e3a Physique et Modélisation PSI 2017

Thème de l'épreuve Étude du traitement de certains fusibles
Principaux outils utilisés mécanique, diffusion thermique, thermodynamique, simulation numérique
Mots clefs fusible, conduction thermique, conduction électrique, fusion d'un fusible, dichotomie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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158 CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH Épreuve de Physique - Modélisation PSI Durée 3 h Si, au cours de lépreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, dune part il le signale au chef de salle, dautre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives quil est amené à prendre. L'usage de Lusage de calculatrices est autorisé. AVERTISSEMENT Le candidat devra porter lensemble de ses réponses sur le cahier réponses, à lexclusion de toute autre copie. Les résultats doivent être reportés dans les cadres prévus à cet effet. Remarques préliminaires importantes : ! Les candidats sont encouragés à lire l'ensemble du sujet et à traiter les questions dans l'ordre. ! Il faudra utiliser exclusivement les notations de l'énoncé. ! Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques (données avec un nombre de chiffres significatifs adapté) ; les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés (S.I. n'est pas une unité mais peut dans le texte référer à une unité du système international qu'il vous convient de déterminer). ! !"#$% &#% '"()% *+% ',-("(.-/% '+0% 1&2&)2&13+0% +(% 4$&'45#+0% "($% 1"#2% "67+$% *,&4*+2% 8% '&% compréhension du problème. ! !"#$%2-0#'$&$%9"#2(4%*&(0%',-("(.-%1+#$%:$2+%&*;40%+$%#$4'40-%1&2%'&%0#4$+/%;:;+%0,4'%(,&% pas été démontré par le(la) candidat(e). ! Les scripts seront rédigés en langage Python. ! On suppose que !"#$%, &'()!*+et $%$,&*+ont été préalablement importés sous Python : )#$&-*+!"#$%+./+!$+ 0-&#+/1)$%2)!*(3-.*(+)#$&-*+&'()!*+ 0-&#+#.*$,&*,)4+)#$&-*+$%$,&*+./+$,* La présentation/% '&% '40464'4$-/% ',"2$3")2&13+/% '&% 5#&'4$-% *+% '&% rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs. Tournez la page S.V.P. Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou dy mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. A Ce problème traite du fonctionnement de différents fusibles. Aucune connaissance particulière sur les fusibles nest demandée. En 1753, à Saint-Pétersbourg, le professeur Richman et son assistant étudient les premières machines électrostatiques. Le 6 août, ils sont frappés par la foudre alors qu'ils chargent des condensateurs. L'assistant sen sort pratiquement indemne, tandis que Richman meurt immédiatement : la décharge électrique a traversé son corps. La communauté scientifique est extrêmement choquée. Il apparait alors clairement la nécessité de protéger les systèmes électriques et les personnes les utilisant. Cest Edward Nairne qui fait part pour la première fois de lutilisation de fils métalliques (qui deviendront lélément de base dun fusible) comme moyen de protection lors de décharges de condensateurs. La protection dun système électrique par un fusible fait appel à un principe de fonctionnement très simple. En situation de fonctionnement normal, le fusible assure le passage du courant. Lors de lapparition dun défaut électrique, créant un courant anormalement élevé, le fusible permet la coupure automatique du circuit électrique : le fil métallique constituant le fusible fond en raison de lapport dénergie anormalement important du fait du défaut électrique. Lidée de la protection des systèmes électriques par fusibles sest imposée formellement avec le double développement de lélectrification et de lindustrie. Dès les premières tentatives, la structure de base des fusibles actuels a été définie avec les éléments essentiels : - deux pièces de connexion permettant de relier le fusible au reste du circuit électrique ; - un fil métallique dont le métal constitutif est choisi avec un point de fusion à basse température (typiquement du plomb ou de létain) ; - une cavité qui assure un rôle de protection et qui peut contenir un isolant. Figure 0 : Schéma de base dun fusible Il existe aujourdhui de nombreux types de fusibles ayant le même principe de fonctionnement et les mêmes éléments de base. On retrouve les fusibles sur les installations domestiques, dans l'industrie (principalement pour l'utilisation avec des charges à fort courant d'appel comme les moteurs) ou pour la protection des semi-conducteurs dans lensemble des appareils électroniques. 2 Données : ! ! ! ! charge élémentaire ! = 1,60.10"#$ C ; masse de lélectron %& = 9,11.10"'# kg ; constante de Boltzmann () = 1,38. 10"*' J. K "# ; constante dAvogadro +, = 6,02.10*' mol"#. Données relatives à laluminium : ! Laluminium libère exactement trois électrons de conduction par atome ; ! masse volumique de laluminium -,. = 2,6989 g. cm"' ; ! masse molaire atomique de laluminium /,. = 27,0 g. mol"# ; ! capacité thermique massique de laluminium 0,. = 897 J. K "# . kg "# ; ! enthalpie massique de fusion de laluminium 12345,,. = 398 kJ. kg "# . Caractéristiques de différents métaux : ! température de fusion : 63 ! conductivité thermique : 7 ! conductivité électrique : 8 Plomb Argent Aluminium 63 (K) 600,7 1235 933,5 35,3 429 237 7 (W. m"# . K "#) : 9 8 (unité S.I. « de base ») 6,30. 10 3,77. 10: 4,81. 10 On entend par unité S.I. « de base » lunité non préfixée (exemple : le mètre et pas le centimètre) Formule mathématique : ! <2 ; Laplacien en coordonnées cylindriques : 1; = <=2 + 3 # <; # <2 ; + > <= > ? <@2 <2 ; +  . 4 A6. Expliquer pourquoi la vitesse ----. 9; ne contribue fondamentalement pas à la vitesse moyenne des électrons. A7. Exprimer la vitesse moyenne selon laxe !" notée ?9@ A en fonction de 5, 60 , : et de & et $. A8. En déduire que la conductivité du matériau conducteur sécrit % = 7 B :. On précisera lunité 0² C classiquement utilisée pour cette grandeur. A9. Calculer la durée moyenne entre deux collision :(8 lorsque le conducteur est laluminium. Le libre parcours moyen est la distance moyenne parcourue par un électron entre deux chocs. A10. Calculer un ordre de grandeur de ?9@ A pour un fusible composé dun fil daluminium. On choisira un ordre de grandeur usuel pour la valeur du champ électrique. Commenter en comparant à la vitesse dagitation thermique. A11. En déduire un ordre de grandeur du libre parcours moyen dun électron dans le fil daluminium dun fusible. Quelle critique peut-on faire au modèle de Drude ? On constate expérimentalement que la mobilité et donc le temps de relaxation : dépendent de la température. Pour la suite, on négligera les variations de conductivité avec la température. On considère le fil métallique comme une résistance électrique. Il est parcouru par un courant dintensité D constante. A12. Déterminer lexpression de la résistance électrique de ce dipôle < en fonction de %, # et $. A13. Donner lexpression de la puissance électrique reçue par ce dipôle. Expliquer lorigine de cette puissance. 5 Tournez la page S.V.P. B / Étude des fusibles en céramique Un fusible en céramique est constitué d'un fil métallique cylindrique de section !, de longueur ". On donne la masse volumique #, les conductivités thermique $ et électrique %, la capacité thermique massique & du fil métallique. On considère que toutes ces grandeurs sont uniformes dans le fil métallique et indépendantes de la température. Le fil métallique est soudé à ses deux extrémités sur des plots de cuivre massif que lon considère conducteur électrique et thermique parfait. Le cuivre est maintenu à une température constante '( . Il sagit de la température de lair extérieur au fusible. Le fil métallique est inséré dans une gaine en silice assurant une isolation latérale thermique et électrique parfaite. Le fil métallique est parcouru par un courant dintensité ). Figure 2 : Fusible en céramique On considère que la température ne dépend que de la position et du temps ' = '(*, +). B1. Rappeler la loi de Fourier. Préciser sa signification physique ainsi que celle de chacun de ses termes. Donner les unités de chaque terme. B2. Montrer que léquation aux dérivées partielles vérifiée par la température peut sécrire sous la forme ). /²' -' = +$ . ,& -+ %!² /*² B3. Établir le profil de température dans le fil métallique en régime stationnaire. Tracer lallure de ce profil. La température de fusion du métal est notée '0 . B4. Donner la position *012345 du fil métallique où débute la fusion du métal lorsque le courant atteint lintensité maximale )678 supportée par le fusible. 6 Pour différents instruments électriques (multimètres, GBF, ) on dispose au laboratoire dun ensemble de fusibles dont les valeurs dintensités maximales admissibles varient. On cherche à déterminer au laboratoire le diamètre 9 du fil métallique constituant chaque fusible, de lordre du micromètre. On mesure la longueur des fusibles : " = 3,0 cm. B5. Proposer une méthode optique permettant de déterminer avec du matériel usuel de laboratoire le diamètre des fils métalliques des différents fusibles. Une description rigoureuse du principe de la méthode est attendue. Les différents fusibles sont composés du même type de métal. Les mesures pour chacun de lintensité maximale en fonction de leur diamètre sont effectuées pour '( = 293 K et résumées dans le tableau suivant : )678 (:) 9 (#;) B6. 0,8 57 1,0 64 2,0 100 2,5 114 4,0 145 5,0 160 6,3 188 En explicitant votre méthode, déterminer lélément chimique le plus probable constituant le fil métallique du fusible. Cette question demande de lautonomie et sera évaluée en conséquence. 7 Tournez la page S.V.P. C / Étude des fusibles en verre Au laboratoire on dispose aussi de fusibles où le fil métallique est entouré dair. On doit donc tenir compte de la convection entre le fil métallique et lair environnant. Les échanges thermiques à linterface sont modélisés par la loi de Newton. Le flux thermique surfacique cédé à lair extérieur est !&&&&&&&&&' &' avec ( le coefficient de transfert convectif "#$% = (()(*) + ),-. )/ &' est un vecteur unitaire suivant la normale extérieure à la surface d'échange. et / On considère que ),-. = )0 . Le coefficient d'échange thermique ( décrit les transferts de chaleur entre le fusible et l'air. Le fil métallique est toujours soudé à ses deux extrémités sur des plots de cuivre massif maintenus à la température )0 . Figure 3 : Fusible en verre On peut montrer que la température du fil métallique ne dépend que de la position * si 12 le nombre de Biot (sans dimension) est tel que (3 12 = 51, 4 avec : - 3 le diamètre du fil métallique ; - ( le coefficient de transfert convectif qui est de lordre de grandeur de 10 (unités S.I. « de base ») ; - 4 la conductivité thermique du fil métallique. C1. C2. Justifier que le nombre de Biot est sans dimension. Comme le nombre de Reynolds, ce nombre sans dimension permet de comparer deux grandeurs physiques, lesquelles ? Justifier que lon se trouve ici dans le cas 12 5 1. On supposera cette condition vérifiée dans tout ce qui suit. La température ne dépend que de la position * et du temps 6 : )(*, 6). On se place en régime stationnaire. 9: ;< On pose 7 = 8 C3. =>?@ et )= = A;B @ C@  différentielle non linéaire du type = ?(@(!), !) avec comme condition initiale @(!4 ) = @4 . -/ Pour résoudre une équation différentielle dordre 2 on utilise la fonction !"#$%& qui réalise une intégration numérique. (Le principe dutilisation de cette fonction est détaillé en annexe). BC -A -/ E7. En se référant à lannexe pour la résolution numérique dune équation du type ?C(D BC(!), !), préciser lexpression du vecteur D BC pour le problème étudié ici. E8. En utilisant les notations de lannexe réécrire dans le cadre du problème la fonction ) qui renvoie la dérivée seconde de la température* pour la position (. On fera attention aux arguments attendus. La grandeur ) est supposée déjà enregistrée dans une variable +,"-+ et accessible aux différentes fonctions en tant que variable globale. E9. En se référant au programme utilisé en annexe, créer la liste # 5 attendue par le problème en lenregistrant dans une variable ,$!.&/. On calculera ; = 1000 valeurs de la température entre 0 et # = 1,66 mm et on prendra comme conditions aux limites %(0) = %4 = 293 K et -5 (! = 0) = 0. -/ 14 = On trace alors la température (avec une échelle arbitraire) en fonction de la position avec ces conditions aux limites et pour le courant E = 100 A : Figure 8 : Profil de température #1 E10. Pourquoi cette courbe ne répond pas à notre problème ? Pour résoudre ce problème, on doit trouver la bonne condition aux limites sur la dérivée de la température. E11. Écrire une fonction /01/2345 qui prend comme arguments les deux conditions aux limites de la valeur /2 de la température et de sa dérivée 4 en ! = 0, et qui renvoie la valeur de la température en ! = #. Le tableau des valeurs des positions !< enregistré dans la variable nommée ( est supposé accessible en tant que variable globale. Cette fonction pourra être utilisée dans la suite du problème. E12. Écrire une fonction python /#6'7&84&#$7&&1/23* /& méthode de la dichotomie renvoyant lestimation de la dérivée de la température en ! = 0 permettant davoir une température de %4 en ! = #. Cette fonction prend comme paramètre : - la température /2 en ! = 0 ; - lerreur admise /& 0 et ! = #; - les variables numériques 4%$9 et 4%+( entre lesquelles la valeur de la dérivée sera -5 trouvée par dichotomie. On suppose que la valeur de recherchée est dans lintervalle -/ [FGHI ; FGJK]. -5 Il est à noter que lorsque la dérivée initiale (! = 0) augmente, la valeur de la température -/ finale %(! = #) aussi. -5 On dispose maintenant de la valeur de -/ en ! = 0 qui permet dobtenir le profil de température attendu, tracé entre 0 et # sur la figure 9. 15 Tournez la page S.V.P. Figure 9 : Profil de température #2 E13. Commenter la courbe obtenue. On cherche la valeur de la température maximale observée sur le fusible. E14. Écrire une fonction !"#$%&'()*+,- qui renvoie la valeur maximale atteinte sur le fusible. On nutilisera pas la fonction ()* de python. On trace alors la température maximale atteinte par le conducteur en fonction du courant qui le traverse, sans prendre en compte la fusion. Cette température est tracée sur la figure 10. Figure 10 : Température maximale atteinte en fonction du courant E15. Commenter la courbe obtenue. Préciser la nature des asymptotes à faible et forte intensités. Estimer le courant nominal dun tel fusible. Fin de lépreuve 16 ANNEXE 1 Méthode de résolution numérique dune équation différentielle dordre 2 à laide de la bibliothèque scipy Position du problème :! On cherche à résoudre une équation différentielle dordre 2 du type !& On dispose des conditions « initiales » (()+ ) = (+ et ()+ ) = (+ ,. !' !²" !# ² !& , (()), )*. !' = $% Principe : Une équation différentielle dordre 2 peut être ramenée à un système déquations différentielles dordre 1. Procédure : ! On se donne la fonction python . désignant le second membre de légalité !& , (()), )* !' $% !²" !# ² = ainsi que les conditions initiales enregistrées dans les variables /0 et /01"2(&. ! On ramène léquation différentielle dordre 2 à un système déquations dordre 1. On pose : -+ ()) = (()) et -. ()) = Alors ! ! !²& !'² = !& $ % , (()), )* !' !& ()). !' devient /!0 Vectoriellement, cela se traduit par : 2 !' !01 !' = -. ()) = $(-. ()), -+ ()), )) - ()) On pose 3333333334 -()) = 5 + . -. ()) (+ -. ()) 34 !0 3333333334, )) avec 64 %-()) 3333333334, )* = 5 et 3333333333333333334 -() = 0) = 7( , On a donc !' = 64(-()) $(-. ()), -+ ()), )) + On résout ce système avec la fonction #3&245 de la bibliothèque 6721/8245&9")5& grâce au squelette de programme suivant : Programme : !"#$%&'()*+(,-./"0-.%($)#"-%#1.(,-% ($)#"-%,2$)*%0&%,)% % 1.!%:#4752#4':'%&75&$"324567% %%%%%%".-2",%8289:4;3289:428<:456:% % =%,%.&-%>.%,#$?".%1.%)#&(-(#,&%)#2"%>.&@2.>&%#,%'A."'A.%*% % 5%B%,)+>(,&)0'.35C$(,45C$054,6% &#>2-(#,%B%#1.(,-3!#,'-(#,C!CD.'-.2"48*<4*<)"($.:456% 17 Tournez la page S.V.P. Solution : La variable renvoyée par !"#$%& enregistrée dans '!()&$!% est une matrice de type ndarray comprenant les valeurs de la fonction et de sa dérivée : ["# "#$ ] % ) '!()&$!% = ! % $ ["&'( "&'( ] Ainsi, on accède à la i-ième valeur de la fonction solution de léquation différentielle "(*+ ) par '!()&$!%*$+,- et à la i-ième dérivée par '!()&$!%*$+.-. 18 ANNEXE 2 Fonctions mathématiques générales définies dans numpy Copie décran du site : https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.math.html 19 Tournez la page S.V.P. ANNEXE 3 Exemple de script et de tracé associé avec matplotlib Script : !"#$%&'()"#*'+,'(#' !"#$%&'"+&#-$&-!./#*#-$&'+,'#-&' ' 0'1'(#/-!(,#+2345678(#/#!695:' *'1'(#/2$,40:' #-&/#-$&406*:' #-&/0-!"445678(#/#!::' #-&/0-+.3-4;+.,2!,,3,;:' #-&/*-+.3-4;$%<$((33,;:' ' #-&/,=$>4:' Tracé : 20

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 e3a Physique et Modélisation PSI 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Dumont (professeur en CPGE) ; il a été relu par Virgile Andreani (ENS Ulm) et Cyril Ravat (professeur en CPGE). Ce sujet s'intéresse à différents aspects de la vie et de la mort d'un fusible. · Dans la première partie, on se concentre sur la conduction électrique dans un fusible, en établissant notamment les propriétés découlant du modèle de Drude. · Les deuxième et troisième parties abordent la conduction thermique dans un fusible selon deux modèles différents : le premier porte sur la diffusion dans le fusible en tant que système entièrement métallique, le second complète le précédent en prenant en compte les échanges du fil avec l'air qui l'entoure. · La quatrième partie exploite les précédentes pour étudier des fusibles réels et définir entre autres leurs types. · Enfin, dans une cinquième partie centrée uniquement sur le programme d'informatique commune, on s'intéresse (par des simulations) à la résolution d'équations thermiques pour un fusible réel possédant des rétrécissements, ce qui permet que sa rupture soit plus rapide. Une annexe est fournie pour préciser les fonctions autorisées. Ce sujet foisonne de questions et balaie un grand nombre de parties du programme, en s'éloignant peu du cours. Beaucoup de questions sont calculatoires ou qualitatives, notamment dans la quatrième partie. Suffisamment de résultats intermédiaires sont fournis pour que l'on ne reste pas bloqué. C'est un bon exercice d'entraînement pour vérifier que l'on a acquis les principaux réflexes dans les thématiques abordées. Notons que lors de l'épreuve, les candidats avaient reçu deux énoncés. Le premier est celui qui est reproduit dans ce livre. Le deuxième, qui contenait exactement les mêmes questions, comportait également des cadres dans lesquels les réponses devaient être écrites. C'est ce document qui était ramassé à la fin de l'épreuve. Il s'agissait donc d'une copie normalisée, pratique pour les correcteurs. Indications A4 Ne pas oublier qu'un atome d'aluminium libère trois électrons de conduction. A6 Que peut-on dire de la moyenne des - v ? 0 A7 Intégrer l'équation obtenue en A5 et prendre la moyenne du résultat. B2 Il faut effectuer un bilan d'énergie sur un tronçon élémentaire de longueur dx et sur une durée dt. Ne pas oublier la contribution de la résistance du tronçon. B6 Le fusible fond dès que le point le plus chaud du fil dépasse la température de fusion du matériau le constituant. Évaluer une quantité dépendant de chaque métal et permettant de les discriminer par rapport aux valeurs fournies. C1 Considérer que D revient à envisager n'importe quelle longueur caractéristique du fusible. On peut ainsi en changer si l'interprétation est plus facile. C3 Reprendre le bilan effectué à la partie B mais en ajoutant le flux convectif. C4 Attention, cette équation est du second ordre ! C5 Un tracé à la calculatrice suffit, on ne demande qu'une allure. D2 Tout comme à la question C3, il faut reprendre le bilan mais en considérant l'état transitoire cette fois-ci et en négligeant les échanges thermiques avec les bornes en cuivre. E4 Attention à compter le nombre d'intervalles et à ne pas le confondre avec le nombre de « bornes ». E15 Un bon fusible doit à la fois ne pas être trop sensible à l'effet Joule et pouvoir subir une variation nette de la température entraînant la fonte du fil. A. Conduction dans les métaux A1 Les équipotentielles sont, d'après l'énoncé, des surfaces planes perpendiculaires à Bx. Ainsi, elles dépendent a priori de la position de cette surface, c'est-à-dire de la coordonnée x. Par ailleurs, en un point quelconque d'une telle surface, le potentiel est supposé constant, hypothèse qui montre que le potentiel ne dépend finalement que de la position du plan équipotentiel. Le potentiel en un point M du fil ne dépend que de x. Avec ce résultat et en notant la densité volumique de charges, l'équation de Poisson correspond à V = - d2 V = 0 dx2 Le conducteur étant localement neutre, = 0 ; une double intégration fournit alors, à deux constantes et près : V(x) = x + Les conditions V(0) = VB et V(L) = VA permettent d'aboutir à V(x) = VA - VB U x + VB = x + VB L L A2 Le champ et le potentiel sont reliés par la relation -- - E = - grad V soit ici - U VA - VB - E =- ex = - - ex L L - Le champ est donc uniforme dans le fil métallique et porté par ex . Notons que les lignes de champ électrique sont perpendiculaires aux équipotentielles, ce qui permet de retrouver que le champ est dirigé parallèlement à l'axe Bx. De plus, ce champ « descend » des potentiels, il est donc orienté en fonction du signe de la différence de potentiel U, depuis l'extrémité de plus fort vers celle de plus faible potentiel, ce que l'on retrouve également dans l'expression précédente. A3 Dans un récepteur domestique courant, la différence de potentiel imposée est de l'ordre de Usecteur = 220 V. Si un court-circuit se produit et soumet le fusible à cette tension, celui-ci doit fondre et isoler le récepteur du réseau électrique, ce qui pour une taille de 3 cm proposée par l'énoncé correspond à un champ électrique de l'ordre de 7000 V · m-1 . Dans le cadre d'une utilisation normale, on peut imaginer le fusible soumis plutôt à une dizaine de volts, ce qui correspond à la tension de quelques piles. Pour fixer les idées, certains ordinateurs fonctionnent entre -5 V et +5 V, ce qui est également l'ordre de grandeur d'un chargeur de téléphone. Les machines nécessitant « réellement » la tension du réseau sont les machines qui chauffent ou qui tournent, comme les fours et les machines à laver. Dernière illustration : les dernières générations de LED lumineuses domestiques courantes se branchent sur le réseau mais un petit transformateur baisse la tension utile à 12 V, qui est suffisante pour les alimenter. A4 D'après l'énoncé à la page 3, dans les données relatives à l'aluminium, chaque atome libère exactement 3 électrons de conduction. Or, au même endroit, le sujet fournit les masses volumiques et molaires de l'aluminium, ce qui permet de calculer le nombre d'atomes d'aluminium et donc la quantité d'électrons de conduction : nAl = 3 µAl NA = 1,81.1029 m-3 MAl A5 Le système constitué de l'électron de masse me , dans le référentiel supposé galiléen du laboratoire, est soumis à son poids me - g et à la force électrique -eE e-x . Le rapport de ces deux forces conduit en valeur absolue et avec les valeurs données dans l'énoncé à eE 1011 me g ce qui justifie de négliger le poids devant la force électrique et de supposer que seule celle-ci agit significativement. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit alors de façon simplifiée en eU - - d- v (t) me = -e E = ex dt L d- v (t) eU - ou encore - ex = 0 dt me L L'énoncé ne demande pas explicitement de résoudre cette équation dès à présent ; elle sera résolue un peu plus loin. A6 La vitesse - v0 étant de direction et de norme aléatoires, sa moyenne sur l'en semble des électrons est nécessairement nulle donc - v ne contribue pas à la vitesse 0 moyenne des électrons. A7 On intègre l'équation obtenue à la question A5 en eU - - v (t) = t ex + - v0 me L En prenant la valeur moyenne et avec le résultat de la question précédente, on obtient D E D E eU eU - - - v (t) = t ex + - v0 = ex me L me L La moyenne est donc orientée selon l'axe - e et on peut alors conclure que x hvx i = eU me L A8 La définition du vecteur densité de courant - est D E - = -ne - v soit, d'après la question précédente, 2 ne2 - - = - ne U - ex = E me L me Or, dans un milieu ohmique, on définit la conductivité électrique par le coefficient reliant le champ électrique et le vecteur densité de courant selon