E3A Physique PSI 2014

Thme de l'preuve Montage gnrateur de signaux. Modle simplifi d'un geyser.
Principaux outils utiliss lectrocintique, thermodynamique, mcanique des fluides, phnomnes diffusifs
Mots clefs oscillateur, amplificateur oprationnel, comparateur, hystrsis, intgrateur, geyser, Poiseuille, rsistance hydraulique, stabilit

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 E3A Physique PSI 2014 -- Corrig Ce corrig est propos par Virgile Andreani (ENS Ulm) ; il a t relu par Olivier Frantz (Professeur agrg en cole d'ingnieur) et Stphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet tudie deux exemples de systmes oscillants, le premier en lectronique, le second en thermodynamique et mcanique des fluides.  Aprs une courte premire partie sur l'amplificateur oprationnel idal, on tudie dans deux parties spares les deux constituants d'un gnrateur lectronique de signaux : le comparateur  hystrsis et le montage intgrateur inverseur, avant de les rassembler pour constituer le gnrateur. On commence par tablir les fonctions de transfert des circuits, dont on se sert pour calculer explicitement, au moyen d'une dcomposition de Fourier, leur signal de sortie lorsqu'ils sont soumis  une excitation priodique. Cette premire partie cherche chez le candidat la capacit  dcrire l'volution temporelle des signaux lectriques d'un circuit complexe. La dnomination  amplificateur oprationnel  a t remplace par  amplificateur linaire intgr  depuis la rentre 2014, il s'agit pourtant du mme composant. L'nonc, ainsi que ce corrig, utilisent la premire appellation mais on peut substituer partout ALI  AO.  La deuxime moiti du sujet dtaille le fonctionnement d'un geyser, systme oscillant original dont le modle ici est simplifi mais dj assez raliste. Elle dbute par quelques notions de thermodynamique des corps purs, et se poursuit par une partie de mcanique des fluides qui ncessite une certaine intuition physique. S'appuyant sur l'quation de NavierStokes, qui ne figure plus au programme de PSI depuis la rentre 2014, elle est nanmoins faisable en grande partie si l'on admet la formule, qui est rappele par le sujet. L'avant-dernire section, trs classique, fait redmontrer la loi de Poiseuille, et le sujet se termine avec un peu de diffusion thermique. L'ensemble des questions reste proche du cours, ce qui fait de ce sujet un bon exercice d'entranement durant l'anne. Indications Premire partie B1 Chercher dans le schma lectrique un pont diviseur de tension. B3 Les basculements se font lorsque change de signe. B4 Chercher la valeur de vS selon les valeurs que peut prendre . Puis partir de vE = -VSAT , faire augmenter vE et regarder comment volue . C1  quoi les diples sont-ils quivalents  haute et basse frquence ? C2 Utiliser le pont diviseur de tension entre E et S. C4 Passer du domaine frquentiel au domaine temporel grce  l'quivalence j d dt C5 vSn est la composante de pulsation n du signal de sortie, c'est donc une pure sinusode (pas de constante d'intgration). C6 Pourquoi le signal de sortie est-il de moyenne nulle ? D2 Rsoudre cette question sans supposer que R2 = 2R1 . D2, D3 Raisonner de manire squentielle  partir d'une valeur de vS . Deuxime partie E5 Sparer les variables pour intgrer l'quation diffrentielle. F4 L'eau liquide a la mme vitesse tout au long de la colonne, elle vaut dZ/ dt. F5 Ce n'est pas parce que la pression dans la cavit diminue que la colonne d'eau ne peut pas tre pousse vers le haut. F9 Penser  la formule de Torricelli, ou raisonner sur l'nergie d'une gouttelette d'eau  la sortie du geyser. G2 Ce rsultat dcoule de l'quation de NavierStokes, que l'on peut drastiquement simplifier sous les hypothses de cette partie. G3 Rsister  la tentation de dvelopper la drive, remarquer que f (x) = g(r) n'est vraie pour tout x et r que si les deux fonctions sont constantes. G5 Penser  un quivalent des lois des mailles et des noeuds pour tablir l'analogie. H3 Erreur d'nonc : T - TR est  exprimer en fonction de TE - TR et d'une constante de temps E  prciser en fonction de meau , ceau , Se et h. H4 Le temps mis par l'eau pour atteindre sa temprature d'bullition dpend aussi bien sr de sa temprature initiale TE , que l'nonc a oublie. I. Gnrateur de signaux A1 Les hypothses de l'AO idal sont :  une impdance d'entre infinie, ce qui implique des courants de polarisation nuls (i- = i+ = 0) ;  une rsistance de sortie nulle ;  l'absence de tension d'offset ( est nul en rgime linaire) ;  un gain infini  toutes les frquences. A2 Lors d'un fonctionnement en rgime linaire, les tensions de l'AO respectent et =0 En rgime satur, 6= 0 - VSAT < v S < VSAT et vS = + - VSAT On peut distinguer ces rgimes en observant v S : si elle vaut VSAT en valeur absolue le rgime est satur, il est linaire sinon. B1 L'AO tant suppos idal, il n'y a pas de courant  son entre E+ ; on reconnat un pont diviseur de tension entre les points S et E : vE+ = v E + (v S - v E ) = R1 R1 + R2 v S R1 + v E R2 R1 + R2 L'entre inverseuse de l'AO tant relie  la masse, (t) = vE+ (t) d'o, en injectant dans l'quation diffrentielle, v S (t)R1 + v E (t)R2 dv S (t) + v S (t) = Ad dt R1 + R2 dv S (t) R1 R2 soit + 1 - Ad v S (t) = Ad v E (t) dt R1 + R2 R1 + R2 Avec R2 = 2 R1 , le coefficient de v S , (1 - Ad /3), est ngatif car Ad 1, donc les coefficients de v S et de sa drive sont de signes opposs ; par consquent, d'aprs le critre de Routh l'quation diffrentielle est instable : ses solutions divergent, ce qui entrane un fonctionnement satur de l'AO. On pouvait dduire sans calcul ce comportement du montage lectrique, en observant que l'AO est branch en  rtroaction positive , ou en d'autres termes que sa sortie n'est connecte qu' son entre non inverseuse. Ceci est une condition suffisante d'un fonctionnement satur. En effet, partant d'un et d'une sortie v S nuls tous les deux, si la sortie v S , par une quelconque fluctuation aussi petite soit-elle, est dplace de sa valeur nulle, la rtroaction positive augmente vE+ par une grandeur du mme signe, et donc aussi (car = vE+ - vE- ). devenant alors non nul, le gain de l'AO l'amplifie et augmente  nouveau v S dans le mme sens. Ce phnomne diverge trs rapidement, et ne s'arrte que lorsque v S atteint sa valeur de saturation. B2 B = 3 = 0,3 s Ad Ce temps est trs court  l'chelle lectronique, il correspond  une frquence de l'ordre du GHz, tout juste  la limite haute des capacits d'un GBF ordinaire. Le phnomne de saturation est d'autant plus rapide que le gain de l'AO est lev. Le rgime transitoire entre deux saturations est donc tellement court que l'on peut considrer que l'AO est toujours en rgime satur. B3 Les basculements correspondent aux instants o = (v S R1 + v E R2 ) /(R1 + R2 ) change de signe, soit lorsque v E = -v S R1 R1 VSAT =+ =+ - VSAT - R2 R2 2 B4 Si on part de v E = -VSAT , aucune valeur de v S comprise entre -VSAT et VSAT ne permet de rendre = (v S + 2v E )/3 positif. La tension diffrentielle d'entre de l'AO est donc ngative, comme sa sortie v S , qui sature  -VSAT et qui reste ainsi tant que est ngatif. La tension v E (t) augmente : lorsqu'elle passe par VSAT /2, s'annule et change de signe ; immdiatement, v S sature du ct positif,  VSAT . La tension d'entre continue  s'lever jusqu' VSAT , puis redescend. Lorsque v E passe par -VSAT /2  la redescente, change  nouveau de signe et redevient ngatif ; v S retombe alors  -VSAT . vS (V) On appelle ce montage  comparateur  parce que sa sortie est reprsentative de la 15 diffrence de tension entre ses deux bornes d'entre (ici vE et la masse). Il est non inver10 seur car la sortie est positive lorsque l'entre 5 l'est. Enfin, l'hystrsis dsigne le fait qu' vE (V) un instant t la sortie dpend non seulement 0 5 10 15 de la valeur de l'entre  cet instant mais aussi de son pass : cet effet mmoire a pour consquence l'existence de deux courbes diffrentes  l'aller et au retour. C1  basse frquence, le condensateur se comporte comme un circuit ouvert. En admettant que l'AO fonctionne en rgime linaire, le courant i- est nul et vE+ = vE- = 0 ; en utilisant le pont diviseur de tension entre E et S on obtient : R vE- = 0 = vE + (vS - vE ) R + RP = RP vE + R vS vS RP soit =- vE R La tension de sortie tant proportionnelle  la tension d'entre, l'opration ralise  basse frquence est une amplification.  frquence leve, le condensateur peut tre vu comme un simple fil qui relie S  l'entre inverseuse de l'AO, elle-mme connecte  la masse par l'intermdiaire de l'AO fonctionnant en rgime linaire. Donc v S = 0  trs haute frquence. Par consquent, il s'agit d'un filtre passe-bas.