e3a Physique et Modélisation PSI 2017

Thème de l'épreuve Étude du traitement de certains fusibles
Principaux outils utilisés mécanique, diffusion thermique, thermodynamique, simulation numérique
Mots clefs fusible, conduction thermique, conduction électrique, fusion d'un fusible, dichotomie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


158

CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH
Épreuve de Physique - Modélisation PSI
Durée 3 h
Si, au cours de lépreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
dénoncé, dune
part il le signale au chef de salle, dautre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives quil est amené à prendre.

L'usage de
Lusage de calculatrices est autorisé.
AVERTISSEMENT

Le candidat devra porter lensemble de ses réponses sur le cahier réponses, à
lexclusion de toute autre copie. Les résultats doivent être reportés dans les
cadres prévus à cet effet.
Remarques préliminaires importantes :
! Les candidats sont encouragés à lire l'ensemble du sujet et à traiter les 
questions dans
l'ordre.
! Il faudra utiliser exclusivement les notations de l'énoncé.
! Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au 
même titre
que les développements analytiques et les applications numériques (données avec 
un
nombre de chiffres significatifs adapté) ; les résultats exprimés sans unité ne 
seront pas
comptabilisés (S.I. n'est pas une unité mais peut dans le texte référer à une 
unité du
système international qu'il vous convient de déterminer).
! !"#$% &#% '"()% *+% ',-("(.-/% '+0% 1&2&)2&13+0% +(% 4$&'45#+0% "($% 1"#2% 
"67+$% *,&4*+2% 8% '&%
compréhension du problème.
! 
!"#$%2-0#'$&$%9"#2(4%*&(0%',-("(.-%1+#$%:$2+%&*;40%+$%#$4'40-%1&2%'&%0#4$+/%;:;+%0,4'%(,&%
pas été démontré par le(la) candidat(e).
! Les scripts seront rédigés en langage Python.
! On suppose que !"#$%, &'()!*+et $%$,&*+ont été préalablement importés sous
Python :
)#$&-*+!"#$%+./+!$+
0-&#+/1)$%2)!*(3-.*(+)#$&-*+&'()!*+
0-&#+#.*$,&*,)4+)#$&-*+$%$,&*+./+$,*
La présentation/% '&% '40464'4$-/% ',"2$3")2&13+/% '&% 5#&'4$-% *+% '&% 
rédaction, la clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans 
lappréciation des
copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en 
compte. Les candidats
sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Tournez la page S.V.P.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou dy mettre un signe 
quelconque pouvant indiquer sa provenance.

A

Ce problème traite du fonctionnement de différents fusibles. Aucune 
connaissance particulière
sur les fusibles nest demandée.
En 1753, à Saint-Pétersbourg, le professeur Richman et son assistant étudient 
les premières
machines électrostatiques. Le 6 août, ils sont frappés par la foudre alors 
qu'ils chargent des
condensateurs. L'assistant sen sort pratiquement indemne, tandis que Richman 
meurt
immédiatement : la décharge électrique a traversé son corps. La communauté 
scientifique est
extrêmement choquée. Il apparait alors clairement la nécessité de protéger les 
systèmes électriques
et les personnes les utilisant.
Cest Edward Nairne qui fait part pour la première fois de lutilisation de fils 
métalliques (qui
deviendront lélément de base dun fusible) comme moyen de protection lors de 
décharges de
condensateurs. La protection dun système électrique par un fusible fait appel à 
un principe de
fonctionnement très simple. En situation de fonctionnement normal, le fusible 
assure le passage du
courant. Lors de lapparition dun défaut électrique, créant un courant 
anormalement élevé, le fusible
permet la coupure automatique du circuit électrique : le fil métallique 
constituant le fusible fond en
raison de lapport dénergie anormalement important du fait du défaut électrique.
Lidée de la protection des systèmes électriques par fusibles sest imposée 
formellement avec
le double développement de lélectrification et de lindustrie. Dès les premières 
tentatives, la
structure de base des fusibles actuels a été définie avec les éléments 
essentiels :
- deux pièces de connexion permettant de relier le fusible au reste du circuit 
électrique ;
- un fil métallique dont le métal constitutif est choisi avec un point de 
fusion à basse
température (typiquement du plomb ou de létain) ;
- une cavité qui assure un rôle de protection et qui peut contenir un isolant.

Figure 0 : Schéma de base dun fusible
Il existe aujourdhui de nombreux types de fusibles ayant le même principe de 
fonctionnement
et les mêmes éléments de base. On retrouve les fusibles sur les installations 
domestiques, dans
l'industrie (principalement pour l'utilisation avec des charges à fort courant 
d'appel comme les
moteurs) ou pour la protection des semi-conducteurs dans lensemble des 
appareils électroniques.

2

Données :
!
!
!
!

charge élémentaire ! = 1,60.10"#$ C ;
masse de lélectron %& = 9,11.10"'# kg ;
constante de Boltzmann () = 1,38. 10"*' J. K "# ;
constante dAvogadro +, = 6,02.10*' mol"#.

Données relatives à laluminium :
! Laluminium libère exactement trois électrons de conduction par atome ;
! masse volumique de laluminium -,. = 2,6989 g. cm"' ;
! masse molaire atomique de laluminium /,. = 27,0 g. mol"# ;
! capacité thermique massique de laluminium 0,. = 897 J. K "# . kg "# ;
! enthalpie massique de fusion de laluminium 12345,,. = 398 kJ. kg "# .
Caractéristiques de différents métaux :
! température de fusion : 63
! conductivité thermique : 7
! conductivité électrique : 8
Plomb
Argent
Aluminium
63 (K)
600,7
1235
933,5
35,3
429
237
7 (W. m"# . K "#)
:
9
8 (unité S.I. « de base »)
6,30. 10
3,77. 10:
4,81. 10
On entend par unité S.I. « de base » lunité non préfixée (exemple : le mètre et 
pas le centimètre)
Formule mathématique :
!

<2 ;

Laplacien en coordonnées cylindriques : 1; = <=2 +

3

# <;
# <2 ;
+
> <=
> ? <@2

<2 ;

+  .

4

A6.

Expliquer pourquoi la vitesse ----.
9; ne contribue fondamentalement pas à la vitesse moyenne
des électrons.

A7.

Exprimer la vitesse moyenne selon laxe !" notée ?9@ A en fonction de 5, 60 , : 
et de & et $.

A8.

En déduire que la conductivité du matériau conducteur sécrit % = 7 B :. On 
précisera lunité

0²

C

classiquement utilisée pour cette grandeur.
A9.

Calculer la durée moyenne entre deux collision :(8 lorsque le conducteur est 
laluminium.

Le libre parcours moyen est la distance moyenne parcourue par un électron entre 
deux chocs.
A10.

Calculer un ordre de grandeur de ?9@ A pour un fusible composé dun fil 
daluminium. On
choisira un ordre de grandeur usuel pour la valeur du champ électrique. 
Commenter en
comparant à la vitesse dagitation thermique.

A11.

En déduire un ordre de grandeur du libre parcours moyen dun électron dans le fil
daluminium dun fusible. Quelle critique peut-on faire au modèle de Drude ?

On constate expérimentalement que la mobilité et donc le temps de relaxation : 
dépendent de la
température. Pour la suite, on négligera les variations de conductivité avec la 
température.
On considère le fil métallique comme une résistance électrique. Il est parcouru 
par un courant
dintensité D constante.
A12.

Déterminer lexpression de la résistance électrique de ce dipôle < en fonction 
de %, # et $.

A13.

Donner lexpression de la puissance électrique reçue par ce dipôle. Expliquer 
lorigine de
cette puissance.

5

Tournez la page S.V.P.

B / Étude des fusibles en céramique
Un fusible en céramique est constitué d'un fil métallique cylindrique de 
section !, de longueur ". On
donne la masse volumique #, les conductivités thermique $ et électrique %, la 
capacité thermique
massique & du fil métallique. On considère que toutes ces grandeurs sont 
uniformes dans le fil
métallique et indépendantes de la température.
Le fil métallique est soudé à ses deux extrémités sur des plots de cuivre 
massif que lon considère
conducteur électrique et thermique parfait. Le cuivre est maintenu à une 
température constante '( .
Il sagit de la température de lair extérieur au fusible.
Le fil métallique est inséré dans une gaine en silice assurant une isolation 
latérale thermique et
électrique parfaite.
Le fil métallique est parcouru par un courant dintensité ).

Figure 2 : Fusible en céramique

On considère que la température ne dépend que de la position et du temps ' = 
'(*, +).
B1.

Rappeler la loi de Fourier. Préciser sa signification physique ainsi que celle 
de chacun de
ses termes. Donner les unités de chaque terme.

B2.

Montrer que léquation aux dérivées partielles vérifiée par la température peut 
sécrire sous
la forme
).
/²'
-'
=
+$
.
,&
-+ %!²
/*²

B3.

Établir le profil de température dans le fil métallique en régime stationnaire. 
Tracer lallure de
ce profil.

La température de fusion du métal est notée '0 .
B4.

Donner la position *012345 du fil métallique où débute la fusion du métal 
lorsque le courant
atteint lintensité maximale )678 supportée par le fusible.

6

Pour différents instruments électriques (multimètres, GBF,
) on dispose au laboratoire dun
ensemble de fusibles dont les valeurs dintensités maximales admissibles 
varient. On cherche à
déterminer au laboratoire le diamètre 9 du fil métallique constituant chaque 
fusible, de lordre du
micromètre. On mesure la longueur des fusibles : " = 3,0 cm.
B5.

Proposer une méthode optique permettant de déterminer avec du matériel usuel de
laboratoire le diamètre des fils métalliques des différents fusibles. Une 
description rigoureuse
du principe de la méthode est attendue.

Les différents fusibles sont composés du même type de métal. Les mesures pour 
chacun de
lintensité maximale en fonction de leur diamètre sont effectuées pour '( = 293 
K et résumées dans
le tableau suivant :
)678 (:)
9 (#;)
B6.

0,8
57

1,0
64

2,0
100

2,5
114

4,0
145

5,0
160

6,3
188

En explicitant votre méthode, déterminer lélément chimique le plus probable 
constituant le
fil métallique du fusible. Cette question demande de lautonomie et sera évaluée 
en
conséquence.

7

Tournez la page S.V.P.

C / Étude des fusibles en verre
Au laboratoire on dispose aussi de fusibles où le fil métallique est entouré 
dair. On doit donc tenir
compte de la convection entre le fil métallique et lair environnant.
Les échanges thermiques à linterface sont modélisés par la loi de Newton. Le 
flux thermique
surfacique cédé à lair extérieur est !&&&&&&&&&'
&' avec ( le coefficient de transfert convectif
"#$% = (()(*) + ),-. )/
&' est un vecteur unitaire suivant la normale extérieure à la surface d'échange.
et /
On considère que ),-. = )0 .
Le coefficient d'échange thermique ( décrit les transferts de chaleur entre le 
fusible et l'air.
Le fil métallique est toujours soudé à ses deux extrémités sur des plots de 
cuivre massif maintenus
à la température )0 .

Figure 3 : Fusible en verre
On peut montrer que la température du fil métallique ne dépend que de la 
position * si 12 le nombre
de Biot (sans dimension) est tel que
(3
12 =
51,
4
avec :
- 3 le diamètre du fil métallique ;
- ( le coefficient de transfert convectif qui est de lordre de grandeur de 10 
(unités S.I. « de
base ») ;
- 4 la conductivité thermique du fil métallique.
C1.
C2.

Justifier que le nombre de Biot est sans dimension. Comme le nombre de 
Reynolds, ce
nombre sans dimension permet de comparer deux grandeurs physiques, lesquelles ?
Justifier que lon se trouve ici dans le cas 12 5 1.

On supposera cette condition vérifiée dans tout ce qui suit. La température ne 
dépend que de la
position * et du temps 6 : )(*, 6). On se place en régime stationnaire.
9:
;<

On pose 7 = 8

C3.

=>?@

et )= = A;B @ C@ 
différentielle non linéaire du type = ?(@(!), !) avec comme condition initiale 
@(!4 ) = @4 .
-/

Pour résoudre une équation différentielle dordre 2 on utilise la fonction 
!"#$%& qui réalise une
intégration numérique.
(Le principe dutilisation de cette fonction est détaillé en annexe).
BC
-A
-/

E7.

En se référant à lannexe pour la résolution numérique dune équation du type
?C(D
BC(!), !), préciser lexpression du vecteur D
BC pour le problème étudié ici.

E8.

En utilisant les notations de lannexe réécrire dans le cadre du problème la 
fonction ) qui
renvoie la dérivée seconde de la température* pour la position (. On fera 
attention aux
arguments attendus. La grandeur ) est supposée déjà enregistrée dans une 
variable +,"-+
et accessible aux différentes fonctions en tant que variable globale.

E9.

En se référant au programme utilisé en annexe, créer la liste # 5 attendue par 
le problème en
lenregistrant dans une variable ,$!.&/. On calculera ; = 1000 valeurs de la 
température
entre 0 et # = 1,66 mm et on prendra comme conditions aux limites %(0) = %4 = 
293 K et
-5
(! = 0) = 0.
-/

14

=

On trace alors la température (avec une échelle arbitraire) en fonction de la 
position avec ces
conditions aux limites et pour le courant E = 100 A :

Figure 8 : Profil de température #1
E10.

Pourquoi cette courbe ne répond pas à notre problème ?

Pour résoudre ce problème, on doit trouver la bonne condition aux limites sur 
la dérivée de la
température.
E11.

Écrire une fonction /01/2345 qui prend comme arguments les deux conditions aux 
limites
de la valeur /2 de la température et de sa dérivée 4 en ! = 0, et qui renvoie 
la valeur de la
température en ! = #. Le tableau des valeurs des positions !< enregistré dans 
la variable
nommée ( est supposé accessible en tant que variable globale.
Cette fonction pourra être utilisée dans la suite du problème.

E12.

Écrire une fonction python /#6'7&84&#$7&&1/23* /&
méthode de la dichotomie renvoyant lestimation de la dérivée de la température 
en ! = 0
permettant davoir une température de %4 en ! = #. Cette fonction prend comme 
paramètre :
- la température /2 en ! = 0 ;
- lerreur admise /&
0 et ! =
#;
- les variables numériques 4%$9 et 4%+( entre lesquelles la valeur de la 
dérivée sera
-5

trouvée par dichotomie. On suppose que la valeur de recherchée est dans 
lintervalle
-/
[FGHI ; FGJK].
-5
Il est à noter que lorsque la dérivée initiale (! = 0) augmente, la valeur de 
la température
-/
finale %(! = #) aussi.
-5

On dispose maintenant de la valeur de -/ en ! = 0 qui permet dobtenir le profil 
de température
attendu, tracé entre 0 et # sur la figure 9.

15

Tournez la page S.V.P.

Figure 9 : Profil de température #2
E13.

Commenter la courbe obtenue.

On cherche la valeur de la température maximale observée sur le fusible.
E14.

Écrire une fonction !"#$%&'()*+,- qui renvoie la valeur maximale atteinte sur 
le fusible.
On nutilisera pas la fonction ()* de python.

On trace alors la température maximale atteinte par le conducteur en fonction 
du courant qui le
traverse, sans prendre en compte la fusion. Cette température est tracée sur la 
figure 10.

Figure 10 : Température maximale atteinte en fonction du courant
E15.

Commenter la courbe obtenue. Préciser la nature des asymptotes à faible et 
forte intensités.
Estimer le courant nominal dun tel fusible.

Fin de lépreuve

16

ANNEXE 1
Méthode de résolution numérique dune équation
différentielle dordre 2 à laide de la bibliothèque scipy

Position du problème :!
On cherche à résoudre une équation différentielle dordre 2 du type
!&

On dispose des conditions « initiales » (()+ ) = (+ et ()+ ) = (+ ,.
!'

!²"
!# ²

!&
, (()), )*.
!'

= $%

Principe :
Une équation différentielle dordre 2 peut être ramenée à un système déquations 
différentielles
dordre 1.
Procédure :
!

On se donne la fonction python . désignant le second membre de légalité
!&
, (()), )*
!'

$%

!²"
!# ²

=

ainsi que les conditions initiales enregistrées dans les variables /0 et

/01"2(&.

!

On ramène léquation différentielle dordre 2 à un système déquations dordre 1.
On pose : -+ ()) = (()) et -. ()) =

Alors
!

!

!²&
!'²

=

!&
$ % , (()), )*
!'

!&
()).
!'

devient /!0

Vectoriellement, cela se traduit par :

2

!'

!01
!'

= -. ())

= $(-. ()), -+ ()), ))

- ())
On pose 3333333334
-()) = 5 + .
-. ())
(+
-. ())
34
!0
3333333334, )) avec 64 %-())
3333333334, )* = 5
et 3333333333333333334
-() = 0) = 7( ,
On a donc !' = 64(-())
$(-. ()), -+ ()), ))
+
On résout ce système avec la fonction #3&245 de la bibliothèque 6721/8245&9")5& 
grâce
au squelette de programme suivant :

Programme :
!"#$%&'()*+(,-./"0-.%($)#"-%#1.(,-%
($)#"-%,2$)*%0&%,)%
%
1.!%:#4752#4':'%&75&$"324567%
%%%%%%".-2",%8289:4;3289:428<:456:%
%
=%,%.&-%>.%,#$?".%1.%)#&(-(#,&%)#2"%>.&@2.>&%#,%'A."'A.%*%
%
5%B%,)+>(,&)0'.35C$(,45C$054,6%
&#>2-(#,%B%#1.(,-3!#,'-(#,C!CD.'-.2"48*<4*<)"($.:456%

17

Tournez la page S.V.P.

Solution :
La variable renvoyée par !"#$%& enregistrée dans '!()&$!% est une matrice de 
type ndarray
comprenant les valeurs de la fonction et de sa dérivée :
["#
"#$ ]
% )
'!()&$!% = ! %
$
["&'( "&'( ]
Ainsi, on accède à la i-ième valeur de la fonction solution de léquation 
différentielle "(*+ ) par
'!()&$!%*$+,- et à la i-ième dérivée par '!()&$!%*$+.-.

18

ANNEXE 2
Fonctions mathématiques générales définies dans
numpy

Copie décran du site : 
https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.math.html

19

Tournez la page S.V.P.

ANNEXE 3
Exemple de script et de tracé associé avec matplotlib

Script :
!"#$%&'()"#*'+,'(#'
!"#$%&'"+&#-$&-!./#*#-$&'+,'#-&'
'
0'1'(#/-!(,#+2345678(#/#!695:'
*'1'(#/2$,40:'
#-&/#-$&406*:'
#-&/0-!"445678(#/#!::'
#-&/0-+.3-4;+.,2!,,3,;:'
#-&/*-+.3-4;$%<$((33,;:'
'
#-&/,=$>4:'

Tracé :

20

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



e3a Physique et Modélisation PSI 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Dumont (professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Virgile Andreani (ENS Ulm) et Cyril Ravat (professeur en CPGE).

Ce sujet s'intéresse à différents aspects de la vie et de la mort d'un fusible.
· Dans la première partie, on se concentre sur la conduction électrique dans un
fusible, en établissant notamment les propriétés découlant du modèle de Drude.
· Les deuxième et troisième parties abordent la conduction thermique dans un
fusible selon deux modèles différents : le premier porte sur la diffusion dans
le fusible en tant que système entièrement métallique, le second complète le
précédent en prenant en compte les échanges du fil avec l'air qui l'entoure.
· La quatrième partie exploite les précédentes pour étudier des fusibles réels 
et
définir entre autres leurs types.
· Enfin, dans une cinquième partie centrée uniquement sur le programme 
d'informatique commune, on s'intéresse (par des simulations) à la résolution 
d'équations thermiques pour un fusible réel possédant des rétrécissements, ce 
qui
permet que sa rupture soit plus rapide. Une annexe est fournie pour préciser
les fonctions autorisées.
Ce sujet foisonne de questions et balaie un grand nombre de parties du 
programme, en s'éloignant peu du cours. Beaucoup de questions sont 
calculatoires ou
qualitatives, notamment dans la quatrième partie. Suffisamment de résultats 
intermédiaires sont fournis pour que l'on ne reste pas bloqué. C'est un bon 
exercice d'entraînement pour vérifier que l'on a acquis les principaux réflexes 
dans les thématiques
abordées.
Notons que lors de l'épreuve, les candidats avaient reçu deux énoncés. Le 
premier
est celui qui est reproduit dans ce livre. Le deuxième, qui contenait 
exactement les
mêmes questions, comportait également des cadres dans lesquels les réponses 
devaient
être écrites. C'est ce document qui était ramassé à la fin de l'épreuve. Il 
s'agissait
donc d'une copie normalisée, pratique pour les correcteurs.

Indications
A4 Ne pas oublier qu'un atome d'aluminium libère trois électrons de conduction.

A6 Que peut-on dire de la moyenne des -
v ?
0

A7 Intégrer l'équation obtenue en A5 et prendre la moyenne du résultat.
B2 Il faut effectuer un bilan d'énergie sur un tronçon élémentaire de longueur 
dx
et sur une durée dt. Ne pas oublier la contribution de la résistance du tronçon.
B6 Le fusible fond dès que le point le plus chaud du fil dépasse la température 
de
fusion du matériau le constituant. Évaluer une quantité dépendant de chaque
métal et permettant de les discriminer par rapport aux valeurs fournies.
C1 Considérer que D revient à envisager n'importe quelle longueur 
caractéristique
du fusible. On peut ainsi en changer si l'interprétation est plus facile.
C3 Reprendre le bilan effectué à la partie B mais en ajoutant le flux convectif.
C4 Attention, cette équation est du second ordre !
C5 Un tracé à la calculatrice suffit, on ne demande qu'une allure.
D2 Tout comme à la question C3, il faut reprendre le bilan mais en considérant
l'état transitoire cette fois-ci et en négligeant les échanges thermiques avec 
les
bornes en cuivre.
E4 Attention à compter le nombre d'intervalles et à ne pas le confondre avec le
nombre de « bornes ».
E15 Un bon fusible doit à la fois ne pas être trop sensible à l'effet Joule et 
pouvoir
subir une variation nette de la température entraînant la fonte du fil.

A. Conduction dans les métaux
A1 Les équipotentielles sont, d'après l'énoncé, des surfaces planes 
perpendiculaires
à Bx. Ainsi, elles dépendent a priori de la position de cette surface, 
c'est-à-dire de la
coordonnée x. Par ailleurs, en un point quelconque d'une telle surface, le 
potentiel
est supposé constant, hypothèse qui montre que le potentiel ne dépend finalement
que de la position du plan équipotentiel.
Le potentiel en un point M du fil ne dépend que de x.
Avec ce résultat et en notant  la densité volumique de charges, l'équation de
Poisson correspond à
V = -

d2 V
=
0
dx2

Le conducteur étant localement neutre,  = 0 ; une double intégration fournit 
alors,
à deux constantes  et  près :
V(x) = x + 
Les conditions V(0) = VB et V(L) = VA permettent d'aboutir à
V(x) =

VA - VB
U
x + VB = x + VB
L
L

A2 Le champ et le potentiel sont reliés par la relation
--
-

E = - grad V
soit ici

-

U
VA - VB 
-
E =-
ex = - -
ex
L
L

-
Le champ est donc uniforme dans le fil métallique et porté par 
ex .
Notons que les lignes de champ électrique sont perpendiculaires aux 
équipotentielles, ce qui permet de retrouver que le champ est dirigé 
parallèlement à
l'axe Bx. De plus, ce champ « descend » des potentiels, il est donc orienté en
fonction du signe de la différence de potentiel U, depuis l'extrémité de plus
fort vers celle de plus faible potentiel, ce que l'on retrouve également dans
l'expression précédente.
A3 Dans un récepteur domestique courant, la différence de potentiel imposée est 
de
l'ordre de Usecteur = 220 V. Si un court-circuit se produit et soumet le 
fusible à cette
tension, celui-ci doit fondre et isoler le récepteur du réseau électrique, ce 
qui pour
une taille de 3 cm proposée par l'énoncé correspond à un champ électrique de 
l'ordre
de 7000 V · m-1 . Dans le cadre d'une utilisation normale, on peut imaginer le 
fusible
soumis plutôt à une dizaine de volts, ce qui correspond à la tension de 
quelques piles.
Pour fixer les idées, certains ordinateurs fonctionnent entre -5 V et +5 V,
ce qui est également l'ordre de grandeur d'un chargeur de téléphone. Les
machines nécessitant « réellement » la tension du réseau sont les machines
qui chauffent ou qui tournent, comme les fours et les machines à laver. 
Dernière illustration : les dernières générations de LED lumineuses domestiques
courantes se branchent sur le réseau mais un petit transformateur baisse la
tension utile à 12 V, qui est suffisante pour les alimenter.

A4 D'après l'énoncé à la page 3, dans les données relatives à l'aluminium, 
chaque
atome libère exactement 3 électrons de conduction. Or, au même endroit, le sujet
fournit les masses volumiques et molaires de l'aluminium, ce qui permet de 
calculer
le nombre d'atomes d'aluminium et donc la quantité d'électrons de conduction :
nAl =

3 µAl NA
= 1,81.1029 m-3
MAl

A5 Le système constitué de l'électron de masse me , dans le référentiel supposé

galiléen du laboratoire, est soumis à son poids me -
g et à la force électrique -eE 
e-x .
Le rapport de ces deux forces conduit en valeur absolue et avec les valeurs 
données
dans l'énoncé à
eE
 1011
me g
ce qui justifie de négliger le poids devant la force électrique et de supposer 
que seule celle-ci agit significativement. Le principe fondamental de la
dynamique s'écrit alors de façon simplifiée en

 eU -
-
d-
v (t)

me
= -e E =
ex
dt
L

d-
v (t)
eU -

ou encore
-
ex = 0
dt
me L
L'énoncé ne demande pas explicitement de résoudre cette équation dès à
présent ; elle sera résolue un peu plus loin.

A6 La vitesse -
v0 étant de direction et de norme aléatoires, sa moyenne sur l'en
semble des électrons est nécessairement nulle donc -
v ne contribue pas à la vitesse
0

moyenne des électrons.
A7 On intègre l'équation obtenue à la question A5 en
eU -
-

v (t) =
t
ex + -
v0
me L
En prenant la valeur moyenne et avec le résultat de la question précédente, on 
obtient
 D E
D
E  eU
eU -

-

-

v (t) =
t ex + -
v0 =
ex
me L
me L

La moyenne est donc orientée selon l'axe -
e et on peut alors conclure que
x

hvx i =

eU
me L

A8 La définition du vecteur densité de courant -
 est
D E

-

 = -ne -
v

soit, d'après la question précédente,

2

ne2  -
- = - ne U -

ex =
E
me L
me
Or, dans un milieu ohmique, on définit la conductivité électrique par le 
coefficient 
reliant le champ électrique et le vecteur densité de courant selon