e3a Physique et Modélisation PSI 2015

Thème de l'épreuve Système RFID
Principaux outils utilisés électronique, électromagnétisme, méthode des rectangles, algorithmique
Mots clefs systèpme RFID, adaptation d'impédance, câble coaxial, antenne filaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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@: E S & CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - EST? - POLYTECH Épreuve de Physique - Modélisation PSI Durée 3 h Si. au cours de l'épreuve. un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé. d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est autorisé. AVERTISSEMENT Les parties A, B, C, D, et les parties E, F, G sont à rédiger sur copies séparées. Remarques importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que 0 il faudra exclusivement utiliser les notations de l'énoncé. . Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques (données avec un nombre de chiffres significatifs adapté); les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés (S.L n'est pas une unité). - Tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le(la) candidat(e). . Un document réponse est à rendre non plié avec la copie de la deuxième partie. Tournez la page S.V.P Il est Interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant Indiquer un provenance. 2 Ce probléme traite de systémes dldentlflcatlon par radio fréquence (RFID). Aucune connaissance particulière sur les antennes n'est demandée. Le radio--Identification, le plus souvent désignée par le sigle RFID (de l'anglais radio Imquency identification}, est une méthode pour mémo"ser et récupérer des données à distance en utilisant des marqueurs appelés « radio-étiquettes » (« RFID tag » ou « RFID transponder » en anglais). Les radio--étiquettes peuvent étre des étiquettes eutoadhésives, pouvant être collées sur des objets, Les radio-étiquettes comprennent une antenne associée à une puce électronique qui leur permet de recevoir et de répondre aux requêtes red/o émises (signal radlofréquence) depuis un émetteur--récepteur. Cette puce électronique contient un Identifiant et éventuellement des données complémentaires. Les puces RFID tentant aujourd'hui de supp/enter les codes à barres en jouant de leurs avantages, a savoir qull est possible d'écrlre, d'effacer et de réécrire les données stockées dans la puce un grand nombre de fois, que leur portée peut étre supérieure aux lecteurs optiques utilisés pour les codes à barres. et que la communication peut se faire a travers certains obstacles contrairement aux systèmes a lecture optique, Un système RFID passif est composé de deux entités qui communiquent entre elles (Fig. 0) : . Un TAG passif (dénommé TAG par la suite) ou radio-étiquette, associé à l'élément a identifier. Il est capable de répondre a une demande venant du systeme émetteur - récepteur. Le TAG n'a pas d'alimentation de type batterie ou pile mais est auloalimenté par l'onde électromagnétique reçue {Il existe cependant des TAG actifs alimentés par pile). - Une station de base ou lecteur RFID qui a pour mission d'ldentliler le TAG. Le lecteur envoie une onde électromagnétloue en direction de l'élément à Identifier, cette onde allmente le TAG qui peut alors communiquer avec le générateur - lecteur grâce à sa puce électronique interne. En retour, le générateur - lecteur reçoit l'Information renvoyée par le TAG. Emetteur - Recepteur Flggre 0 La figure 0 présente le fonctionnement général d'un système RFID. Le générateur - lecteur relié a une antenne émettrice agit en maître par rapport au TAG : si le TAG est dans la zone de lecture du générateur -- lecteur, ce dernier l'active en lui envoyant une onde étectromagnéthue et entame la communication. Le TAG est quant a lui, constitué d'une antenne et d'une puce électronique qui 3 module l'onde réémlse vers le générateur - lecteur, En démoduient le signal reçu, le générateur - lecteur relié a une application Interne récupéré l'information pour le traiter, Il est chargé de i'lntan'ace et de la gestion de I'ldentlficatlon des TAGs qui se présentent a lui. Il existe plusieurs familles de systèmes RFID dont le principal crllére de différent/ation est la fréquence de fonctionnement. Les systéme RFID utilisent des bandes de fréquence diverses allant de 125 kHz a 2.45 GHz. Le sujet étudie quelques aspects d'un systéme RFID é 860 MHz. Les parties A. &, ç, _Q. E, E et g de ce sujet sont largement Indépendantes les unes des autres. ...... Quel peut être l'avantage majeur d'un système RFID actif par rapport a un système RFID passif ? A Adaptatlon d'lmpédance La notation complexe est utilisée et é x(t)=X,,,Jäoos(mt+rp) est associé la grandeur complexe )_( = X_,, JÏe"'"'"". Z{] Un générateur de tension, de lem interne E_e et d'impédanoe Interne ZG='RÜ+JX° est connecté a une Impéde_nce de charge -- variable a VRU +qu (Fig. 1). La fréquence de fonctionnement est l = 660MH1. On note PEu la puissance moyenne délivrée parla fem E_°, qu la puissance moyenne dlsslpée dans à et P," la puissance moyenne reçue par a . I_\L Déterminer le courant L débité par le générateur, puis déterminer l'expression de Pz" en fonction de |Êglv R... X... R., el X... AL Pour & et E_{: fixée. montrer que P" est maximale quand l'Impédenoe de la charge vérifie : RU +]Xu : RG --]Xu. Dans ce cas on dit que l'Impédenoe de charge est adaptée a celle de la eouree (adaptation en puissance). Dans ces conditions. que valent les puissances Pz\, , PM et F," ? On Inséra entre le générateur et la charge les | lx deux composants de réactance X. et X, i ' (Fig. 2). La condition d'adaptation n'est plus réalisée et maintenant, Zn = R" et Xe =0 ce qui correspond a un généraleur standard; on a encore Ë! =Ru +]X... 1x, [' Ü & Pour les applications numériques prendre E R°=50.0fl, Ru=7s,znetxu=42.sn. On -- appelle 51 = RIN + |x... l'impédenca équivalente comprenant ]><..]X2 et a M :: Tournez la page S.V.l'. 4 & Montrer qualitativement que les deux réactancas X' et X, modifient l'Impédenca de le charge vue du générateur et permettent éventuellement une adaptation entre le générateur et le reste du montage. Application numérique : on a tracé sur la figure 3 les lieux des points de coordonnées (Xt. X,) donnant d'une part XIN :un et RIN =50,0nd'autre part, En analysant cette figure, déterminer chaque couple de (X.. Xz) assurant l'adaptation d'lmpédanoe: donner le type de composant correspondant (bobine ou condene1teur) et sa caractéristique (lnductance ou capacité). Quel est le meilleur choix ? Expliquer. x, en n 300 . l 200 - 100 ' -100 -200 ' ooo» , , , , , . -soo -200 400 o 100 200 zoo X. en a Le montage de la figure 2 ne convient pour réaliser l'adaptation que dans la situation ou R': < R.... M, Sens calcul et en invoquant des propriétés de symétrie. proposer une modification simple de la figure 2 pour permettre une adaptation d'impâdance dans le cas où R., > R... B Influence du câble coaxial On étudla un câble coaxial d'axe (Ox), de longueur [L lntamalé entre le générateur et la charge équivalente adaptée en puissance de la figure 2 (cf. AZ,). Le schéma équlvalent est donné parla figure 4 où au est le tem du générateur: Câble coaxial EMMA On admet que la portion de câble comprise entre les plans de section droite repérés par x et par x +dx peut etre modè/[sée par le circuit de la figure 5, Elle possède une capacité I'dx entre les conducteurs et une Inductance propre Adx entre les sections d'entrée et de sortie. La tension 5 entre l'âme et la gaine du câble s'écrit v(x.t)et le courant traversent une section de l'âme est l(x,t) . l(x.t) A-dx l(x+dx.t) x x+dx Elm ? EL Démontrer les relations suivantes: ô--V : _ Ail et '--I = _| O_V ô_x ôt ('i)< ôt EZ. En déduire l'équation de propagation vérifiée par v(x,t) et l(x.t)v Exprimer cL la vitesse de propagation. On admet que les solutions générales sont de la forme : v(x.t)=w(t--x{q)+v,(t+ x/cL) et l(x.t)r l,(t-x/c,_)+l,(t+x/q). EL lnterpréter les significations physiques des grandeurs d'lndlce 1 et 2. lllustrer avec un graphique et expliquer. Le générateur de tension {Fig. 4) de [em interne 30 et de résistance interne Ra impose un régime sinusol'dfll forcé de pulsation un dans le câble coaxial. Les grandeurs v. .vz .i, et i: précédentes deviennent des fonctions sinusoidä/es dépendant de m(t -- x/c.) pour les grandeurs d'indice 1 et de (n (t + x/cL) pour les grandeurs dlndice 2. On pose: k - ?. |. 5.4; En utilisent la notation complexe. montrer que: v.(t--x/cl)=tïtc Al'(t--x/cl) et v,(t + x/cl)= -- R; .I, (t + x/cL) où R= est le résistance caractéristique du câble. Exprimer RC en fonction de rat de A . Vérifier l'homogénéité. La resistance équivalente R., est branchée en sortie du câble. Les grandeurs et l'entrée du câble sont notées avec l'indice a et les grandeurs à la sortie du câble avec l'indice & de sorte que : v, (i) : V(O.t). v_(t) : v(t...t), |, (t) = l (on) et |_... = l (iut), Avec la notation complexe: _ =Y1g_e|[...»uLx) 'fi : Ë'9I(......'llt |1=(fi/Ro)'e...'Hll) v|l=_(fi/RD)'ejlmlvkll) où \_/Eetfi sont des nombres complexes constants. On utilisera les amplitudes complexes 1(x) et L (x) associées à v(x,t et l(x !) telles que: ) \llx( ) V_to'a>lm+v_zo'eml (X) ( Vt_a/R ) °"'"*'-(fi/Rc)'°"" V, , | (o)=_, etàlasonle !(il)=£, i(tL)= A l'entrée du câble. on note y, (0) Tournez la page S,V,P. 6 Bi En éliminent & et \_Iæ Trouver les deux fonctions f et g telles que : v_ --r( kLrL)vL+-ch'g(ktltl'h |g( kLtL)/Rch+f(kLtL).L ". En déduire |'lmpédence d'entrée a = en tonctlon de R5, RC, l...(z.t) et une dérivée de l(z.t). ç_4_l Exprimer X,, (z.t) sachent de plus que pour tout 2 tel que --(/2k) et 0 =(Oi.OM) est à [instant t: . 4 ] lJêOEB(ËCOSÛ] . @(M.t) --äu, = %Yexp(](wt--kr))u, avec k = %. Dans le suite on ne gardera dans les calculs que les termes en % , en négligeant les termes en %. ç_5_. Justifier que 50...) soit poler|sé selon u.;. gg A partir d'une équation de Maxwell à préciser (utiliser le iormulelre). trouver les composantes complexes (È,È .EÜ ) du champ E(Mt) et montrer en particulier qu'il est orthoradlal. Donner les composantes réelles correspondantes de Ë(Mt) eeeocl9 au champ complexe Ë(M.t). 51 En un point A de l'axe (Ox) tel que 0Ar = d, déterminer l'amplitude et la polarisation du champ Ê(A"t) dans la base (u;,u;.u;). ç_& Donner les composantes réelles correspondantes du champ Ë(Mt) associé au champ complexe E(Mt). QQ. VérIller que le champ electromagnethue en M a la structure d'une onde plane progressive harmonique. g1g. Calculer le vecteur de Poyntlng iÎ(M.t) et sa valeur moyenne temporelle .) ? Identifier une résistance R, équivalente (dite de rayonnement) en z=0 telle que : P_ = R, 'la" . Application numérique : calculer R. et 'a dans le cas 00 P, : 3.30W. Tournez la page S.V.P. 8 D Syltèmo RFID punit Une antenne peut étre émettrice comme dans ie partie précédente mets peut étre également réceptrlce comme l'est une antenne de téléphone portable. En conséquence, en admettre par la suite qu'une antenne est équivalente à un circuit d'impédence 5 mR, + jX_ parcouru par le courant émetteur dans le cas d'une émission. De méme, dans le cas d'une réception, cette antenne est équivalente e un générateur comprenant en série une fem induite E_,, et l'impédence Interne de l'antenne È =R, + ]X_. Dans les deux ces {émission et réception), la résistance R. modéilse le puissance moyenne P, = R, ..." désigne un nombre réel qu'/I faudra préciser. 11 Tous les algorithmes demandés dans cette partie devront étre réel/sés dans un même langage. Ce langage pourra être le langage Python ou le langage Sci/eh, On n'utilisere aucune libre/rie particulière mais on considérons que les fonctions col et un ainsi que le nombre pi ont été importés dens Python. On rappelle que le nombre il se note spi. dens Sol/ab. il n'est pas demandé de vérifier dans les algorithmes que les variables d'entrée sont bien du type voulu. Il est ainsi per exemple Inutile dans la question fil. de tester si le ver/able d'entrée :: est bien dans l'intervalle ]O.u[ . EL Illusfrer le principe de la méthode des rectangles en représentant R... sur le graphe de la fonction f fourni en annexe. Donner l'expression de i...,_ en fonction de n, E]. Écrire une fonction : (x) qui retourne la valeur de f pour un nombre réel x de ]0.n[. E_L Ecrire une fonction a.ntnng1-1(n) qui. pour un nombre entier nz1. retourne le valeur de R,... & Combien d'évaluations de l'application f nécessite cet algorithme pour une valeur de n donnée ? il fau! déterminer une valeur de n pour laquelle R,. foumlt une bonne estimation de I. La méthode 1 consiste à calculer les termes successifs de le suite RH jusqu'à ce que celle-ci semble se stabiliser. H. Ecrire une fonction Int-qul.}. (op-) qui calcule. pour eps>0. les termes successifs de la suite (R")... jusqu'à ce qu'on obtienne [R. --R" .l < eps. puis qui retourne la dernière valeur R,, calculée. EQ Pour eps=10". In:-gulol (up-) s'arrête pour n f34. Vérifier que cela a nécessite plus de 500 évaluations de la fonction f. EL Quelle contrainte informatique empêche d'obtenir un résultat pertinent pour des valeurs arbitrairement petites de «pe ? Il est possible d'améliorer la méthode 1. Le méthode 2 repose sur le relation de nécun'ence suivante: 1 .. k - rt . R 7: [ 2! ,.u .. VneN .R," 2 4 2" E...! " EL Ecrire la relation de récurrence pour un entier n de la forme n=2"' '. Écrire une fonction récurslve Rootan1e2(m) qui pour un nombre entier m retourne la valeur de R" . Combien d'évaluations de la fonction f nécessite cet algorithme pour une valeur de m donnée ? ELQ. Écrire une fonction Intoquch (op-) qui calcule, pour eps >0, les termes successifs de le suite (RF)... Jusqu'à ce qu'on obtienne R'... --R,...  

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 e3a Physique et Modélisation PSI 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Dumont (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Virgile Andreani (ENS Ulm) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). Le stockage RFID est étudié dans ce problème, d'un point de vue physique et informatique. Un tel système est constitué d'une étiquette autocollante baptisée TAG et d'un émetteur-récepteur. L'étiquette contient une puce de gestion d'événements, qui permet de traiter et mémoriser les informations, et une antenne, qui sert à échanger à distance des informations avec l'émetteur-récepteur. Ce dernier est composé d'un générateur, d'une antenne et d'un système de traitement de l'information. L'une des particularités distinctives du RFID est que le TAG est le plus souvent passif : il tire son énergie des ondes émises par l'antenne de l'émetteur-récepteur. Ce système a vocation à remplacer les codes-barres dans de nombreuses situations, par exemple pour la gestion des stocks dans un entrepôt. · La première partie porte sur la conception d'un circuit de transfert de puissance qui prépare l'étude des transferts de puissance entre les antennes. C'est une partie proche du cours et sa contextualisation permet de poser des questions originales et intéressantes. · La deuxième partie, beaucoup plus calculatoire, étudie le câble coaxial destiné à relier le générateur à l'antenne émettrice. · La troisième partie s'intéresse à la conception et au dimensionnement de l'antenne. On étudie le champ électromagnétique rayonné par l'émetteur pour en déduire les caractéristiques géométriques optimisant le transfert d'énergie vers l'antenne réceptrice. Certaines questions sont délicates et nécessitent une vision d'ensemble du cours. · La quatrième partie combine des éléments étudiés précédemment pour dimensionner le TAG de réception. Les thématiques abordées sont sensiblement les mêmes que dans la première partie, à un niveau plus élevé. · Suivent trois courtes parties d'informatique qui reviennent sur certains points rencontrés auparavant. L'objectif est de retrouver des résultats qui avaient été admis dans un premier temps en les abordant sous l'angle de la simulation numérique. Ce sujet est intéressant et varié mais trop long pour espérer le terminer dans le temps imparti. Les questions sont de difficultés très inégales. Devant un tel énoncé, il est judicieux de prendre un peu de temps pour identifier les parties les plus abordables. Indications A.2 La puissance dépend de deux variables ; il faut la maximiser par rapport à chacune. A.3 On peut différencier une bobine d'un condensateur en étudiant les signes des parties imaginaires de leurs impédances. B.2 Dériver chacune des équations précédentes par rapport à une même variable et permuter les dérivées. B.4 Réinjecter les formes proposées dans les équations (1) et (2). B.5 Écrire le système obtenu à chaque extrémité. Exprimer V10 et V20 en fonction de Vs et Is . B.7 Poser Ze = Ra . Transformer alors l'expression obtenue à la question précédente. C.3 Il s'agit d'établir l'équation de conservation de la charge. C.5 Mener une étude de symétrie au point M. C.6 Négliger dès que possible les termes en 1/r2 . C.8 Il suffit de prendre la partie réelle du signal complexe. C.11 L'expression de la résistance de rayonnement ne dépend pas de constantes géométriques du problème mais seulement de constantes fondamentales. D.1 Utiliser les résultats de la partie A. D.3 Calculer la moyenne demandée grâce à la formule obtenue à la question C.10. D.7 Penser aux comportements équivalents des interrupteurs. F.6 Compter le nombre d'appels à la fonction Rectangle1 précédente puis, à l'aide de la réponse à la question F.4, en déduire par une sommation le nombre total d'appels. G.2 Envisager la surface associée usuellement au calcul de la valeur moyenne du vecteur de Poynting : est-elle adaptée à un quadrillage volumique ? Question préliminaire L'avantage majeur d'un TAG actif est qu'il peut communiquer tout seul avec l'extérieur et au moment de son choix, potentiellement, avec d'autres éléments que le seul émetteur-récepteur. De plus, on peut envisager que la distance de communication soit plus grande puisque l'on dispose de plus d'énergie. Un système actif a aussi des inconvénients. Par exemple, la durée de vie limitée de la source d'énergie du TAG conduit à envisager un double fonctionnement lorsque la source s'est tarie ; la confidentialité d'une étiquette qui émettrait en continu serait aussi restreinte. On peut enfin supposer que de telles étiquettes sont plus encombrantes et coûtent plus cher. [ 0]A.1 En utilisant la notation complexe, la loi des mailles donne i1 = EG ZG + ZU Or, la puissance reçue par l'impédance ZU est par définition |I |2 PZU = Re(ZU ) I1eff 2 = Re(ZU ) 1 2 RU |EG |2 soit PZU = 2 |(RU + RG ) + j (XU + XG )|2 ou encore PZU = RU |EG |2 2 [(RU + RG )2 + (XU + XG )2 ] Rappelons que, dans le cas d'un signal sinusoïdal, l'intensité efficace est reliée à l'intensité maximale par Ieff = Imax / 2 . [ 0]A.2 On veut maximiser la puissance précédente par rapport aux variables RU et XU . On peut en premier lieu remarquer que, les deux variables étant indépendantes, la puissance est maximale à RU fixée lorsque le dénominateur est minimal, c'est-àdire pour XU = -XG puisque toutes les autres grandeurs sont fixées. Dans cette situation, la puissance se simplifie en RU |EG |2 PZU = 2 2 (RU + RG ) On dérive ensuite cette expression par rapport à RU pour obtenir dPZU |E |2 RG - RU = G dRU 2 (RU + RG )3 qui s'annule lorsque RU = RG . Finalement, La puissance est maximisée lorsque RU + j XU = RG - j XG . Une formulation plus classique de cette condition est ZU = ZG : l'impédance recherchée est l'impédance conjuguée de celle du générateur. Sous cette condition, on a i1 = EG /2RG et après simplification, PZU = |EG |2 8RG La puissance reçue par l'autre dipôle se calcule de la même façon puisque c'est la même intensité qui le traverse. PZG = Re(ZG ) |I1 |2 |E |2 = G = PZU 2 8RG On constate donc que la puissance se répartit à parts égales entre les deux dipôles. Par conservation de la puissance, |E |2 PEG = G 4RG [ 2]A.3 Le dipôle équivalent d'impédance ZIN est directement influencé par les réactances proposées. En particulier, la mise en parallèle d'une impédance imaginaire pure j X2 tend à diminuer la partie imaginaire de ZU à cause des formules de mise en parallèle d'impédance (les inverses d'impédances s'ajoutent, ce qui conduit à des 1/j = -j), alors que la mise en série de l'impédance imaginaire pure j X1 tend à l'augmenter (en série, on ajoute les impédances). On peut donc, par un choix pertinent de ces deux réactances, espérer annuler la partie imaginaire de l'impédance équivalente ZIN et régler la partie réelle pour qu'elle soit égale à celle du générateur (l'ensemble de ces deux conditions correspond à l'adaptation en puissance). Précisément, la figure fournie permet de déterminer deux couples de réactances conduisant à la fois à l'annulation de la partie imaginaire et à l'adaptation de la partie réelle. En effet, on place en abscisse et en ordonnée les valeurs de chacune des deux réactances. On trace alors deux droites horizontales qui sont les lieux des points où la partie résistive de l'impédance globale est égale à celle du générateur. Une troisième courbe, grosso modo verticale, donne les points qui conduisent à annuler la partie imaginaire. L'ensemble de ces deux conditions est nécessaire pour que l'adaptation de puissance soit réalisée. On trouve donc aux intersections les couples permettant cette dernière. Deux couples conviennent : (X1 = -50 ; X2 = 250 ) et (X1 = 50 ; X2 = -60 ) La nature d'une réactance dépend du signe de sa partie imaginaire. Si celle-ci est positive, l'impédance est de la forme j L qui est celle d'une bobine d'inductance L ; si elle est négative, l'impédance est de la forme -j/C = 1/j C qui est celle d'un condensateur de capacité C. On accède à par la relation = 2f et on connaît la fréquence de fonctionnement f = 860 MHz. Par conséquent, Le premier couple est l'association d'un condensateur de capacité C1 = 4 pF et d'une bobine d'inductance L2 = 0,05 µH. Le second couple d'une bobine d'inductance L1 = 0,01 nH et d'un condensateur de capacité C2 = 3 pF. Ces capacités sont sensiblement équivalentes et de valeurs relativement courantes ; les inductances en revanche sont faibles. Il est par conséquent plus pertinent de prendre la plus grande des deux et de retenir le premier couple de composants. A.4 Dans la première configuration, le premier composant est en parallèle et contribue à diminuer la partie réelle de ZIN ; le second composant augmente celle-ci lors de la mise RG en série. Par symétrie, si l'on veut obtenir une adaptation d'impédance dans le cas où RG > RU , on peut proposer que le premier composant le plus proche avec la résistance EG RU soit en série et le second en parallèle, comme sur le circuit ci-contre. j X2 I2 j X1 ZU