e3a Physique et Modélisation PSI 2020

Thème de l'épreuve Transmission d´énergie électrique sans fil – Chimie des batteries lithium-ion
Principaux outils utilisés électromagnétisme, électrocinétique, cristallographie, thermochimie, oxydo-réduction
Mots clefs couplage, induction, résonance, effet de peau, lithium, batterie, force électromotrice, bobine

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2020 7 PSI9PC
(D

e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

PHYSIQUE-CHIMIE

Vendredi8 mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

*_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence
des résultats.

.< Ne pas utiliser de correcteur. < Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont autorisées + Le sujet comprend deux problèmes indépendants, le premier de Physique et le second de Chimie. * Les données et formules utiles à la résolution figurent en fin d'énoncé (page 16). + Le sujet remis aux candidates et candidats comprend un questionnaire (l'énoncé) et un cahier-réponses. La candidate ou le candidat devra porter l'ensemble de ses réponses sur le cahier- réponses, à l'exclusion de toute autre copie. + Les résultats numériques exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne seront pas comptabilisés. + Les explications qualitatives des phénomènes interviennent dans la notation au même titre que les calculs. + Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le candidat ou la candidate. 1/16 PROBLÈME 1 Transmission d'énergie électrique sans fil L'électricité de demain pourra-t-elle se passer de fils électriques ? La nécessité actuelle de suppri- mer les fils et réduire l'encombrement, ou encore la multiplication des appareils électriques à faible consommation contribuent au développement des techniques et dispositifs de transmission d'énergie sans fil, inspirés des travaux pionniers de Nikola Tesla au début du XX° siècle. Les applications sont nombreuses et touchent divers domaines (voir figure 1) : de l'usage domestique (recharge d'appareils avec batteries, alimentation de petits appareils courants) au monde industriel (recharge de voitures électriques, applications diverses de la transmission de puissance, pour les trains par exemple), en passant par la médecine (apport d'énergie électrique aux implants, sans effectuer d'opérations chirur- gicales lourdes). FIGURE 1 -- Quelques applications de la transmission d'énergie sans fil, de gauche à droite : recharge de téléphone portable, recharge sans fil d'une voiture Nissan Leaf®, pacemaker. Il existe aujourd'hui différents moyens de transmission de puissance sans fil. Citons notamment le couplage inductif non résonant en champ proche, le couplage inductif résonant en champ proche (voir figure 2) et le rayonnement en champ lointain (voir figure 3). Les caractéristiques, avantages et inconvénients de ces techniques sont donnés dans le tableau ci-après. Nous développerons dans cette partie certains aspects du couplage inductif, non résonant puis résonant. FIGURE 2 -- À gauche : couplage inductif non résonant en champ proche ; à droite : couplage inductif résonant en champ proche. FiGurE 3 -- Quelques dispositifs de rayonnement en champ lointain, de gauche à droite : antenne à forte directivité, diode laser, antenne micro-onde. Mentionnons que le transfert de puissance sans fil par couplage résonant a été récemment mis en évi- dence par l'équipe de recherche dirigée par Marin Soljaëié, au Massachusetts Institute of Technology (MIT), en réalisant une transmission de puissance de 60 W avec une distance de 2 m séparant les deux 2/16 bobinages, permettant d'allumer une ampoule (voir figure 2). Ces travaux performants ont donné lieu à une publication dans la revue Science en 2007. C'est à cette occasion que le terme « witricity », contraction de Wireless Electricity, est apparu. me [one] mms [menées | mme OÙ ie [amas anne | D Sécu [ metue | mm | due | Coenedmmnee (une | éme | mom | TABLE 1 -- Comparaison des différentes techniques. COUPLAGE INDUCTIF NON RÉSONANT A / Étude des bobines utilisées Pour établir un couplage inductif non résonant entre une bobine émettrice et une bobine réceptrice, on peut utiliser des solénoïdes ou des bobines « plates » 2D (voir figure 4). FiGurE 4 -- Bobines utilisées. Considérons tout d'abord le cas d'un solénoïde de longueur £ et d'axe de révolution Oz, comportant N spires circulaires jointives de rayon a, et parcourues par un courant d'intensité variable i(f). On fait l'hypothèse d'être dans le cadre de l' Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS) : on calcule le champ magnétique créé par des courants variables i(f), comme en magnétostatique par le théorème d' Ampère. AI. Rappeler les équations locales de Maxwell relatives au champ magnétique B. Comment se simplifient-elles dans l' ARQS ? A2. Dans le cadre de l'ARQS, indiquer comment on passe de l'équation locale concernée au théorème d'Ampère. On suppose dans la suite le solénoïde « infini » et on cherche à exprimer le champ magnétique B(M) en tout point M de l'espace, repéré par ses coordonnées cylindriques (r, 6, z). On admet que le champ magnétique est identiquement nul à l'extérieur du solénoïde. A3. Sous quelle(s) condition(s) l'approximation d'un solénoïde « infini » vous semble-t-elle légitime ? 3/16 A4. En invoquant des arguments de symétrie et d'invariance de la distribution de courants, dé- terminer la direction du champ B(M), ainsi que la (ou les) coordonnée(s) dont dépend(ent) son module. AS. En précisant le contour d' Ampère choisi, montrer tout d'abord que le champ magnétique est uniforme à l'intérieur du solénoïde. En choïissant un second contour d' Ampère, déter- miner le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde en fonction de £, N et i(f). Intéressons-nous à présent au cas d'une bobine « plate », constituée (pour simplifier) de N spires circulaires identiques, d'axe de révolution Oz et de rayon a, placées dans le plan z = 0 et parcourues par un courant d'intensité i(f). On se place à nouveau dans le cadre de l' ARQS et on considère un point M de l'axe Oz, de cote z > 0.

A6.

Préciser, en justifiant votre réponse, la direction du champ magnétique B(M) au 
point M.

AT. Que dire du plan d'équation z = 0 d'un point de vue des courants ? Qu'en 
déduire d'un
point de vue du champ magnétique ? En déduire une relation simple entre B,(--z) 
et B,(2).

On donne l'expression du champ magnétique créé par la bobine « plate » au point 
M :

lo Ni) a

B:(2) EL 22 + av (2 + Ppr

AS. Représenter l'allure de la fonction B,(z). Exprimer le champ magnétique 
maximal B; max,
et déterminer à quelle distance z1/2 de la spire le champ magnétique vaut B; 
max/2, en
fonction de a.

On donne sur la figure 5 les cartes de champ du solénoïde et de la bobine « 
plate », simulées à l'aide
du logiciel FEMM (Finite Element Method Magnetics).

Lu re

FicurE 5 -- Cartes de champ du solénoïde (à gauche) et de la bobine « plate » 
(à droite).

A9. Justifier les symétries et/ou antisymétries observées sur chacune de ces 
cartes de champ.

A10.Sur la carte de champ du solénoïde, on remarque que les lignes de champ se 
resserrent au
sein du solénoïde et qu'elles y sont approximativement parallèles. Que peut-on 
déduire
de ces observations topologiques ? Quelle propriété, relative au flux du champ 
B, permet
de le confirmer ?

4/16
B / Transfert de puissance : rendement de Yates

Modélisons à présent le transfert inductif de puissance entre deux bobines, 
comme celles représentées
sur la figure 6.

A2 spires

Wireless Charging Receiver
For Phona 7/7PRPIBES/SSS/SCSSE

| i(t)

FIGURE 6 -- À gauche : système de transmission classique (émetteur et 
récepteur) utilisé dans les
chargeurs sans fil actuels. À droite : schéma et notations utilisées.

Une bobine émettrice « plate », de résistance électrique R; et d'inductance 
propre Li, comportant
N, spires circulaires de rayon a, est parcourue par un courant d'intensité :

i(#) = Lo cos(wt)

imposé par un générateur (non représenté sur la figure 6).

BI. Définir et exprimer la puissance instantanée reçue par la bobine émettrice 
de la part du
générateur, notée Preue, En fonction de L;, R;, de l'intensité {(r) et de sa 
dérivée di/dr. En
déduire la moyenne temporelle de cette puissance (P>e) en fonction de R: et 15.

Considérons également une bobine réceptrice « plate », de résistance électrique 
R;, d'inductance
propre L, et comportant N, spires circulaires de rayon b, située à une distance 
4 de la bobine émet-
trice. On cherche à définir et exprimer le rendement de transfert de puissance 
entre les deux bobines,
dans le cas d'un alignement parfait. On rappelle l'expression du champ 
magnétique créé par la bobine
émettrice en un point M(z) de l'axe Oz:

> Ho N; i(t) 7 Fe
B = ------ \ù..
2 (2 +47

Pour simplifier, on suppose ce champ magnétique uniforme dans le plan de la 
bobine réceptrice.

B2. Exprimer le flux ® du champ magnétique créé par la bobine émettrice à 
travers la bobine
réceptrice, en fonction de i(f), a, b, d, N; et N:.

B3. Le courant i(f) étant variable, il apparaît une force électromotrice (fem) 
e(f) aux bornes
de la bobine réceptrice. Quel phénomène est ainsi mis en évidence ? Donner 
l'équation
locale de Maxwell à l'origine de celui-ci.

B4. Après avoir nommé la loi utilisée, exprimer la fem e(r) en fonction de Jo, 
w, t, a, b, d, N,
et N;. On négligera le flux magnétique propre du circuit récepteur devant le 
flux extérieur.

BS. En négligeant l'inductance propre L: de la bobine réceptrice, en déduire la 
puissance
reçue par cette dernière de la part de la bobine émettrice, notée Piane, puis 
sa moyenne
temporelle {Pse) en fonction de Lo, w, a, b, d, Ni, N; et Ro.

5/16
On définit le rendement de transmission de puissance par le quotient :

B6.

(Péné)
n =
(Preçue)

Montrer que le rendement peut se mettre sous la forme :

L Ho? NN? dbt w?
7 RiR(d? + &ÿ

avec k un coefficient sans dimension à expliciter. Ce résultat constitue la loi 
de Yates.

C / Modélisation du couplage : inductance mutuelle

On propose dans cette sous-partie une modélisation plus générale du couplage 
magnétique, s'affran-
chissant des hypothèses faites dans la sous-partie précédente. Le couplage est 
quantifié par l'induc-
tance mutuelle M entre les deux bobines, d'inductances propres respectives L; 
et Z, (voir figure 7).

ü1 R1 ZT à

> < E L2 CLR Fiçure 7 -- Circuits couplés par mutuelle inductance. Rappeler la définition de M, ainsi que sa dimension. En appliquant la loi des mailles dans chacun des deux circuits, établir le système d'équa- tons électriques couplées vérifiées par les intensités s,(r) et i(f). Montrer que ce système d'équations conduit au bilan de puissance dEmag dt Eiù = Rii? + Roi? + avec Emag Une quantité à exprimer en fonction de Li, L>, M, i, et à. 
Interpréter ce bilan.

On pose la variable adimensionnée x = i,/i,. Mettre &,a, Sous la forme
l,,
Emag -- 2 2° P(x)

où P(x) est un polynôme d'ordre 2 que l'on explicitera.

En admettant que &,.,, est une quantité positive, montrer que l'inductance 
mutuelle vérifie
une inégalité de la forme M < M,,,,. Exprimer son majorant M, en fonction de Z; et L;. Connaissez-vous d'autres applications de tels circuits couplés par mutuelle induction dans les domaines de l'industrie et de la vie courante ? Deux applications détaillées sont attendues. 6/16 D / Résultats expérimentaux Mesures sur le circuit primaire Mesures sur le circuit secondaire GBF, amplitude tension constante Amplificateur de courant (puissance) Bobine secondaire Bobine primaire FicurE 8 -- Photographie légendée du montage expérimental. On cherche à tester expérimentalement, à partir de matériel usuel de travaux pratiques (voir figure 8), la prédiction théorique de Yates obtenue à la question B6 : L Ho? NN? db! «? RiR(d + @Y Un générateur basse fréquence (GBF), délivrant un signal sinusoïdal de fréquence f, alimente un cir- cuit composé d'une bobine émettrice d'inductance L = 0,86 mH, dite « bobine primaire », et d'une résistance. Un amplificateur de courant permet d'augmenter la puissance fournie à la bobine émet- trice. On place à une distance d de la bobine émettrice une bobine réceptrice identique, dite « bobine secondaire », mise en série avec une résistance. Deux oscilloscopes permettent de mesurer les puis- sances moyennes reçues par les bobines émettrice et réceptrice. Les bobines étant accolées, on étudie tout d'abord la variation du rendement 7 avec la fréquence f imposée par le GBE, tous les autres paramètres demeurant constants (voir figure 9). 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 Rendement 0,03 0,02 0,01 0 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 Fréquence f (Hz) FIGURE 9 -- Évolution du rendement en fonction de la fréquence. 7/16 DI. Estimer le rendement expérimental maximal 7x, ainsi que la fréquence fax à laquelle celui-ci est atteint. D2. Quel comportement en fréquence pouvait-on prévoir par la loi théorique de Yates ? Ce comportement est-il vérifié expérimentalement ? On pourra distinguer le cas des basses et hautes fréquences. En réalité, chaque bobine souffre d'effets capacitifs associés aux différents matériaux isolants séparant les spires. On propose de déterminer un ordre de grandeur de cette capacité parasite C;.. D3. Rappeler l'expression de la pulsation propre w, d'un oscillateur électronique LC en fonc- ton de Let C. D4. En supposant que le rendement soit maximal pour la pulsation w,, en déduire la valeur de C;. On cherche ensuite à sonder expérimentalement l'influence d'un désalignement des bobines sur le rendement. Les résultats sont présentés sur la figure 10. Rendement Distance à l'axe (cm) FicurE 10 -- Évolution du rendement en fonction du désalignement entre les bobines. Chaque série de mesures est effectuée à écartement longitudinal entre bobines d fixé. DS. Interpréter l'évolution observée. Justifier qualitativement que l'effondrement du rende- ment soit plus important lorsque d est petit. On sonde enfin l'influence de l'orientation relative des bobines sur le rendement. Les résultats sont reportés sur la figure 11. Rendement ee ee ss e © © RE - - D ® Angle (deg) FiGurE 11 - Évolution du rendement en fonction de l'angle entre les bobines. D6. Commenter les résultats obtenus. Proposer une justification qualitative, en lien avec les cartes de champ représentées sur la figure 5, permettant de comprendre le contraste avec les résultats obtenus à la question DS. 8/16 COUPLAGE INDUCTIF RÉSONANT E / Fonction de transfert Pour observer un couplage inductif résonant, ajoutons au montage de la sous-partie EUR des conden- sateurs identiques de capacité C dans les circuits primaire et secondaire. On définit le coefficient de couplage k = M/M, entre les deux circuits, M représentant l'inductance mutuelle. Du point de vue des calculs, les circuits couplés sont équivalents au circuit représenté sur la figure 12. (1--k)L (1--Kk)L 1 Ficure 12 - Circuit électrique équivalent ramené au primaire. On fournit ci-dessous sa fonction de transfert en sortie ouverte : y; JwLk _v, _R+jw(L + R?C) - 20 RLC + ju CLR -- 1) où w désigne la pulsation. On donne les valeurs numériques des composants : R = 10 Q, L = 0,86 mH, C = 30 nF. Rappelons que j* = -1. El. Dans la limite où les bobines primaire et secondaire sont infiniment éloignées, quelle valeur attend-on pour le coefficient k ? Qu'en déduire concernant la tension v, aux bornes du circuit secondaire, d'après la fonction de transfert ? Vérifier cette valeur en analysant le circuit équivalent. E2. Donner le schéma équivalent du circuit aux basses fréquences, et en déduire la valeur asymptotique de v,. Est-ce cohérent avec l'expression de H7? En utilisant l'expression de la fonction de transfert, on trace, pour une valeur de k arbitraire, le dia- gramme de Bode de ce système représentant l'évolution du gain en décibels Ga = 201log || en fonction de la fréquence f (voir figure 13). E3. Interpréter les comportements aux basses fréquences et hautes fréquences, en comparant les pentes des asymptotes (en dB/décade) mesurées sur le diagramme de Bode et celles déduites de l'expression de X. Dans le cadre des hypothèses k 1 et R Lu satisfaites expérimentalement (on les vérifiera dans la sous-partie suivante), on peut montrer que la fonction de transfert est approchée par : k D -------- --  1+jwRC - «w? LC E4. Mettre la fonction de transfert simplifiée sous la forme canonique suivante : Ho = ----------; j (w & 1+L[=| [7 -i(2) (2) et identifier les paramètres A, Q et «w, en fonction de k, R, Let C. 9/16 --80 --90 --100 102 10° 104 10° 105 f (Hz) FiGurE 13 -- Diagramme de Bode en gain, obtenu pour k = 0,01. ES. Déterminer l'expression de la fréquence de résonance du système jf; en fonction des pa- ramètres du circuit puis la calculer numériquement. Commenter. E6. La fréquence de résonance f; dépend-elle de k? Expliquer en quoi ce résultat est particu- lièrement intéressant, dans l'objectif d'un fonctionnement à récepteur mobile. 10/16 F / Résultats expérimentaux Mesures primaires Mesures secondaires mr FE -- Es ne di ' es Li OL Le Lin GBF, amplitude tension constante Amplificateur de courant (puissance) Condensateur primaire Bobine secondaire Bobine primaire FiGurE 14 -- Photographie légendée du montage expérimental. On met en oeuvre le montage de la figure 14 en choisissant les valeurs des composants suivantes : R = 10 Q, L = 0,86 mH, C = 30 nF, puis on trace son diagramme de Bode en gain (voir figure 15). Celui-ci fait nettement apparaître un phénomène de résonance. 10000 34 000 Hz 100000 -25 -30 -35 -40 Fréquence f (Hz) FIGURE 15 -- Diagramme de Bode en gain expérimental : évolution du gain en décibels en fonction de la fréquence. F1. Comparer la fréquence de résonance expérimentale à la prédiction théorique de la ques- tion ES. Le rendement de la transmission de puissance est essentiellement fixé par deux paramètres : le coefficient de couplage k entre les circuits primaire et secondaire, ainsi que le facteur de qualité Q des oscillateurs RLC couplés. F2. En analysant le diagramme de Bode en gain expérimental, déterminer la valeur de k. L'hypothèse k 1 faite dans la sous-partie précédente est-elle validée ? 11/16 F3. En détaillant votre méthode, estimer la valeur du facteur de qualité Q et la comparer à son expression obtenue à la question Ed. La figure 16 représente les évolutions comparées du rendement de la transmission de puissance en fonction de la fréquence, pour le couplage non résonant et le couplage résonant. 0,25 0,2 Couplage résonant 0,15 Rendement 0,1 0,05 Couplage non résonant 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 Fréquence f (Hz) FiGurE 16 - Évolution du rendement en fonction de la fréquence. F4. Estimer le rendement maximal Tax en couplage résonant ; commenter. F5. Le choix de la fréquence de travail vous semble-t-il déterminant dans le cadre du cou- plage inductif résonant ? Comment choisir les valeurs de R, L et C pour optimiser la transmission de puissance ? F6. Afin d'accroître encore le couplage, on trouve dans la littérature d'autres systèmes consti- tués de plusieurs résonateurs (voir figure 17) ou d'un noyau ferromagnétique (non appro- prié dans le cas d'un récepteur mobile). Quel pourrait être l'intérêt de tels dispositifs ? FIGuRE 17 -- À gauche : association de cinq résonateurs en ligne (ou répéteurs) ; à droite : résonateurs diélectriques céramiques de permittivité élevée. 12/16 G / Travaux de recherche Comme montré dans la sous-partie précédente, le rendement de puissance est d'autant meilleur que la résistance électrique des circuits est petite, pour des valeurs de L et C fixées. Dans les travaux de Marin Soljaëié parus en 2007 et évoqués en introduction, les bobines sont consti- tuées d'un fil de cuivre de longueur totale £ et de rayon a = 3 mm, enroulé selon une hélice de n = 5,25 tours, de rayon r = 30 cm et de hauteur h = 20 cm, comme le montre la figure 2 (photogra- phie de droite). On note « la conductivité électrique du cuivre. La fréquence de résonance mesurée vaut 9,90 MHz. On trouve dans la publication une expression théorique de la résistance ohmique RG des bobines en fonction des grandeurs or, £, a, et de façon plus surprenante de la pulsation w : Ro = How EUR 0 147557: 20 Axa GL. Estimer numériquement la longueur totale £ du fil de cuivre, puis sa résistance électrique Ro à la résonance. G2. Quel effet est responsable de la dépendance de RQ avec w ? Proposer une modélisation simple permettant de retrouver, aux facteurs numériques près, l'expression de R4. G3. En comparant le rayon a à une distance caractéristique du phénomène, justifier que l'effet invoqué à la question précédente doive être pris en compte à la fréquence donnée. Partant de cette expression de R, le facteur de qualité théorique Q des circuits est estimé à 2 500, alors que la valeur mesurée est seulement de Q = 950 + 50. Les auteurs de l'article pensent que cet écart est principalement dû à l'effet d'une fine couche d'oxyde de cuivre faiblement conducteur, déposée sur la surface du fil de cuivre. G4. Montrer que cette explication semble cohérente avec le raisonnement développé aux questions précédentes. Pour décrire le phénomène de résonance dans le fil, les auteurs considèrent un profil de courant de la forme 7x i(x,f) = Lo cos (T) cos(wt) où x désigne l'abscisse curviligne le long du fil, compris entre les positions --£/2 et {/2. G5. Commenter la forme de i(x,f) en dressant une analogie avec un autre système. Combien de noeud(s) et ventre(s) de courant comporte le mode proposé ? G6. Ce profil de courant i(x,f) est couplé à un profil de densité linéique de charge A(x;f) au sein du fil. En appliquant soigneusement un bilan de charge à un fin tronçon de fil d'épaisseur dx entre les instants f et r + df, déterminer A(x;f) ainsi que son amplitude maximale À. Quel déphasage temporel existe-t-il entre les profils de courant et de densité linéique de charge ? G7. Le profil A(x,f) peut être vu comme la superposition des oscillations d'une charge globale go(f) dans la première moitié du fil (x EUR [--£/2, 0]) et d'une charge opposée --go(t) dans la seconde moitié (x EUR [0,£/2]). Déterminer leur amplitude commune g, en fonction de À et £. G8. Cette approche en mode sinusoïdal résonant relève-t-elle de l' ARQS ? Proposer un critère numérique permettant de confirmer votre réponse. 13/16 PROBLÈME 2 Chimie des batteries lithium-ion Aujourd'hui, la plupart des équipements électroniques nomades (ordinateurs, téléphones portables, appareils photo.) sont équipés de batteries lithium-ion, mises en lumière à l'occasion de l'attribution du Prix Nobel de chimie en octobre 2019. Les premières batteries au lithium utilisaient ce métal sous forme solide. Le problème avec cette technologie est la formation d'excroissances de lithium, appelées dendrites, qui entraînent une dégra- dation de l'isolation entre l'anode et la cathode, pouvant aller jusqu'à l'apparition de courts-circuits donc de surchauffes, voire d'explosions. Utiliser le lithium sous forme d'ions, s'intercalant au sein d'électrodes constituées d'autres matériaux, a été l'idée fondatrice de la grande famille des batteries lithium-ion au début des années 1990. H / Équation-bilan de fonctionnement Le numéro atomique du lithium est Z = 3. HI. Où se situe-t-il dans la classification périodique des éléments chimiques ? Justifier grâce à sa structure électronique. H2. L'ion lithium le plus stable est Li" ; justifier. La batterie lithium-ion fonctionne sur l'échange réversible d'ions lithium entre une électrode négative carbonée et une électrode positive constituée le plus souvent d'un oxyde de métal de transition. Dans le cas du cobalt Co, l'oxyde a pour formule CoO:. Lors de la charge de la batterie, la réaction électrochimique qui se produit à l'électrode négative est la réduction des ions lithium, s'accompagnant de l'insertion d'un atome de lithium dans la structure graphite de formule C«. H3. Écrire la demi-équation rédox de réduction des ions lithium, puis l'équation traduisant l'insertion de l'atome de lithium dans la structure carbonée. H4. En déduire la demi-équation rédox qui a lieu à l'électrode négative. Dans les deux questions qui suivent, on fait l'hypothèse que les atomes de carbone constituant cette électrode s'organisent selon une structure cubique à faces centrées (cfc). HS. Identifier sur un schéma soigné les sites octaédriques de cette structure et calculer leur habitabilité maximale. H6. Est-ce alors possible de former un alliage d'insertion avec le lithium ? Justifier numéri- quement et conclure. À l'électrode positive, des ions lithium se désinsèrent d'un cristal d'oxyde de cobalt lithié de formule LiCoO;, formant ainsi le cristal d'oxyde de cobalt CoO:. H7. De la même manière que pour l'électrode négative, écrire la demi-équation rédox ayant lieu à l'électrode positive. H8. Finalement, écrire l'équation rédox traduisant le fonctionnement de la batterie. 14/16 I / Masse de la batterie La question H8 a permis de mettre en évidence l'échange d'un électron entre les deux couples rédox en présence. 1. [2. 13. 14. 15. Déterminer la charge électrique maximale Q,,, en Coulomb, transférée par gramme d'ions lithium. En vous aidant des données, déterminer la masse d'ions lithium dans une batterie de téléphone portable. Quel problème écologique cela peut-il soulever ? Déterminer, en W.h, l'énergie de la batterie d'un téléphone portable à 25 °C. En déduire la masse de la batterie. Ce résultat vous semble-t-il plausible ? J / Rendement On étudie la décharge de la batterie : le dispositif se comporte comme une pile. J1. J2. Déterminer l'enthalpie libre standard A,G°(25 °C) de la réaction de décharge de la batterie 425 EUR. Déduire de la figure 18 donnant l'évolution de la tension à vide E de la pile en fonction de la température, l'entropie standard de réaction A;S°. 0.0035 0.0030 0.0025 0.0020 0.0015 E (V) --3.598 0.0010 0.0005 0.0000 - - - - - 280 285 290 295 300 305 310 T'(K) FiGurE 18 -- Variation de la fem de la pile Li-ion avec la température. La fem à une température donnée est obtenue en ajoutant +3,598 V à la valeur lue sur l'axe des ordonnées. J3. Déterminer l'enthalpie standard A;H° de la réaction de décharge. On définit le rendement de la pile par le rapport du travail électrique sur l'énergie chimique. Ja. Déterminer la valeur du rendement pour la pile lithium-1on. 15/16 K / Caractéristiques de l'électrolyte L'électrolyte de la pile Li-ion est un liquide qui baigne l'espace inter-électrodes. C'est un solvant organique contenant des sels fluorés de lithium. Hautement inflammable et toxique, il a surtout l'in- convénient d'être instable. Qu'un échauffement le porte au-delà de 100 °C et voilà qu'y démarre une cascade de réactions chimiques exothermiques. Généralement, l'électrolyte est le sel LiPF4 dissous dans un solvant organique aprotique car le lithium est détruit par tout solvant protique. KI. Qu'est-ce qu'un solvant protique ? Donner un exemple. Certaines personnes proposent de frotter la batterie pendant plusieurs minutes entre leurs mains pour la recharger. K2. Énoncer la loi d'Arrhenius de la cinétique chimique. Définir les différents termes qui y apparaissent, en précisant leurs unités. K3. Que pensez-vous de la méthode proposée en termes de cinétique chimique ? K4. Que pensez-vous de cette méthode en termes de thermochimie, sachant que la réaction de décharge de la batterie est exothermique ? Données Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,0 + 10ÿ m.s !. Permittivité diélectrique du vide : £&9 = 8,9 : 107? Fm !. Perméabilité magnétique du vide : uo = 4x : 1077 H.m'!. Conductivité du cuivre : o = 5,9 : 107 Q7!m !. Épaisseur de peau : 6 = = (w : pulsation). Constante de Faraday : = 96 500 C.mol !. Nombre d'Avogadro : NW, = 6,02 : 10% mol |. Masse molaire du lithium : M = 6,941 g.mol '. Rayon de l'atome de lithium : R;; = 145 pm. Rayon ionique du lithium : R,;+ = 76 pm. Rayon de l'atome de carbone : Rc = 70 pm. Caractéristiques de la batterie Li-ion d'un téléphone portable usuel : - Capacité : Cap = 2 675 mAh. - Énergie MASSIQUE : Emassique -- 200 W.h/kg de batterie. - Tension à vide à 25 °C : E = 3,6 V. FIN 16/16 IMPRIMERIE NATIONALE --- 20 1169 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



e3a Physique et Chimie PSI 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Louis Salkin (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Steve Arnefaux (professeur en CPGE), Vincent Freulon (professeur en CPGE) et
Alexandre Herault (professeur en CPGE).

Ce sujet comporte deux parties indépendantes, l'une de physique, l'autre de 
chimie.
· La première aborde la transmission d'énergie électrique sans fil, un domaine 
en
plein développement. Elle alterne modélisation théorique, analyse de résultats
expérimentaux et étude de travaux de recherche récents. Cette partie utilise les
notions d'électronique et d'induction de première année et d'électromagnétisme
de deuxième année.
· La seconde étudie les batteries lithium-ion qui ont valu à 3 chercheurs le 
prix
Nobel de chimie 2019. Après des questions d'atomistique, cristallographie et
oxydoréduction (programme de première année), cette partie aborde la 
thermodynamique appliquée au fonctionnement d'une pile : estimation d'ordres de
grandeur d'un système concret (batterie de smartphone), détermination 
expérimentale de grandeurs standard de réaction.
Ce sujet est guidé, de difficulté progressive et sans piège. Il permet 
d'étudier des
méthodes originales dans les sous-parties C, G et I.

Indications
Partie 1
A7 Un plan de symétrie des courants est plan d'antisymétrie du champ magnétique,
et vice-versa.
B4 Utiliser la loi de Faraday.
C4 Traduire la positivité de P(x) en un critère sur son discriminant.
E5 Pour alléger les calculs, il est conseillé de poser la quantité x = /0 .
F3 Connaissant 0 et k, repérer les coordonnées d'un point du diagramme de Bode
en gain permet d'aboutir à une estimation de Q.
G1 Le pas de l'hélice étant très inférieur à son rayon, sa longueur ` peut être 
approximée simplement.
G2 Le phénomène à invoquer est l'effet de peau. Pour faciliter la modélisation,
l'énoncé rappelle l'expression de l'épaisseur de peau dans le formulaire.
G6 Exprimer, de deux manières différentes, la variation de charge du brin de fil
compris entre les positions x et x + dx, entre les instants t et t + dt. 
Linéariser
les expressions obtenues à l'ordre 1, en dx et en dt.
G7 Exploiter le lien intégral entre charge et densité linéique de charge :
Z 0
q0 (t) =
(x, t) dx
-`/2

Partie 2
H5 L'habitabilité est le rayon maximal d'un atome pouvant être inséré dans un
site octaédrique. Exprimer l'habitabilité en fonction de RC uniquement afin de
pouvoir calculer sa valeur numérique, utile à la question qui suit.
I1 En termes de proportion, pour un ion Li+ formé à une électrode puis consommé
à l'autre, il y a un électron mis en jeu.
I2 Exprimer la capacité (donnée en mA.h) en coulombs.
I4 L'énergie E de la batterie s'obtient en intégrant la puissance sur la durée 
de
fonctionnement.
J1 Montrer que dans le cas présent, r G s'identifie à r G . Utiliser la relation
thermodynamique entre r G et E, valable pour une pile.
J2 Utiliser l'approximation d'Ellingham et la pente de la droite E = f (T).
J3 Relier r H et r G puis faire une lecture graphique.
J4 Déterminer la variation d'enthalpie |H| au cours du fonctionnement de la 
pile,
et la comparer à l'énergie électrique E calculée à la question I4.
K4 Exploiter la relation de van't Hoff.

Publié dans les Annales des Concours

1. Transmission d'énergie électrique sans fil
A1 Les équations de Maxwell-flux et Maxwell-Ampère s'écrivent respectivement

-
div B = 0

-

-
- 
- +   E
rot B = µ0 
0
t

et

Dans le cadre de l'ARQS, ces équations locales deviennent

-
div B = 0

-
- 
-
rot B = µ0 

et

A2 Soit un contour orienté L. Par le théorème de Stokes,
ZZ
I

-

-
-

-
- 
B· d` =
rot B · d S

-

dS
L

-

d
où S est une surface s'appuyant sur le contour L. En injectant l'équation 
locale de
Maxwell-Ampère dans l'ARQS,
I
ZZ

-

-
-

- · d
B · d ` = µ0
S = µ0 Ienlacé
L

S

L

S

avec Ienlacé le courant enlacé par le contour L. Il s'agit du théorème d'Ampère.
A3 On parle de solénoïde infini quand il possède une longueur très grande devant
son rayon :
`a
En pratique, on pourra retenir la condition ` > 10 a et considérer un point M
situé à une distance supérieure à 2a des extrémités du solénoïde.
-
-
A4 Tout d'abord, remarquons que (M, 
er , 
e ) est un plan de symétrie des courants.

-
Le champ magnétique B (M), devant être perpendiculaire à ce plan, est donc porté
-
par le vecteur 
ez .
De surcroît, la distribution de courants est invariante par translation selon 
z, et

-
par rotation selon  : ainsi, le module de B (M) ne dépend que de r. Finalement, 
le
champ magnétique s'écrit

-
-
B (M) = B(r) 
ez
A5 Soit un contour d'Ampère rectangulaire
ABCD, de longueur b et de largeur c, entièrement contenu dans le solénoïde. La 
circulation du
champ magnétique sur ce contour s'exprime

a

D
C
c
A b B

H

G

E

d
b F

z

`

-

-
B· d` =

I
ABCD

Z
AB

-

-
B· d` +

Z

-

-
B· d`

CD

-

-
car B est orthogonal à d ` selon les côtés BC et DA. Le module du champ 
magnétique
étant indépendant de z, il vient

-

-
B · d ` = [B(0) - B(c)]b

I
ABCD

Ce contour n'enlace aucun courant. D'après le théorème d'Ampère,
B(0) = B(c)
(c < a) - Le champ B (M) est uniforme au sein du solénoïde. Considérons à présent un contour rectangulaire EFGH de longueur b et de largeur d > a. Le champ magnétique étant supposé nul à l'extérieur du solénoïde,
I
Z

-

-

-

-
B· d` =
B · d ` = Bint b
EFGH

EF

Ce contour enlace Nb/` spires parcourues par le courant i(t). Par application du
théorème d'Ampère,
Nb
i(t)
Bint b = µ0
`

-
µ0 N i(t) 
-
B int =
ez
`

soit

A6 Soit un point M appartenant à l'axe Oz. Tout plan passant par M et contenant
l'axe Oz est plan d'antisymétrie des courants, et donc plan de symétrie du champ
-

magnétique. De fait, en tout point M de l'axe Oz, B (M) est porté par -
e .
z

A7 Le plan d'équation z = 0 est un plan de symétrie des courants, et donc un
plan d'antisymétrie du champ magnétique. Cette propriété se traduit par
Bz (-z) = Bz (z)
Bz

A8 Le champ magnétique est maximal en z = 0
et s'écrit
Bz,max =
Par définition de z1/2 ,
Cette égalité devient
puis
soit

Bz,max

µ0 N i(t)
2a

-a

0

Bz,max
2
a2
1
=
2
2
4a
2(z1/2 + a )
Bz (z1/2 ) =

2
2a3 = (z1/2
+ a2 )3/2

z1/2 = a 22/3 - 1  0,77 a

A9 Étudions la carte de champ du solénoïde, schématisée ci-dessous.
-

-

B (M) 
B (L)
M
L

-

B (N)

N

a

z