e3a Physique et Modélisation PSI 2016

Thème de l'épreuve Étude des caractéristiques d'un robot autonome
Principaux outils utilisés ondes sonores, électricité, conversion d'énergie, programmation
Mots clefs ultrasons, propagation, réflexion, transmission, vecteur de Poynting acoustique, effet Doppler, équation de d'Alembert, détection hétérodyne, filtres, robot, moteur à courant continu, écart-type, incertitude-type, régression linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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117 Tournez la page S.V.P. 2 « Un robot est une machine équipée de capacités de perception, de décision et daction qui lui permettent dagir de manière autonome dans son environnement en fonction de la perception quil en a. » David Filliat ­ ENSTA ParisTech La robotique est donc un très bon exemple de domaine pluridisciplinaire qui implique de nombreuses thématiques. Le but de ce problème est détudier quelques caractéristiques dun robot autonome. Il comporte deux volets : le premier étudie les propriétés de la télémétrie par ultrasons et le second a pour but de déterminer les principaux paramètres physiques du moteur qui alimente le robot. PREMIERE PARTIE TÉLÉMETRIE PAR ULTRASONS A / DÉTECTEUR À ULTRASONS La recherche du maximum dinformation sur lenvironnement est une quête perpétuelle en robotique. Pour se faire, la télémétrie, qui consiste à mesurer des distances, est extrêmement importante. Elle permet au robot de déterminer la position des obstacles (ou leur absence) et ainsi de prendre la décision adéquate. Dans un premier temps, on compare à laide du Cahier Technique suivant deux types de télémétrie. Les différentes technologies de détecteurs A. Les détecteurs photoélectriques Leur principe les rend aptes à détecter tous types dobjets, quils soient opaques, réfléchissants ou même quasi-transparents. Principe : Une diode électroluminescente (LED) émet des impulsions lumineuses, généralement dans linfrarouge proche (850 à 950 nm). Cette lumière est reçue ou non par une photodiode ou un phototransistor en fonction de la présence ou labsence dun objet à étudier. Il existe différents systèmes de détection, le système à réflexion directe (sur lobjet) consiste par exemple, à utiliser la réflexion directe (diffuse) de lobjet à détecter. Points faibles : la distance de détection de ce système est faible (jusquà 2 m). De plus elle varie avec la couleur de lobjet à « voir » et du fond dans lequel il se trouve (pour un réglage donné, la distance de détection est plus grande pour un objet blanc que pour un objet gris ou noir) et un arrièreplan plus clair que lobjet à détecter peut rendre le système inopérant. Principe dun détecteur photoélectrique B. Les détecteurs à ultrasons Les ultrasons sont produits électriquement à laide dun transducteur électroacoustique (effet piézoélectrique) qui convertit lénergie électrique qui lui est fournie en vibrations mécaniques. Principe dun transducteur électroacoustique 3 Le principe est de mesurer le temps de propagation entre le capteur et la cible. Lavantage des capteurs ultrasons est de pouvoir fonctionner à grande distance (jusquà 10 m), mais surtout dêtre capable de détecter tout objet réfléchissant le son indépendamment de la forme et de la couleur. Facteurs dinfluence : les détecteurs à ultrasons sont particulièrement adaptés à la détection dobjet dur et présentant une surface plane et perpendiculaire à laxe de détection. Cependant le fonctionnement du détecteur à ultrasons peut être perturbé par différents facteurs : ! Les courants dair brusques et de forte intensité peuvent accélérer ou dévier londe acoustique. ! Les gradients de température importants dans le domaine de détection : une forte chaleur dégagée par un objet crée des zones de température différentes qui modifient le temps de propagation de londe et empêchent une détection fiable. ! Les isolants phoniques : les matériaux tels le coton, les tissus, le caoutchouc, absorbent le son. ! Langle entre la face de lobjet à détecter et laxe de référence du détecteur. Cahier Technique Schneider Electric n°209 Pour choisir la solution la plus adaptée à lutilisation du robot autonome, on choisit de présenter les principaux avantages et inconvénients des deux solutions dans un tableau. Ultrason Infrarouge Portée Abordé dans la question A1 Abordé dans la question A1 Nature des matériaux compatibles Abordé dans la question A2 Abordé dans la question A2 Facteurs dinfluence Abordé dans la question A3 Abordé dans la question A3 Directivité Les ultrasons sont très évasifs (cône démission large denviron 30°), ce qui peut être un avantage (détection d'obstacle rapprochée) La directivité est très précise ou un inconvénient (détection (cône démission denviron 5°). dobstacles sur les côtés alors que la route en face est dégagée). Coût Quelques dizaines deuros Quelques dizaines deuros A1. À laide des informations apportées par ce Cahier Technique, comparer les portées de ces deux détecteurs. A2. Comparer les capacités de détection des deux capteurs en fonction de la nature du matériau et de la couleur de lobstacle. A3. Relever au moins un facteur dinfluence perturbant la détection par ultrasons et un perturbant la détection par infrarouges. Pour produire les ultrasons, on utilise leffet piézoélectrique inverse que possède une lame de quartz. Si ses deux faces sont soumises à une tension alternative de haute fréquence !", soit #" $%& ' (" )*+$,-!" %&, elle se met à vibrer à la même fréquence !", ce qui engendre une onde ultrasonore dans le milieu environnant. A4. Pour obtenir des ultrasons, donner lordre de grandeur caractéristique de la fréquence !" de la tension alternative à laquelle il faut soumettre la lame de quartz. On précisera les limites du domaine des fréquences des signaux acoustiques audibles par lhomme. A5. Quel est le nom du phénomène physique à lorigine de lélargissement des ondes émises ? Dans le tableau, ce phénomène est caractérisé par le cône démission. Quelle(s) est (sont) le(s) grandeur(s) physique(s) qui permettent dexpliquer lécart entre les cônes démission ? A6. Nommer un autre exemple dutilisation de détecteurs par ultrasons, ainsi quun autre exemple dutilisation de détecteurs infrarouges. Tournez la page S.V.P. 4 Dans toute la suite de la première partie sur la télémétrie, on considère que le détecteur par ultrasons a été choisi et on cherche à comprendre les facteurs perturbant le fonctionnement du détecteur à ultrasons. Dans la sous-partie B, on étudie pourquoi « les forts gradients de température [...] empêchent une détection fiable » ; puis on sintéresse, dans la sous-partie C, au problème « des isolants phoniques » et pour finir, on analyse le problème de la détection dobstacles mobiles dans la sous-partie D. B / CÉLÉRITÉ DE LONDE ULTRASONORE On étudie la propagation dune onde ultrasonore produite dans lair. Lair est assimilé à un gaz parfait, initialement au repos de vitesse !" % #&$, et qui en labsence de toute perturbation possède une masse volumique '" , une pression (" et à une température )" . On suppose que la lame de quartz, positionnée à labscisse * % &, transmet ses vibrations aux couches dair environnantes et crée ainsi une onde ultrasonore sinusoïdale de fréquence +" se propageant suivant ,-. / 0 à la célérité 3. Le passage de londe perturbe léquilibre. En un point 4 de lair dabscisse *, à linstant 5, on note ainsi : · 61,*. 52 la pression avec : 61,*. 52 % (" 7 68 ,*. 52, · '1,*. 52 la masse volumique avec : 1'1,*. 52 % '" 7 '8 ,*. 52. · !$1,*. 52 % !1,*. 521/ où !8 ,*. 521est petit devant 3. !$1,*. 52 % ! 0 Lécoulement du fluide est considéré parfait et on néglige laction de la pesanteur. On donne la constante des gaz parfaits : 9 % :.;<1=> ?@A B8 > C B8 . Dans toute la suite, on se place dans lapproximation acoustique. Cela signifie que : · on considère des ondes de faible amplitude, pour lesquelles la surpression 68 est très petite par rapport à la pression (" de lair au repos : D68 D E (" ; · on mène les calculs au premier ordre. B1. Lair étant assimilé à un gaz parfait de masse molaire 4F , à la température )" supposée (dans un premier temps) constante, retrouver lexpression de la pression 6 de lair en fonction de ', 4F , )" et 9. En déduire que lapproximation acoustique se traduit aussi par la relation '8 E '" . Bilan de masse On considère un volume élémentaire dair GH, fixe dans le référentiel du laboratoire, contenu dans un cylindre de section I constante, daxe ,-. /0 et compris entre les surfaces situées en * et en * 7 G*. Ce système est ouvert. x x + dx /0 x d S Figure 1 ­ Volume élémentaire dair B2. Donner lexpression de la masse G?1,152 présente dans le volume GH à linstant 5. De même pour la masse G?1,15 7 G52 présente dans le volume GH à linstant 5 7 G5. Tournez la page S.V.P. ...... m5 :: QOÊ3mä 8%:5=m no:om3mä $ Êm3mîm bmw :Ëmoeo=oe 3% 5 omoe ......Ë: Soc.... mSo:oäoe... o: ....8= -l> 03 U.} .b N Célérité (m/s) who HO ....w NO N... wo Am3--OEEÊÆ îQ In:--m » | Om_m1ä amoe c=$m0:w @: 330203 _m 333868 3. m5 ___:OE2m__m m:<...mmom am 333888 ?o= mm:--@ B __m Figure 4 ­ Réflexion et transmission sur une interface plane Tournez la page S.V.P. 8 On considère le cas dondes planes progressives, harmoniques se propageant suivant laxe !"# $&&&&'() % à la célérité *. On adopte la notation complexe pour les surpressions instantanées et pour les vitesses instantanées. De plus, on introduit limpédance acoustique +, dun milieu -, coefficient supposé réel positif. On a donc pour londe incidente : · .', !/# 0) ( 1 ., !/# 0)($&&&&'% 1 .,2 34567!82 0 9 :, /);($&&&&'% · <, !/# 0) 1 <,2 34567!82 0 9 :, /); 1 += > .,2 34567!82 0 9 :, /);( ; pour londe réfléchie : · &&&'!/# .? 0) ( 1 .? !/# 0)($&&&&'% 1 .?2 34567!82 0 @ :? /);($&&&&'% ·  .?2 34567!82 0 @ :? /); ; et pour londe transmise : · &&&'!/# .A 0) ( 1 .A !/# 0)($&&&&'% 1 .A2 34567!82 0 9 :A /);($&&&&'% ·  .A2 34567!82 0 9 :A /);( ; où toutes les amplitudes .,2 , .?2 et .A2 sont des coefficients supposés réels. C1. Expliciter la condition aux limites à linterface pour la pression et montrer quelle conduit à la relation : <,2 @  (R4) C2. Expliciter la condition aux limites à linterface pour la vitesse et montrer quelle conduit à la relation : .,2 @ .?2 1 .A2 > (R5) C3. Déduire des relations (R4) et (R5) les expressions des coefficients de réflexion C 1 transmission 0 1 DHF DGF en amplitude, en fonction de += et de +B . DEF DGF et de On introduit le vecteur de Poynting acoustique réel I &' associé au vecteur de Poynting acoustique complexe I &' défini par I &' 1  .' où  KLI KLI &', MK &', MK C4. C5. C6. Quelle est la signification physique du vecteur de Poynting I &' ? Quelle est son unité usuelle ? Exprimer Q et U en fonction de += et de +B . En déduire que Q @ U 1 O. Que traduit cette relation ? 9 Le tracé du coefficient de transmission en puissance entre deux milieux en fonction du rapport de leur impédance acoustique donne la courbe suivante : T 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 Z2 / Z1 Figure 5 ­ Coefficient de transmission en puissance en fonction du rapport des impédances Le tableau ci-dessous donne les valeurs de limpédance acoustique de quelques milieux présents dans une maison. Milieu air béton bois dur verre polystyrène expansé milieu biologique Impédance acoustique !"#$%& '() & *(+ , -./& 012 3.3& 014 /.3& 014 0.-& 015 6.1& 017 0.8& 014 Figure 6 ­ Impédance acoustique de quelques milieux C7. En utilisant les figures 5 et 6, et en expliquant votre raisonnement, déterminer le milieu que le robot autonome détectera le moins. Pour ce milieu, déterminer les valeurs des coefficients de réflexion et de transmission. Londe est-elle bien réfléchie par les matériaux usuels rencontrés dans une maison ? D / DÉTECTION DUN OBSTACLE MOBILE Effet Doppler Le robot doit aussi être capable de détecter des obstacles mobiles : enfant ou animal domestique se déplaçant. On étudie donc, dans cette partie, la réflexion dune onde ultrasonore sur un obstacle (ou paroi) assimilé à une interface plane, imperméable, perpendiculaire à la direction de propagation. :; < " =9">::::;. Lobstacle se déplace en direction de lémetteur à vitesse constante 9 ? On place lorigine du repère à la position initiale de lobstacle, la position de ce dernier est donc : @A "BCD < =9C" On admet, dans cette partie, quil ny a pas donde transmise. On néglige leffet de lécoulement de lair engendré par le déplacement de la paroi, cest-àdire que lon considère que les ondes incidentes et réfléchies se propagent comme si lair était au repos. Tournez la page S.V.P. 10 onde incidente obstacle mobile onde réfléchie " +, ----. P !#$%$&$"$'$ O ! Figure 7 ­ Réflexion sur une interface plane mobile On considère le cas dondes planes progressives, harmoniques se propageant suivant laxe ()* +----.$/ , à la célérité 0. On adopte la notation complexe pour les surpressions instantanées et pour les vitesses instantanées. On a donc pour londe incidente : · 12 (3* 4/ % 125 6!789(:5 4 ; <2 3/= · >.2 (3* 4/ $ % >2 (3* 4/$+----., % >25 6!789(:5 4 ; <2 3/=$+----., ; pour londe réfléchie : · 1? (3* 4/ % 1?5 6!789(:? 4 @  ---.(3* 4/ $ % >? (3* 4/$+----., % >?5 6!789(:? 4 @ .2 (3* 4/ et réfléchies ---.(3* >? 4/ vérifient léquation de dAlembert à une dimension :$ et <2 ainsi que celle reliant :? et " ( >>valeurs_R=calcul_R(serie1,serie2) >>>moyenne(valeurs_R) 0.7667395640895386 >>>incertitude_type(valeurs_R) 0.002043940093438388 E9. E10. 1 2 3 4 5 -->valeurs_R=calcul_R(serie1,serie2) -->moyenne(valeurs_R) 0.7667396 -->incertitude_type(valeurs_R) 0.0020439 En déduire la valeur de # en précisant lincertitude élargie correspondant à un niveau de confiance de 95 %. Que représente lincertitude élargie ? Du point du vue du codage des nombres flottants en machine, comment justifier la différence du nombre de chiffres significatifs fournis par scilab et python ? F/ ESSAI À VIDE EN FONCTIONNEMENT GÉNÉRATEUR Au cours de cet essai, la M.C.C. fonctionne en génératrice à vide ; aucune charge électrique nest connectée. Larbre est mis en rotation par un dispositif mécanique extérieur. On mesure pour différentes valeurs de la vitesse angulaire de rotation ! de la M.C.C., la tension 6 générée à ses bornes. Le capteur de vitesse fournit une tension alternative dont la fréquence 7 en hertz est 30 fois la fréquence de rotation 8 de la M.C.C. en tours par seconde. F1. Quelles sont les expressions de la vitesse angulaire de rotation ! (en 9:;3 < =0) et de la fréquence de rotation 1 (en >9?@A8) en fonction de la fréquence 7 mesurée ? Figure 12 ­ Schéma de montage de lessai à vide Capteur de vitesse Dispositif mécanique extérieur Mesure B : 6C (en D) 7C E(en FG) 4C "6$ (en @D) 1 1,0293 76,80 0,4 2 2,2551 167,24 0,8 arbre en rotation 3 3,4583 256,34 1,1 4 4,7254 350,48 1,5 MCC ! 6 D 7 5 5,946 442,3 3 6 7,162 535,1 3 7 8,338 625,8 4 8 9,098 684,9 4 9 10,686 807,6 4 10 12,027 910,4 5 On désire, à laide de ces mesures, déterminer la constante de proportionnalité " entre la force contre électromotrice 6 et la vitesse angulaire de rotation ! de la M.C.C. : 6E % EH!3 Pour cela les données expérimentales ont été reportées sur un graphe 6 % 7"!$ de la figure 13. 15 Figure 13 ­ Force contre-électromotrice ! en fonction de la fréquence de rotation " Au cours de la 8ème mesure, on visualise sur le voltmètre la valeur de ! : Affichage : 9,098 V Données constructeurs : calibre 50V incertitude de construction 0,05%+2 NUR Lincertitude de construction sexprime en pourcentage de la valeur lue (%L) plus un certain nombre NUR dunités de représentation (lunité de représentation est la plus petite valeur que laffichage numérique peut donner dans le calibre utilisé). Sous forme mathématique, on a : !x = %L de la lecture (x) + nombre NUR dunités de représentation F2. En utilisant la notice du voltmètre, déterminer lincertitude de construction sur la 8ème mesure de ! et retrouver lordre de grandeur de lincertitude-type #$ sur la mesure de ! figurant dans le tableau. Afin de déterminer la constante %, on procède par régression linéaire. À laide de la méthode des moindres carrés, on cherche à faire passer une droite déquation & ' %! au plus proche du nuage de points (!) * !) +. Pour cela, on utilise le critère classique qui consiste à minimiser la somme , des distances !) - %!) des points expérimentaux à la droite 1 ,(%+ ' .(!) - %!) +/ 0 )23 Ce critère accorde la même importance à tous les points expérimentaux, alors quil est important de privilégier les points de mesure pour lesquels lincertitude-type #) est minimale, cest à dire ceux qui sont obtenus avec la meilleure précision. Pour remédier à ce problème, on choisit de pondérer chacun des termes de la somme !) - %!) par linverse de lincertitude-type #) sur la mesure de !) , afin de minimiser la somme , 1 ,(%+ ' . )23 F3. 4 (! - %!) +/ 0 #)/ ) Montrer que lorsque ,(%+ est minimale, % est donnée par la relation !) !) 51 )23 #)/ %' 0 !/) 1 5)23 / #) Tournez la page S.V.P. 16 Lincertitude-type sur la détermination de ! est donnée par ' "# $!% & !#) * ()+, # ") La fonction regression_linaire(x,y,u), définie ci-dessous, prend comme argument trois listes de même taille contenant les valeurs expérimentales !) pour la liste x, .) pour la liste y, ") pour la liste u. En python 3 En scilab def regression_lineaire(x,y,u): c1=0 c2=0 n=len(x) for i in range(n): c1=c1+x[i]*y[i]/u[i]**2 c2=c2+(x[i]/u[i])**2 phi=c1/c2 u=1/c2**0.5 return [phi,u] F4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 function[phi,u]=regression_lineaire(x,y,u) c1=0 c2=0 n=length(x) for i=1:n c1=c1+x(i)*y(i)/u(i)^2 c2=c2+(x(i)/u(i))^2 end phi=c1/c2, u=(1/c2)^0.5 endfunction On suppose que, suite à une erreur, les trois listes x, y et z ne possèdent pas toutes le même nombre déléments. Que se passe-t-il au moment de lexécution de la fonction si la liste la plus longue est x ? Lexécution de la fonction regression_lineaire donne ! & /012345- 46789:- On se propose détudier la validité du modèle linéaire obtenu. Pour cela, on visualise graphiquement, pour chaque mesure, lécart ;) & .) < !!) sur la figure 14. Figure 14 ­ Écart => & ?> < @!> pour chaque mesure F5. Proposer et expliquer un algorithme qui permet de vérifier au sens strict si la valeur absolue de chaque écart A;) A reste inférieure à lincertitude-type ") . Ecrire une fonction python ou scilab qui retourne le nombre de mesures ne vérifiant pas ce critère. F6. Par analyse graphique de la figure 14, évaluer le nombre de mesures qui ne respectent pas le critère, conclure sur la validité du modèle linéaire. 17 G/ ESSAI DE LÂCHÉ La machine à courant continu est alimentée par une source de tension et tourne à sa vitesse de rotation nominale. A linstant ! " #, la M.C.C. est déconnectée de la source de tension. On enregistre lévolution de sa vitesse angulaire de rotation !$%!&' On note () " ()* + ,- le couple de frottement ramené sur larbre moteur, où ()* est le couple de frottement sec et , le coefficient de frottement visqueux. Le moment dinertie ramené sur larbre de la M.C.C. de lensemble des masses que constitue le robot est noté .. Figure 15 ­ Essai de lâché G1. Déterminer léquation différentielle régissant lévolution temporelle de !$%!& pour ! / #. À partir du relevé, que peut-on dire de la valeur de , ? Un essai non étudié ici nous permet de déterminer ()* " 0$12' 1. G2. Proposer une méthode de mesure du moment dinertie .. Calculer la valeur expérimentale de . à laide du relevé de la figure 15. !"#$%&'(%#)*'(#+,#-././.#'"#01,$23(%#0%#3$41#%3#'"%#$,&&%#0%#56#$7. !"# !"#$%&'()*"+#,-)#./$0+.1)-)#%-+-"2-)3#4&42(%-#4-#'-)#5-)2%-)#2"-#-)+(5*+(0"#4-#,*#6*,-2%# 42#505-"+#47("-%+(-#.#42#50+-2%8#905$*%-%#:#,*#6*,-2%#-;$&%(5-"+*,-#0<+-"2-8 Tournez la page S.V.P. 18 TROISIÈME PARTIE ANNEXES EXTRAITS DE DOCUMENTATIONS POUR LIRE DANS UN FICHIER a) En Python f=open(name[ , mode[ , buffering ]]) Open a file, returning an File type object f. If the file cannot be opened, IOError is raised. name is the file name to be opened, and mode is a string indicating how the file is to be opened. The most commonly-used values of mode are 'r' for reading, 'w' for writing (truncating the file if it already exists), and 'a' for appending. f.readline() Reads a single line from the file ; a newline character (\n) is left at the end of the string, and is only omitted on the last line of the file if the file doesnt end in a newline. If f.readline() returns an empty string, the end of the file has been reached, while a blank line is represented by \n, a string containing only a single newline. f.readlines() Return a list of lines from the stream. f.close() When youre done with a file, call this function to close it and free up any system resources taken up by the open file. After calling f.close(), attempts to use the file object will automatically fail. b) En Scilab fd = mopen(file [, mode ]) opens a file in Scilab fd, a scalar : a file descriptor (its a positive integer). file : a character string containing the path of the file to open. mode : a character string specifying the access mode requested for the file. The parameter can have one of the following values : r : opens for reading (default). The file must exist, otherwise it fails. w : opens for writing. If the file exists, its contents are destroyed. a : opens for appending. It creates the file if it does not exist. mclose(fd) closes an opened file. fd, a scalar : the fd parameter returned by the function mopen is used as a file descriptor. txt = mgetl(file_desc [,m]) mgetl function allows to read a lines from an text file. file_desc, a character string giving the file name or an integer giving a logical unit returned by mopen. m, an integer scalar : a number of lines to read. Default value is -1. txt, a column vector of strings. If m is omitted or is -1 all lines till end of file occurs are read. If m is given mgetl tries to read exactly m lines. SYNTAXES PYTHON ET SCILAB En python, certaines des fonctions suivantes sont définies dans la librairie numpy. Convertir une chaîne de caractères en flottant Liste de valeurs équiréparties de 0 à 4 par pas de 0.1 Caractères spéciaux Tracé de y en fonction de x En python 3 En scilab float('14.32') float('-4.32\n') Evstr('14.32') linspace(0,4,41) 0:0.1:4 tabulation : \t Retour à la ligne : \n plot(x,y) plot(x,y) FIN DE LÉPREUVE

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 e3a Physique et Modélisation PSI 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Cyril Ravat (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Virgile Andreani (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Cette épreuve s'intéresse à deux aspects du fonctionnement d'un robot capable de se déplacer de façon autonome : la détection des obstacles sur son chemin et l'utilisation d'un moteur à courant continu. · La première partie étudie la télémétrie par ultrasons en quatre sous-parties à forte dominante physique. Elle commence par une analyse documentaire permettant de comparer deux techniques de détection, l'une utilisant les ultrasons, l'autre les infrarouges. Elle se poursuit par une étude de la propagation des ondes sonores, comprenant à la fin quelques questions sur l'implémentation informatique de l'influence de la température sur les mesures. On aborde ensuite rapidement les problèmes de réflexion et de transmission des ultrasons aux interfaces, avant de conclure sur le traitement électronique des informations dans les signaux obtenus. · La deuxième partie aborde, avec de nombreuses questions d'informatique, le fonctionnement et la caractérisation d'une machine à courant continu à travers trois essais expérimentaux, les mesures et les traitements associés. Le premier essai est à rotor bloqué et permet de mesurer les propriétés électriques de la machine. Le deuxième essai, à vide, détermine la constante reliant les grandeurs électrique et mécanique. On termine par un essai de lâché qui permet d'obtenir la valeur du moment d'inertie. Le traitement des erreurs de mesure et des incertitudes est longuement abordé. Ce sujet est progressif et plutôt bien écrit, quoiqu'un peu long. Les questions de physique et de modélisation sont correctement proportionnées. L'ensemble reste d'une difficulté moyenne avec des questions qui s'enchaînent de façon claire et sans développement mathématique trop important. Il s'agit donc d'un bon sujet de révision, en particulier sur le maniement des incertitudes. Indications Partie B B3 L'approximation acoustique permet de négliger les termes d'ordre supérieur à 1, tel que µ1 · v1 . B7 Dans le cadre de l'approximation acoustique, on peut écrire un développement limité au premier ordre de µ en fonction de p. B9 Utiliser une loi de Laplace. La dériver ou utiliser la différentielle logarithmique. B11 Linéariser l'expression autour de T273 . Penser à vérifier à la fin que les valeurs numériques sont cohérentes. B12 Chercher à exprimer l'écart en fonction du temps de parcours puis simplifier cette expression, afin de l'identifier à celle présente dans le script. Partie C C5 Calculer les vecteurs de Poynting puis appliquer la définition des coefficients. C7 Le milieu le mieux détecté est celui qui réfléchit le plus les signaux, donc qui les transmet le moins. Partie D D2 La vitesse de la particule du fluide est la somme des vitesses correspondant aux deux ondes. Il faut trouver à quelle position est située l'interface. D5 Regarder les questions D6 et D7 pour avoir une idée des traitements à mettre en oeuvre. Dériver un cosinus conduit notamment à le multiplier par la pulsation. Partie E E1 Lorsque le rotor est bloqué, la vitesse de rotation du moteur est nulle. E3 Penser que la résistance du circuit est très faible. E5 Ne pas oublier de transformer les chaînes de caractères en valeurs numériques (voir l'annexe pour trouver la bonne fonction). E8 La fonction moyenne permet de simplifier la réponse ; il faut l'utiliser avant la boucle pour accélérer le calcul. La relation entre l'incertitude-type et l'écart-type est (R) uA (R) = N Partie F F2 Les incertitudes de construction sont souvent considérées comme correspondant à une loi de probabilité rectangulaire de largeur 2 E : E u8 = 3 F3 Dériver S par rapport à et annuler cette dérivée. F5 « Vérifier au sens strict » signifie retourner une valeur booléenne, sans avoir besoin de compter le nombre de valeurs concernées. L'algorithme et la fonction demandés correspondent bien à deux questions différentes. Partie G G1 Utiliser le théorème du moment cinétique scalaire. Remarquer que le régime transitoire semble linéaire. Télémétrie par ultrasons A. Détecteur à ultrasons A1 D'après le cahier technique donné, les portées sont de 2 m pour les détecteurs photoélectriques et 10 m pour les détecteurs à ultrasons. A2 Pour les détecteurs photoélectriques, il n'y a pas de différence de détection en fonction de la nature des matériaux, mais un contraste important est nécessaire entre la couleur de l'objet et le fond. Pour les détecteurs à ultrasons, les objets présentant des surfaces absorbant les sons (isolants phoniques tels que coton, tissus, caoutchouc...) sont plus difficiles à détecter. Les couleurs ne modifient pas la détection. A3 Exemple de facteurs extérieurs perturbant la détection : · dans le cas d'un détecteur photoélectrique, un arrière-plan plus clair que l'objet ; · avec un détecteur à ultrasons, des courants d'air brusques ou un gradient de température important. A4 Les signaux audibles par l'homme ont des fréquences comprises entre 20 Hz et 20 kHz. Il faut donc f0 > 20 kHz A5 Le phénomène qui élargit les ondes émises est la diffraction. Le cône de diffraction est classiquement défini par sin = d où est la moitié de l'angle du sommet du cône et d la taille de l'émetteur. La longueur d'onde des ultrasons à 20 kHz et se déplaçant à environ 400 m · s-1 est de l'ordre de 2 cm, ce qui est très supérieur à la longueur d'onde des rayonnements infrarouges (900 nm). Pour les ultrasons, avec = 2 cm et = 15 , on trouve d = 8 mm, ce qui peut correspondre à la taille du transducteur piézoélectrique. On trouve pour la diode infrarouge une largeur de 20 µm. A6 Les détecteurs à ultrasons sont utilisés dans les sonars des sous-marins, pour le contrôle non destructif (recherche de fissures à l'intérieur de pièces usinées) mais aussi dans le domaine médical pour les échographies classiques ou dites « doppler » (mesure de la vitesse des flux sanguins). En ce qui concerne l'utilisation des détecteurs à infrarouges, citons les appareils à vision nocturne ou utilisant la télégraphie, les missiles téléguidés, les communications sans fil comme celles des télécommandes, ou encore les détecteurs de présence dans les maisons. B. Célérité de l'onde ultrasonore B1 L'équation d'état des gaz parfaits, exprimée à l'aide de la masse volumique µ = m/V, devient p= Ainsi, µ R T0 Ma µ0 R T 0 µ1 R T 0 + Ma Ma µ1 R T 0 p1 (x, t) = Ma p = P0 + p1 (x, t) = et par conséquent Dans le cadre de l'approximation acoustique, |p1 (x, t)| P0 = µ1 µ0 B2 Le volume d = S dx a pour masse et dm(t) = µ(x, t) S dx dm(t + dt) = µ(x, t + dt) S dx B3 La masse me entre dans le volume d à la vitesse v(x, t) = v1 (x, t) : me = µ(x, t) v1 (x, t) S dt De même, la masse ms sort du volume d à la vitesse v1 (x + dx, t) : ms = µ(x + dx, t) v1 (x + dx, t) S dt Dans le cadre de l'approximation acoustique, on ne garde que les termes d'ordre égal au plus à un : le produit µ v1 est donc assimilable à µ0 v1 . On obtient alors me = µ0 v1 (x, t) S dt et ms = µ0 v1 (x + dx, t) S dt B4 La conservation de la matière au sein du volume d permet d'écrire dm(t + dt) - dm(t) = me - ms [µ(x, t + dt) - µ(x, t)] S dx = [v1 (x, t) - v1 (x + dx, t)] µ0 S dt Or µ(x, t + dt) - µ(x, t) = µ1 (x, t + dt) - µ1 (x, t). On obtient ainsi µ1 (x, t + dt) - µ(x, t) v1 (x, t) - v1 (x + dx, t) = µ0 dt dx soit µ1 v1 + µ0 =0 t x (R1) B5 En une dimension, le gradient vaut -- p(x, t) - (P0 + p1 (x, t)) - p1 (x, t) - grad p(x, t) = ex = ex = ex x x x De plus, la dérivée de v est égale à celle de v1 ; le produit avec µ devant rester de premier ordre d'après l'approximation acoustique, v1 - - v µ = µ0 ex t t La loi de la quantité de mouvement devient alors