI9PC

NES
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

PHYSIQUE-CHIMIE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

e _ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence
des résultats.

e Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants, un de physique un de 
chimie.
e Tout résultat donné dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a pas été
démontré par le ou la candidat(e).

e Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans l'évaluation au 
même titre que les
développements analytiques et les applications numériques.

e Les résultats numériques exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne sont 
pas comptabili-
Sés.

1/12
PROBLÈME 1

Etude d'un haut-parleur électrodynamique
À - Étude générale

On représente ci-dessous un haut-parleur électrodynamique (figure 1). Celui-ci 
est
constitué d'une bobine d'axe (X'X), de résistance R, d'inductance propre L, 
solidaire d'une
membrane pouvant se déplacer parallèlement à elle-même suivant la direction 
(X'X) normale
à son plan. Lorsque la bobine s'écarte de sa position d'équihibre d'un écart 
algébrique x(t), elle
est rappelée vers cette position d'équilibre par une force élastique modélisée 
par un ressort de
raideur k. De plus, l'air produit sur la membrane une force de frottement 
fluide, proportionnelle

à sa vitesse de déplacement, qui s'écrit F, -- --av. On ne tiendra pas compte 
du poids de

l'équipage mobile bobine-membrane.

Châssis

2 Suspensions
& |

# LL
Bobine K
x Aimant

Figure 1 - Schéma du haut-parleur de l'étude

La bobine est placée dans un champ magnétique radial B, uniforme en norme, 
normal à
(X'X), créé par un aimant permanent. On se place dans un modèle simplifié de 
haut-parleur
basé sur la configuration des rails de Laplace, représentée sur la figure 2. Le 
générateur de force
électromotrice (f.é.m.) Et) délivre un signal électrique que l'on veut 
transformer en signal
sonore. La membrane et l'air sont mis en mouvement par l'intermédiaire de la 
barre de largeur
£ qui se déplace de x(t). Cette grandeur x(t) représente l'élongation du 
ressort par rapport à la
position d'équilibre, elle-même caractérisée par la longueur £,. La membrane du 
haut-parleur
est solidaire de la barre. On note m/- la masse du système {barre, 
haut-parleur}. On suppose
donc que la verticale est définie par l'axe z, l'axe x étant horizontal. On 
note (&,, ë,, &,) la base

des vecteurs unitaires de la figure 2.

2/12
Barre

Membrane
X

Figure 2 - Configuration des rails de Laplace de l'étude

Q1. Montrer que la f.é.m. induite e dans le cadre vaut e = -B£v(t) où v(f) est 
la vitesse, dérivée
de x(?).

Q2. Déduire de la question précédente l'équation électrique (E.E.) traduisant 
le comportement
du circuit. Faire le schéma électrique équivalent en tenant compte de la f.é.m. 
induite. On notera
i(t) le courant induit dans ce circuit.

Q3. Faire le bilan des forces s'exerçant sur l'ensemble {barre + haut-parleur} 
de masse mr. En
déduire l'équation différentielle mécanique relative au mouvement de la barre 
(équation E.M.).

Q4. Faire un bilan de puissances en combinant les équations E.E. et E.M. Le 
commenter.

QS. Comparer la puissance de la f.é.m. Prem = ei à la puissance de la force de 
Laplace P,.

Q6. Le générateur délivre une tension sinusoïdale £(f) de pulsation w. On 
utilisera les notations
complexes, pour lesquelles E(t) = Ese/®t, E(f) s'identifiant alors avec la 
partie réelle de E(t).
Montrer que l'on a E = (R + jLw + Z,,)1 = Zi où 1 est le courant complexe 
traversant le circuit
et Zm est une grandeur, appelée impédance motionnelle, dont on donnera 
l'expression en
fonction de B,4,a,mr,w et k.

Q7. Montrer que l'admittance motionnelle Y,, = 1/Z,, peut s'écrire sous la 
forme :

1 1
Vin = -- + jo + -- :

Donner l'expression des termes R,,, Ch et L,, en fonction de B, £,a,mr et k.
Q8. Déduire de ce qui précède le schéma électrique équivalent du haut-parleur.

Le rendement 7 du haut-parleur est défini comme le rapport de la puissance 
moyenne
émise par l'onde sonore sur la puissance moyenne fournie par la source de 
tension.

Q9. Montrer que la relation établie à la question Q4. devient, en raisonnant 
sur les moyennes
temporelles, en régime périodique établi :

(Ei) = (RÈ) + (av').
Commenter ce résultat.

3/12
Q10. En identifiant la puissance émise par l'onde sonore (P,,,) à (av°}, où v 
est la vitesse de
la membrane, montrer que n est de la forme :

1
+R fi+o (2-0) )

On donnera les expressions de Q et w, en fonction de «a, mr et k.

n --

Q11. Commenter la forme obtenue. On pourra par exemple effectuer l'étude 
asymptotique du
comportement en basses et hautes pulsations, ainsi que pour une pulsation 
proche de w,.

B - Membranes élastiques - Figures de Chladni

On convient d'appeler membrane idéale une structure mince, c'est-à-dire de 
faible
épaisseur devant ses autres dimensions, où la raideur est due exclusivement à 
une précontrainte,
c'est-à-dire à une tension surfacique appliquée sur son pourtour. On peut dire 
que les
membranes sont les équivalents à deux dimensions des cordes. Elles se 
retrouvent dans les
diaphragmes de microphones, les peaux de tambours et timbales,

Les figures dites de Chladni sont une découverte célèbre de Ernst Florence 
Friedrich
Chladni (1756-1827), musicien et physicien de Leipzig. Pour les produire, 
Chladni saupoudrait
une plaque métallique carrée avant de la faire vibrer avec un archet. En 
frottant le bord de la
plaque à différents endroits, Chladni a su produire des sons différents. De 
plus, sous l'action de
la vibration, la poudre se déplaçait pour s'accumuler aux points stationnaires 
de la plaque,
donnant ains1 des figures caractéristiques qui portent son nom. On peut 
aujourd'hui faire vibrer
une plaque plus simplement en utilisant un haut-parleur, ce qui permet un 
contrôle plus précis
de la fréquence de vibration, grâce au générateur de tension. On donne 
ci-dessous quelques
figures de Chladni pour une plaque vibrante.

195: 136. 197. 134.
L M ec
bol S
)
Le Sp | PS f

Figure 3 - Quelques figures de Chladni

Q12. Que représentent les lignes noires sur les figures ?

4/12
Soit une membrane au repos dans le plan (Oxy). On note z le déplacement 
transversal
de la membrane. En négligeant toute force extérieure s'exerçant sur la 
membrane, on montre
que l'équation de propagation est, en coordonnées cartésiennes, pour z = Z(x, 
y, t) :

0?z 4 0?z\ 1 0°z
0x2 dy2] c?ôt?.
OÙ C = est la célérité des ondes sonores dans la membrane, 7 la tension par 
unité de longueur

de la membrane et u la masse surfacique de la membrane.
On considère une membrane rectangulaire de longueur a selon [Ox) et b selon 
[Oy),
conformément à la figure 4 ci-dessous. On note ll" le contour de la membrane.

y
A
b La membrane est repliée et étirée
uniformément sous le contour l" de sorte
que l'on impose comme conditions
limites z(x, y,t) = 0 pour (x, y) ET'.
0 à > X

Figure 4 - Modèle géométrique de la membrane

On cherche une solution de l'équation de propagation sous la forme de fonctions 
à variables
séparées :
Z(X,y,t) = X(X)YOY)T(E)

Q13. Montrer que cela revient à écrire, avec « et f deux constantes :

d?X 2 d°Y 2.
-- + a X
O
PP, +P
Position de la membrane Position de la membrane
at=0 à l'instant t.

Figure 8 - Schéma des positions

8/12
Q27. Écrire l'expression de £(x, t), déplacement de l'onde sonore à l'abscisse 
x.

Q28. On définit l'impédance acoustique pour une onde plane progressive par la 
relation
_ P1(M,t)
 va(ME)

x croissants. On pourra raisonner en utilisant les notations complexes. Faire 
l'application

. Montrer que l'on a Z = u,c pour l'onde plane progressive dans le sens des

numérique pour Z dans l'air, de masse volumique y = 1,2 kg:m°* et de 
compressibilité
isentropique #s= 7,1:10% Pa'!.

Q29. Calculer la puissance de la force de surpression s'exerçant sur la 
membrane en fonction
de Lo, ©, S et v.. En déduire que la force que le fluide exerce sur la membrane 
est de la forme

F, -- --av, où l'on identifiera le coefficient & en fonction de c, S et 4. Il 
s'agit de la force « de

frottement fluide » de la partie A.

F - Intensité acoustique et densité volumique d'énergie sonore

Le vecteur de Poynting acoustique noté II est défini par la relation dE = Il - 
dS dt où d?E est

l'énergie sonore transmise à la surface orientée dS pendant la durée df. On 
considère que la
vitesse des particules de fluide est v, et que p, est la surpression acoustique.

Q30. Qu'''appelle-t-on intensité acoustique (ou sonore) ? On la note I dans la 
suite.

Q31. Pourquoi définit-on l'intensité acoustique en décibels par la relation 1,8 
= 10 log (: )
ref

(avec Ler = 10777 W-:m *)?

Q32. On considère une onde plane progressive harmonique, d'intensité acoustique 
Tag = 120 dB
et de fréquence fo -- 1,0 KHZz. On rappelle l'expression du vecteur de Poynting 
acoustique :
II = P,d4.
- Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting acoustique.
- En déduire les amplitudes P,, et v de la surpression p1 et de la vitesse des 
particules v
(on considérera que vitesse et surpression, sinusoidales, sont en phase et on 
prendra la
valeur numérique de Z trouvée à la question 28).
- Vérifier la validité de l'approximation acoustique.
- _ Déterminer l'amplitude xn du déplacement des particules de fluide. 
Commenter.

..._ (T O0 f1 1
Q33. Démontrer que div(Il:) nr CS xsP? + = Hov)

On fera la démonstration en raisonnant à une seule dimension spatiale, 
c'est-à-dire en prenant
A -- V1 (x, the. et P: -- P, (x, t).

/ > 1 sr 2 JO Ô \
Q34. Sachant que l'équation locale de conservation de l'énergie s'écrit divil, 
+ _ = Ü,oùue

r . . \ . r . . 1
est l'énergie volumique du système, donner une interprétation physique des 
termes ; xsP? et

1 2
> Ho V1:

9/12
PROBLÈME 2

Dosage d'un produit bactéricide

L'eau de Javel est une solution basique constituée d'un mélange équimolaire
d'hypochlorite de sodium (Naf,,, + C1O/,) et de chlorure de sodium (Na) + 
Clay). Sa

préparation a été mise au point au XVIII siècle par Claude Louis Berthollet à 
la manufacture
de Javel (ancien village d'Île de France), en faisant réagir sur la soude un 
courant gazeux de
dichlore selon le bilan :

Clg) + 2H (Gq) = CO (a) + Clcagy + H20(0
L'eau de Javel peut être utilisée comme détergent, décolorant ou encore comme 
antiseptique.

Données : On prend -- In 10 = 0,06 V, où R = 8,314 J-K'!'-mol! est la constante 
des gaz

parfaits, T la température absolue et F le Faraday. On donne aussi les 
potentiels standards
E(HCIO/CL,) = 1,60 V et E(Cl(agy/ Clugy) = 1:39 V. Enfin, on choisit Potm = 
pression
atmosphérique = 1,013 bar et pour pK, de l'acide hypochloreux HCIO la valeur de 
7,5.

À - Diagramme potentiel - pH du chlore

Q35. Préciser le nombre d'oxydation de l'élément chlore dans les espèces Cl,, 
CIO" et CT.
Q36. Comment appelle-t-on la réaction proposée ci-dessus d'un point de vue 
rédox ?

Q37. Tracer le diagramme de prédominance des espèces HCIO / CIO" .

On donne figure 9 le diagramme E-pH du chlore. Celui-ci est construit pour une 
concentration
totale en élément chlore égale à C, = 0,1 mol-L'!. Le dichlore étant très 
soluble dans l'eau, on
considère qu'il est entièrement sous forme dissoute. Comme choix de la 
convention frontière,
on prendra l'égalité des concentrations de l'élément chlore pour chaque degré 
d'oxydation.
Ainsi, pour le couple Cl°/CI7!, c'est-à-dire le chlore sous les formes de 
nombres d'oxydation
0 et -I, soit Cl, et Cl", on a:

e [CI] +[CI 1] = 0C, , soit 2[CL | + [CI] = C ;
e Sur la droite frontière : [Cl°]; = [CI]; , soit 2[CL]; = [CI];

Q38. Préciser à quoi correspondent les espèces À, B, C et D.

Q39. Dans un domaine de pH à préciser par lecture graphique, déterminer la 
pente de la droite
frontière E; = f (pH) pour le couple HCIO/CL,.

Q40. Déterminer £°(HCIO/CL) de deux manières, par le calcul et par lecture 
graphique.

10/12
Q41. Quelle est la réaction qui se produit lorsqu'on acidifie le milieu (pH < 3,5) ? Quel en est le danger ? E (V) 2.0 - A 1.0 - 0.5 0..0-- -0.5 -1.0 | É l I [| l É I LI i L I L : : Î i L] : Î L ; |] I [| i L I > pH

0 2 4 6 8 10 12 14
Figure 9 - Diagramme E-pH du chlore

B - Dosage par une méthode d'oxydoréduction

Le degré chlorométrique d'une eau de Javel est le volume de Cl,(g) libéré (dans 
les conditions
normales de température et de pression) lorsque 1L d'eau de Javel réagit selon 
la réaction :

CO a) + Claq) + 2H) = Clg) + H20

Q42. Un berlingot de 250 mL indique un degré chlorométrique de 36. En déduire 
le nombre de
moles de dichlore qui peut être dégagé par acidification.

Pour doser l'ion hypochlorite CIO", on utilise la réaction d'oxydation de l'ion 
1odure 17
par l'ion hypochlorite. On prépare une solution (So) d'eau de Javel en diluant 
quatre fois le
berlingot de degré chlorométrique 36. On titre un volume V, = 10,0 mL de cette 
solution (So)
par une solution d'iodure de potassium KZ étalon de concentration C' = 5 : 102 
mol: L'?,
dans une solution tamponnée à pH = 8,3 obtenue par addition 
d'hydrogénocarbonate de sodium
NaHCO;3 solide en excès. Juste après l'équivalence, l'ajout de X7 conduit à 
l'apparition du
diode 1, que l'on peut identifier en rajoutant quelques gouttes d'empois 
d'amidon. En effet,
une solution aqueuse de diiode J, est brune, mais bleue intense en présence 
d'empois d'amidon,

tandis qu'une solution aqueuse d'iodure de potassium (K*,17) ou d'iodate de 
potassium
(K*,103) est incolore.

Données : pK,(H,C0;/HC0Ozx) = pK = 6,3 ; pK\(HCO3 /CO$T) = pK;2 = 10,4.
( par commodité, on note H,CO; au lieu de CO, ,H,0)

11/12

T-

Figure 10 - Diagramme E-pH de l'iode
Q43. L'addition de l'hydrogénocarbonate de sodium NaHCO; en excès fixe le pH de 
la
solution. Écrire l'équation de dismutation de HCO3. En supposant que c'est le 
seul réactif,

retrouver la valeur du pH du milieu tamponné.

Q44. À pH = 8,3, d'après les diagrammes E-pH, quelle réaction rédox se produit 
par ajout
d'iodure de potassium KI ? Écrire la réaction correspondante.

Q45. Le diagramme potentiel-pH de l'iode donné figure 10 permet-1l de prévoir la
médiamutation de [2 ? Comment la présence d'empois d'amidon pourrait-elle 
modifier cela ?

En admettant qu'elle ait lieu, écrire l'équation bilan de cette médiamutation.

Q46. À quel volume équivalent doit-on s'attendre ?

FIN

12/12

IMPRIMERIE NATIONALE - 211173 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



e3a Physique et Chimie PSI 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Louis Salkin (professeur en CPGE) et Alexandre
Herault (professeur en CPGE) ; il a été relu par Thomas Dupic (ENS Ulm) et 
Jacques
Ding (École Polytechnique).

Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants, un de physique, un de
chimie.
· Le premier problème est consacré au haut-parleur électrodynamique. Après
une description de son principe général de fonctionnement, on s'intéresse aux
modes propres de vibration de la membrane, en lien avec les figures historiques
de Chladni. Puis on propose d'étudier le rôle des filtres électriques 
répartiteurs.
Enfin, on analyse la propagation des ondes sonores émises par le haut-parleur
dans l'air, dans le cadre de l'approximation acoustique.
· Le deuxième problème constitue la partie chimie de l'épreuve et a pour thème
l'eau de Javel. Il est scindé en deux sous-parties qui ne sont pas 
indépendantes.
La première étudie le diagramme potentiel-pH du chlore, la seconde est un
dosage rédox d'un berlingot concentré d'eau de Javel.
Ce sujet, assez varié dans les thématiques abordées, comporte de nombreuses
questions très proches du cours, qu'il convient d'appliquer simplement. Il 
permet
de réviser le phénomène d'induction électromagnétique, le filtrage linéaire, 
l'oxydoréduction (sup) ou la propagation d'ondes sonores dans les fluides 
(spé). D'autres
parties plus originales, sur les figures de Chladni par exemple, nécessitent 
davantage de réflexion ou de calculs. Notons quelques formulations malheureuses 
et un
manque de précision de la part de l'énoncé, par exemple dans la description du 
degré
chlorométrique de l'eau de Javel, ce qui a pu gêner les candidats pendant 
l'épreuve.

Indications
Problème I
3 La barre est soumise à la force de Laplace
Z `
-

-
-
FL =
i dy 
ey  B
ez
0

10 En notation complexe, les moyennes s'écrivent hv 2 i = v v  /2 et hi2 i = i 
i /2.
13 L'énoncé comporte une coquille : la deuxième équation différentielle à 
trouver est
d2 Y
dy 2

2
+
- Y

=0

18 Exprimer le module de la fonction de transfert
puis déterminer les coefficients ai

strictement positifs tels que Hb (x) = 1/ 1 + x6 .
19 Le montage de la figure 6 comporte une erreur : il ne devrait pas y avoir de 
fil
reliant la tension d'entrée à la masse.
29 Montrer que la résultante des forces de pression sur la membrane s'exprime
-

-
Fp = -P1 S 
ex

-
30 Par définition, I = hk  ki.
32 Démontrer que

-
Pm v m
hk  ki =
2
et en déduire les amplitudes Pm et v m , sachant que Pm = Zv m .

-
33 Exprimer div  en situation unidimensionnelle, puis utiliser les équations 
locales
obtenues aux questions 23, 24 et 25.
Problème II
41 Le dichlore gazeux est toxique.
42 Le volume de dichlore indiqué par le degré chlorométrique est exprimé en 
litres.
Les conditions normales de température et de pression correspondent aux valeurs
T = 0 C et P = 1 atm.
43 Le terme dismutation est ici employé pour une signification acidobasique.
44 Comment sont les domaines de I- et de ClO- dans les diagrammes E-pH ?
45 L'empois d'amidon forme un complexe stable avec le diiode I2 .

I. Étude d'un haut-parleur électrodynamique
1 La loi de Faraday s'écrit
e=-

d
dt

avec  le flux du champ magnétique à travers la surface  du cadre, orientée selon

-
-
+
e d'après la figure 1. Le champ B étant uniforme,
z

- 
-
B · d S = B`(`0 + x(t))

ZZ
=

d[B`(`0 + x(t))]
dt
dx
= -B`
dt

Ainsi,

e=-

soit

e = - B`v
On a uniquement tenu compte du flux magnétique extérieur. Le flux propre
est pris en compte dans la suite, par l'intermédiaire de l'inductance propre
de la bobine.

2 Représentons le circuit électrique équivalent, en prenant soin
d'orienter la force électromotrice induite e dans le même sens
que le courant. D'après la loi des mailles,
e + E = Ri + L

Avec la question 1,

di
dt

E = Ri + L

E

i(t)
e

R

L

di
+ B`v
dt

(E.E.)

3 On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L'ensemble {barre 
+
haut-parleur} est soumis à :

-
-
· son poids P = mT 
g ;

-
-
· la réaction du support R , selon 
ez en l'absence de frottement solide ;
-

-
· la force de rappel Fr = -kx
ex exercée par le ressort ;

-
-
· la force de frottement fluide Ff = -
v ;
· la force de Laplace
-

FL =

Z

`

-
-
-
i dy 
ey  B
ez = i`B 
ex

0

-
La projection de la 2e loi de Newton appliquée au système selon 
ex s'écrit
mT

dv
= -kx - v + i`B
dt

(E.M.)

4 Afin de faire apparaître des quantités homogènes à des puissances, multiplions
(E.E.) par i et (E.M.) par v :

di

 Ei = Ri2 + Li + B`vi
dt

m v dv = -kxv - v 2 + i`Bv
T
dt
On égalise les deux expressions de B`vi :
di
dv
dx
= mT v
+ kx
+ v 2
dt
dt
dt

1 2 1 2
d 1
2
mT v + kx + Li + Ri2 + v 2
Ei =
dt 2
2
2
Ei - Ri2 - Li

soit

Au vu des termes apparaissant dans ce bilan, la puissance Ei fournie par le 
générateur
est en partie convertie au système sous forme cinétique, potentielle et
magnétique, en partie dissipée par effet Joule Ri2 et par les frottements
fluides v 2 .
Le terme v 2 correspond à la puissance de l'onde sonore émise par le 
hautparleur, comme on le verra dans les parties suivantes.
5 D'après la question 1,
Pfem = ei = -`Bv i
La puissance de la force de Laplace s'écrit
-
 -
PL = FL · 
v = i`B v
Pfem + PL = 0

De fait,

Ceci traduit le couplage électromécanique parfait au sein du dispositif.
6 Les équations différentielles (E.M.) et (E.E.) sont linéaires : pour une 
entrée E(t)
en régime sinusoïdal forcé, il est aussi licite d'utiliser la notation complexe 
pour x(t).
Or, dériver un signal par rapport au temps revient à le multiplier par j en 
formalisme
complexe : v = jx. L'équation (E.M.) se réécrit alors
j mT v = -
d'où

v=

k
v - v + i`B
j

`B
i
 + j mT + k/(j)

Injectons cette expression dans l'équation (E.E.) passée en notation complexe
E = Ri + jLi + B`v

(B`)2
= R + jL +
i
 + j mT + k/(j)
Ainsi,

E = (R + jL + Zm )i

avec

Zm =

(B`)2
 + j mT + k/(j)