E3A Physique PSI 2013

Thme de l'preuve Capteurs de proximit
Principaux outils utiliss lectrostatique, thorme de Gauss, magntisme dans les milieux, thorme d'Ampre, analyse complexe
Mots clefs capteur capacitif, capteur inductif, mise en forme de signal lectronique, amplificateur oprationnel

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrig

(tlcharger le PDF)

nonc complet

(tlcharger le PDF)

Rapport du jury

(tlcharger le PDF)

nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


 m. w & nozno OEoe @@ ......fimfioe OEfi... - ......me - >woem m....=< @@ EJOEE. fim-- UEd w ...... m... : no...-- &... ...:... --.Wfi--oemHZ--HZH WmB... :mm =BoeOE$ ...B om8 ... : mm E x o&%o as...... . ...aoe 9838303 @@m uroesooe: ......mm ...EOE.<...:oeE 33 5 59335 m: 59%... 8 95 $... %..._fi._._m 023.ma Um ENOX=<=H... O>1>Q.:m > \ m4c0m UC OOZUmZOE>HmCW Um. Emmcm Oom 5 Eo \m = 3 Q.Qoemoeo=oe. &... 35 % oemt % am 8635 mm.... 8356 35 833835 o.3Q % @... Q.m oe:oe mn:m...3m mom maS\_. m:osomfi _m 5m93oe am Q>coem @: 9moooe$=ncm am:m :... <...am am vm...<=m wo. Oo:mfioe.8:m :: 003%:oem35 Em: Q0 OEoe OEomoe % $m mou... Qmmm um Q m.... % m=mooeoe oe .. $ S.Qm sz m=...$ omoe Qm:X ....OEQBQOEOE. rm Qm:ooe Q mm.... m=3.mmm m boS oe=uuooe2 $m oe:moemoe aoeoe. PNL man_3mr m: _m moe3... :... o:m3n mmonm m am3m _m oom:oem$5 m3 330103 am _m 0335 0 nc.: m33mmmoem. am m m.... am mo... % amac...$ mm omvmo... O. @ m....B Em...oe3m :: no:Qm=mm$S o.:Q=oe % 83=oe=1m. >m $: mm mo: moe$ m5oe mm.... : m.... 5 3:63 Qoe wo: mmE$ 3335 mm..., @ .... & mm.... 5 boe3...< Q: S.Qoe oe omm qmcx moe am _m 35 am 3mmSoe m: 330503 am 09 03 9 015. ovooeQ. c:m on9m.......oz $o:scm m...32m bm<3mzm am m...m3m:or... am _m omumo=m vm$mzm 015 nm QE. 38 $ ooem Qm=oe $ mS.OE Q: bm.m .. @... lv +8 m9...8 __mx9mmm...os a:m_m am _m 8893 na... ma 330303 am oe? @... 7 m m.... N... 303% pc...... _m a...m$:ooe m m::...... _mm mmE$oe m: 3@oe3 mm.... 355 am. m:  9%... m: m3 5 8635 8=ooe.om noS ::m 9.m...m=ooe 085-33 % 3328 N w moe " o...... A+ xOE ... ...am:OE. o...... No 9 ? U...m om_oc_oefi am Eno: munoorm _mcOE 3.mc > >...... $:OE.o= m? amm omo:...0=m m...:cmo._.am_mm m...mv_mm vmcm &m....m....m=mm m... m&m ...m N\No AAC. _mgcmao: amm:m N\No . 0033m2 mN U0m...:.... oc :mmm am _m o...m ...... ?... 83%.6: Q.0mmEmaoz :...mm.... =m N oc...mmm m: 3330: am 89 _A m... | _.v No 0 \ 0020.4.022m.5m24 DC 9922. mm ....mzm...o= 63 n <.... m....Q mm.... .....mm....mm Qm3m S...m mm:.m am ...8....m So:...mmm m...mmmmm >... m m.... 0 am mobom3.... oem qmm mobmmm:....m ....Qmm QnfiSm &. m...mE.m ...... x Ecrire les tensions e+ et e" mesures par rapport  la masse de potentiel nul, respectivement aux entres non inverseuse et inverseuse de l'AC en fonction des composants de l'tage A et des tensions v2 et v5 ; en dduire la transmittance V . IA(joe) =--5%' Comparer les amplitudes V5 et V2 puis exprimer le dphasage (p de v5 _2 par rapport  v2. Prciser la fonction de cet tage. E reprsente une tension continue dlivre par un gnrateur. Prciser le rle jou par le bloc B. Exprimer la tension instantane v6(t) en sortie de ce bloc, en fonction de l'amplitude Vo, du dphasage (p, de la tension E, de la pulsation co et de t. Relation utilisable : 2 sin(a) sin(b) : cos(a -- b) -- cos(a + b) Msc(jOE) y6(joe) que sa pulsation caractristique (oc. Montrer que, par un choix judicieux de (pc, la tension de sortie vSC est continue et  image  de cos(q>) . Dterminer la fonction de transfert IC(joe) = En dduire le rle de l'tage C ainsi Choisir la valeur particulire du produit R3C3 pour que la tension de sortie vSC du montage soit continue et proportionnelle  la variation Az de la distance entre la tte de mesure et la cible (au premier ordre non nul en Az/zo ). Donner son expression, note VSC (car indpendante du temps), en fonction de E, k, Vo et du rapport Az/z0 . 1-- tan2(a/2) Relation utilisable : cos(a) : 2 1+ tan (a/2) Proposer une dfinition de la sensibilit S de ce capteur ; l'exprimer en fonction de k, Vo, E et zo, puis la calculer sachant que V0 = 5,0 V et E = 0,50 V. Citer les avantages et les inconvnients inhrents  l'utilisation de ce capteur capacitif. Tournez la page S.V.P. UmOEX.mm 1>W.:m O>1...mOED Um ENOX=SE.... > WmFCOH>ZOm <>>OErm U ... m4OEUm UC O>_u._.mcw _ZUCO._.=u Q: mmb...mt... ...:Q8......... bm...m... Qm Emm=...m... ...m Q...m...msmm ......5 ...m mm......m...m Q.5... Sum: 8m:m....fi=m Qm.........m3.... ...... mm... mmm.........mm...m m :: 985... 8m:m......mm ......n...p=...m  mo:m......m Q... Em...m......m= Qo=x ...m5......m...m m: ...m...m Qm Q %s... ...m mmm......o: mm... :: mm......m Q...m......m mm nmN . >=...m=... Q: 9.85... mm:... mom...=m.m >... ms...m5mms...m %... QE: m@:Q:m...mz... bm...mE bm... :: mo=...m=... Q......=...m=m......m. .... rm ......:m 33858 Q: 9.85... 8m=m....=m mm... ...mb...m.mm=...m.m m: mo...:............mm m:... ...m mm......mm. m......m mm... qm ...o=:m:... ...m Qm:m ...m ...m5......m...mm .... ...m bm...mm5.........m. Em=m....5=m Q: Em...m.......m= QQQX  _ AlY ...m: @@  _ . . m: Qm.........mm:... ......m:... ...m mm:...o=... m: bo...:............m& m...mc...m ...... 0:85... 3mm:gcm Om mmb...m:... mm... ...m...mmm m: ...mm Q... ...5...m= ...:m....m......cm ...m......om:m....cm Qm ...m...mz... m%m......mt...m m m. ...... mm... m: am..........m3ms... moz.........E ...... ::m Q...m...m:mm x ......mmm ......:mm Qm m:m8b mm:... bmm......mm:... 5Qmmm bm... ...m 9.85... Bm:m......mcm. >...mz......m...m... m=......m ...m 9.85... Em:m....cm m... ...m Emma mm... mcmmmz... mm......... mm:... bmc<9.... :m.......m... ...mm ...5...mm ......m ......cx 8m=m....ficm. >mm moc...ms...m ...:Q5...m o5 ......mcm ...m=:m=... m.: mo:...oz... Q.>...m....m 3983 ...; mqom...m mm Qmmo8ummm m...:m... .. ..." Qm=m ...m mm.........mc.... mx Qm3m ....m...... m... ...... Qm:m ...m ...5...m=. >mm _umwm m m: vuc9 om %m99:oe _m _03@ a: 00389 3963 ...) 9533. U ." m9...8. m: ...cmm2 _ummm __mx_9mmm...os am ___:msmzm ... 03 830303 ac 09; 0393... m: am 2_ oet m...... m... m. x... F.... ? m.... &. la P 095: :: 3995: 3103mo39...0c0 ... 03059 _0 396395 pc... _0 889950 9 039 000 mx9:Emoe. Doe:moe 002 _mm mv0om Qc: 3995: 3203839...0c0 ao:x 39:03 .... ID 5" Da. 099359 _m acx 3mozmcm GU 330 5 00050 AS. ms amac=.m __mxufimmm...os am ___:ac0fimsom _. am 096 00050 m: 3320: a: 03950 30:9...0c0 mr am 2. m m.... .... mx9...39 ___:acofimzom _.oc am _m coam 009 :30 058300 x 9120 _m 8069 2 _m Bam? 03 330103 am 2. fi. m.... m... m... x... to. ? 9 &. >m x. mocm _m 835... A r x n_. \ A V ...... '_+> >x |._ . . . . . fi @: ... . . 50359 _.9 090 0038 > 00cm _oe 8330 ... > u & |+ + . 099359 . ? ?... mt... 50 Q0::oedoe 85500 m: 8085 .. 2 H Bo. ? H 3 03. @... u m 03. m n u 03... 5 n 3 33. 0 no; 35 9 t...... H w 39 1.33 093939 % 0&0&9 $m w:Q: r...up...I & >n85-.. >oe B:QOES Qm&..m 00330 5 300001 & % $ 00330 Qmoe 005m:OE 035000  05 5 x Q: 0330 m=95=oe 0: ?m<90 % $ 000203 m 35 00 % 03933 0036 5 303 % 8.505300 .. >: u1l. @ Um. mx9...39 0020 99509 3 ms 830203 am ?... m...... m... m... x. ?... ? 9 t...... 090 03 330103 am 2 m.... am _.00. >:mOEw9 wo: m9 03996 09 msm_ooe_m OEmoncm. m9 _m 13... am 0020 amax...me uml...m ... 09905 00 ox...3=m & 3E0$:0@ <9...moe. HoE.= _ vmmoe m.<.--N m \ 00292022mm24 UC Q>.mOEN 5 9.8 % 003QEozzmm Qc ommS $mmoem. m5 5 mm:}... 9 005836 \qcofimzom ... :: oo=Qoe3mm$S ...... ooebmo  uml: am $ 65.30: ao::mm ......3 B... 98139 _dch amoe ...chammoe >W " W:51W5 % 3:26: am ? >x. _.o m...... em. Oo:mfioeo=m Qm:m :: oe.9 83cm Q:oe Q=Qm:om mm.... om=m mmoeoooe ...... $ 9.oe8=8 % oo:oefi=m x...... .. 5 u >?  _. \.\ 83591 &oOE % 8.OEw $ ... Qoeoe:noe % no$ oe8 \moe .oooe > m... m Q: 9.88... mom 355. m" m$= c:oe mao: m38 Woo _ W_.o m.... _ voE ccm _m qm..oe:om am uom_ 955 > 9 ...... m0: :::m ... m: ama:...8 __mxvfimmm_os Oo am _m 8393 0 mmmoo...mm  _m a...m$:om am 8363 xo ma 330303 am _.0 m" m. mama--EQ _...mnb=omaos 3c39...noe. hoS ::oe %m530m nmEmzm= x oeocfl \Qcowmsom Q: Q.8 m ombmo Q: oo:Qoe:oem$5 oe8 a.xmoe ...... 0 mu. m=3m: m: 39303 83298... $ aOEm:ooe am vo....m9 am 3moeEm ma...... H<> |K...... m: 830103 am WJ. W5 ... 2 Ko. m: amac...8 ca...... m: 830103 am ? r? 89 >... >x m.... Ko. Dm=m 856 \m mE.$ Q: om3m. mQ0b8=oe wmbbm:: .. r...em AA m... 2 vos $m m zom % no...d % 3oeoe= m@o .. ca...... G m m. _uoS EURch >x_ 98139 _...mBU=EQm Ca...... am =3.........3 m: 830303 am _.9 80. m. ? >x m.... >x AAA. __mxvfimmm_o: muox...3mm a....... am 533 mm.... ==mm=m vmw 8982  >x % m.mm Q.=3m :.OE= mt 3 o$ m: amac...$ _.m_4mc_. max " 4 .o 33 . mu _" \ 00291022m.sm24 UC m_mz>_u >m bm.oe bcm.Qmm ..... Eo: gta 5 $:OEoz % moe= % boc< Q033Q % ...bosmm >.:oe.m bmx Enuo ...... bx ccm @. > ux AA 4 . .005 85 5 &%ooe bE.mmm .8 Soem. oe bmw 536% QS. oe Qm:oe om &mb0m... me:... .. 238 S " Qa @: eme @... O @ Um$...:mr m: _m moe2. _m 8383 m...:cmom_oe m3 ms 3:26: am m. _.9 ... >x. x .... 003692 __mxmmm...os am . _.9  

Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 E3A Physique PSI 2013 -- Corrig Ce corrig est propos par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) ; il a t relu par tienne Thibierge (ENS Lyon) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Ce sujet tudie le fonctionnement de deux capteurs de proximit sans contact.  La premire partie s'intresse  un capteur capacitif. La cible  dtecter formant l'une des armatures d'un condensateur, la capacit de ce dernier dpend de la distance entre la cible et le capteur. Dans un premier temps, on tablit la valeur de la capacit en fonction de la distance via le thorme de Gauss lectrostatique. La suite du problme analyse le fonctionnement du circuit lectronique permettant de conditionner le capteur puis de mettre en forme le signal. L'objectif final est d'obtenir une tension image de la distance sparant l'obstacle du capteur.  La seconde partie traite du fonctionnement d'un capteur inductif  rluctance variable. Cette fois-ci, le principe est de former avec la cible un circuit magntique ferm dans lequel un champ magntique est impos. Ce dernier circule  travers une bobine dont l'inductance dpend donc de la distance du capteur  l'obstacle. Comme dans la partie prcdente, l'nonc propose d'tudier le conditionnement du capteur et du signal pour obtenir finalement un signal de sortie proportionnel  la distance entre la cible et le capteur. De difficult raisonnable, ce sujet est long et comporte des calculs lourds, principalement dans la seconde partie. Une large place est faite aux approximations qui permettent de simplifier le problme et de trouver les plages pour lesquelles les capteurs prsentent une rponse linaire, c'est--dire o la tension de sortie est directement proportionnelle  la distance sparant le capteur de l'obstacle. Enfin, saluons l'effort fait par le concepteur du sujet pour prsenter un problme technique auquel on donne une rponse satisfaisante en pratique, dans une dmarche d'ingnieur. Indications Partie A A.2 Appliquer le thorme de Gauss  chacune des armatures indpendamment puis conclure en superposant les champs crs par chacune des armatures. A.3 Appliquer le thorme de Gauss  une surface cylindrique de rayon compris entre ceux des deux armatures. A.4 La capacit C(z) est celle d'un condensateur plan, tandis que la capacit Ce est celle d'un condensateur cylindrique. Partie B B.1 Les amplificateurs oprationnels sont supposs idaux. Le courant entrant par les bornes inverseuse et non inverseuse est donc nul. B.2 Le systme fonctionne en boucle ferme (la sortie est relie  l'entre). Ainsi, en notation complexe, v s (j) = H(j) v s (j) B.5 Supposer pour cette question que le facteur d'amortissement est maintenu nul par le montage lectronique. L'quation diffrentielle se rduit alors  d2 v s 1 kz RC0 2 + 1- vs = 0 dt RC0 z0 Partie C C.4 Exprimer cos en s'aidant de la relation trigonomtrique donne par l'nonc. Utiliser ensuite l'identit tan (Arctan ) = . C.5 La sensibilit d'un capteur se dfinit comme le rapport de la variation de la grandeur de sortie sur la variation de la grandeur d'entre . S= d d Partie D D.4 Les lignes de champ tant parfaitement guides, le flux magntique se conserve le long du circuit magntique. D.7 L'inductance L d'une bobine est dfinie par la relation L = /I. D.8 Dterminer l'quivalent de la loi d'Ohm pour un circuit magntique. Partie E E.2 Dterminer indpendamment le potentiel lectrique aux noeuds A et B en fonction de la tension aux bornes du gnrateur de tension, puis rsoudre l'quation uA = uB . Partie F F.1 Le thorme de Millman en B permet d'exprimer v B en fonction de v G . I. Capteur de proximit capacitif A. tude du condensateur de mesure A.1 Notons V un volume dlimit par une surface ferme S, de normale oriente vers l'extrieur. Soit Qint la charge totale contenue dans le volume V. Le thorme de Gauss, dans le vide, s'nonce ZZ - - Qint E dS = 0 S Le thorme de Gauss est l'criture sous forme intgrale de l'quation de Maxwell-Gauss aprs application du thorme de Green-Ostrogradsky. En notant la densit volumique de charge, - div E = 0 ZZZ ZZZ - 1 donc div E dV = dV 0 V V ZZ - - Qint soit E dS = 0 S A.2 Ngligeons les effets de bord et considrons le cas d'un condensateur plan infini. M(x, y, z) -Q d 2 - ez - ex O d 2 - ey +Q S Considrons le point M(x, y, z) comme sur le dessin.  Tout plan contenant (M, - ez ) est plan de symtrie du problme. Comme le champ lectrique est un vecteur polaire, il est dirig selon - e . z - E (M) = E(M) - ez  Puisque le problme est invariant par translation dans le plan des armatures, la norme du champ lectrique ne dpend que de la variable z. E(M) - e = E(z) - e z z Appliquons le thorme de Gauss  chacune des deux armatures successivement. En effet, le problme tant linaire, le champ lectrique total est la superposition du champ lectrique d  chacune des armatures. Effectuons le calcul pour l'armature suprieure de charge -Q. Prenons l'origine des ordonnes au centre des deux armatures. La surface ferme choisie pour l'intgration est reprsente en haut de la figure et contient le point M, point o l'on cherche l'expression du champ lectrique. Elle enferme une surface Se de l'armature. Introduisons la charge surfacique = Q/S. - D'aprs le thorme de Gauss, en notant E sup le champ lectrique relatif  l'armature suprieure, ZZ - -Se - E sup  d S = 0 Se - - Or, sur les bords de normale - ex ou - ey , E d S = 0. Finalement, pour z [ -d/2 ; d/2 ], (Esup (d - z) - Esup (z)) Se = -Se 0 Enfin, le plan form par l'armature suprieure constitue un plan de symtrie pour la distribution de charge de cette seule armature. Par consquent, Esup (d - z) = -Esup (z) Ainsi, pour z [ -d/2 ; d/2 ] - Q - E sup (z) = + ez 2S 0 Dans l'approximation d'armatures infinies, le champ lectrique est donc indpendant de la distance  l'armature. Un raisonnement similaire s'applique sur la plaque infrieure en changeant -Q en +Q et d/2 en -d/2 et conduit, pour z [ -d/2 ; d/2 ],  : - Q - E inf (z) = + ez 2S 0 Superposons les 2 champs lectriques pour obtenir le champ total entre les armatures : - - - Q - E = E inf + E sup = ez S 0 Le potentiel est reli au champ lectrique par : -- - grad U = - E - Le champ lectrique tant dirig dans la direction ez , la relation prcdente s'crit dU = -Ez dz Le champ lectrique tant constant, la tension aux bornes du condensateur vaut U = -Ez d La capacit du condensateur s'crit alors C= Q S 0 = |U| d